精品解析：安徽淮南一中等五校2026-2027学年高一上学期10月联考数学试卷

高一数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教版必修第一册第一章、第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项：符号是集合与集合之间的包含关系符号，是集合的元素， 二者应为的从属关系，错误； 选项：符号是元素与集合之间的从属关系符号，是集合， 二者应为的包含关系，错误； 选项：为自然数集，元素均为非负整数，集合中的元素，错误； 选项：解方程得，因此，正确. 2. 已知命题p：，点在第一象限，则为（ ） A. ，点在第一象限 B. ，点不在第一象限 C. ，点不在第一象限 D. ，点不在第一象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据含量词命题的否定的改写规则求解. 【详解】含量词命题的否定的改写规则是：改量词，否结论. 所以命题，点在第一象限的否定为：，点不在第一象限. 3. 二次函数的零点为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】令，则，解得或， 故二次函数的零点为，． 4. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，因，可得，故充分性成立； 若，若取，，则，不满足，故必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知集合，，若，则a的值为（ ） A. 1或2 B. 7或8 C. 1 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得集合，， 若，则或，解得或. 6. 已知全集，集合，，则下图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，故， 由或，故或，所以. 所以阴影部分表示的集合为. 7. 关于的不等式有3个不同的整数解，则满足条件的所有整数的乘积为（ ） A. -20 B. -15 C. -12 D. -8 【答案】B 【解析】 【分析】先对二次不等式因式分解，分类讨论两根大小确定解集范围，结合整数解个数约束确定整数的取值，最终计算符合条件的的乘积. 【详解】关于的不等式等价于， 当即时，，不等式解集为空集，不符合题意； 当 即时，不等式解集为，若存在3个不同的整数解，则3个不同的整数解为，那么，此时的整数为； 当即时，不等式解集为，若存在3个不同的整数解，则3个不同的整数解为，那么，此时的整数为； 综上所述，满足条件的所有整数的乘积为. 8. 若对任意正数a，b，c，满足，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法确定分配的系数，再利用基本不等式即可. 【详解】由题意得， 设，其中， 则，令， 从而， 当且仅当即时等号成立， 所以，故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A：由已知得，同号两数相乘结果为正，即，故A错误； 选项B：由可得， 又，两式相加得，即，故B正确； 选项C：，取，，故C错误； 选项D：，即，，所以，故D正确. 10. 已知集合，，若“”是“”的必要条件，则实数m的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由是的必要条件等价于A⊆B”，需分类讨论A为空集和A为非空集合两种情况，再逐一验证选项. 【详解】是的必要条件，等价于 . 集合 ，. 分两种情况讨论 ： ①当 时，空集是任何集合的子集，符合条件.此时需 ，解得 . ②当 时，需同时满足： ,得 . 综上， 的条件是 或 . 故选项ACD符合，B不符合. 11. 对于给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质，而、称为A的孪生集合．下列说法正确的是（ ） A. 若集合，则集合具有孪生性质且孪生集合为， B. 若集合，则集合不具有孪生性质 C. 若集合，且集合具有孪生性质，则的最小值为 D. 记（且）到的连续自然数为集合，即，若集合具有孪生性质，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据新定义运算判断AB；列出集合的元素的所有可能结果，再根据得出的值不可能为，再检验时的结果即可判断C；写出，再根据定义判断D. 【详解】A选项，易得，且，故集合具有孪生性质， 故A错误； B选项，易得，则， 则集合不具有孪生性质，故B正确； C选项，易得，且， 的所有运算结果有：； 的所有运算结果有：， 若集合具有孪生性质，则，，，，， 故的值不可能为， 若，则，, 此时，集合具有孪生性质，则的最小值为，故C正确； D选项，， ， 若集合具有孪生性质，则，得， 因为，所以的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的不含有0的子集个数为________． 【答案】 8 【解析】 【分析】先确定原集合中不含0的元素共3个，再利用n元集合的子集个数公式计算即可. 【详解】由题意，不含有0的子集的元素只能从中选取，该集合共包含3个元素， 根据含有（）个元素的集合的子集个数为，可得所求子集的个数为. 13. 已知，，且，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】对已知等式两边同除以，构造出和为定值的分式，使用乘“”法，将目标表达式乘这个定值，展开后利用基本不等式求最小值，最后验证等号成立条件. 【详解】因为，，在两边同时除以，得. 所以. 因为，，所以，. 由基本不等式得，. 所以. 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 14. 用表示中的最大者，如，若正数满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，结合新定义即可求出范围. 【详解】若，则，则， 因为，所以，得， 此时，等号成立时； 若，则，则， 因为，所以，得， 此时，等号成立时； 若，则，则， 因为，所以， 此时； 故的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，且．求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）先求集合，利用集合的并集运算即可求解； （2）由，得，进而求解. 【小问1详解】 由，解得或，所以， 所以； 【小问2详解】 由，所以，所以，解得， 所以的取值范围是. 16. 解决下列问题： （1）若，比较与的大小； （2）若，证明：． 【答案】（1）； （2）证明：令，则，． 因为，所以，即． 因为，所以，即． 又因为，所以，即． 故当时，． 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 略 17. 已知命题p：“关于x的方程的两个根至少有1个不大于2”，命题q：． （1）若p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若p，q只有1个为真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)用“正难则反”思路求反面再取补集， (2)问先分别求出p、q为真时的范围，再按“一真一假”分类讨论. 【小问1详解】 方程变形为 ，即 ，解得 ，. 命题p为“两个根至少有1个不大于2”，命题的否定是“两个根都大于2”. 若两个根都大于2需同时满足 且 ，解得 且 ， 综合得 . 因此p为真命题（至少有1个根不大于2）等价于命题否定的补集，即 . 【小问2详解】 q为真即 ，也就是 对所有实数x恒成立. ，当时取最小值为， 要使不等式恒成立，需 ，解得 . 因此：p为真 ，p为假 ；q为真 ，q为假 . p、q只有1个为真，分两种情况： ① p真q假： 且 ，即 . ② p假q真： 且 ，无交集，无解. 综上，p、q只有1个为真命题时，实数a的取值范围是 . 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为72平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若，满足，则菜园面积最小为多少平方米？ 【答案】（1） 当 ， 时，所用篱笆总长最小 （2） 【解析】 【分析】 （1）根据矩形面积公式得到 ，利用基本不等式求 的最小值及取等条件； （2）将已知等式变形为 ，利用基本不等式 构建关于 的不等式求解. 【小问1详解】 由题意可知，菜园的面积 ，且 ，． 所用篱笆总长 ． 根据基本不等式，可得 将 ,代入上式， 得 ,当且仅当 时，等号成立． 联立 ，解得 , 所以，当 ， 时，所用篱笆总长最小． 【小问2详解】 由题意可知，，，且满足 ，即 ． 根据基本不等式，有 ，当且仅当 时等号成立． 所以 ． 令 ()，则 ． 上述不等式可化为 ，即 ． 因为 ，所以 ，故 ，解得 ． 所以 ，即 ． 当且仅当 时，等号成立，此时满足 ． 所以菜园面积最小为 平方米. 19. 已知二次函数． （1）若使的x的取值集合为，求不等式的解集； （2）若，，该函数在区间和内各有一个零点，求实数c的取值范围； （3）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）①当时，解集为； ②当时，解集为； ③当时，解集为； ④当或时，解集为； ⑤当时，解集为； ⑥当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式判断各系数的关系，再解一元二次不等式即可得答案. （2）根据二次函数零点分布列式可求实数c的取值范围. （3）结合一元二次不等式解集的形式，分情况讨论，可得不等式的解集. 【小问1详解】 由题意，不等式的解集为， 所以. 所以不等式可化为， 又，所以，解得或. 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 当，时，， 该函数在区间和内各有一个零点， 所以. 即实数c的取值范围为. 【小问3详解】 由. 当时，原不等式可化为，解得； 当时，，原不等式可化为，因为，，所以或； 当时，，原不等式可化为. 若或，则原不等式的解集为； 若或，则原不等式的解集为； 若，则，原不等式的解集为. 综上可得：①当时，解集为； ②当时，解集为； ③当时，解集为； ④当或时，解集为； ⑤当时，解集为； ⑥当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教版必修第一册第一章、第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，点在第一象限，则为（ ） A. ，点在第一象限 B. ，点不在第一象限 C. ，点不在第一象限 D. ，点不在第一象限 3. 二次函数的零点为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，，若，则a的值为（ ） A. 1或2 B. 7或8 C. 1 D. 7 6. 已知全集，集合，，则下图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的不等式有3个不同的整数解，则满足条件的所有整数的乘积为（ ） A. -20 B. -15 C. -12 D. -8 8. 若对任意正数a，b，c，满足，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，，若“”是“”的必要条件，则实数m的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 对于给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质，而、称为A的孪生集合．下列说法正确的是（ ） A. 若集合，则集合具有孪生性质且孪生集合为， B. 若集合，则集合不具有孪生性质 C. 若集合，且集合具有孪生性质，则的最小值为 D. 记（且）到的连续自然数为集合，即，若集合具有孪生性质，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的不含有0的子集个数为________． 13. 已知，，且，则的最小值为______． 14. 用表示中的最大者，如，若正数满足，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，且．求实数a的取值范围． 16. 解决下列问题： （1）若，比较与的大小； （2）若，证明：． 17. 已知命题p：“关于x的方程的两个根至少有1个不大于2”，命题q：． （1）若p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若p，q只有1个为真命题，求实数a的取值范围． 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为72平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若，满足，则菜园面积最小为多少平方米？ 19. 已知二次函数． （1）若使的x的取值集合为，求不等式的解集； （2）若，，该函数在区间和内各有一个零点，求实数c的取值范围； （3）求关于x的不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $