第1章三角形的证明单元测试卷 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第1章三角形的证明 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题(每题3分,共10题.共30题) 1．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．30 B．15 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质．直接根据30度角的性质作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 故选：C 2．用反证法证明“在中，，的对边长分别是，．若，则”．第一步应假设（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立． 【详解】解：∵ 原命题的结论是“”， ∴ 其否定为“”. 故第一步应假设“若，则”， 故选：D． 3．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角和三线合一定理，根据等边对等角可判断A，根据三线合一定理可判断B、D，根据现有条件无法推出C中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵是中点， ∴，平分， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论不一定成立， 故选：C． 4．如图，在中，，点，在边上，，则图中等腰三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，掌握等角对等边的判定方法是解题的关键． 先由确定为等腰三角形，再计算各角的度数，利用等角对等边的性质判断其他等腰三角形，最后统计个数． 【详解】解：， 是等腰三角形， ． ， ， ， ， ，是等腰三角形，，， ，， ， ，，是等腰三角形． 综上所述，图中等腰三角形共有个． 故选：D． 5．已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 【答案】C 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 6．如图，在中，，，点在的延长线上，，连接并延长，交于点，连接．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 先证得为等边三角形，得出，再根据三角形外角的性质求出，通过等腰三角形的三线合一得到平分，即可得出，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再证出，即可求出的长． 【详解】解：，， 是等边三角形， ， ． ， ． 是等边三角形，， 平分， ， ，， ， ． 故选：D 7．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【详解】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．如图，在等边中，是边上的中线，点分别是上的两点，点是上一动点，若，则的最小值为（   ） A．3.5 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查动点最值问题，涉及对称性、等边三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，熟练掌握动点最值问题-两点之间线段最短的解法是解决问题的关键． 作点关于的对称点，连接，如图所示，由对称性得到，，再由等边三角形性质求出，然后连接，如图所示，由等边三角形的判定得到是等边三角形，进而由等边三角形性质得到，再由，利用两点之间线段最短求解即可得到答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，如图所示： 由对称性可知，， 在等边中，是边上的中线，则， ， ， ， ， 在等边中，，则，， ，， 即， 连接，如图所示： 是等边三角形， 则， ， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，为线段长， 则的最小值为, 故选：C． 9．如图，是等边三角形，，点在上，，点在上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则的长是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】过点作于点，延长交于点．将转化为，通过可证，得到，通过所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理分别求出和的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点． ，是等边三角形， ，． ，， ，， ，． 在中，． 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中 ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 10．是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵ 是等边三角形，是等腰三角形，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ， ∴ ． ∴ 的周长． ∵ ， ∴的周长为． 故选：． 2、 填空题(每题3分,共6题.共18分) 1．在中，，，，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质．掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 由和，可判定是等边三角形，从而． 【详解】解：∵在中，，， ∴（等边对等角）， ， 是等边三角形（三个角都是的三角形是等边三角形）， ． 故答案为：3． 2．一个等腰三角形的底角为，则这个三角形的顶角为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是．利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：等腰三角形的一个底角是，则顶角的度数是， 故答案为：． 3．如图，在中，点在边上，，为的中点．若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质的综合运用，解题的关键是掌握：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 先利用三线合一得到，进而求出，最后用等腰三角形的外角的性质即可得出结论． 【详解】解：，点是中点， ， ， ，， ， ， ， ，∴， ， 故答案为：． 4．将一副直角三角板和一把宽度为的直尺按如图所示的方式摆放，三角板重合的边与直尺的上沿垂直，两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握特殊直角三角形的性质是解题的关键． 在等腰直角三角形中求出的长度，在含角的直角三角形中求出的长度，用减去得到的长度． 【详解】解：如图．在中，由题意，得，， ， ． 在中，由题意，得，， ， ， ， ． 故答案为：． 5．如图，把等边三角形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据折叠得到，进而得到，从而得到的长. 【详解】解：是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ． 由折叠的性质，得，， ， ， ． ， ， ． 故答案为：. 6．如图，在中，，分别是和的平分线，且于点，交于点，于点，交于点，，，，．有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有 （填序号）． 【答案】④ 【分析】①根据三角形的内角和定理判定，由等腰三角形的判定和三线合一的性质可得结论正确；②根据，，及线段的和与差可得的长；③根据三角形的内角和定理及角的和与差可得结论；④要想得到，必有，而，可知，从而得． 【详解】解：①平分，， ，， ， ， ，故结论①正确，不符合题意； ②同①可得． ， ， 故结论②正确，不符合题意； ③， ． ，， ， ， 解得， 故结论③正确，不符合题意； ④，， ， ，即与不相等，故结论④不正确，符合题意． 综上所述，不正确的有④． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 3、 解答题(每题9分,共8题.共72分) 1．如下图，直线，直线与直线，分别相交于点，，点在直线上，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与平行线的性质，掌握等腰三角形角度计算和利用平行线传递角度的方法是解题的关键． 先利用等腰三角形等边对等角的性质求出的度数，再根据平行线 同位角相等的性质，将与建立等量关系，从而求出． 【详解】解：， ． ， ． 2．如下图，在中，，分别为边，上的高，．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的证明，熟练掌握证明方法是解决问题的关键． 由直角三角形的两个锐角互余，可推出即可证明． 【详解】证明：，分别为边，上的高， ，， ． ， ， 是等边三角形． 3．如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，据此可证明结论； （2）由平行线的性质可得的度数，再由三线合一定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：平分 ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，F是的中点， ． 4．如图，在中，，，．以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．求点A，B，C的坐标． 【答案】A  B  C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、平面直角坐标系中垂直平分线的性质，掌握利用直角三角形的边角关系求线段长度，结合垂直平分线的对称性确定点的坐标是解题的关键． 先在中，利用含角的直角三角形性质求出斜边的长度；再根据轴是的垂直平分线，确定关于原点对称，从而得到的坐标；最后过作于，在中，利用角的性质和勾股定理求出的长度，结合点的位置确定点的坐标． 【详解】解：如图，过点作，垂足为． ∵，， ∴， ∴． ∵轴是的垂直平分线， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为． 在中，，， ∴，， 则，， ∴点的坐标为． 5．如下图，，，，点在边上，点在边上，交于点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定等知识，证明为等腰直角三角形是解题的关键． 根据平行线的性质可得，进而可求出，从而为等腰直角三角形，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：，， ． ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 6．如图，，是边上的中线，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】先利用等腰三角形“三线合一”的性质，得出且；再结合 CE⊥AB 的条件，通过同角的余角相等来推导角的关系． 【详解】解：∵  ，是边上的中线， ∴，． ∴． ， ． ∴． ∵， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质（同角的余角相等）．解题关键是利用等腰三角形“三线合一”得到垂直关系，再通过直角三角形中角的互余关系完成角的等量代换． 7．已知是等边三角形，将一块含有角的直角三角尺按图中所示的方式放置，让三角尺在所在的直线上平移． (1)如图①，当点与点重合时，点恰好落在直角三角尺的斜边上．求证：． (2)在直角三角尺平移的过程中，图②中线段是否始终成立（假定，与直角三角尺的斜边的交点分别为，）？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定及线段和差的推导，掌握等边三角形的边角性质和利用角度关系推导线段相等的方法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质，结合三角尺的，通过角度计算推出，从而得到，再由线段和差证得． （2）由（1）的结论，结合角度关系推出，再通过线段和差，替换后即可证得． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． ， ， ， ，即， ． （2）解：成立． 理由如下：是等边三角形， ，． ， ， ， ． ， ． ， ， ． 8．如图，在等边三角形ABC中，，P是AB边上一动点，作，垂足为E；过点E作，垂足为F；过点F作，垂足为Q． (1)设，，则y与x之间的函数关系式为_______________． (2)当点P和点Q重合时，线段EF的长为_______． (3)当点P和点Q不重合，但线段PE，FQ相交时，求它们与线段EF围成的三角形的周长m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知等边中，可得每个角都是，根据作，垂足为；过点作，垂足为；过点作，得三个直角三角形且都有的角，据此用可表示出，，，相继表示出，，求出与之间的函数关系式； （2）当点和点重合时，满足，结合（1）中所求可求出的值，由此可求出线段的长； （3）当点和点不重合，但线段，相交时，根据已知得到它们与线段围成的三角形三个角都是，即所围成的三角形仍是一个等边三角形，其边长等于长，由题意得，可求出的范围，当点和点重合时，最短，求出的值，即可得到的取值范围．． 【详解】（1）解：． 是等边三角形，． ，． ，，， ， ，，，. ∴， ∴． （2）解：． 当点和点重合时，满足，即， 解得：， ． （3）解：设线段，相交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ∴是等边三角形， ∵点与点不重合，且线段，相交， ，即， ， ． 又， ． 又，， ， ∴当点和点重合时，最短，长度为， ． 【点睛】此题考查的是等边三角形判定和性质以及一次函数问题，解题的关键是由已知等边三角形和已知作的垂线得角的直角三角形求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章三角形的证明 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(每题3分,共10题.共30题) 1．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．30 B．15 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质．直接根据30度角的性质作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 故选：C 2．用反证法证明“在中，，的对边长分别是，．若，则”．第一步应假设（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立． 【详解】解：∵ 原命题的结论是“”， ∴ 其否定为“”. 故第一步应假设“若，则”， 故选：D． 3．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角和三线合一定理，根据等边对等角可判断A，根据三线合一定理可判断B、D，根据现有条件无法推出C中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵是中点， ∴，平分， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论不一定成立， 故选：C． 4．如图，在中，，点，在边上，，则图中等腰三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，掌握等角对等边的判定方法是解题的关键． 先由确定为等腰三角形，再计算各角的度数，利用等角对等边的性质判断其他等腰三角形，最后统计个数． 【详解】解：， 是等腰三角形， ． ， ， ， ， ，是等腰三角形，，， ，， ， ，，是等腰三角形． 综上所述，图中等腰三角形共有个． 故选：D． 5．已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 【答案】C 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 6．如图，在中，，，点在的延长线上，，连接并延长，交于点，连接．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 先证得为等边三角形，得出，再根据三角形外角的性质求出，通过等腰三角形的三线合一得到平分，即可得出，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再证出，即可求出的长． 【详解】解：，， 是等边三角形， ， ． ， ． 是等边三角形，， 平分， ， ，， ， ． 故选：D 7．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【详解】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．如图，在等边中，是边上的中线，点分别是上的两点，点是上一动点，若，则的最小值为（   ） A．3.5 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查动点最值问题，涉及对称性、等边三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，熟练掌握动点最值问题-两点之间线段最短的解法是解决问题的关键． 作点关于的对称点，连接，如图所示，由对称性得到，，再由等边三角形性质求出，然后连接，如图所示，由等边三角形的判定得到是等边三角形，进而由等边三角形性质得到，再由，利用两点之间线段最短求解即可得到答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，如图所示： 由对称性可知，， 在等边中，是边上的中线，则， ， ， ， ， 在等边中，，则，， ，， 即， 连接，如图所示： 是等边三角形， 则， ， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，为线段长， 则的最小值为, 故选：C． 9．如图，是等边三角形，，点在上，，点在上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则的长是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】过点作于点，延长交于点．将转化为，通过可证，得到，通过所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理分别求出和的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点． ，是等边三角形， ，． ，， ，， ，． 在中，． 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中 ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 10．是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵ 是等边三角形，是等腰三角形，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ， ∴ ． ∴ 的周长． ∵ ， ∴的周长为． 故选：． 二、填空题(每题3分,共6题.共18分) 1．在中，，，，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质．掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 由和，可判定是等边三角形，从而． 【详解】解：∵在中，，， ∴（等边对等角）， ， 是等边三角形（三个角都是的三角形是等边三角形）， ． 故答案为：3． 2．一个等腰三角形的底角为，则这个三角形的顶角为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是．利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：等腰三角形的一个底角是，则顶角的度数是， 故答案为：． 3．如图，在中，点在边上，，为的中点．若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质的综合运用，解题的关键是掌握：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 先利用三线合一得到，进而求出，最后用等腰三角形的外角的性质即可得出结论． 【详解】解：，点是中点， ， ， ，， ， ， ， ，∴， ， 故答案为：． 4．将一副直角三角板和一把宽度为的直尺按如图所示的方式摆放，三角板重合的边与直尺的上沿垂直，两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握特殊直角三角形的性质是解题的关键． 在等腰直角三角形中求出的长度，在含角的直角三角形中求出的长度，用减去得到的长度． 【详解】解：如图．在中，由题意，得，， ， ． 在中，由题意，得，， ， ， ， ． 故答案为：． 5．如图，把等边三角形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据折叠得到，进而得到，从而得到的长. 【详解】解：是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ． 由折叠的性质，得，， ， ， ． ， ， ． 故答案为：. 6．如图，在中，，分别是和的平分线，且于点，交于点，于点，交于点，，，，．有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有 （填序号）． 【答案】④ 【分析】①根据三角形的内角和定理判定，由等腰三角形的判定和三线合一的性质可得结论正确；②根据，，及线段的和与差可得的长；③根据三角形的内角和定理及角的和与差可得结论；④要想得到，必有，而，可知，从而得． 【详解】解：①平分，， ，， ， ， ，故结论①正确，不符合题意； ②同①可得． ， ， 故结论②正确，不符合题意； ③， ． ，， ， ， 解得， 故结论③正确，不符合题意； ④，， ， ，即与不相等，故结论④不正确，符合题意． 综上所述，不正确的有④． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 三、解答题(每题9分,共8题,共72分) 1．如下图，直线，直线与直线，分别相交于点，，点在直线上，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与平行线的性质，掌握等腰三角形角度计算和利用平行线传递角度的方法是解题的关键． 先利用等腰三角形等边对等角的性质求出的度数，再根据平行线 同位角相等的性质，将与建立等量关系，从而求出． 【详解】解：， ． ， ． 2．如下图，在中，，分别为边，上的高，．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的证明，熟练掌握证明方法是解决问题的关键． 由直角三角形的两个锐角互余，可推出即可证明． 【详解】证明：，分别为边，上的高， ，， ． ， ， 是等边三角形． 3．如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，据此可证明结论； （2）由平行线的性质可得的度数，再由三线合一定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：平分 ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，F是的中点， ． 4．如图，在中，，，．以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．求点A，B，C的坐标． 【答案】A  B  C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、平面直角坐标系中垂直平分线的性质，掌握利用直角三角形的边角关系求线段长度，结合垂直平分线的对称性确定点的坐标是解题的关键． 先在中，利用含角的直角三角形性质求出斜边的长度；再根据轴是的垂直平分线，确定关于原点对称，从而得到的坐标；最后过作于，在中，利用角的性质和勾股定理求出的长度，结合点的位置确定点的坐标． 【详解】解：如图，过点作，垂足为． ∵，， ∴， ∴． ∵轴是的垂直平分线， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为． 在中，，， ∴，， 则，， ∴点的坐标为． 5．如下图，，，，点在边上，点在边上，交于点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定等知识，证明为等腰直角三角形是解题的关键． 根据平行线的性质可得，进而可求出，从而为等腰直角三角形，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：，， ． ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 6．如图，，是边上的中线，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】先利用等腰三角形“三线合一”的性质，得出且；再结合 CE⊥AB 的条件，通过同角的余角相等来推导角的关系． 【详解】解：∵  ，是边上的中线， ∴，． ∴． ， ． ∴． ∵， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质（同角的余角相等）．解题关键是利用等腰三角形“三线合一”得到垂直关系，再通过直角三角形中角的互余关系完成角的等量代换． 7．已知是等边三角形，将一块含有角的直角三角尺按图中所示的方式放置，让三角尺在所在的直线上平移． (1)如图①，当点与点重合时，点恰好落在直角三角尺的斜边上．求证：． (2)在直角三角尺平移的过程中，图②中线段是否始终成立（假定，与直角三角尺的斜边的交点分别为，）？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定及线段和差的推导，掌握等边三角形的边角性质和利用角度关系推导线段相等的方法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质，结合三角尺的，通过角度计算推出，从而得到，再由线段和差证得． （2）由（1）的结论，结合角度关系推出，再通过线段和差，替换后即可证得． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． ， ， ， ，即， ． （2）解：成立． 理由如下：是等边三角形， ，． ， ， ， ． ， ． ， ， ． 8．如图，在等边三角形ABC中，，P是AB边上一动点，作，垂足为E；过点E作，垂足为F；过点F作，垂足为Q． (1)设，，则y与x之间的函数关系式为_______________． (2)当点P和点Q重合时，线段EF的长为_______． (3)当点P和点Q不重合，但线段PE，FQ相交时，求它们与线段EF围成的三角形的周长m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知等边中，可得每个角都是，根据作，垂足为；过点作，垂足为；过点作，得三个直角三角形且都有的角，据此用可表示出，，，相继表示出，，求出与之间的函数关系式； （2）当点和点重合时，满足，结合（1）中所求可求出的值，由此可求出线段的长； （3）当点和点不重合，但线段，相交时，根据已知得到它们与线段围成的三角形三个角都是，即所围成的三角形仍是一个等边三角形，其边长等于长，由题意得，可求出的范围，当点和点重合时，最短，求出的值，即可得到的取值范围．． 【详解】（1）解：． 是等边三角形，． ，． ，，， ， ，，，. ∴， ∴． （2）解：． 当点和点重合时，满足，即， 解得：， ． （3）解：设线段，相交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ∴是等边三角形， ∵点与点不重合，且线段，相交， ，即， ， ． 又， ． 又，， ， ∴当点和点重合时，最短，长度为， ． 【点睛】此题考查的是等边三角形判定和性质以及一次函数问题，解题的关键是由已知等边三角形和已知作的垂线得角的直角三角形求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $