精品解析：河北省唐山市2025-2026学年高一第一学期期末考试数学试题

2025-2026学年度高一年级第一学期期末考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时长120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 设命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是定义域为奇函数，当时，，则当时（ ） A. B. C. D. 5. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数的图象经过点，则是（ ） A. 偶函数，且上单调递增 B. 偶函数，且在上单调递减 C. 奇函数，且在上单调递增 D. 奇函数，且在上单调递减 7. 已知，那么（ ） A B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，若，则的值可以为（ ） A 3 B. C. 2 D. 1 10. 函数的部分图象如下，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的图象关于点对称 11. 定义在上的非常数函数，满足，且是偶函数.将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，然后再向上平移1个单位，得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ） A. 的图象关于对称 B. 是偶函数 C. 2是的一个周期 D. 点是图象的一个对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若一个扇形的周长等于其半径的3倍，则其圆心角为______弧度. 13. 已知，且，，则的值为______. 14. 已知，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2） 16. 已知函数，. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）求关于的不等式的解集. 17. 已知函数，其中且. （1）当时，求的最小值； （2）判断的单调性，并用定义证明. 18. 已知函数，，. （1）求的定义域； （2）若，求的值域； （3）若对任意，总存在使得，求的取值范围. 19. 设函数，. （1）求在区间的最值； （2）判断的图象是否存在对称轴?若存在，写出对称轴的方程；不存在，请说明理由； （3）依据函数的性质，求在区间的零点个数. （参考数据：，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一年级第一学期期末考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时长120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合中元素的个数求子集个数即可. 【详解】因为集合中包含2个元素， 所以的子集的个数为个， 故选：A 2. 设命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定规则直接写出即可. 【详解】命题：，为全称命题， 则为，. 故选：B 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质判断即得. 【详解】由，得，则，； 反之，，取，则有，即不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 故选：C 5. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定义直接求解即可. 【详解】由题知，. 故选：D 6. 已知幂函数的图象经过点，则是（ ） A. 偶函数，且在上单调递增 B. 偶函数，且在上单调递减 C. 奇函数，且在上单调递增 D. 奇函数，且在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求出解析式，根据奇函数定义和幂函数性质判断. 【详解】设，则，所以，故，， 又，所以是奇函数，且在上单调递增. 故选：C. 7. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由结合诱导公式求得，再根据二倍角余弦公式求解. 【详解】因为， 又，所以， . 故选：C. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数换底公式、运算法则和基本不等式可得，利用指对互化即可得解. 【详解】由得，因为 ，所以，所以，所以， 因为， 所以，所以，所以， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，若，则的值可以为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】AC 【解析】 【分析】由题可得，分或讨论，结合集合的互异性求解. 【详解】由，得，所以或， 若，则，此时，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，集合不满足互异性，不合题意； 综上，的值可以为或2. 故选：AC. 10. 函数的部分图象如下，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合函数图象，利用对称性质判断B；然后利用周期求解判断A；根据正弦函数性质求最小值判断C；代入验证法判断对称中心判断D. 【详解】由图可知， 所以由对称性可知，故B正确； 由图知该函数的最小正周期满足，即，故，故A错误； 由上可得，又，所以，所以， 所以，所以，所以的最小值为，故C正确； 因，则图象关于点对称，故D正确. 故选：BCD 11. 定义在上的非常数函数，满足，且是偶函数.将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，然后再向上平移1个单位，得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ） A. 的图象关于对称 B. 是偶函数 C. 2是的一个周期 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据所给条件可先判断具有周期性，即可结合伸缩和平移变换的性质，结合选项逐一求解. 【详解】由可得， 由是偶函数得，将换成，则， 因此，故为周期为4的周期函数， 由于图象上所有点的横坐标缩短为原来的，故的一个周期为2，C正确， 根据可得，故的图象关于对称，A正确， 由和周期得，故是奇函数，B错误， 由于是奇函数，且周期为4，故的图像关于对称， 由于图象上所有点的横坐标缩短为原来的，然后再向上平移1个单位， 得到函数的图象，故图象的一个对称中心为，D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若一个扇形的周长等于其半径的3倍，则其圆心角为______弧度. 【答案】1 【解析】 【分析】根据周长和半径关系求得，进而求解圆心角即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则由题意可得，解得， 所以扇形的圆心角为弧度. 故答案为：1 13. 已知，且，，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】将条件式两边平方化简得，利用题设条件对所求式子化简得，代入运算得解. 【详解】由，两边平方得， 展开得，整理得， 又，，故，则，所以得， 所以. 故答案为：. 14. 已知，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】令，则，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，则， 令，由可知，即， 所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算求解； （2）利用辅助角公式化简求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知函数，. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定方程的根，然后列方程组求解即可； （2）按照、和分类讨论，利用一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以的两个实数根为，， 故，即，解得. 【小问2详解】 因为. 当时，不等式的解为或； 当时，不等式化为，不等式的解集为全体实数； 当时，不等式的解为或. 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 17. 已知函数，其中且. （1）当时，求的最小值； （2）判断的单调性，并用定义证明. 【答案】（1）4 （2）答案见解析，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由基本不等式，求出函数最小值； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【小问1详解】 当时，函数， 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 因此的最小值为4. 【小问2详解】 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 证明如下： ，，且， 有. 由，，得，，所以， 又由，得，所以. 若，则，所以， 即，所以在上单调递增； 若，当，时，，所以， 即，所以在上单调递减； 当，时，，即， 即，所以在上单调递增. 故当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 18. 已知函数，，. （1）求的定义域； （2）若，求的值域； （3）若对任意，总存在使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）由，解不等式求得的定义域； （2）换元令，则，转化为二次函数求值域； （3）由题问题转化为在的值域是在值域的子集，结合单调性求出值域，得解. 【小问1详解】 因为，即，解得. 所以的定义域为. 【小问2详解】 令，即，则. 当，即时，在上单调递增， 因此，即的值域为. 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值， 因此的值域为. 综上所述，当，的值域为； 当，的值域为. 【小问3详解】 由题意知，在的值域是在值域的子集. 设，当时，是增函数， 故在上单调递增， 所以当时，值域为. 由（2）可知：当时，的值域为，需满足， 解得，故. 当时，的值域为，需满足， 解得，或，故. 综上所述，的取值范围是. 19 设函数，. （1）求在区间的最值； （2）判断的图象是否存在对称轴?若存在，写出对称轴的方程；不存在，请说明理由； （3）依据函数的性质，求在区间的零点个数. （参考数据：，，） 【答案】（1）最大值3；最小值. （2）存在，对称轴方程为，. （3）645个. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角余弦公式得，，然后利用换元法，按照二次函数性质求解最值即可； （2）设函数的图象存在对称轴为，利用两角和差余弦公式及二倍角公式化简，利用方程恒成立得函数对称轴方程为，即可求解； （3）由（2）对称性推得是的一个周期，由（1）知的单调性，结合零点存在性定理，依据对称性和周期性可得当时，有且仅有一个零点，从而判断零点个数. 【小问1详解】 ，. 设，则，且. 当时，单调递减；当时，单调递增. 且，，， 则当且仅当，即时，取得最大值3； 当且仅当，即时，取得最小值. 【小问2详解】 假设函数的图象存在对称轴， 设其为，则，有， 即， 即， 即， 整理，得， 当且仅当，即，时，上式对恒成立. 因此，的图象存在对称轴，对称轴方程为，. 【小问3详解】 由（2）得是的图象的对称轴，即， 用代换，则，即. 再由（2）得是的图象的对称轴，， 则对恒成立，则是的一个周期. 由（1）知当时，仅有， 再由是偶函数，当时，仅有， 因此，是的最小正周期. 由（1）知，当时，，单调递减，且. 当时，，单调递增，且，. 则当时，有且仅有一个零点，且. 依据对称性，当时，有且仅有一个零点. 依据周期性，当时，有且仅有一个零点. 注意到，，则. 易知，在区间，有644个零点. 下面分析在区间的情况：注意到， 且，， 则存在一个零点， 即区间上存在一个零点. 故函数在区间的零点个数为645个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $