精品解析：广东深圳市第三高级中学2025-2026学年度第一学期期末考试高二A组数学试题卷

深圳市第三高级中学2025-2026学年度第一学期期末考试 高二A组数学试题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般方程确定斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角大小. 【详解】因为直线的斜率为，即为倾斜角的正切值， 所以其倾斜角为. 故选：A. 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列性质求解即可. 【详解】在等差数列中，因为， 又，所以， 故选：C． 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查双曲线的标准方程与离心率，核心是通过将双曲线方程化为标准形式，结合双曲线的基本关系，离心率公式，计算离心率. 【详解】将双曲线方程化为标准形式：， 这是焦点在轴上的双曲线，标准形式为，因此，. 根据双曲线的离心率公式，其中满足. 代入，，得，即. 又，因此. 综上，双曲线的离心率为. 故选：C 4. 如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图像，可得答案. 【详解】由，则，由为的中点，则. 所以 . 故选：A. 5. 若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【详解】圆的圆心，半径为， 设圆心到直线的距离， 由直线被圆截得的弦长为，得，所以. 故选：C 6. 在数列中，若，则（    ） A. 1013 B. 1014 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】利用累乘法求出通项公式，然后可得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B 7. 在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可求得点轨迹方程为，再求方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可解. 【详解】设，由得：， 即， 化简可得：，即点轨迹方程为， 直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 点到直线距离最小值为. 故选：D 8. 已知直线与圆交于两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得直线恒过定点，求得圆心到直线的距离的最大值可求的最大值． 【详解】由，得圆心，半径， 由直线，即，得直线恒过定点此点在圆内，. 又越小，则圆心到直线的距离越大， 如图，圆心到直线的最大距离为， 而， 所以圆心到直线的距离的最大值为， 此时， 所以， 所以的最大值为． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 的单位向量是 【答案】ABC 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】由可得，，故AB正确， ，故C正确， 的单位向量是，故D错误； 故选：ABC 10. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 使得时的最大值是13 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列的性质得到，从而判断数列的增减性，再结合等差数列的前项和公式，判断各选项． 【详解】对于B，，∵，∴，B选项错误； 对于A，因为数列的公差，所以数列为递减数列，A选项正确； 对于C，设最大，则，，所以，，故， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，∵，， ∴使得时的最大值是14，D选项错误. 故选：AC. 11. 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的弦AB过点F，点M在C的准线上，则（ ） A. 当直线AB的斜率不存在时， B. 存在三点A，B，M，使 C. 若，则直线AB的斜率绝对值为 D. 若存在点M使得为等边三角形，则直线AB的斜率绝对值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由方程为，代入抛物线方程即可判断；对于B，由抛物线性质：以焦点弦为直径的圆与其准线相切，即可判断，对于C，由抛物线的定义以及斜率的定义，即可判断，对于D，设直线AB的方程为，联立抛物线方程，由等边三角形的性质列出等式求解即可. 【详解】依题意，抛物线C：的焦点为，准线方程为，设，，不妨设点A在第一象限， A：方程为，则，，则，正确． B：由抛物线性质“以焦点弦为直径的圆与其准线相切”，故准线上任一点M都在以AB直径的圆外（或圆上）， 所以恒成立，错误（结论证明见下） 设AB的中点为D，A，B，D在准线上的投影分别为点，，， 由抛物线定义知，， ∴，故以AB为直径的圆（D为圆心，为半径）必与准线相切． C，如下图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作于点， 由，则和抛物线的定义得，， 所以，所以，此时， 根据对称性可知直线的斜率为，即直线AB的斜率绝对值为，正确； D：设直线AB的方程为，代入抛物线方程：可得，， 设，，由韦达定理可得，，， 若为等边三角形，设A、B的中点为， 则，， 设，则，即， 则点到直线AB的距离， ∵，又， ∴，解得，即直线AB的斜率绝对值为，正确． 故选：ACD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据极限的运算法则，对所给的极限进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即可得到函数在这一个点处的切线的斜率 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 故答案为： 13. 已知,,,则原点到平面的距离为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出平面的法向量，利用空间中点到面的距离公式求解. 【详解】设原点到平面的距离为，平面的法向量为， 则，，， 即得，令，可得，， 故，则， 故答案为：. 14. 双曲线 的左、右焦点分别为， 为线段 上一点， 为双曲线上第一象限内一点， ， 与的周长之和为，且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据“ 与的周长之和”、“ 与的内切圆面积相等”、“”等列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】记与的周长分别为与， 设与的内切圆半径为， 则， 根据，则，则， 又与的周长之和为， 所以． 因为， 又，所以可得．又， 所以． 由，即，化简得， 所以离心率． 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，. （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） 因为，所以， 而，则， 即，得到是首项为，公差为的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）运用取倒数法，结合等差数列的定义进行运算证明即可； （2）运用裂项相消法进行运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，即， 则， 得到 16. 如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，即可得各点坐标和向量坐标，然后由空间向量的数量积证明线线垂直； （2）根据线面角的向量求法即可求出. 【小问1详解】 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则，，，，，. ，， 则，所以. 【小问2详解】 在平面中，，，. 设平面的法向量为，则， 即，所以， 令，则，，所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知等差数列的公差，前项和为，若. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式得到关于、的方程组，解得即可； （2）首先表示出，从而得到，再由错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为，，又， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为，即，所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 所以. 18. 直线与直线垂直，且经过点. （1）求的方程； （2）若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； （3）若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用垂直可得斜率，利用点斜式可求直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用弦长可求答案； （3）设出动点坐标，找出两动点间的关系，把的坐标代入可求轨迹方程. 【小问1详解】 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又因为经过点，所以方程为，即. 【小问2详解】 圆化为标准型为， 圆心到直线的距离为， 因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得. 【小问3详解】 设线段MN中点的坐标为，，则，即 因为点在圆上运动，所以， 所以， 即，所以线段MN中点的轨迹方程为. 19. 已知椭圆的左顶点为A，离心率为，且经过点． （1）求椭圆C的方程； （2）设过点的直线交C于两点，过M且平行于y轴的直线与线段交于点T，点Q满足，问：是否存在x轴上的定点K，使得直线始终经过点K． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，求解可得椭圆C的方程； （2）设直线的方程为，联立椭圆的方程，根据韦达定理，结合点Q满足表示出点的坐标，进而得出直线始终经过定点． 【小问1详解】 由已知得， 解得， 故的方程为； 【小问2详解】 依题意可得过的直线的斜率存在，设 联立，得， ，即，即. 由韦达定理可知， 由可得线段， 点Q满足为的中点， 联立，可得．故有， 下面证明定点K为． 下面证明， 则只需证明： 即：， 代入 只需证： 即 将代入，只需证明：… 展开可得 显然成立． 由于x轴上不可能存在第二个定点，否则直线即为x轴，可知为唯一定点，故直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市第三高级中学2025-2026学年度第一学期期末考试 高二A组数学试题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 4. 如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A. B. C. 2 D. 6. 在数列中，若，则（    ） A. 1013 B. 1014 C. 2025 D. 2026 7. 在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与圆交于两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 的单位向量是 10. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 使得时的最大值是13 11. 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的弦AB过点F，点M在C的准线上，则（ ） A. 当直线AB的斜率不存在时， B. 存在三点A，B，M，使 C. 若，则直线AB的斜率绝对值为 D. 若存在点M使得为等边三角形，则直线AB的斜率绝对值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为________． 13. 已知,,,则原点到平面的距离为__________． 14. 双曲线 的左、右焦点分别为， 为线段 上一点， 为双曲线上第一象限内一点， ， 与的周长之和为，且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，. （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和. 16. 如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知等差数列的公差，前项和为，若. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 18. 直线与直线垂直，且经过点. （1）求的方程； （2）若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； （3）若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 19. 已知椭圆的左顶点为A，离心率为，且经过点． （1）求椭圆C的方程； （2）设过点的直线交C于两点，过M且平行于y轴的直线与线段交于点T，点Q满足，问：是否存在x轴上的定点K，使得直线始终经过点K． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $