专题1.3 直角三角形（寒假预习讲义）（4大知识点预习+ 8大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期

专题1.3 直角三角形 知识点1：直角三角形的性质与判定 类别 核心内容 符号语言 性质 1.直角三角形的两个锐角互余； 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.在中，，则； 2.在中，是斜边中线，则。 判定 1.有一个角是的三角形是直角三角形； 2.有两个角互余的三角形是直角三角形。 1.在中，，则是直角三角形； 2.在中，，则，是直角三角形。 知识点2：勾股定理及其逆定理 1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在中，，则（、为直角边，为斜边）。 2.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 符号语言：在中，若，则，是直角三角形。 3.应用关键：勾股定理适用于直角三角形；逆定理用于判断三角形形状，需先确定最长边。 知识点3：直角三角形全等的“HL”判定 1.判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。 符号语言：在和中，，，则（HL）。 2.注意事项：“HL”仅适用于直角三角形；一般三角形全等的判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS）同样适用于直角三角形。 知识点4：互逆命题与逆定理 1.互逆命题：两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆命题。 2.逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，称为原定理的逆定理。 3.关键关系：原命题为真，逆命题不一定为真；互逆定理一定是真命题。 【基础必考题型】 【题型1】直角三角形性质的直接应用（求角） 1.核心知识点 直角三角形两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半。 三角形内角和定理。 2.解题方法技巧 直接推导：已知一个锐角，用减去该角得另一个锐角。 中线关联：遇斜边上的中线，直接转化为斜边的一半。 【例题1】.（25-26八年级上·云南昭通·期末）直角中，，则另一个锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了直角三角形两个锐角互余，根据直角三角形两个锐角互余求解即可． 【详解】解：直角中，， ∴另一个锐角的度数为． 故选：B． 【变式题1-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形中，有两个角的度数分别为和，则这个三角形是 三角形。 【答案】直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵一个三角形中，有两个角的度数分别为和， ∴第三个角的度数为， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，直线，的直角顶点落在直线上，若，则 ． 【答案】42 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意得到，，，等量代换即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：42 ． 【变式题1-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 改【题型2】合4勾股定理的基础应用（求边长） 1.核心知识点 勾股定理：（为斜边）。 直角三角形边长的数量关系。 2.解题方法技巧 确定边的类型：区分直角边和斜边，直接代入公式计算。 逆向求边：已知斜边和一条直角边，用计算。 【例题2】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）在中，若，则（   ） A． B． C． D．不能确定哪个角是直角 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角是直角． 【详解】解：∵， ∴为斜边，且对边是， ∴． 故选A． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是关键． 直接根据勾股定理求解即可． 【详解】∵，，， ， 故选：B． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，是的中线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． 根据中线的定义得到，，根据勾股定理逆定理得到，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）小明准备选用一些小棒作为三角形的边长制作直角三角形模型．现有长度为和的小棒，能与它们制成直角三角形模型的小棒长度可以是（   ） A．13 B．12 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：设第三根小棒长度为 ∵ 直角三角形中，（c为斜边）， 情况1：当为斜边时，， ∴ 解得：（取正值） 情况2：当12为斜边时，， ∴ ，解得：，不在选项中 ∴ 只有满足条件， 故选：A. 【题型3】“HL”判定直角三角形全等 1.核心知识点 “HL”判定定理：斜边和一条直角边对应相等。 全等三角形的性质（对应边、对应角相等）。 2.解题方法技巧 突出直角条件：先明确两个三角形为直角三角形，再找斜边和直角边对应相等。 结合性质：全等后直接推导对应边或角相等。 【例题3】.（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，于点C，点E在上，且．要根据“”证明，需再添加的条件为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得已有一条直角边对应相等，要根据“”证明，则需要两个直角三角形的斜边对应相等，据此可得答案． 【详解】解：添加的条件为，证明如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 【变式题3-1】.（23-24八年级下·河南郑州·月考）如下图，，于点，于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.有垂直，利用直角三角形的判定定理“”即可得证. 【详解】证明：于点，于点， ． ， ， ． 在和中， ， ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·全国·期末）如图所示，，，，则判定与全等的依据是（    ） A．HL B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】HL指的是：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此可得出答案． 此题主要考查了三角形全等的判定方法，掌握判定方法是解题关键． 【详解】解：，， ， 在和中， ， 故选： 【变式题3-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明． 【详解】证明： 与分别为边上的中线， ， ∵， ， ∵， ∴在和中， ， ． 【培优高频题型】 【题型4】命题、逆命题的构造与逆定理识别 1.核心知识点 逆命题构造：交换原命题“如果，那么”的条件和结论，得到“如果，那么”。 真假判断：真命题需符合定理/定义，假命题举反例；逆定理是经证明为真的逆命题。 2.解题方法技巧 三步构造判断：①改写原命题为“”形式；②交换、得逆命题；③真命题验证依据，假命题举反例（如“全等三角形对应角相等”的逆命题“对应角相等的三角形全等”，反例：相似三角形仅对应角相等，对应边不相等，不全等）。 逆定理识别：先判断逆命题为真，再确认其为可作为定理的普遍结论。 【例题4】.（2026八年级上·陕西西安·专题练习）下列命题的逆命题是假命题的是（） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角互补 C．全等三角形的对应角相等 D．等腰三角形的两个底角相等 【答案】C 【分析】本题考查的是逆命题及定理的相关知识，关键是先确定每一项的逆命题．判断每个命题的逆命题，并验证其真假． 【详解】解：∵对于A，原命题相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，此为真命题； 对于B，原命题两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，此为真命题； 对于C，原命题全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，此为假命题，因为对应角相等的三角形只是形状相同但未必全等； 对于D，原命题等腰三角形的两个底角相等的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，此为真命题． ∴逆命题是假命题的是C． 故选：C． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·陕西汉中·期末）下列命题中，其逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．若，则 C．全等三角形的对应角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】本题考查了逆命题，命题的真假，先写出每个命题的逆命题，再判断命题的真假即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，该逆命题是假命题，不符合题意； 、“若，则”的逆命题“若，则”，该逆命题是假命题，不符合题意； 、“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的两个三角形全等”，该逆命题是假命题，不符合题意； “两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，该逆命题是真命题，符合题意； 故选：． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行，该真命题 (2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题 (3)如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题 【分析】本题主要考查了逆命题以及判定命题的真假，熟练掌握相关知识是解题关键．一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题． （1）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据平行线的判定定理即可确定该逆命题为真命题； （2）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据绝对值的性质即可确定该逆命题为假命题； （3）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定定理可知该逆命题为假命题． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行，该真命题； （2）解：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题； （3）解：如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题． 【变式题4-3】.（22-23八年级上·河南南阳·月考）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 【题型5】折叠问题中的直角三角形 1.核心知识点 折叠的性质：对应边相等、对应角相等。 勾股定理及直角三角形性质。 2.解题方法技巧 标注等量关系：折叠后重合的边和角相等，设未知边为，用勾股定理列方程。 【例题5】.（2025八年级下·全国·专题练习）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点在同一直线上，已知的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查折叠的性质，直角三角形两锐角互余，理解折叠的性质，掌握角度的和差计算是关键． 由折叠得，，，则，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 由折叠得，，，， ∵点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·山东日照·期中）如图所示，长方形纸片中，．现将长方形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点；再将三角形沿折叠，使点落在点处．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查折叠的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.由题意得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 在长方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广东清远·月考）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，在同一直线上，已知， 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余；由折叠性质可得，，，根据折叠后点，，在同一直线上，，则有，最后通过直角三角形性质即可求解，理解折叠的性质，掌握角度的和差计算是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可得，，， ∵折叠后点，，在同一直线上，， ∴，， ∴， 故选：． 【变式题5-3】.（24-25八年级上·江苏连云港·月考）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为． (1)如果，求的度数； (2)判断和是否全等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”可解得，再根据折叠的性质可得，进而可得的值，然后根据“直角三角形两锐角互余”求解即可； （2）由折叠知，，，进而证明，，利用“”证明结论即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 由折叠知：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【题型6】直角三角形斜边上的中线性质应用 1.核心知识点 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 逆用：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形。 2.解题方法技巧 直接求边：已知斜边求中线或已知中线求斜边。 逆用判直角：遇中线与边的倍半关系，直接判定直角三角形。 【例题6】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，为线段的中点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半进行求解是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半得到，代入求解即可． 【详解】解：∵，，为线段的中点， ∴． 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，于点，点为的中点，连接．已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形“三线合一”、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 首先根据等腰三角形“三线合一”求解的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，于点， ∴， 在中，， ∵点为的中点， ∴， 故答案为：． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·上海·期末）如图在中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握其性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再根据已知条件即可解答． 【详解】解：在中，，是边上的中线， ． ， ， ， 故答案为：8． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是的斜边上的中线， (1)求的度数． (2)求证：为等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余，求的度数即可． （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据等边三角形的判定，解答即可． 【详解】（1）解：∵是的斜边上的中线， ∴， ∴． （2）证明：∵ 是的斜边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【压轴素养题型】 【题型7】直角三角形与全等的综合应用 1.核心知识点 “HL”全等判定；勾股定理；全等三角形的性质。 2.解题方法技巧 先证全等：用HL或其他判定证明直角三角形全等，得到边或角关系。 再用勾股定理：结合全等结论，用勾股定理求未知边长。 【例题7】.（25-26八年级上·山西吕梁·月考）如图，小杰想测量旗杆的高度，他站在点处，利用无人机在点处测得，当小杰走到点位置时，测得，若米，米，旗杆与地面垂直，则旗杆顶端与小杰的初始位置之间的距离为（   ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的锐角互余，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先证明为等边三角形，然后推出，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， 故选：C． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·广东湛江·月考）在中，，，平分交于点E． (1)如图1，延长至点D，使得，连接，延长交于点F．求证：． (2)如图2，过点C作，交的延长线于点F．求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）延长，交于一点G，由题意易得，，然后可得，则有，进而通过证明进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：延长，交于一点G，如图所示： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·重庆开州·期末）如图，在中，，为的中点，过点作交延长线于点，过点作，过点作，且相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用等腰三角形“三线合一”的性质得出，，根据直角三角形两锐角互余即可得答案； （2）根据平行线的性质得出，利用直角三角形两锐角互余得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论． 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·广东广州·期末）在中，于D，平分，且于，并与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识， （1）首先证明为等腰直角三角形，易得，再证明，然后利用“”证明即可； （2）首先由（1）可得，再证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）由（1）， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型8】动态问题中的直角三角形存在性 1.核心知识点 勾股定理；直角三角形的判定；分类讨论思想。 动点运动规律（如沿射线运动）。 2.解题方法技巧 分类讨论：以定线段为直角边或斜边，分情况探究动点位置（如点沿射线运动，为直角三角形，分、、三种情况）。 列方程求解：结合动点运动速度和时间，用勾股定理列方程，验证解的合理性。 【例题8】.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意可分当时，当时，进而进行分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴当点Q到达点C时，所需时间为秒，点P到达点B的时间为秒，到达终点A的时间为秒， 由题意可分： ①如图1，当时， ∴， ∴， ∴． ， ，解得：． ②如图2，当时， ， ， ， 若，则，解得：； 若时，则，解得：． 综上所述：当t为时，为直角三角形． 【变式题8-1】.（23-24七年级下·吉林长春·期中）已知长方形中，，，连结，点P从点A出发，以的速度沿的方向运动，设P点运动的时间为t（秒）（）． (1)当时，______；当时，_______． (2)若点P在上，用含t的代数式表示的面积． (3)在整个运动过程中，当的面积为长方形面积的时，求t的值． (4)若动点Q与点P同时从点A出发，以的速度沿的方向运动，当P、Q相遇时，他们同时停止运动．当为直角三角形时，直接写出t的值或取值范围． 【答案】(1)6；3； (2)； (3)当的面积为长方形面积的时，t的值为或或或； (4)当为直角三角形时，或． 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． （）直接把时间代入即可求解； （）点在上，先表示出，即可表示的面积； （）先求出四边形的面积，再让的面积为长方形面积的，求出点的运动路程，即可求出； （）当为直角三角形时，分情况讨论即可． 【详解】（1）当时，点在上， ∴， 当时，点在上， ∴的运动路程为， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）∵点在上， ∴， ∴； （3）四边形的面积为， ∴的面积为长方形面积的时，， 当点在上时，， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 综上，当的面积为长方形面积的时，的值为或或或； （4）有三种情况： 当点在上时，是直角三角形， 此时， 当点在上，点在上时，是直角三角形， 即， ∴， 解得， 则后，都在上，不是直角三角形， ③当点Q在上，点P刚好运动到点D时，是直角三角形， 此时， ∴(舍去)， 综上，当为直角三角形时，或． 【变式题8-2】.（21-22八年级上·广东江门·月考）如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． (1)当　　时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 【答案】(1) (2)当为或时，是直角三角形 (3)的长度不变化，为 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由题意可得，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解； （2）分两种情况：当时，当时，分别利用直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）过点作交的延长线于，证明，得出，，证明，得出，求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，设点的运动时间为，， ∴； （2）解：∵是直角三角形， ∴分两种情况：当时，如图： 则， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图： 则， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形； （3）解：的长度不变化，为， 如图，过点作交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长度不变化，为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山东枣庄·月考）勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着及其广泛的应用，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁．因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算．在中，． (1)如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动____________秒时，．并说明理由． (2)如图2，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动的时间为．当为直角三角形时，求的值； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设运动秒，根据题意，，根据勾股定理，得，于是．根据勾股定理解答即可． （2）设运动的时间为，根据题意，得，分点P在上和在其延长线上，分类计算解答即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类思想．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【详解】（1）解：设运动秒，根据题意，得， ∵ ∴， ∴． ∴， 解得， ∴运动时，． （2）解：根据题意，得, ∵， ∴， 当点P在上时， ∴， 则 当时，此时点P与点C重合，根据题意，得； 当点P在延长线上时， 此时时，， 根据题意，得； 解得， 当时，此时不可能， 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 易错点 1.勾股定理应用漏分类讨论：已知直角三角形两边长，未区分斜边和直角边，直接认为第三边。 2.“HL”判定适用错误：用“HL”判定非直角三角形全等，或忽略“斜边对应相等”的条件。 3.逆命题与逆定理混淆：认为原命题为真则逆命题必真（如“对顶角相等”的逆命题为假）。 4.直角三角形性质应用条件遗漏：斜边上的中线等于斜边的一半，仅适用于直角三角形，误用于锐角或钝角三角形。 重点 1.掌握勾股定理及其逆定理，能灵活用于求边长、判断三角形形状。 2.熟练运用“HL”判定直角三角形全等，结合全等性质解决线段和角度问题。 3.理解直角三角形的性质（两锐角互余、斜边上的中线性质），并能结合情境应用。 4.区分互逆命题与逆定理，能写出简单命题的逆命题并判断真假。 难点 1.勾股定理的实际应用建模：将生活情境（如最短路径、消防云梯）转化为直角三角形模型。 2.动态问题中的分类讨论：动点运动过程中，直角三角形存在性的多情况分析，避免漏解。 3.跨学科与新定义问题的解读：将跨学科情境（如医学检测）、新定义（如垂美四边形）转化为熟悉的直角三角形知识，推导结论。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，，，，垂足为D，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出，进而证明是解题的关键． 由，，得，，由于点D，得，则，所以，而，求得，则，即可得答案． 【详解】解：在中，，， ，， 于点，， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．在中，若，且，则是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．由且可求各角度数，从而判断三角形形状． 【详解】解：，设， 又， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形． 故选：C． 3．下列命题为假命题的是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．相等的角是对顶角 C．直角三角形两个锐角互余 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】本题考查了命题，错误的命题是假命题，根据平行线的判定、对顶角的性质、直角三角形的性质和补角的性质判断各命题的真假，即可作答． 【详解】解：A、内错角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； B、对顶角是相等的角，但相等的角不一定是对顶角，原说法是假命题，故该选项符合题意； C、直角三角形两个锐角互余，是真命题，故该选项不符合题意； D、等角的补角相等，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．如图，在中，，点是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为，则的长为(   ) A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积等知识．由三角形面积求出，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，的面积， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，在中，，是高，，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．6 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了角直角三角形的性质，直角三角形的性质．根据直角三角形锐角互余得到，然后在和中运用角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 二、填空题 6．如图，在中，的垂直平分线与分别交于，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可推出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线与分别交于， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，在中，，沿翻折使得点A与点B重合，若，则 ． 【答案】32° 【分析】本题考查了折叠问题和三角形内角和与外角的性质，解题关键是明确翻折角相等的性质，熟练运用三角形内角和解决问题；求出的度数，再根据翻折及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由翻折可得，． 故答案为：． 8．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】此题考查平行线的性质，利用三角板的特征求得的度数，再根据平行线的性质，即可解答，关键是根据两直线平行，同位角相等解答． 【详解】解：如图，∵一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上， ， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 9．如图，在中，，D是边上一点，E是边上一点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，过点D作于点F，利用勾股定理求出的长，可证明，得到，则由三线合一定理得到的长，利用勾股定理可求出的长，设，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点F， ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，，，AF是的平分线，交边BC于点D．过点C作中AD边上的高CE，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先利用直角三角形的内角和求出的度数，再通过角平分线的定义得到的度数，接着在三角形中求出的邻补角的度数，最后结合高的性质，利用直角三角形的两锐角互余计算出的度数． 【详解】解：在中，，根据直角三角形两锐角互余，得： ， ∵是的平分线， ∴， ∴中，，根据三角形内角和为，得： ， ∵与是对顶角， ∴， ∵是边上的高， ∴， 在中，根据直角三角形两锐角互余，得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义及对顶角的性质，掌握直角三角形两锐角互余，结合角平分线、对顶角的性质推导角度是解题的关键． 三、解答题 11．如图，在中，于点D，平分，，．求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，和三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义，和三角形的内角和定理是解题的关键． 根据角度计算，依次计算出、的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 12．如图，已知，，垂足为． (1)图中有 个直角三角形，分别为 ； (2)和有什么关系？和呢？请说明理由． 【答案】(1)，，和 (2)和互余，和相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的有关概念、垂直的定义、三角形的内角和定理等知识点，理解直角三角形的相关概念和垂直的定义是解题的关键． （1）由可得出图中所有直角三角形； （2）由，根据同角的余角相等即可解答． 【详解】（1）解：图中有3个直角三角形，分别表示为：． （2）解：和互余，和相等，理由如下： ∵在中，， ∴，， ∴和互余，和相等． 13．如图，在中，，于点． (1)若平分且分别交，于点E，F，求证：． (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了角平分线的定义，勾股定理，对顶角相等，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义，再证明，结合对顶角相等即可得证； （2）由勾股定理计算即可得出的值，再由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则_____°； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【答案】(1)22 (2)①是“准互余三角形”，理由见解析； ②或． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）根据“准互余三角形”的定义可得，代入数据求出即可； （2）①由直角三角形的性质可得，结合角平分线的定义可得，进而可得是“准互余三角形”； ②根据是“准互余三角形”可得或，求出或，然后分别利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，，且是“准互余三角形”， ∴， 即 ∴， 故答案为：22； （2）①是“准互余三角形； 理由：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②∵点E是边上一点，是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 15．如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际操作中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号） (2)在一次操作中，上臂与中臂夹角为，如图③，此时点与点到地面的距离相等，求，两点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，可求出，则可得到，进而利用勾股定理求出的长，再证明C、D、M三点共线，求出的长即可得到答案； （2）过点作，交的延长线于点，可求出，则可求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图②，过点作，垂足为，则， ， ， ∵， ， ∴， ∵上臂与水平面平行，底座与水平地面垂直， ∴，即C、D、M三点共线， ． 即点到地面的距离为； （2）解：如图③，过点作，交的延长线于点， ， ， ∴， ∴， ∴，， ， 答：，两点之间的距离为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 直角三角形 知识点1：直角三角形的性质与判定 类别 核心内容 符号语言 性质 1.直角三角形的两个锐角互余； 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.在中，，则； 2.在中，是斜边中线，则。 判定 1.有一个角是的三角形是直角三角形； 2.有两个角互余的三角形是直角三角形。 1.在中，，则是直角三角形； 2.在中，，则，是直角三角形。 知识点2：勾股定理及其逆定理 1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在中，，则（、为直角边，为斜边）。 2.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 符号语言：在中，若，则，是直角三角形。 3.应用关键：勾股定理适用于直角三角形；逆定理用于判断三角形形状，需先确定最长边。 知识点3：直角三角形全等的“HL”判定 1.判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。 符号语言：在和中，，，则（HL）。 2.注意事项：“HL”仅适用于直角三角形；一般三角形全等的判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS）同样适用于直角三角形。 知识点4：互逆命题与逆定理 1.互逆命题：两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆命题。 2.逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，称为原定理的逆定理。 3.关键关系：原命题为真，逆命题不一定为真；互逆定理一定是真命题。 【基础必考题型】 【题型1】直角三角形性质的直接应用（求角） 1.核心知识点 直角三角形两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半。 三角形内角和定理。 2.解题方法技巧 直接推导：已知一个锐角，用减去该角得另一个锐角。 中线关联：遇斜边上的中线，直接转化为斜边的一半。 【例题1】.（25-26八年级上·云南昭通·期末）直角中，，则另一个锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了直角三角形两个锐角互余，根据直角三角形两个锐角互余求解即可． 【详解】解：直角中，， ∴另一个锐角的度数为． 故选：B． 【变式题1-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形中，有两个角的度数分别为和，则这个三角形是 三角形。 【答案】直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵一个三角形中，有两个角的度数分别为和， ∴第三个角的度数为， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，直线，的直角顶点落在直线上，若，则 ． 【答案】42 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意得到，，，等量代换即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：42 ． 【变式题1-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 改【题型2】合4勾股定理的基础应用（求边长） 1.核心知识点 勾股定理：（为斜边）。 直角三角形边长的数量关系。 2.解题方法技巧 确定边的类型：区分直角边和斜边，直接代入公式计算。 逆向求边：已知斜边和一条直角边，用计算。 【例题2】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）在中，若，则（   ） A． B． C． D．不能确定哪个角是直角 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角是直角． 【详解】解：∵， ∴为斜边，且对边是， ∴． 故选A． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是关键． 直接根据勾股定理求解即可． 【详解】∵，，， ， 故选：B． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，是的中线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． 根据中线的定义得到，，根据勾股定理逆定理得到，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）小明准备选用一些小棒作为三角形的边长制作直角三角形模型．现有长度为和的小棒，能与它们制成直角三角形模型的小棒长度可以是（   ） A．13 B．12 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：设第三根小棒长度为 ∵ 直角三角形中，（c为斜边）， 情况1：当为斜边时，， ∴ 解得：（取正值） 情况2：当12为斜边时，， ∴ ，解得：，不在选项中 ∴ 只有满足条件， 故选：A. 【题型3】“HL”判定直角三角形全等 1.核心知识点 “HL”判定定理：斜边和一条直角边对应相等。 全等三角形的性质（对应边、对应角相等）。 2.解题方法技巧 突出直角条件：先明确两个三角形为直角三角形，再找斜边和直角边对应相等。 结合性质：全等后直接推导对应边或角相等。 【例题3】.（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，于点C，点E在上，且．要根据“”证明，需再添加的条件为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得已有一条直角边对应相等，要根据“”证明，则需要两个直角三角形的斜边对应相等，据此可得答案． 【详解】解：添加的条件为，证明如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 【变式题3-1】.（23-24八年级下·河南郑州·月考）如下图，，于点，于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.有垂直，利用直角三角形的判定定理“”即可得证. 【详解】证明：于点，于点， ． ， ， ． 在和中， ， ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·全国·期末）如图所示，，，，则判定与全等的依据是（    ） A．HL B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】HL指的是：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此可得出答案． 此题主要考查了三角形全等的判定方法，掌握判定方法是解题关键． 【详解】解：，， ， 在和中， ， 故选： 【变式题3-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明． 【详解】证明： 与分别为边上的中线， ， ∵， ， ∵， ∴在和中， ， ． 【培优高频题型】 【题型4】命题、逆命题的构造与逆定理识别 1.核心知识点 逆命题构造：交换原命题“如果，那么”的条件和结论，得到“如果，那么”。 真假判断：真命题需符合定理/定义，假命题举反例；逆定理是经证明为真的逆命题。 2.解题方法技巧 三步构造判断：①改写原命题为“”形式；②交换、得逆命题；③真命题验证依据，假命题举反例（如“全等三角形对应角相等”的逆命题“对应角相等的三角形全等”，反例：相似三角形仅对应角相等，对应边不相等，不全等）。 逆定理识别：先判断逆命题为真，再确认其为可作为定理的普遍结论。 【例题4】.（2026八年级上·陕西西安·专题练习）下列命题的逆命题是假命题的是（） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角互补 C．全等三角形的对应角相等 D．等腰三角形的两个底角相等 【答案】C 【分析】本题考查的是逆命题及定理的相关知识，关键是先确定每一项的逆命题．判断每个命题的逆命题，并验证其真假． 【详解】解：∵对于A，原命题相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，此为真命题； 对于B，原命题两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，此为真命题； 对于C，原命题全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，此为假命题，因为对应角相等的三角形只是形状相同但未必全等； 对于D，原命题等腰三角形的两个底角相等的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，此为真命题． ∴逆命题是假命题的是C． 故选：C． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·陕西汉中·期末）下列命题中，其逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．若，则 C．全等三角形的对应角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】本题考查了逆命题，命题的真假，先写出每个命题的逆命题，再判断命题的真假即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，该逆命题是假命题，不符合题意； 、“若，则”的逆命题“若，则”，该逆命题是假命题，不符合题意； 、“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的两个三角形全等”，该逆命题是假命题，不符合题意； “两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，该逆命题是真命题，符合题意； 故选：． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行，该真命题 (2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题 (3)如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题 【分析】本题主要考查了逆命题以及判定命题的真假，熟练掌握相关知识是解题关键．一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题． （1）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据平行线的判定定理即可确定该逆命题为真命题； （2）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据绝对值的性质即可确定该逆命题为假命题； （3）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定定理可知该逆命题为假命题． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行，该真命题； （2）解：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题； （3）解：如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题． 【变式题4-3】.（22-23八年级上·河南南阳·月考）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 【题型5】折叠问题中的直角三角形 1.核心知识点 折叠的性质：对应边相等、对应角相等。 勾股定理及直角三角形性质。 2.解题方法技巧 标注等量关系：折叠后重合的边和角相等，设未知边为，用勾股定理列方程。 【例题5】.（2025八年级下·全国·专题练习）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点在同一直线上，已知的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查折叠的性质，直角三角形两锐角互余，理解折叠的性质，掌握角度的和差计算是关键． 由折叠得，，，则，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 由折叠得，，，， ∵点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·山东日照·期中）如图所示，长方形纸片中，．现将长方形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点；再将三角形沿折叠，使点落在点处．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查折叠的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.由题意得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 在长方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广东清远·月考）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，在同一直线上，已知， 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余；由折叠性质可得，，，根据折叠后点，，在同一直线上，，则有，最后通过直角三角形性质即可求解，理解折叠的性质，掌握角度的和差计算是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可得，，， ∵折叠后点，，在同一直线上，， ∴，， ∴， 故选：． 【变式题5-3】.（24-25八年级上·江苏连云港·月考）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为． (1)如果，求的度数； (2)判断和是否全等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”可解得，再根据折叠的性质可得，进而可得的值，然后根据“直角三角形两锐角互余”求解即可； （2）由折叠知，，，进而证明，，利用“”证明结论即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 由折叠知：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【题型6】直角三角形斜边上的中线性质应用 1.核心知识点 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 逆用：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形。 2.解题方法技巧 直接求边：已知斜边求中线或已知中线求斜边。 逆用判直角：遇中线与边的倍半关系，直接判定直角三角形。 【例题6】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，为线段的中点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半进行求解是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半得到，代入求解即可． 【详解】解：∵，，为线段的中点， ∴． 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，于点，点为的中点，连接．已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形“三线合一”、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 首先根据等腰三角形“三线合一”求解的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，于点， ∴， 在中，， ∵点为的中点， ∴， 故答案为：． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·上海·期末）如图在中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握其性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再根据已知条件即可解答． 【详解】解：在中，，是边上的中线， ． ， ， ， 故答案为：8． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是的斜边上的中线， (1)求的度数． (2)求证：为等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余，求的度数即可． （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据等边三角形的判定，解答即可． 【详解】（1）解：∵是的斜边上的中线， ∴， ∴． （2）证明：∵ 是的斜边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【压轴素养题型】 【题型7】直角三角形与全等的综合应用 1.核心知识点 “HL”全等判定；勾股定理；全等三角形的性质。 2.解题方法技巧 先证全等：用HL或其他判定证明直角三角形全等，得到边或角关系。 再用勾股定理：结合全等结论，用勾股定理求未知边长。 【例题7】.（25-26八年级上·山西吕梁·月考）如图，小杰想测量旗杆的高度，他站在点处，利用无人机在点处测得，当小杰走到点位置时，测得，若米，米，旗杆与地面垂直，则旗杆顶端与小杰的初始位置之间的距离为（   ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的锐角互余，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先证明为等边三角形，然后推出，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， 故选：C． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·广东湛江·月考）在中，，，平分交于点E． (1)如图1，延长至点D，使得，连接，延长交于点F．求证：． (2)如图2，过点C作，交的延长线于点F．求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）延长，交于一点G，由题意易得，，然后可得，则有，进而通过证明进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：延长，交于一点G，如图所示： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·重庆开州·期末）如图，在中，，为的中点，过点作交延长线于点，过点作，过点作，且相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用等腰三角形“三线合一”的性质得出，，根据直角三角形两锐角互余即可得答案； （2）根据平行线的性质得出，利用直角三角形两锐角互余得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论． 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·广东广州·期末）在中，于D，平分，且于，并与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识， （1）首先证明为等腰直角三角形，易得，再证明，然后利用“”证明即可； （2）首先由（1）可得，再证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）由（1）， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型8】动态问题中的直角三角形存在性 1.核心知识点 勾股定理；直角三角形的判定；分类讨论思想。 动点运动规律（如沿射线运动）。 2.解题方法技巧 分类讨论：以定线段为直角边或斜边，分情况探究动点位置（如点沿射线运动，为直角三角形，分、、三种情况）。 列方程求解：结合动点运动速度和时间，用勾股定理列方程，验证解的合理性。 【例题8】.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意可分当时，当时，进而进行分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴当点Q到达点C时，所需时间为秒，点P到达点B的时间为秒，到达终点A的时间为秒， 由题意可分： ①如图1，当时， ∴， ∴， ∴． ， ，解得：． ②如图2，当时， ， ， ， 若，则，解得：； 若时，则，解得：． 综上所述：当t为时，为直角三角形． 【变式题8-1】.（23-24七年级下·吉林长春·期中）已知长方形中，，，连结，点P从点A出发，以的速度沿的方向运动，设P点运动的时间为t（秒）（）． (1)当时，______；当时，_______． (2)若点P在上，用含t的代数式表示的面积． (3)在整个运动过程中，当的面积为长方形面积的时，求t的值． (4)若动点Q与点P同时从点A出发，以的速度沿的方向运动，当P、Q相遇时，他们同时停止运动．当为直角三角形时，直接写出t的值或取值范围． 【答案】(1)6；3； (2)； (3)当的面积为长方形面积的时，t的值为或或或； (4)当为直角三角形时，或． 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． （）直接把时间代入即可求解； （）点在上，先表示出，即可表示的面积； （）先求出四边形的面积，再让的面积为长方形面积的，求出点的运动路程，即可求出； （）当为直角三角形时，分情况讨论即可． 【详解】（1）当时，点在上， ∴， 当时，点在上， ∴的运动路程为， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）∵点在上， ∴， ∴； （3）四边形的面积为， ∴的面积为长方形面积的时，， 当点在上时，， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 综上，当的面积为长方形面积的时，的值为或或或； （4）有三种情况： 当点在上时，是直角三角形， 此时， 当点在上，点在上时，是直角三角形， 即， ∴， 解得， 则后，都在上，不是直角三角形， ③当点Q在上，点P刚好运动到点D时，是直角三角形， 此时， ∴(舍去)， 综上，当为直角三角形时，或． 【变式题8-2】.（21-22八年级上·广东江门·月考）如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． (1)当　　时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 【答案】(1) (2)当为或时，是直角三角形 (3)的长度不变化，为 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由题意可得，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解； （2）分两种情况：当时，当时，分别利用直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）过点作交的延长线于，证明，得出，，证明，得出，求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，设点的运动时间为，， ∴； （2）解：∵是直角三角形， ∴分两种情况：当时，如图： 则， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图： 则， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形； （3）解：的长度不变化，为， 如图，过点作交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长度不变化，为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山东枣庄·月考）勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着及其广泛的应用，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁．因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算．在中，． (1)如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动____________秒时，．并说明理由． (2)如图2，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动的时间为．当为直角三角形时，求的值； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设运动秒，根据题意，，根据勾股定理，得，于是．根据勾股定理解答即可． （2）设运动的时间为，根据题意，得，分点P在上和在其延长线上，分类计算解答即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类思想．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【详解】（1）解：设运动秒，根据题意，得， ∵ ∴， ∴． ∴， 解得， ∴运动时，． （2）解：根据题意，得, ∵， ∴， 当点P在上时， ∴， 则 当时，此时点P与点C重合，根据题意，得； 当点P在延长线上时， 此时时，， 根据题意，得； 解得， 当时，此时不可能， 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 易错点 1.勾股定理应用漏分类讨论：已知直角三角形两边长，未区分斜边和直角边，直接认为第三边。 2.“HL”判定适用错误：用“HL”判定非直角三角形全等，或忽略“斜边对应相等”的条件。 3.逆命题与逆定理混淆：认为原命题为真则逆命题必真（如“对顶角相等”的逆命题为假）。 4.直角三角形性质应用条件遗漏：斜边上的中线等于斜边的一半，仅适用于直角三角形，误用于锐角或钝角三角形。 重点 1.掌握勾股定理及其逆定理，能灵活用于求边长、判断三角形形状。 2.熟练运用“HL”判定直角三角形全等，结合全等性质解决线段和角度问题。 3.理解直角三角形的性质（两锐角互余、斜边上的中线性质），并能结合情境应用。 4.区分互逆命题与逆定理，能写出简单命题的逆命题并判断真假。 难点 1.勾股定理的实际应用建模：将生活情境（如最短路径、消防云梯）转化为直角三角形模型。 2.动态问题中的分类讨论：动点运动过程中，直角三角形存在性的多情况分析，避免漏解。 3.跨学科与新定义问题的解读：将跨学科情境（如医学检测）、新定义（如垂美四边形）转化为熟悉的直角三角形知识，推导结论。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，，，，垂足为D，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出，进而证明是解题的关键． 由，，得，，由于点D，得，则，所以，而，求得，则，即可得答案． 【详解】解：在中，，， ，， 于点，， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．在中，若，且，则是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．由且可求各角度数，从而判断三角形形状． 【详解】解：，设， 又， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形． 故选：C． 3．下列命题为假命题的是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．相等的角是对顶角 C．直角三角形两个锐角互余 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】本题考查了命题，错误的命题是假命题，根据平行线的判定、对顶角的性质、直角三角形的性质和补角的性质判断各命题的真假，即可作答． 【详解】解：A、内错角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； B、对顶角是相等的角，但相等的角不一定是对顶角，原说法是假命题，故该选项符合题意； C、直角三角形两个锐角互余，是真命题，故该选项不符合题意； D、等角的补角相等，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．如图，在中，，点是边上一点，延长至点，使，连接．若，且的面积为，则的长为(   ) A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积等知识．由三角形面积求出，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，的面积， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，在中，，是高，，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．6 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了角直角三角形的性质，直角三角形的性质．根据直角三角形锐角互余得到，然后在和中运用角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 二、填空题 6．如图，在中，的垂直平分线与分别交于，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可推出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线与分别交于， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，在中，，沿翻折使得点A与点B重合，若，则 ． 【答案】32° 【分析】本题考查了折叠问题和三角形内角和与外角的性质，解题关键是明确翻折角相等的性质，熟练运用三角形内角和解决问题；求出的度数，再根据翻折及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由翻折可得，． 故答案为：． 8．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】此题考查平行线的性质，利用三角板的特征求得的度数，再根据平行线的性质，即可解答，关键是根据两直线平行，同位角相等解答． 【详解】解：如图，∵一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上， ， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 9．如图，在中，，D是边上一点，E是边上一点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，过点D作于点F，利用勾股定理求出的长，可证明，得到，则由三线合一定理得到的长，利用勾股定理可求出的长，设，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点F， ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，，，AF是的平分线，交边BC于点D．过点C作中AD边上的高CE，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先利用直角三角形的内角和求出的度数，再通过角平分线的定义得到的度数，接着在三角形中求出的邻补角的度数，最后结合高的性质，利用直角三角形的两锐角互余计算出的度数． 【详解】解：在中，，根据直角三角形两锐角互余，得： ， ∵是的平分线， ∴， ∴中，，根据三角形内角和为，得： ， ∵与是对顶角， ∴， ∵是边上的高， ∴， 在中，根据直角三角形两锐角互余，得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义及对顶角的性质，掌握直角三角形两锐角互余，结合角平分线、对顶角的性质推导角度是解题的关键． 三、解答题 11．如图，在中，于点D，平分，，．求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，和三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义，和三角形的内角和定理是解题的关键． 根据角度计算，依次计算出、的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 12．如图，已知，，垂足为． (1)图中有 个直角三角形，分别为 ； (2)和有什么关系？和呢？请说明理由． 【答案】(1)，，和 (2)和互余，和相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的有关概念、垂直的定义、三角形的内角和定理等知识点，理解直角三角形的相关概念和垂直的定义是解题的关键． （1）由可得出图中所有直角三角形； （2）由，根据同角的余角相等即可解答． 【详解】（1）解：图中有3个直角三角形，分别表示为：． （2）解：和互余，和相等，理由如下： ∵在中，， ∴，， ∴和互余，和相等． 13．如图，在中，，于点． (1)若平分且分别交，于点E，F，求证：． (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了角平分线的定义，勾股定理，对顶角相等，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义，再证明，结合对顶角相等即可得证； （2）由勾股定理计算即可得出的值，再由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则_____°； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【答案】(1)22 (2)①是“准互余三角形”，理由见解析； ②或． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）根据“准互余三角形”的定义可得，代入数据求出即可； （2）①由直角三角形的性质可得，结合角平分线的定义可得，进而可得是“准互余三角形”； ②根据是“准互余三角形”可得或，求出或，然后分别利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，，且是“准互余三角形”， ∴， 即 ∴， 故答案为：22； （2）①是“准互余三角形； 理由：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②∵点E是边上一点，是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 15．如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际操作中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号） (2)在一次操作中，上臂与中臂夹角为，如图③，此时点与点到地面的距离相等，求，两点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，可求出，则可得到，进而利用勾股定理求出的长，再证明C、D、M三点共线，求出的长即可得到答案； （2）过点作，交的延长线于点，可求出，则可求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图②，过点作，垂足为，则， ， ， ∵， ， ∴， ∵上臂与水平面平行，底座与水平地面垂直， ∴，即C、D、M三点共线， ． 即点到地面的距离为； （2）解：如图③，过点作，交的延长线于点， ， ， ∴， ∴， ∴，， ， 答：，两点之间的距离为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $