奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题、数列新定义问题 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题、数列新定义问题专项训练 奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题、数列新定义问题专项训练 考点目录 奇偶数列问题 数列插项问题 数列恒成立问题 数列新定义问题 考点一 奇偶数列问题 例1．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)已知，求数列的前项和． 例2．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知为等差数列的前n项和，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 例3．（2025·天津河北·模拟预测）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 变式1．（24-25高三上·天津和平·月考）已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，，且是与的等差中项． (1)求：数列和的通项公式． (2)设，求． (3)若对于数列、，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求． 变式2．（24-25高三上·重庆·月考）已知数列的首项，且满足． (1)证明：为等比数列； (2)已知，为的前项和，求． 变式3．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知数列的前项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求的值. 考点二 数列插项问题 例1．（25-26高二上·贵州黔南·月考）已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)保持数列的顺序不变，在、之间插入个数：，，，，，且，，，，，，这个数组成一个等差数列，记.由，，，，，，，，，，，，，，组成的新数列记为. （i）求，，； （ii）记数列的前项和为，比较与的大小. 例2．（2025·陕西·模拟预测）已知等比数列中，，．在与之间插入个数，使得这个数依次构成一个公差为的等差数列． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在三个不同的正整数，，，且，使得数列中的三项，，成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知数列满足． (1)求证：为等比数列，并求出的通项公式； (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值． 变式2．（24-25高二下·安徽安庆·开学考试）已知等差数列是数列的前项和，满足；数列各项都是正数，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，数列的前项和为； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和． 变式3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，依次类推得到如下的三角形数表： 1          1 1        2       1 1     3     2     3    1 1   4   3  5  2  5  3  4   1 ...... 记表示上表中第行，第列的数，表示上表中第行所有数字之和（，）. (1)（i）求和； （ii）求数列的通项公式； (2)记集合，把集合中的元素从小到大排列，得到新数列为，若，求的最大值. 考点三 数列恒成立问题 例1．（2025·四川达州·一模）已知为等差数列，前项和为，且． (1)求； (2)设，数列的前项和为，若对任意，不等式成立，求实数的取值范围． 例2．（25-26高二上·河北·月考）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，求数列的前n项和及使的n的最小值. 例3．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）已知数列满足，，记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前项和为，求． (3)在第（2）问的条件下，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 变式1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）在数列，且满足；在数列中，记数列的前n项和为，满足. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 变式2．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知数列满足. (1)求证：为等差数列，并求出数列的通项公式. (2)设，记数列的前项和为. ①求； ②若，求的取值范围. 变式3．（25-26高二上·湖南·月考）已知数列满足． (1)求的值； (2)证明是等比数列，并求的通项公式； (3)设的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 考点四 数列新定义问题 例1．（25-26高二上·浙江杭州·月考） 欧拉函数 (n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如：，，，，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和3，2 的 因 数 1 和2，3 的 因 数 1 和3，所以 2和 3 互质；5 和7也是互质的. (1)求，； (2)猜测的值（不要求证明）； (3)令，求数列的前n项和． 例2．（25-26高三上·四川·月考）定义：若，且和是公比不相同的等比数列，则称为“混双等比数列”.已知数列满足，其中常数且. (1)证明：是等比数列； (2)设的前项和为，若是“混双等比数列”，求的值； (3)若“混双等比数列”满足的前项和为也是“混双等比数列”，证明：当时，. 例3．（24-25高二下·北京房山·期中）若无穷数列满足：对于任意正整数，如果，那么，则称数列具有性质. (1)已知数列具有性质，且，求； (2)已知无穷数列是首项为4，公差为的等差数列，无穷数列是首项为1，公比为2的等比数列，，判断数列是否具有性质，并说明理由； (3)各项均为正数的两个无穷数列.求证：“对任意，数列都具有性质”的充要条件为“数列是常数数列”. 变式1．（24-25高二下·安徽·期中）在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”. (1)判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”，并说明理由； (2)若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式. 变式2．（24-25高二下·安徽宿州·期中）对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数. (1)定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数； (2)在（1）的条件下，求数列的前项和. (3)已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：. （参考数据：） 变式3．（24-25高二上·北京密云·期末）给定数列：，，…，，其中，且各项均为正整数．若数列满足如下两个条件，则称数列具有性质． ①（）； ②在三个数，，（）中至少有一个数是数列中的项． (1)分别判断数列1，2，3，6和数列2，4，5，8是否具有性质；（直接写出结论） (2)若数列具有性质，试判断，，是否能同时为数列中的项，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题、数列新定义问题专项训练 奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题、数列新定义问题专项训练 考点目录 奇偶数列问题 数列插项问题 数列恒成立问题 数列新定义问题 考点一 奇偶数列问题 例1．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)已知，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，，解得； 当时，由，可得， 两式相减得，所以， 又因为，所以数列是首项为，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知，即， 所以， 设数列的前项和为， 所以 . 例2．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知为等差数列的前n项和，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由，可得， 解得，所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）得， 即 所以 . 例3．（2025·天津河北·模拟预测）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得 ， 解得 或，因为，故舍去， 所以，． （2）由（1）得，，所以， 令数列的前项和为，则， 即①， ②， 两式相减得： ， 所以. （3）设数列的前项和为 由，，得， 则，即； 故 . 变式1．（24-25高三上·天津和平·月考）已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，，且是与的等差中项． (1)求：数列和的通项公式． (2)设，求． (3)若对于数列、，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求． 【答案】(1), (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，， 由，则，故， 所以， 则，由，则， 又由是与的等差中项，所以， 即，解得或（舍去）， 故； （2）由 ， 则 ， 则， ， 两式相减得，， ， 则， 其中①， ② ②相减可得， ， 则， 所以， 则； （3）根据题意可得， 则， 故，则， 故当时，成立， 当时，成立， 所以共有项，共有个， 则. 变式2．（24-25高三上·重庆·月考）已知数列的首项，且满足． (1)证明：为等比数列； (2)已知，为的前项和，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由， 得， 又， 所以是以为公比，1为首项的等比数列． （2）由（1）可得， 即， 当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以， ， . 变式3．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知数列的前项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3) 【详解】（1）因为， 所以当时， ， 即时，， 又时，， 所以数列为首项为，公比为的等比数列 （2）由（1）知，所以， 又由，可得， 所以 . （3）因为，所以， 整理得到，解得， 所以n的值为. 考点二 数列插项问题 例1．（25-26高二上·贵州黔南·月考）已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)保持数列的顺序不变，在、之间插入个数：，，，，，且，，，，，，这个数组成一个等差数列，记.由，，，，，，，，，，，，，，组成的新数列记为. （i）求，，； （ii）记数列的前项和为，比较与的大小. 【答案】(1) (2)（i），，；（ii）. 【详解】（1）因为数列的前项和为，且，， 当时，，可得，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故. （2）（i）由等差数列的基本性质可得， 所以，， 所以， 故，所以，， 所以； （ii）将数列制成以下数阵： 则该数阵第的项数为， 在数列中的项数为， 假设位于数阵的第行， 则，解得，且， 故位于数阵的第行最后一项，即， 所以， 所以， 上述两个等式作差得 ， 故，所以. 例2．（2025·陕西·模拟预测）已知等比数列中，，．在与之间插入个数，使得这个数依次构成一个公差为的等差数列． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在三个不同的正整数，，，且，使得数列中的三项，，成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）设等比数列的公比为， 则， 又， 所以，所以， 所以． 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列， 则， 即， 则． （2）不存在，理由如下： 假设在数列中存在三项，，成等比数列， 则， 即，即． 因为， 所以， 即， 即， 联立 解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在三项，，成等比数列． 变式1．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知数列满足． (1)求证：为等比数列，并求出的通项公式； (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值． 【答案】(1)证明见解析， (2)214 【详解】（1）因为，则，且，故是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以． （2）因为与之间插入个1， 所以在中对应的项数为， 当时，， 当时，， 所以，，且． 因此． 变式2．（24-25高二下·安徽安庆·开学考试）已知等差数列是数列的前项和，满足；数列各项都是正数，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，数列的前项和为； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）等差数列，是数列的前项和，设公差为，由，， 可得，，解得，， 所以； 数列各项都是正数，且满足， ，． 可得数列为等比数列， 所以，解得或舍去， 所以. （2）因为， 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 所以，， 当为奇数时，， ， 当为偶数时，， 所以， . （3）：，，，，，，，，，，， 从到共有项， 所以，当时，， 故 ． 变式3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，依次类推得到如下的三角形数表： 1          1 1        2       1 1     3     2     3    1 1   4   3  5  2  5  3  4   1 ...... 记表示上表中第行，第列的数，表示上表中第行所有数字之和（，）. (1)（i）求和； （ii）求数列的通项公式； (2)记集合，把集合中的元素从小到大排列，得到新数列为，若，求的最大值. 【答案】(1)（i），；（ii）； (2)21. 【详解】（1）（i）由题设，第5行从左到右依次为，则， 第6行从左到右依次为，则， 所以，； （ii）由题设规律知，每一行的数字，或来自前一行，或来自前一行相邻两个数字的和， 其中，在前一行相邻数字求和过程中，第一个数字和最后一个数字只计算一次，其余数字都计算了两次， 因此发现递推关系为，则，且， 所以，即； （2）由 ， 由，则，则， 当时，，不合题意； 当时，， 即且符合题意； 所以，符合题意的数对有， 共有21个，即的最大值21. 考点三 数列恒成立问题 例1．（2025·四川达州·一模）已知为等差数列，前项和为，且． (1)求； (2)设，数列的前项和为，若对任意，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为. 所以，解得. 所以. （2）. 所以. 因为不等式对任意恒成立，则有对任意恒成立， 又，所以. 例2．（25-26高二上·河北·月考）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，求数列的前n项和及使的n的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)，最小值为4. 【详解】（1）在数列中，①， 又因为②,， 所以得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，， 因为对于任意恒成立，所以恒成立． 设，则， 当和时，，即； 当时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． （3）由（1）知， 所以． 所以， 所以 . 由，得，即． 因为，所以当时，； 当时，． 所以当时，，所以使的的最小值是4． 例3．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）已知数列满足，，记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前项和为，求． (3)在第（2）问的条件下，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）， ，又， ， ， ， 数列中任意一项不为0，， 数列是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由第（1）问知，，则， 所以①，②， 所以①-②可得：， 所以． （3）由，得， 化简得． 当为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以． 综上，的取值范围为． 变式1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）在数列，且满足；在数列中，记数列的前n项和为，满足. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解：由数列，且满足，可得， 即，所以数列是以，公差为的等差数列， 所以，所以， 又由数列的前n项和为，满足， 当时，，可得， 当时，， 两式相减，可得，即，所以， 即，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. （2）解：由（1）知：且，所以， 则， 可得， 两式相减，可得 ， 所以. （3）解：由不等式，可得 即对任意恒成立， 设，可得， 当时，可得； 当时，，即，即， 当为偶数时，可得，解得； 当为奇数时，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 变式2．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知数列满足. (1)求证：为等差数列，并求出数列的通项公式. (2)设，记数列的前项和为. ①求； ②若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2)①；② 【详解】（1）由. 则数列是以为首项，2为公差的等差数列， 则， 所以数列的通项公式为； （2）①由（1）得， 则. 于是， 上两式相减得： ， 所以. ②由，得.令， 所以， 所以不是数列的最大项，不妨设的第项取得最大值. 由，即解得， 即数列的最大值为，所以， 即的取值范围是. 变式3．（25-26高二上·湖南·月考）已知数列满足． (1)求的值； (2)证明是等比数列，并求的通项公式； (3)设的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． （3）由（2）得， ①当为正奇数时， ， 由，得， 即， 因为，所以对任意的正奇数都成立， 当时，有最小值1， 所以． ②当为正偶数时， ， 由，得， 即， 因为，所以对任意的正偶数都成立， 当时，有最小值，所以， 综上，可知，即实数的取值范围是． 考点四 数列新定义问题 例1．（25-26高二上·浙江杭州·月考） 欧拉函数 (n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如：，，，，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和3，2 的 因 数 1 和2，3 的 因 数 1 和3，所以 2和 3 互质；5 和7也是互质的. (1)求，； (2)猜测的值（不要求证明）； (3)令，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）不超过，且与其互质的数即为中排除掉剩下的正整数，则， 不超过，且与其互质的数即为中排除掉剩下的正整数，则. （2）表示相邻的三个正整数，其中与互质的为与两个， 故分别取可得中与互质的正整数个数为， 所以. （3）由以上可得，， 设数列的前n项和为， ， ， 两式相减得： ， 则. 例2．（25-26高三上·四川·月考）定义：若，且和是公比不相同的等比数列，则称为“混双等比数列”.已知数列满足，其中常数且. (1)证明：是等比数列； (2)设的前项和为，若是“混双等比数列”，求的值； (3)若“混双等比数列”满足的前项和为也是“混双等比数列”，证明：当时，. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）证法一：由，则， 则， 所以， 又， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 证法二：由，得，即， 则，， 则，即，， 显然满足上式，则， 所以， 因为，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列. （2）解法一：由（1）证法一可得， 又因为， 所以，即， 则， 因为是“混双等比数列”，所以，解得. 解法二：由（1）证法二可得， 所以， 即. 因为是“混双等比数列”，所以，解得. （3）证明：， 因为是“混双等比数列”，所以，且. 设，则. 因为，所以当时，是递增数列，； 当时，是递减数列，. 故当时，. 例3．（24-25高二下·北京房山·期中）若无穷数列满足：对于任意正整数，如果，那么，则称数列具有性质. (1)已知数列具有性质，且，求； (2)已知无穷数列是首项为4，公差为的等差数列，无穷数列是首项为1，公比为2的等比数列，，判断数列是否具有性质，并说明理由； (3)各项均为正数的两个无穷数列.求证：“对任意，数列都具有性质”的充要条件为“数列是常数数列”. 【答案】(1) (2)不具有性质，理由见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由，则，所以，. （2），， ， ，但，，所以数列不具有性质. （3）充分性： 当为常数列时，， 对任意给定的，只要，则由，必有，充分性得证. 必要性： 若对任意，数列都具有性质，则， 设函数，， 由，图象可得，对于任意的，二者图象必有一个交点， 所以一定能找到一个，使得， ，， 故，所以是常数列，必要性得证. 变式1．（24-25高二下·安徽·期中）在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”. (1)判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”，并说明理由； (2)若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)不是，理由见解析 (3) 【详解】（1）由题意得，， 则1，2，3，7，43是“数列”. （2）由，得， 由，得，而，∴不是“数列”. （3）设数列的公比为. 由，得， 由，得， ∴，解得. 由，得， 由，得， ∴，∴，∴. 由，得， 则， 解得，∴，∴，∵，∴. 变式2．（24-25高二下·安徽宿州·期中）对于无穷数列和函数，若，则称是数列的生成函数. (1)定义在上的函数满足：对任意，有，且；又数列满足.求证：是数列的生成函数； (2)在（1）的条件下，求数列的前项和. (3)已知是数列的生成函数，且.若数列的前项和为，求证：. （参考数据：） 【答案】(1)证明见解析. (2). (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知：，， 又，，即， 所以是数列的生成函数； （2）由（1）知：，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， ，， 所以 ， 两式相减得：， 所以. （3）由题意知：，， ， ， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 又，，， 则当时，， 即，. 变式3．（24-25高二上·北京密云·期末）给定数列：，，…，，其中，且各项均为正整数．若数列满足如下两个条件，则称数列具有性质． ①（）； ②在三个数，，（）中至少有一个数是数列中的项． (1)分别判断数列1，2，3，6和数列2，4，5，8是否具有性质；（直接写出结论） (2)若数列具有性质，试判断，，是否能同时为数列中的项，并说明理由． 【答案】(1)数列具有性质，数列不具有性质 (2)2，4，7不能同时为数列中的项，理由见解析 【详解】（1）数列具有性质，数列不具有性质． 数列1，2， 3，6，因为，满足①； 当时，，满足②， 对于其他组合，同理可以验证在三个数，，中至少有一个数是数列中的项， 所以数列具有性质； 数列2，4，5，8，因为，满足①； 当时，，， 这三个数都不是数列中的项，所以不满足②， 则数列不具有性质． （2）2，4，7不能同时为数列中的项． 理由如下：假设2，4，7同时为数列中的项， 又因为数列具有性质， 所以由②可知，8，14，28中至少有一个是数列中的项． 所以数列的最后一项，且其项数大于或等于，即． 不妨取数列的最后四项，，，， 由①可知，． 对于，，，由②可知，有成立． 对于，，，由②可知，有成立． 所以，即成立，这与①矛盾． 所以2，4，7不可能同时是数列中的项． 2 学科网（北京）股份有限公司 $