精品解析：河南省实验中学2025-2026学年高一上学期期末试卷数学试题

河南省实验中学2025—2026学年上期期末试卷高一数学 命题人：杨路路、成肖依 审题人：张亚男 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则中元素的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. （ ） A. B. C. D. 3. 幂函数在上是减函数，则的值为（ ） A. 4或 B. C. 或1 D. 4. 将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的最小值是（　　） A. 5 B. 25 C. 36 D. 64 6. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 7. 设是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知是上的偶函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 已知，则的最小值为5 C. 与表示同一函数 D. 函数（，且）的图象过定点 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 11. 已知函数，函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 不存在实数，使得 C. 若恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则的最大值是______. 13. 计算=__________ 14. 已知函数，则使得不等式成立的的取值集合为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求． （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合． （2）已知，求的值． （3）已知，且，求的值． 17. 已知，二次函数，且的解集为． （1）求实数的值． （2）求在上的值域． （3）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 18. 已知函数且是定义在上的奇函数. （1）求的值. （2）求函数的值域. （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数的定义域为集合，若都有，其中为常数且，则称函数为“距”增函数． （1）若函数，试判断函数是否为“1距”增函数，并说明理由． （2）若函数为“距”增函数，求实数的取值范围． （3）若函数为上的“1距”增函数，求的最小值（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2025—2026学年上期期末试卷高一数学 命题人：杨路路、成肖依 审题人：张亚男 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则中元素的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的运算，可得答案. 【详解】由，则. 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式化简求值即可． 【详解】． 故选：D． 3. 幂函数在上是减函数，则的值为（ ） A. 4或 B. C. 或1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数是幂函数得到，求得的值，再代入验证. 【详解】因为函数是幂函数，所以， 解得：或， 当时，，满足函数在区间是减函数， 当时，，满足函数在区间是减函数. 故选：C 4. 将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象. 【详解】， 函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度， 则C选项符合所得函数图象. 故选：C. 5. 已知，且，则的最小值是（　　） A. 5 B. 25 C. 36 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为，所以， 即，解得（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 6. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解. 【详解】令,所以， 当，由于，故D正确，ABC均错误， 故选：D 7. 设是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数性质可得，结合对数运算法则得到答案. 【详解】，因为为奇函数，故， 所以. 故选：D 8. 已知是上的偶函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件推得函数的对称轴为直线，判断2为函数的一个周期，结合上的函数的单调性作出两个函数的简图，即可求得交点个数. 【详解】由可得，即函数的图象关于直线对称，且， 又是上的偶函数，则，故得，即函数的一个周期为2. 因在上单调递增，且，，故可以作出函数与的示意图如下： 由图可知，与函数交点个数为10. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 已知，则的最小值为5 C. 与表示同一函数 D. 函数（，且）的图象过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】取特殊值判断A，利用基本不等式判断B，根据函数的定义域不同判断C，根据指数型函数过定点判断D. 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，由知，则， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，因为，定义域为，的定义域为， 定义域不同，所以不能表示同一函数，故C错误； 对于D，由函数可知，当，即时，， 即函数图象恒过定点，故D正确. 故选：BD 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用周期求出，利用“五点法”求出，进而求出,再利用诱导公式，可判断A；计算的值看是否取得最值，即可判断B；利用伸缩变换的规则即可判断C；利用平移变换的规则求出解析式，再用奇偶函数的定义判断D即可. 【详解】由题意得，，是“五点”中的“第三点”，故， 所以，故A正确； ，故B错误； 图象上的所有点的横坐标缩短为原来的变为，故C正确； ，，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 不存在实数，使得 C. 若恒成立，则实数的取值范围为 D. 若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数以及对数函数的性质即可求解A，根据即可求解B，根据二次函数的性质即可求解C，根据函数图象，结合对数的运算即可求解D. 【详解】对于A，由于,，故函数的值域为，A正确， 对于B，当时，有，故B错误， 对于C， 由于，要使恒成立，则或，解得，故C正确 对于D， 令，则或， 作出的图象如下：要使有5个零点，如图，则， 由于，同理可得， 故，故D正确， 故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，则， 故，当且仅当，即时取到等号，故最大值为， 故答案为： 13. 计算=__________ 【答案】18 【解析】 【分析】 首先把根式化为分数指数幂，然后利用幂的运算法则求解即可 【详解】原式 故答案为：18 【点睛】此题考查根式、指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题. 14. 已知函数，则使得不等式成立的的取值集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式，解不等式可得答案. 【详解】因为函数的定义域为， 且，所以函数为偶函数； 当时，，因为当时，为增函数，为减函数， 所以在上为增函数，在上为减函数. 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，分别求出，结合交集的概念即可得解； （2）由题意得，分是否是空集进行分类讨论，分别列出不等式即可求解. 【小问1详解】 由， 得或， 由，得， 所以或 【小问2详解】 由，得. ①当，即时，，满足，符合题意. ②当，即时，若满足，则有，解得. 综上所述，实数取值范围为. 16. （1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合． （2）已知，求的值． （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）①； ②. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）由终边相同的角的集合写出角所在的集合；（2）根据二倍角公式，辅助角公式化简函数，代入求值；（3）先对平方，求出，然后对平方求解. 【详解】（1）①； ②. （2）， 所以. （3）因为， 则， 所以， ， 因为，所以. 17. 已知，二次函数，且的解集为． （1）求实数的值． （2）求在上的值域． （3）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的关系计算可得； （2）令，换元后，利用二次函数的单调性求解值域即可； （3）由（1）知，得方程等价于方程，令，即的两个零点满足分析可得. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以的两根为， 所以， 解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 令，由可知，， 设，， 因为二次函数对称轴方程为， 所以在上单调递减， 所以， 所以在上的值域为. 【小问3详解】 由， 得方程等价于方程， 令，即的两个零点满足， 所以必有， 即，解得， 所以实数k的取值范围是 18. 已知函数且是定义在上的奇函数. （1）求的值. （2）求函数的值域. （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，令列出方程，求出的值； （2），利用函数性质求出值域． （3）由判断出，再把分离出来转化为，对,时恒成立，利用换元法：令，代入上式并求出的范围，再转化为求在,上的最大值． 【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数， ，解得． 又， 所以时，为奇函数，故. 【小问2详解】 由（1）得， 又， ， ， ， 函数的值域， 【小问3详解】 由（1）可得， 当时，， 当时，恒成立， 则等价于对,时恒成立， 令，，即，当时恒成立， 即,由于在,单调递增，故在,上单调递增， 当时有最大值0，所以， 故所求的范围是：． 19. 已知函数的定义域为集合，若都有，其中为常数且，则称函数为“距”增函数． （1）若函数，试判断函数是否为“1距”增函数，并说明理由． （2）若函数为“距”增函数，求实数的取值范围． （3）若函数为上的“1距”增函数，求的最小值（用含的式子表示）． 【答案】（1）函数为“1距”增函数，理由见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，利用作差法得到，故为“1距”增函数； （2）对，，变形得到，因为，所以时，所以恒成立，由函数单调性得到当时，取得最小值，最小值为，故需，解得，得到答案； （3）由题意可知，，由题意得，有，进而得到不等式，定义法得到函数单调性，当时，，由复合函数单调性可得，的最小值为. 【小问1详解】 函数为“1距”增函数，理由如下： ，故， 故，故为“1距”增函数； 【小问2详解】 为“距”增函数， 所以对，， 所以， 即，因为，，所以，， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为， 若对成立，需，解得， 因此实数的取值范围为； 【小问3详解】 由题意可知，，即，由于，故； 因为函数为上的“1距”增函数， 则，有，， 即，即， 所以，，解得，则； ， 设，任取，， 则， 在R上单调递增，，故，又， 因为，所以，故， 所以在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递增， 所以， 的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $