湖北沙市中学2025-2026学年度高三上学期2月月考数学试题

2025—2026学年度上学期2023级 2月月考数学试题 命题人:高三数学组审题人:高三数学组 考试时间:2026年2月2日15:00一17:00 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.复数-=1-i,则川z= A.1 B.V2 C.2 D.4 2.己知集合A={x|-1<x<1},B={x|log2x<1},则AnB= A.(0,1) B.(-1,4) C.(0,2) D.(0,4) 3.若直线l:2x+y-1=0与直线L2:-y=0(k∈R)平行,k= A.、1 B.I C.-2 D.2 2 2 4.已知tan 22,则ama= A.-1 B.1 c 5.已知函数f(x)=x(x+1)x+2)+3)x+4),则f0)= A.0 B.6 C.12 D.24 6.设函数f(x)=asinx+bcosx,则“fx)的值域为[-1,1]”是存在实数0,使得 f(x)=sinc+8)”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知抛物线E:y2=4x的准线为l,P为E上的一点,A⊥1于点A,直线PB与圆 C:(x-4)+y2=1相切于点B,若A|=PB|,则点P的横坐标为 A B C.3 D.7或3 21 8.三棱锥ABCD中,∠B1D=BCD-号AB=AD=E,二面角A-BD-C的平面角 为锐角,则三棱锥A-BCD的外接球球心到平面ABC的距离最大值为 A. B.3 c.21 D.V 2 3 7 2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.己知函数fx)=lnr-x+1 则 x-1 A.f(x)的定义域为(0,+∞) 5 B.fw)的图像在(2,f(2)处的切线斜率为 2 C.f()+fx)=0 1 D.f(x)有两个零点x,x2,且x1x2=1 10.“水韵江苏 家门口享非遗”展示活动中,主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非 遗代表性项目,并别出心裁地划分为“指尖非遗“潮玩非遗舌尖非遗“康养非遗”四 大主题板块.甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验,每个主题都恰有 1人体验,记事件A=“甲体验指尖非遗”,A,=“甲体验潮玩非遗”,A,=“乙体验舌尖 非遗”,则 A.A1与A2对立 B.P C.A1与A3相互独立 D.P4,A)=3 12 11.己知集合U={1,2,,20},用X表示集合X的元素个数,定义: (xtke)=taa)(a<a),P=e(12). 下 8-lxye-6<<,.2=c,-6.yene包2,,2=2 、Q则 A.l2=20 B.P.l>B C.P<3 D.6<2<8 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.己知函数f(x)的定义域为R,满足f(r+1)=2f(r)且f(0)>0,写出满足条件的一个函 数解析式f(x)= 13.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(cos0,sim8),B(-sim0,cos8),点P(x,y)满足: 0.0i=1,0.0丽=2.若9-牙,则x= ;若0∈[0,2 ),则xy的最大值 为 (第一空2分,第二空3分) 14.已知椭圆C:二+y'=1的左焦点为F,点4(45,3),若以A,F为焦点的双曲线B与 椭圆C交于点P,则双曲线E的离心率的最大值为一 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤。 15.(13分) 记 ABC的内角A,B,C的对边分别为4b,c,已知c=2a,且sinC=cosA. (1)求sinC; (2)若b=√5,求a 16.(15分) 己知等差数列{a}的前n项和为S,4+1=2a,+2,且 为等差数列, (1)求{an}的通项公式: (2)在2号与2号之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为d.(d>0)的等差 数列,记数列 的前n项和为Tm,求证:Tn<3. 17.(15分) 已知函数f(x)=CoSx+xSinx,x∈(- ,m). (1)求f(x)的单调区间和极小值: (2)证明:当x∈[0,四时,2f(x)ex+e 3 18.(17分) 已知双由线c若-若-1a>06:0的右先点为R20,新近线方程为)士。 (1)求C的方程: (2)已知过F的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A,B. ()记线段AB的中点M的轨迹为曲线W,请求出W的方程,并说明W的形状: (i)若点P(1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x>x2>0,y>0.过P且斜率为-√3的直线 与过Q且斜率为V3的直线交于点M请从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一 个成立:①M在AB上:②PQAB;③MAMB|. 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分 19.(17分) 如图1,直三棱柱ABC-DEF的底面是边长为2的等边三角形,且AD=4.图2所示 的多面体红,可视为将图1中的 DEF在其平面内绕其中心逆时针旋转60 后,记为 A1BC1,并重新连接AB,BB,AA,B1C,CA,CC得到 A 图1 图2 (1)如图2,证明:A1,B,C,C四点共面: (2)求多面体T的体积: (3)若点P在多面体T的棱BB1上,求AP与平面A1BC所成角的正弦值的最大值, 并求出此时点P在BB1上的位置. 高三年级2月月考数学参考答案与评分细则 1 2 J 5 8 9 10 B A C D D C B D BCD BD 11 ABD 12.2(答案不唯一) 13.2 (第一空2分,第二空3分)14.2 7。【详解】由题意得,抛物线E:y2=4x的准线方程为x=-1,焦点坐标为(1,0), 圆C:(x-42+y2=1的圆心C(4,0),半径r=1, 设P(x,),则y6=4x(x。≥0): :PA⊥1,根据抛物线的定义可得PA=x。+1, 又直线PB与圆C:(c-4)2+y2=1相切于点B,PB=√PC-r2, 又|PC=Vx-4+,2,P到=V,-4'+2-1 又PA=P,x,+1=,-4+2-1,即(+1=(-4}'+%2-1, 把84,代入,得(化+-(化-4+41,解得飞=子 3 8。【详解】如图,取BD中点O,连接OA,OC, 因为三棱锥A-BCD中,BAD=∠BCD-号AD=AD=5, 所以 BAD与 BCD均为直角三角形,且BD为公共斜边, 所以OA=OC=OB=OD=1,即点O为三棱锥A-BCD的外接球球心,半径为1, 设点D到平面ABC的距离d,球心O到平面ABC的距离d 所以球心O到平面ABC的距离等于点D到平面ABC的距离的一半,即d=d, 因为二面角A-BD-C的平面角为锐角, 所以点D到平面ABC的距离d≤AD=√2,当且仅当AD⊥AC时等号成立, 所以球心O到平面ABC的距离d=d≤4D=2 2 21 2 即三棱锥A-BCD的外接球球心到平面ABC的距离最大值为 2 11.【详解】因为x,y∈U={1,2,,20},则2≤x+y≤40,0≤x-y≤19, 可知i=39,j=20,且an=m+1,me{1,2,,39},b,=n-1,ne{1,2,,20}, m,1≤m≤20 则=1=2a=20,B=19.P=1,可得240-m21≤m≤39 [20,n=1 则12-20,2=38,2=36,2a=2,可得P=42-2n.2≤n≤20 即2=20,P=4,=3,可得P>,故AB正确: +… 1 192 则P=2t+ 京,又出为+宁+器 1 1 111 名}日0动6品 当6≤m≤19,则凉>n可mm,则空证>石气十方8 可得1>5269,11-56895400-3 3600620360036002 202>3+1 1 所以P=2t 0>3,故C错误: 对于D:因为Q=觉111 1) 11.1 +19十20=4+20 1 7 7 则、 。2+208202<8,又因为t>1,则日=8-,20,>8-,20=87 +1 >6, ,1 ,1 1+1 101 4+202 202 4202 所以6<<8,故D正确; 14.【详解】设椭圆C的半长轴长、半焦距长分别为a,C,双曲 线E的半实轴长、半焦距长分别为4,C,则4=2,c,=V4-1=√3, 可知椭圆c的左焦点为F(-V5,0),右焦点为(5,0): 且PF+P=2a=4,即PF=4-P, 因为AF=45+5 +32=22i,Al=45-5+3=6, 则c,=V21>2+V5=4+G,且线段AF的中垂线为双曲线E的一条对称轴, 可知双曲线E的右支与椭圆不相交, 因为PA-PF=PA-(4-P)=2a2,可得2a=PA+PE-4≥AE-4=2, 当且仅当点P在线段A耳上时,等号成立, 即4,≥1,则双曲线B的离心率e=2≤i,所以双曲线B的离心率的最大值为21, 15.(13分) 1 (1)因为c=2a,由正弦定理得sinC=2sinA,即simA=二simC, (2分) 2 再由cosA=smc及装木关系武得sncy+Smc=1,得mC-25或mnC-2 J (4分) 因为0<A<元imA>0,所以nc=2y5(合去),即simc=25 5 5 故sinc=2V5 (5分) 2》由1)知smc=25,所以co45mc25 再由余弦定理d=b2+c2-2 bc.cosA,且b=√5,c=2a, 得a-5+4d-u525,3a-a+5=0,解得a-1或a月 (8分) 当a=1时,c=2a=2,b=√5,此时b2=a2+c2, ABC为直角三角形,符合题意; (10分) 当a=时,c=2a1”,b=5,此时c>d+b, 1BC为钝角三角形,符合腮意: 3 3 数a=1或a-月 (13分) 16.(15分) (1)因为等差数列{a}中,a,=4+(n-1)d,又am1=2a.+2, 所以a+2d=2[4+(n-1)d]+2,即a+2=2d①, (2分) 因为n+1 为等差数列,所以S-S-S2-S1 n+2n+1n+3n+2' 令n=1时, 位立3$即2+d80+02a4则ad②,4你 3243 324 结合①②,解出d=2,41=2,则a,=2+(n-1) 2=2n, (6分) 所以{an}的通项公式为a=2n. (7分) (2)由题设得4=2-22-2-2,即"11 On+l n+2-1n+1n+1 dn2"1 11 所以T= dd 422++n+1 ,123 2①, (8分) 23, (9分) 1 1,1 ①@得:=1+2++ +12+1, 2=1+22(2 n+13n+3 2 2= (10分) 2 所以T=3-+3 2” (12分) 因为mEN,所以0,所以<,博E. (15分) 17.(15分) (1)函数f(x)=Cox+xsinx,xe(- ,m),求导得f'(x)=-sinx+sinx+xCOSx=xCOSx, (2分) 当<<一罗时,了>0,f9单调递增:当号<<0时,<0,(单调递减: (4分) 当0≤号时,f)≥0)单调遥增:当号<x<时,了0,f)单调递减。 2 (6分) 所以f()的递增区间为( t受Q孕:递减区间为(受,.(心.()的极小值为0=L (7分) (2)证明:当x∈[0,)时,令F(x)=e+e-2(cosx+xsin, 求导得F'(x)=e-ex-2xc0Sx≥e-ex-2x, (9分) 令p(x)=e-e-2x,求导得p(x)=e+ex-2≥2We.ex-2=0, (11分) 函数p(x)在[0, )上单调递增,则(x)≥p(O)=0,F'(x)≥0,F(x)在[0,D)上单调递增, 因此F(x)≥F(0)=0,所以2f(x)≤e+ex (15分) 18。(17分) (1)右焦点为2,0),c=2,渐近线方程为y= 5x,名-5,b=5, c2=d+6=4=4a=1,6=B.C的方程为:r子1 (4分) 4 (2) (i) 设直线AB的斜率为k,则AB:y=k(x-2): 将AB与y=V3x联立,解得A(2水2V3 (5分) k-V3 k-V3 与y=-V3x联立,解得B(,2-2V3k (6分) k+V3 k+V3 2k2 求AB中点的坐标:x。= (7分) 0k2-3 消去参数k,可得W的方程为3x。-y-6x。=0; (9分) 整理得3(。-1)2-y=3,这是一个以(1,0)为中心,实轴为2,虚轴为2V3的双曲线(10分) (i)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零,直线AB的斜率不为零, 若选由①②推③或选由②③推①:由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零; 若选①③推②,则M为线段AB的中点,假若直线AB的斜率不存在,则由双曲线 的对称性可知M在x轴上,即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称,与从而 x1=x2,己知不符: 总之,直线AB的斜率存在且不为零 设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k(x-2), 则条件①M在AB上,等价于y。=k(x。-2)台。=k2(x。-2); 两渐近线的方程合并为3x2-y2=0,联立消去y并化简整理得:(k2-3)x2-42x+4k2=0 设426)线段中点为w(5,)则w=当5=2 2232少w=k(xw-2)=63, 设M(xo,y),则条件③AM=BM等价于(x,-x)+(。-y)=(x,-x)+(以。-y), 移项并利用平方差公式整理得: (s-x)儿2x,-(5+x]+(-y)[2。-(3+y】=0, [2-氏++是2-0-小=0即飞+6小0. 8k2 即飞,+=2-3 由题意知直线PM的斜率为-√5,直线QM的斜率为√5, ∴由y-。=-5(5-) -。=V5(化2-x), y- =-V5(+x2-2x), 所以直线PQ的斜率m=乃-业。-5(5+5-2x) x-x x-x 直线PM:y=-V5(x-x)+y,即y=为+V3x。-V5x, 代入双曲线的方程3x2-y2-3=0,即(V5x+y)(3x-y)=3中 得:+V3x)儿23x-(,+V3x)】=3, 解得P的横坐标:,= 13 3 23x6,…m= :条件②PQ/1AB等价于m=k台=3x, 综上所述: 条件①M在AB上,等价于=k2(x。-2): 条件②PQ/1AB等价于。=3x。; .8K2 条件③AM=BM等价于名+=-3 选①②推③: 由①②解得:= P-36+6=4化=8 2k2 2-3 ③成立: 选①③推②: 2k2 6k2 由①③解得:七一3,一3 。=3x,②成立: 选②③推①: 2k2 62 6 由②③解得:。一3,=3-2 k2-31 …。=k2(x。-2),①成立 (17分) 注意:批改第(3)问时,请老师按照考生所选的条件分情况批阅,每个条件 选法的解法不止一种,不用严格按照标准答案批改,合理即给满分 6