函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数问题、切线问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数、切线问题专项训练 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数、切线问题专项训练 考点目录 恒成立求参数问题 能成立求参数问题 切线问题 考点一 恒成立求参数问题 例1．（25-26高三上·广东中山·月考）已知函数，若恒成立，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， ，显然单调递增且有唯一零点，令有， ∵当时，单调递减；当时，单调递增， 的极小值也是最小值为，而由题知恒成立， ，即有， 令时，，单调递减； 时，单调递增， 的极小值也是最小值为， ，又. 故选：A. 例2．（2026·四川绵阳·二模）已知对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】原不等式等价于，记， 注意到，这说明只要时，则当时也有. 故下只考虑时的情况，要使， 只需在恒成立， 令，. 因为，故，经验证，满足题意. 故选：D 例3．（25-26高三上·广东·月考）设函数为增函数，则的最大值为 . 【答案】 【详解】的定义域为，因为为增函数， 所以在上恒成立， 即当时，， 设，， 若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，则，解得. 因为题中要求a的最大值，所以对的情况不再进行讨论，故的最大值为. 故答案为： 例4．（25-26高三上·广东·月考）已知函数在区间单调递增，则实数的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为函数在区间单调递增， 则对任意的，恒成立，即恒成立， 令，，则， 由可得，得， 由可得，得， 所以函数在、上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为，故当时，. 所以，故实数的最小值为. 故答案为：. 例5．（2026·湖南永州·一模）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【详解】（1）由题意得， ①当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减； ②当时，令，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 若恒成立，则有， ①若，即时，则在上单调递减，则， 由得，此时前后矛盾，故舍； ②若，即，则在上单调递减，在上单调递增， 则， 由得，解得， 综上所述，的取值范围是. 例6．（25-26高二上·重庆·期末）已知函数令 (1)当时，求的单调区间及最值 (2)①讨论在上的单调性； ②当时，函数对任意的恒成立，求的取值范围？ 【答案】(1)单调减区间为；单调增区间；最小值为0，无最大值 (2)①答案见解析；② 【详解】（1）当时，，，， 令， 当，，在单调递减； 当，，在单调递增， 所以其单调增区间为，单调减区间为， 所以，无最大值. （2）①， ，， 当，，所以在上单调递增， 当，，当时，； 当，， 故在上单调递减，在上单调递增. ②当时，由①可知在上单调递增，且， 故当，； 当，故在上单调递减，在上单调递增， 故，所以. 变式1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，恒成立，即恒成立， 即恒成立， 令，则，则在上单调递增， 因恒成立，则恒成立， 即恒成立， 令，则， 由得；得， 则在上单调递增，在上单调递减，则， 则，得， 则实数的取值范围为. 故选：C 变式2．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对恒成立， 即对恒成立， 当时，不等式为恒成立， 当时，即为恒成立， 设，，则， 设，， 则， 所以函数在上单调递减，则， 即，所以函数在上单调递减， 而时，，且时，， 则时，， 所以时，，则. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 变式3．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由可得. 因为当时，恒成立，所以时，； 设，，所以为增函数， 又，所以，即. 当时，，， 所以， 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，即. 所以当时，恒成立， 的取值范围为. 故答案为： 变式4．（2026·吉林长春·一模）若函数，且恒成立，则实数 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以恒成立等价于恒成立， 当时，恒成立，等价于恒成立， 又函数在上单调递减，当时，， 所以； 当时，恒成立，等价于恒成立， 又函数在上单调递减，当时，， 所以； 综上所述：. 故答案为：. 变式5．（24-25高二下·福建福州·月考）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为1． (1)求的表达式； (2)若恒成立，求a的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 则切线的斜率，所以． （2）令． 因为恒成立，所以，在上恒成立， 因为，又的图象在定义域上是连续不间断的，所以是的一个极大值点，则， 又，所以，得， 下证当时，对任意恒成立， 令，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，即， 而，所以当时． 综上，若恒成立，则． 变式6．（24-25高二下·浙江宁波·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)求证：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）求导得， ①若，则，函数在上单调递增； ②若，由，得；由，得， 所以函数在上单调递增；在上单调递减. （2），即， 又，恒成立， 令，， 则的解为， 所以，，单调递增， ，，单调递减， ， 恒成立， ， 故实数a的取值范围为； （3）由（2）知时，， 即，又，所以， ， 令，， 令，， 当，解得， 所以当时，，单调递减， 时，，单调递增， ， 故，即， 则在上单调递增， ， 即时，， 故当时，． 考点二 能成立求参数问题 例1．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时不等式等价于： 设， 则， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以有两个正整数解2和3，则，解得， 故实数的取值范围是． 故选：C. 例2．（24-25高二下·山东青岛·月考）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，不等式显然不成立，当时，可得有解， 令，， 则恒成立， 所以在上单调递增， 所以，故. 故选：D. 例3．（24-25高二下·江西宜春·期中）若不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】. 【详解】由不等式有解，可得， 令， 则， 令，解得或（舍去）， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 且，所以. 所以的取值范围为. 故答案为：. 例4．（24-25高二下·福建龙岩·月考）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】设， 因为，在R上单调递增，所以在R上单调递增， 又，则是奇函数， 由，可得， 即， ，即在上有解， 令，则，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， ， ，即实数的取值范围为. 故答案为：. 例5．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：； (3)设，若存在实数使得，求的最大值. 【答案】(1)增区间为，减区间为； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）的定义域为， 所以当时，；当时，. 所以的增区间为，减区间为. （2）要证，即证，令，即证， ，令，则，所以在上单调递减，又， 当时，；当时，. 在上单调递增，在上单调递减， ，所以，即得证. （3）当时，，即存在满足题意； 当时，由（2）知， ， 此时恒成立，不满足题意； 综上，所以的最大值为. 例6．（24-25高二下·天津静海·月考）已知， (1)若对于任意的，都有成立，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数，若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对于任意的，都有成立， 则恒成立，即恒成立， 又，所以当时，恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以的取值范围为. （2）存在，使得成立， 即，使得成立， 所以有解， 又，所以当时，恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以的取值范围为. （3）存在，使得成立，即，使得，成立， 令， 则， 所以当时，恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以的取值范围为. 变式1．（24-25高二下·天津·月考）已知，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知函数在上的值域是函数在上的值域的子集， 而函数在上单调递增，所以函数的值域为， 函数的导函数为：， 当时，，所以函数在区间上单调递减， 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为， 而，， 所以函数在区间上的值域为， 所以， 实数a的取值范围为. 故选：D 变式2．（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得： ，即， 令，即存在使得， 构造，， 由，可得，由，可得， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 所以，即存在，使得， 参变分离得到， 令， 易得当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 最小值为，当时，， 所以的值域为：， 所以实数的取值范围是， 故选：B 变式3．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】不等式在上有实数解，即在上有实数解， 只需， ，， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 故答案为： 变式4．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】对任意都存在使成立， 而，所以， 即存在，使， 此时，，所以， 因此将问题转化为：存在，使成立， 设，， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以， 由题意，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 变式5．（24-25高二下·青海西宁·月考）已知函数. (1)证明：. (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）. 当时，； 当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 故. （2）由题意可得不等式有解. 因为， 所以 当时，等号成立，所以. 故的取值范围为 变式6．（25-26高二下·北京顺义·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数在区间上的单调性； (3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)递增； (3)存在，. 【详解】（1）函数，求导得， 则，而，所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，，因此， 所以函数在区间上的单调递增. （3）假定存在，使得成立，即存在，不等式成立， 令，求导得， 令，求导得，即函数在上递增， 则，即，于是，而， 因此，函数在上单调递增，，，则， 所以的取值范围是. 考点三 切线问题 例1．（25-26高二上·吉林·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（   ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【详解】由，求导得， 则曲线在点处的切线斜率为， 依题意，，所以. 故选：A 例2．（25-26高二上·湖南长沙·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，所以切线斜率， 所以切线方程为，即. 故选：A 例3．（25-26高三上·湖北·月考）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 【答案】C 【详解】设直线与曲线切于点， 与曲线切于点． 对于函数，则， 解得或（舍去）． 所以，即． 对于函数， 则， 整理得，所以，故． 故选：C. 例4．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 【答案】或 【详解】， 则设切点为， 可得过点的切线方程为， 代入点的坐标有， 整理为 因式分解为， 即， 解得或. ①当时，所求切线方程为， 整理为； ②当时，所求切线方程为， 整理为， 故曲线经过点的切线方程为或. 故答案为：或. 例5．（25-26高三上·广东广州·月考）若过点可作3条直线与函数的图象相切，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设切点为，因为，所以， 所以，所以切线方程为， 所以， 即． 令， 则． 令，则； 令，则或． 所以函数在和上单调递减，在上单调递增． 因为，且当时，， 且,所以函数的大致图象如图． 由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点，此时过点可作3条直线与函数的图象相切，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 例6．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】当时，，设切点为， 则切线斜率为，那么切线方程为， 将代入方程中解得，故切线方程为； 由于为偶函数，其图像关于轴对称， 故当时，切线方程为. 综上可知，切线方程为和. 故答案为：. 变式1．（25-26高三上·河南周口·月考）已知是定义在上的奇函数，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即对恒成立 所以，解得， 所以，所以， 所以，， 所以，所求切线方程为，即． 故选：B 变式2．（2025·湖南长沙·二模）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】求导函数得到，则切线斜率为 ， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 故选：D 变式3．（24-25高三上·山西·月考）曲线与的公切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率为， 可得切线方程为，即； 因为，则， 设切点坐标为，切线斜率为， 可得切线方程为，即； 由题意可得：，解得， 所以公切线的斜率为. 故选：A. 变式4．（25-26高三上·云南曲靖·期末）曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 ． 【答案】 【详解】对于， 当时,， 又，所以，切线斜率为，切点为； 则曲线在处的切线为， 令，则，设切点，由，解得， 则． 故答案为： 变式5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 ． 【答案】和 【详解】曲线的导数为， 设切点为，则切线斜率为， 切线方程为； 将代入切线方程，整理得， 因式分解得，解得或． 当（切点为），斜率为12，切线方程为； 当（切点为），斜率为3，切线方程为． 故答案为：和． 变式6．（24-25高二下·北京大兴·期中）已知函数.当时， ；若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，， 则， 由， 得， 设切点为，则，切线斜率, 切线方程为， 因为切线过原点， 所以， 整理得：， 因为切线有两条， 所以，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数、切线问题专项训练 函数与导数：恒成立求参数问题、能成立求参数、切线问题专项训练 考点目录 恒成立求参数问题 能成立求参数问题 切线问题 考点一 恒成立求参数问题 例1．（25-26高三上·广东中山·月考）已知函数，若恒成立，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·四川绵阳·二模）已知对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（25-26高三上·广东·月考）设函数为增函数，则的最大值为 . 例4．（25-26高三上·广东·月考）已知函数在区间单调递增，则实数的最小值为 ． 例5．（2026·湖南永州·一模）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围． 例6．（25-26高二上·重庆·期末）已知函数令 (1)当时，求的单调区间及最值 (2)①讨论在上的单调性； ②当时，函数对任意的恒成立，求的取值范围？ 变式1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为 . 变式4．（2026·吉林长春·一模）若函数，且恒成立，则实数 . 变式5．（24-25高二下·福建福州·月考）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为1． (1)求的表达式； (2)若恒成立，求a的值． 变式6．（24-25高二下·浙江宁波·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)求证：当时，． 考点二 能成立求参数问题 例1．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·山东青岛·月考）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·江西宜春·期中）若不等式有解，则实数的取值范围为 . 例4．（24-25高二下·福建龙岩·月考）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 例5．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：； (3)设，若存在实数使得，求的最大值. 例6．（24-25高二下·天津静海·月考）已知， (1)若对于任意的，都有成立，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数，若存在，使得成立，求的取值范围. 变式1．（24-25高二下·天津·月考）已知，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 ． 变式4．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数的取值范围是 . 变式5．（24-25高二下·青海西宁·月考）已知函数. (1)证明：. (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 变式6．（25-26高二下·北京顺义·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数在区间上的单调性； (3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 考点三 切线问题 例1．（25-26高二上·吉林·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（   ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 例2．（25-26高二上·湖南长沙·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·湖北·月考）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 例4．（24-25高二下·上海·月考）已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 例5．（25-26高三上·广东广州·月考）若过点可作3条直线与函数的图象相切，则实数的取值范围是 ． 例6．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为 . 变式1．（25-26高三上·河南周口·月考）已知是定义在上的奇函数，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·湖南长沙·二模）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高三上·山西·月考）曲线与的公切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·云南曲靖·期末）曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 ． 变式5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 ． 变式6．（24-25高二下·北京大兴·期中）已知函数.当时， ；若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $