精品解析：湖北省武昌实验中学2025-2026学年高一上学期期末检测数学试题

2025-2026学年度上学期期末检测 高一数学试卷 考试时间：2026年2月2日下午14：00-16：00 试卷满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（ ） A. B. C. D. 6. 设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 7. 已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 对，，都有恒成立，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 设、、是定义域为的三个函数，下列说法正确的是（ ） A. 若函数、、的值域都为，则函数的值域为 B. 若、、都是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数 C. 若、、都是奇函数，则、、都是奇函数 D. 若、、都是增函数，那么、、中至少存在一个增函数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则__________. 13. 已知，，，则的最小值为__________. 14. 设函数，若存在最小值，则的最大值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列各式的值： （1）； （2）. 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的值及函数的解析式； （2）设函数在区间上的最小值为5，求实数的值. 17. 已知函数的图象关于直线对称. （1）求的值； （2）若存在使得成立，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）判断函数在上的单调性并用定义证明； （3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 19. 已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合. （1）若，判断是否是中的元素，请说明理由； （2）若，，求的取值范围； （3）若是偶函数，且对任意，均有.已知当时，.请求出函数在时的解析式；并求函数在上至多有多少个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末检测 高一数学试卷 考试时间：2026年2月2日下午14：00-16：00 试卷满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】将改为，判断所在的象限即得. 【详解】， 与终边相同， 是第三象限角，是第三象限角. 故选：C. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数式中真数大于零，偶次根式中被开方数大于等于零，结合交集的运算求解. 【详解】，，，， 的定义域为. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性解对数不等式和指数不等式，再根据充分必要性判断，即可得到答案. 【详解】由，得， 由，得， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 4. 设，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断即可. 【详解】由，， ，， 所以. 故选：B 5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，，代入，结合对数的运算性质求出的值，即为所求. 【详解】两颗星的星等与亮度满足， 令，，，， 因此，太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为. 故选：B. 6. 设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的定义得到，从中解出，利用奇函数的定义得到，从中解出，将代入，解得，从而求出. 【详解】是偶函数，，，①， 是奇函数，， ②， 将①代入②得到，， 解得，. 故选：C. 7. 已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出是上的单调递增函数，求出，，根据零点存在性定理可得，，求出在上是单调递增函数，求出，，根据零点存在性定理可得，，求出在上是单调递增函数，，，根据零点存在性定理可得，，从而得到结论. 【详解】都是上单调递增函数，是上的单调递增函数， ，， 根据零点存在性定理可得，， 均在上是单调递增函数， 在上是单调递增函数， ，， 根据零点存在性定理可得，， 均在上是单调递增函数， 在上是单调递增函数， ，， 根据零点存在性定理可得，， . 故选：A. 8. 对，，都有恒成立，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】将整理成，构造函数，，恒成立，则需满足，计算得到，由通过计算得到，构造函数，利用导数法求出在上是单调递增函数，又，从而得到的解为，从而得到的最大值. 【详解】，， 设， ，恒成立， 是的一次函数或常函数， 要使在内恒成立， 则需满足， 的解为， ， ， ，， ，， 设，， ，，， 在上是单调递增函数， ， 的解为， 又，，的最大值为. ，的最大值为. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解判断各选项即可. 【详解】由，， 则，故A正确； 则，故B错误， 则，故C正确； 则，故D正确. 故选：ACD 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用不等式的性质判断B；作差判断CD. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得 ，D正确. 故选：BCD 11. 设、、是定义域为的三个函数，下列说法正确的是（ ） A. 若函数、、的值域都为，则函数的值域为 B. 若、、都是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数 C. 若、、都是奇函数，则、、都是奇函数 D. 若、、都是增函数，那么、、中至少存在一个增函数 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，取反例得到结论；对于选项B，利用周期函数的定义求解即可得到结论；对于选项C，利用奇函数的定义求解从而得解；对于选项D，反例法得到结论. 【详解】对于选项A，假设，，， 满足函数、、的值域都为， ， 则函数的值域为，故选项A错误； 对于选项B，是以为周期的函数， ①， 是以为周期的函数， ②， 是以为周期的函数， ③， ①+②-③，得到，即， 则是以为周期的函数，同理可以得到，均是以为周期的函数，故选项B正确； 对于选项C，是奇函数， ①， 是奇函数， ②， 是奇函数， ③， ①+②-③，得到，即，则都是奇函数， 同理得到都是奇函数，故选项C正确； 对于选项D，取，，， ，， ， 都满足、、都是增函数， 但是、、均不是增函数，则选项D错误. 故选：BC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求的平方，利用计算求解. 【详解】， . 故答案为：. 13. 已知，，，则的最小值为__________. 【答案】25 【解析】 【分析】根据对数函数的运算、换底公式和基本不等式即可求出. 【详解】由题意得， 又，， ，，，， 根据基本不等式可得，， 当且仅当，即时等式成立， ，. 故答案为：25. 14. 设函数，若存在最小值，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围，综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 所以存在最小值，满足题意； 当时，在和上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得，则； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述，实数的取值范围为，则的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算求解； （2）将改下成，利用两角差的正弦余弦公式求解，再利用两角差的正切公式求解. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式 . 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的值及函数的解析式； （2）设函数在区间上的最小值为5，求实数的值. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的定义和性质求解. （2）利用二次函数的图像和性质求解，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以. 解得或. 当时，，在上单调递减，不合题意，舍去. 当时，，在上单调递增，符合题意. 所以，. 【小问2详解】 已知， 其图象是开口向上的抛物线，对称轴为. ， ①当，即时，在上单调递增， 则，解得，不满足，舍去； ②当，即时，在处取得最小值， 即， 整理得，解得，因，故； ③当，即时，在上单调递减， 则，解得，不满足，舍去. 综上可得，. 17. 已知函数的图象关于直线对称. （1）求的值； （2）若存在使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将整理成，由函数的图象关于直线对称得到，计算得到. （2）求出，，，由，得到的不等式，令，可得在上单调递减，从而求出的最小值，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 ， 而， ， 函数的图象关于直线对称，， ， ， 即 因不恒为0，故需使，即. 【小问2详解】 ， ， ， 故等价于（*）， ，， 故（*）即存在，使得成立， 令，， 函数和函数在上均单调递减， 在上单调递减，的最小值在处取得， 故，即的取值范围为. 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）判断函数在上的单调性并用定义证明； （3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 在上，单调递减，证明如下： 任取，，且， 则 ， 因为，，且，所以，且. 所以，即，则函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式的解法求解即可； （2）根据函数的单调性的定义证明即可； （3）令，转化问题为方程的两根分别介于和，进而求解即可. 【小问1详解】 由，即， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，作出函数的图象，如图： 由图象知时，有两解，时，有一解， 方程有三个不同的实数解， 等价于关于的方程有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一根大于0且小于1， 由，得， 化简得. 设， 若，则， 此时方程有两个相等实根1，不合题意，舍去. 因此方程的两根分别介于和， 则，解得， 则实数的取值范围为. 19. 已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合. （1）若，判断是否是中的元素，请说明理由； （2）若，，求的取值范围； （3）若是偶函数，且对任意，均有.已知当时，.请求出函数在时的解析式；并求函数在上至多有多少个零点. 【答案】（1）不是中的元素，理由见解析； （2）； （3），，10个零点. 【解析】 【分析】（1）求出和，利用定义即可得解. （2）由，则存在实数使得，且，求出当时的单调性和当时的单调性，分别按照 且， 且，讨论求解，当时，通过计算得到，利用二次函数求出的取值范围. （3）利用偶函数的定义和新定义求出在时的解析式，数形结合的方法得到函数在上至多有多少个零点. 【小问1详解】 由题意得，，则不是中的元素. 【小问2详解】 因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上严格单调递增， 当且时，在上严格单调递增， 故不存在这样的； 当且时，在上严格单调递增， 故不存在这样的； ，， 当时，，， ，， ，，， . 【小问3详解】 对任意，均有，， 是偶函数，， ，， ， 对任意，，， ，， ，，， ，，， 当时，，，， 可得，， ，， ，， 当时，， 为偶函数，其中，，， 但其对应的值均未知，画出函数图象如下： 首先说明， 设，则，， 则， 则，所以，所以,与假设矛盾， 所以，令，则， 当时，若， 此时有6个零点，故此时不超过6个零点； 当时，若， 则，则， 则，则, 此时有4个零点， 同时在，，， ，，之间取得6个零点，故此时最多有10个零点. 当时，若 ，故此时不超过7个零点. 当时，若，此时有6个零点， 故此时不超过6个零点，综上可知，最多有10个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $