精品解析：福建省福州华伦中学2025-2026学年上学期八年级期末考数学试卷

2025－2026学年第一学期八年级期末适应性练习 数学科 （时间：120分钟，满分150分） 一．选择题（共10小题） 1. 当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，正确理解相关内容是解题关键．根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A，B，C选项中的图标都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 已知某种梅花花粉的直径约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 若是最简二次根式，则a的值可以是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵时，，根号下有分母，不是最简二次根式； ∵时，，可化简为整数，不是最简二次根式； ∵时，，可化简，不是最简二次根式； ∵时，，被开方数2不含分母且不含完全平方因数，是最简二次根式． 故选：B． 4. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为2的整式方程）判断即可． 【详解】解：A．符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； B．含有两个未知数，不是一元二次方程； C．是分式方程，不是一元二次方程； D．未知数的次数为1，不是一元二次方程； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键． 5. 如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形面积的计算，已知对角线长度，由菱形面积等于对角线乘积的一半做计算即可． 【详解】解：，， ． 故选：B． 6. 已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 7. 如果分式中，，的值都变为原来的一半，则分式的值（ ） A. 不变 B. 变为原来的2倍 C. 变为原来的 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质．将和都变为原来的一半代入分式，计算新分式的值并与原分式比较. 【详解】解：， 即分式的值变为原来的2倍 故选：B． 8. 如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出的长，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出的长，由此即可求出的长． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知三角形中位线等于第三边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 9. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 【答案】C 【解析】 【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E， 则DE=10，OE=CD=1，AE=． 在Rt△ADE中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 10. 小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则（ ） A. 64 B. 72 C. 65 D. 73 【答案】D 【解析】 【分析】找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故选：D． 【点睛】此题考查了数字类规律，找出题中的规律是解本题的关键． 二．填空题（共6小题） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不能为零，因此此题可根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：由分式有意义的条件，分母，解得； 故答案为． 12. 已知一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的边数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，利用正多边形的外角和为360°，每个外角相等，计算边数即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，每个外角为， ∴边数为：， 故答案为：． 13. 若，则关于的一元二次方程必有一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】由a﹣b+c=0可得b=a+c，然后将b=a+c带入方程，最后用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵a﹣b+c=0， ∴b=a+c，① 把①代入方程ax2+bx+c=0中， ax2+（a+c）x+c=0， ax2+ax+cx+c=0， ax（x+1）+c（x+1）=0， （x+1）（ax+c）=0， ∴x1=﹣1，x2=﹣（非零实数a、b、c）． 故答案是：-1． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解答本题的关键． 14. 如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点A，B，C是网格线交点）． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据网格作出等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：取格点D，则， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：45． 15. 若，则的值是______ ． 【答案】7 【解析】 【分析】直接利用非负数的性质得出，的值，进而代入得出答案． 【详解】， ， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键． 16. 如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接，先求出，证明四边形是矩形得，证明和全等得，再证明四边形是平行四边形得，，进而得，，由此得是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据得当为最小时，为最小，然后根据“两点之间线段最短”得，据此可得的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵点在上且， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵于点， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的难点． 三．解答题（共9小题） 17. 解方程：（公式法） 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．根据题意，先化简分式，再计算出的值代入即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 19. 如图所示，在菱形中，点，分别在，上，且，求证：． 【答案】 证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键． 20. 已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． （1）求的值； （2）用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】（1） （2）不能围成这两个正方形 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． 【小问1详解】 解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴ ∴不能围成这两个正方形． 21. 如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． （1）用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，连接，求的度数． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）． 【解析】 【分析】本题考查作图—作三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，翻折变换，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，连接，，，即可； （2）证明是等边三角形，求得，，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，得，根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵沿着折叠得， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，， ，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 22. 洪崖洞是重庆的网红打卡地，在该景点有一旅游纪念品专卖店，最近一款印有洪崖洞3D图案的书签销售火爆，该专卖店第一次用800元购进这款书签，很快售完，又花1400元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了0.5元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． （1）求该商店两次购进这款书签各多少个？ （2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于季节的影响，游客量减少，专卖店决定将剩下的书签打八折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于2472元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 【答案】（1）第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个 （2）售价至少为8元 【解析】 【分析】（1）设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签2x个，由题意：每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了0.5元，列出分式方程，解方程即可； （2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，由题意：要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于2472元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签2x个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个． 【小问2详解】 设第一次销售时每个书签的售价为m元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 23. 关于的一元二次方程． （1）求证：； （2）若是的一个根，判断的符号． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义． （1）根据已知等式得出，代入进而根据，得出式子的符号，即可得证； （2）根据一元二次方程的解的定义可得，代入，结合条件化简并判断符号，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的根， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 综合与实践：主题：纸的研究 学习小组在研究生活中常用的纸的规格，并了解到工业上对关于纸张规格的一些知识．书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，矩形纸张对折后的小矩形的长与宽的比值与原矩形的长与宽的比值相等．如常用的的纸张长与宽的比值都相等． 系列中最大的规格为，对半裁开得到，再对裁得到，，以此类推得到，如图1所示． [初步研究]查阅资料知纸张的规格如下： 规格 长 宽 长与宽的比值（保留两位小数） （1）①请计算纸的长宽比，通过查阅资料，可知系列纸的长宽比值接近一个无理数．请你猜想这个数是_____； ②若纸的长为，宽为，求证． （2）如图2所示，在（1）的条件下矩形，，，点是上一点，将沿折叠得到，当时，求的长． 【答案】（1）①； ②证明：∵纸的长为，宽为， ∵折叠， ∴纸的长为，宽为， ∵矩形纸张对折后的小矩形的长与宽的比值与原矩形的长与宽的比值相等， ∴， ∴，即， ∴． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． （1）①根据表格数据猜想；②根据对折后的小矩形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等，构建关系式解决问题即可； （2）延长、交于点，证明，，即可解决问题； 【小问1详解】 解：∵表格中长与宽的比值都为， ∵， ∴猜想n； ②略 【小问2详解】 如图，延长、交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵在中， 根据勾股定理：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图平行四边形，对角线，交于点，的平分线交延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，连接; ①若，求平行四边形的面积； ②设，试求与满足的关系． 【答案】（1） 证明：∵平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴． ∴． ∴． （2）； 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质、角平分线及等边三角形的判定即可证明； （2）①由，得为等边三角形．由得点C是的中点，即；再由勾股定理求得，即可求得平行四边形的面积； ②证为等边三角形，再证明，则有，从而得，由此即可求得m与k的关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴为等边三角形． ∵， ∴， ∴． 在中，， 由勾股定理得：，即， ∴． ∴平行四边形的面积为． ②∵为等边三角形，， ∴， ∴为等边三角形． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些知识是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期八年级期末适应性练习 数学科 （时间：120分钟，满分150分） 一．选择题（共10小题） 1. 当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 已知某种梅花花粉的直径约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若是最简二次根式，则a的值可以是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 4. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 6. 已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为( ) A. B. C. 或 D. 或 7. 如果分式中，，的值都变为原来的一半，则分式的值（ ） A. 不变 B. 变为原来的2倍 C. 变为原来的 D. 以上都不对 8. 如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ） A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 10. 小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则（ ） A. 64 B. 72 C. 65 D. 73 二．填空题（共6小题） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________________． 12. 已知一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的边数为______． 13. 若，则关于的一元二次方程必有一个根为______． 14. 如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点A，B，C是网格线交点）． 15. 若，则的值是______ ． 16. 如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 三．解答题（共9小题） 17. 解方程：（公式法） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图所示，在菱形中，点，分别在，上，且，求证：． 20. 已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． （1）求的值； （2）用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 21. 如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． （1）用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，连接，求的度数． 22. 洪崖洞是重庆的网红打卡地，在该景点有一旅游纪念品专卖店，最近一款印有洪崖洞3D图案的书签销售火爆，该专卖店第一次用800元购进这款书签，很快售完，又花1400元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了0.5元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． （1）求该商店两次购进这款书签各多少个？ （2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于季节的影响，游客量减少，专卖店决定将剩下的书签打八折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于2472元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 23. 关于的一元二次方程． （1）求证：； （2）若是的一个根，判断的符号． 24. 综合与实践：主题：纸的研究 学习小组在研究生活中常用的纸的规格，并了解到工业上对关于纸张规格的一些知识．书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，矩形纸张对折后的小矩形的长与宽的比值与原矩形的长与宽的比值相等．如常用的的纸张长与宽的比值都相等． 系列中最大的规格为，对半裁开得到，再对裁得到，，以此类推得到，如图1所示． [初步研究]查阅资料知纸张的规格如下： 规格 长 宽 长与宽的比值（保留两位小数） （1）①请计算纸的长宽比，通过查阅资料，可知系列纸的长宽比值接近一个无理数．请你猜想这个数是_____； ②若纸的长为，宽为，求证． （2）如图2所示，在（1）的条件下矩形，，，点是上一点，将沿折叠得到，当时，求的长． 25. 如图平行四边形，对角线，交于点，的平分线交延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，连接; ①若，求平行四边形的面积； ②设，试求与满足的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $