精品解析：湖北省直辖县级行政单位2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

九年级学业质量监测 数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷第1页装订线内和答题卡上，并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号． 2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案必须使用0.5mm黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概型求面积问题，解题的关键是理解黑色阴影部分占整体的，即可求解． 【详解】解：经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为， 故选：C． 3. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 4. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 5. 已知反比例函数，下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 函数图象在第二、四象限 C. y随x的增大而减小 D. y随x的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，正确掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数 的图象和性质，逐一判断即可求解． 【详解】解：反比例函数 中，， 函数图象在第一、三象限，故选项A正确；选项B错误； 又， 在每个象限内， 随 的增大而减小，故选项D错误； 但选项C未限定“在每个象限内”，因此表述不准确，故选项C错误． 故选：A． 6. 已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为 ，则这条弧的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算，利用弧长的计算公式计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），熟记公式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 7. 如图，内接于．分别以点 和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交 于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是 的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由作图可得：是 的垂直平分线， ∴，而， ∴， ∴， 故选：C 8. 如图，点 的坐标是，将绕点顺时针旋转 得到，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化—旋转，作出旋转后的图形，由图可知，的横坐标为 的值，的纵坐标为的值，即可得到的坐标．掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转 得到，如图， ∴，， ∵点 的坐标是，在第二象限，且绕点顺时针旋转 ， ∴点在第一象限，，， ∴． 故选：B． 9. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线 ，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为 ， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与 的距离为；点的横坐标与 的距离为；点的横坐标与 的距离为． ∵， ∴， 故选C． 10. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（ ） A. 32 B. 24 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线． 过作交 于点，根据旋转得到，，，根据含的直角三角形的性质即可得到，即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交 于点， 绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，，， ， ， ， ， 又，， ． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. “篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”是______事件（填“确定”或“不确定”）． 【答案】不确定 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，篮球队员投篮一次，未投中可能发生也可能不发生，属于不确定事件． 【详解】解：根据事件分类，确定事件包括必然事件和不可能事件，而不确定事件指随机事件． 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中这一事件的结果具有不确定性，可能发生也可能不发生，因此是不确定事件． 故答案为：不确定． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次方程根与判别式的关系，解题的关键是列出方程求解即可．根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【详解】由题意可知，， 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得，，即实数的值为 ． 故答案为： ． 13. 如图， 是的弦．半径于点D，且．则的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 先根据垂径定理得到，在中，由勾股定理求解，再由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：2． 14. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为______秒． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将代入求解即可． 【详解】解：当时，即 解得，（舍去） ∴该物体落回地面所需要的时间t为2秒． 故答案为：2． 15. 已知抛物线的对称轴为直线，与y轴相交于点．给出以下4个结论：①；②；③对于任意实数m，的值不小于2；④若P是对称轴上的一点，则的最小值为．其中，所有正确结论的序号为______． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据抛物线过点可得，由对称轴可得，从而判断①②正确；对于③，代入和后配方，分析的符号对取值的影响；对于④，利用轴对称性质求最短路径，计算距离判断错误． 【详解】解：由抛物线与y轴交于点，得； 由对称轴为直线，得，即，故结论②正确； ，故结论①正确； ∵， ∴当时，，则，且当时小于2，故结论③错误； ∵点关于对称轴的对称点为，连接与对称轴交于点P， 则，故的最小值为，结论④错误． 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．） 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴， 17. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子， ∴选中“乒乓球”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是． 18. 如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中 ，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． （1）画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； （2）将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 【答案】（1） 如图，建立平面直角坐标系， ∴对称中心的坐标是，点的对应点的坐标是； （2） 如图所示． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，建立平面直角坐标系，作图——平移变换，中心对称，掌握知识点的应用是解题的关键． （ ）根据 ，，的坐标分别为，，建立平面直角坐标系即可，找出对应点即可求对称中心的坐标和点的对应点的坐标； （ ）根据平移的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 设，是关于x的方程的两根． （1）当时，求m的值． （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的根与系数的关系，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案； （2）把关于x的方程化为一般式，根据根与系数的关系得到，，求出，据此可证明结论． 【小问1详解】 解：把代入方程，得 ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：方程可化为． ∵，是关于x的方程的两根， ∴，． ∴． ∵， ∴，即． 20. 如图，点为一次函数与反比例函数图象的交点，将一次函数的图象绕点P逆时针方向旋转． （1）求m的值； （2）求旋转后新一次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，一次函数的图象旋转，解决本题的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的性质． （1）将点代入反比例函数中求解即可； （2）添加辅助线构造全等三角形，即证明与全等，再根据待定系数法求解一次函数解析式即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴点． 【小问2详解】 解：过P作轴于点C，过A作且，过B作轴于点D，如图， 设交y轴于点A，则， 则，，，， ∴，， ∴． 又∵， 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为，即新一次函数的表达式为． 21. 如图， 是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 【答案】（1） 证明：∵ 是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 22. 综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度 时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； （2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 【答案】（1）y关于x的函数是二次函数，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先计算出种子自然发芽率为35，令和 时，分别求得x的值，再结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为， 将，，代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当 时，， ∴种子自然发芽率为35， ∴当时，， 解得，， 当 时，， 解得（舍去），， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为． 23. 在矩形中，将边 绕点A逆时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）①当时，四边形的形状最特殊，此时形状为______； ②如图1，当时，延长，直线刚好经过点D，猜想 ，和之间的数量关系，并说明理由； （2）若，．在 旋转过程中，当直线经过边的中点时，与直线交于点M，求的长． 【答案】（1）①正方形；②．理由见解析 （2）的长为或 【解析】 【分析】（1）①当时，落在边上，易得四边形为正方形； ②连接，由旋转的性质得，再证明和都是等腰直角三角形，可得，再求解即可； （2）分两种情况：当点在的延长线上时；当点在上时；利用旋转的性质及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，当时，落在边上， 由旋转得：， ， ， 四边形为正方形； 故答案为：正方形； ②， 理由：如图，连接， 四边形是矩形， ， ， ， 由旋转得， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； 【小问2详解】 解：设 如图，当点在的延长线上时，连接， ∵， ， ， ， ， ， 由（2）得， ，， ∵， ， ， ， ， 中，， ， 解得：（舍去）， ； 如图，当点在上时，连接， 同理可得， ， ， 由（2）得， ，， ∵， ， ， ， ， 中，， ， 解得：（舍去）， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程等知识，熟练运用这些知识是关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）0， （2）①4；②且 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； 【小问2详解】 ①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学业质量监测 数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷第1页装订线内和答题卡上，并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号． 2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案必须使用0.5mm黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（ ） A. B. C. D. 3. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数，下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 函数图象在第二、四象限 C. y随x的增大而减小 D. y随x的增大而增大 6. 已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，内接于．分别以点 和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点 ，连接 ，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点 的坐标是，将绕点 顺时针旋转得到，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（ ） A. 32 B. 24 C. D. 16 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. “篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”是______事件（填“确定”或“不确定”）． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为________． 13. 如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是______． 14. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为______秒． 15. 已知抛物线的对称轴为直线，与y轴相交于点．给出以下4个结论：①；②；③对于任意实数m，的值不小于2；④若P是对称轴上的一点，则的最小值为．其中，所有正确结论的序号为______． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．） 16. 解方程： 17. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 18. 如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中 ，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． （1）画出平面直角坐标系，并写出对称中心 的坐标和点的对应点的坐标； （2）将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 19. 设，是关于x的方程的两根． （1）当时，求m的值． （2）求证：． 20. 如图，点为一次函数与反比例函数图象的交点，将一次函数的图象绕点P逆时针方向旋转． （1）求m的值； （2）求旋转后新一次函数的表达式． 21. 如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 22. 综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； （2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 23. 在矩形中，将边绕点A逆时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）①当时，四边形的形状最特殊，此时形状为______； ②如图1，当时，延长，直线刚好经过点D，猜想，和之间的数量关系，并说明理由； （2）若，．在旋转过程中，当直线经过边的中点时，与直线交于点M，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $