精品解析：江苏省无锡市第一中学2025-2026学年度高一第一学期期末考试数学试题

无锡市第一中学2025-2026学年度第一学期期末考试 高一数学 20261 命题：马晴燕 审核：杜惠锋 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知命题p：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 3. 已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边经过，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则有（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知x，y为正实数，且，若存在这样的x，y，使得不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 有一块半径为1 cm的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上，则该等腰梯形的周长最大时，上底所对圆弧长为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数（且）满足以下条件：①，均有；②，，且，则关于x的不等式的最小正整数解为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确有（ ） A. B. C. 将函数的图象向左平移单位得到函数的图象 D. 若函数在上有且仅有4个最值，则的范围是 10. 已知，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若函数存两个零点，则 11. 已知定义在R上的函数满足，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，，则________. 13. 已知△ABC是单位圆O内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为________. 14. 已知函数若，则函数值域为________；若函数有两个零点，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与向量的夹角为，且，. （1）求； （2）若，求实数的值. 16. 已知函数. （1）若，且，求和的值； （2）若，求值. 17. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用.在图2中，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每60 s转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为.筒车上有24个均匀安装的盛水筒，设某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m，若在水面下，则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为. （1）求的表达式； （2）盛水筒P出水后经过多长时间就可以到达最高点； （3）盛水筒P与盛水筒Q之间间隔了三个盛水筒，从计时起运行一周的过程中，求P、Q两点距离水面的高度差的表达式，并求哪个时刻高度差最大. （参考公式：，） 18. 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）若，，求的值； （3）当时，函数的最大值为，求m的值. 19. 定义在区间I上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是I上的有界函数. 已知函数，，. （1）若函数为奇函数，求m的值； （2）设（且），当时，若对任意的，均存在，使得，求实数a的取值范围； （3）是否存在正数T，使得函数是区间上的有界函数？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第一中学2025-2026学年度第一学期期末考试 高一数学 2026.1 命题：马晴燕 审核：杜惠锋 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知命题p：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】“命题p：，”的否定是“，”. 故选：D. 2. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求出，进而求出子集个数. 【详解】由集合，，得， 所以的子集个数为. 故选：C 3. 已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边经过，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意角正弦的定义可得. 【详解】由题可知，， 所以，解得. 故选：C. 4. 若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明判断ABD；利用不等式性质推理判断C. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：C 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件及必要条件定义判断即可. 【详解】， 若，则，所以“”推不出“”； 若“”，当时也成立，此时，，所以“”推不出“”. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6. 已知x，y为正实数，且，若存在这样的x，y，使得不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件求得的最小值为，通过解不等式，求得实数m的取值范围. 【详解】由，得. 因为x，y为正实数，所以，所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 所以. 所以. 若存在上述x，y，使得不等式有解，则，即， 解得或. 所以实数m的取值范围是. 故选：D 7. 有一块半径为1 cm的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上，则该等腰梯形的周长最大时，上底所对圆弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则.将等腰梯形的周长表示为的函数，求得其最大值，及取最大值时的，从而求得上底所对应的圆心角，利用弧长公式可得. 【详解】如图所示，设，则. 过点作垂直于点，则，. 所以， . 所以该等腰梯形的周长为. 当，即，时，周长取得最大值，最大值为. 此时，. 上底所对的圆弧长为. 故选：B. 8. 设函数（且）满足以下条件：①，均有；②，，且，则关于x的不等式的最小正整数解为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干条件得到，，，进而解不等式得到，进而解不等式即可求解. 【详解】由①得，，则，（1） 由②得：，则，（2） 且，即， 联立（1）（2）得：， 因为，所以， 解得：，，所以，则， 将代入得：， 因为，所以，则， 即， 由，得， 则，即， 则或 解得或， 则的最小正整数为1. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. B. C. 将函数的图象向左平移单位得到函数的图象 D. 若函数在上有且仅有4个最值，则的范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据诱导公式及两角和的余弦公式求解判断A；根据同角三角函数的基本关系、辅助角公式、二倍角公式、诱导公式求解判断B；根据函数的平移求解判断C；根据余弦函数的性质求解判断D. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，将函数的图象向左平移单位得到 ，故C正确； 对于D，当时，， 因为函数在上有且仅有4个最值， 所以，解得， 则的范围是，故D错误. 故选：ABC 10. 已知，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若函数存在两个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意求得与解析式，分别求和，判断A；计算，判断B；根据是奇函数，结合其单调性，解不等式，判断C；若函数存在两个零点，则方程存在两个实数根，即的图象与直线有两个不同的交点，分析函数的单调性，画出其简图，求出的取值范围，判断D. 【详解】因为，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且， 所以，即. 所以. ，，所以A不正确； ，所以B正确； 由，得. 因为是减函数，是减函数，所以是减函数， 所以，所以.所以C正确； 若函数存在两个零点，则方程存在两个实数根，即的图象与直线有两个不同的交点. 设，则. 因为，所以，即； 因为，所以，所以，所以. 所以，即. 所以在上单调递增. 因为是偶函数，所以在上单调递减. 又，所以结合图象可知，，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知定义在R上的函数满足，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法，令，可得，判断A；由题意可得函数奇偶性及单调性，由此判断B；由偶函数的定义判断C；根据的性质讨论当和时，的符号，判断D. 【详解】因为定义在R上的函数满足， 令，得，所以，所以A正确； 令，则，即，所以函数是奇函数； ，当时，， 所以当时，，，即，所以函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减. 所以，所以B错误. 令，定义域为， 所以，都有. 所以是偶函数，所以C正确. 因为函数在上单调递减，且， 所以当时，；当时，. 即若，则 所以D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再结合角的范围及同角公式求解. 【详解】由及，得， 由，得，而，则， 由，，得. 故答案为： 13. 已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得是直角三角形，解三角形可得，由投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以，即. 所以圆心为的中点，即是圆的直径，所以，且. 因为，即，所以，所以. 又向量方向上的单位向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 14. 已知函数若，则函数值域为________；若函数有两个零点，则实数a的取值范围是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，根据分段函数的单调性求其值域；若函数有两个零点，则方程有两个实数根，则函数与直线有两个交点，由此求得实数a的取值范围. 【详解】①当时，函数. 当时，单调递减，所以； 当时，单调递增，所以， 所以函数值域为. ②若函数有两个零点，则方程有两个实数根， 则函数图象与直线有两个交点. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数与直线在和上各有一个交点. 当时，单调递减，所以，所以，解得. 若，则在上单调递增，，所以，所以，即. 若，则在上单调递增， 因为，即当时，函数与直线有一个交点，满足题意. 综上，实数a的取值范围是. 故答案为：①；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与向量的夹角为，且，. （1）求； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）5； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的定义及运算律建立方程求解即可. （2）由（1）中信息，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求解. 【小问1详解】 由，得，而， 则，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，由，得， 所以. 16. 已知函数. （1）若，且，求和的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设结合平方关系求得，再得到，进而求解； （2）先根据题设结合齐次式求得，进而求解即可. 【小问1详解】 由，则， 即，又，则， 所以，则， 所以. 【小问2详解】 由，即， 则. 17. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用.在图2中，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每60 s转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为.筒车上有24个均匀安装的盛水筒，设某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m，若在水面下，则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为. （1）求的表达式； （2）盛水筒P出水后经过多长时间就可以到达最高点； （3）盛水筒P与盛水筒Q之间间隔了三个盛水筒，从计时起运行一周的过程中，求P、Q两点距离水面的高度差的表达式，并求哪个时刻高度差最大. （参考公式：，） 【答案】（1）； （2）； （3），当或时高度差最大. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息，结合正弦函数图象性质求出即可得. （2）由（1）的结论，结合正弦函数性质求出取最大值的值即可. （3）求出盛水筒P与盛水筒Q所对圆心角，再求出时刻盛水筒距离水面的高度，进而求出并求出取最大值的值. 【小问1详解】 筒车按逆时针方向每60 s转圈，则最小正周期，， 由筒车的轴心O距水面的高度为，得， 由筒车的半径为3m，得，因此， 由以盛水筒P刚浮出水面时开始计时，得， 即，解得，而，因此， 所以的表达式为. 【小问2详解】 由（1）知，由，得， 则，解得，取，得， 所以盛水筒P出水后经过就可以到达最高点. 【小问3详解】 由筒车上有24个均匀安装的盛水筒，得相邻两个盛水筒中心点为端点的圆弧所对圆心角为， 由盛水筒P与盛水筒Q间隔了三个盛水筒，得盛水筒P与盛水筒Q中心点为端点的圆弧所对圆心角， 从计时起运行一周的过程中，在时刻盛水筒P距离水面的高度， 盛水筒Q距离水面的高度， 因此， 由，即时，，而，则或， 所以，当或时高度差最大 18. 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）若，，求的值； （3）当时，函数的最大值为，求m的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出递减区间. （2）由（1）中函数求得，确定的范围求出，再利用和角的余弦公式计算得解. （3）利用二倍角公式，结合换元法，借助二次函数由最大值求出. 小问1详解】 依题意，函数， 由，得， 所以函数的单调减区间为. 【小问2详解】 由（1）得， 解得，由，得， 当时，，当时， ，因此，， 所以 . 【小问3详解】 由（1）得， 当时，，令， 函数， 依题意，函数在上的最大值为， 当时，，，不符合要求； 当时，，，不符合要求； 当时，，，则， 所以. 19. 定义在区间I上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是I上的有界函数. 已知函数，，. （1）若函数为奇函数，求m的值； （2）设（且），当时，若对任意的，均存在，使得，求实数a的取值范围； （3）是否存在正数T，使得函数是区间上有界函数？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在.当时， ；当时， . 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的判定方法即可证明； （2）求出函数在上的值域，分类讨论求出函数在上的值域，由题意得是的子集，由此列不等式求解可得实数a的取值范围； （3）求出函数的值域，分类讨论的取值，即可求出答案. 【小问1详解】 . 因为，所以，所以函数的定义域为. 因为函数为奇函数，所以，即，即. 当时，，所以. 所以为奇函数，所以. 【小问2详解】 当时，. 由，得，解得. 所以的定义域为. 因为，所以在上单调递减. 因为是增函数，所以在上单调递减. 所以当时，. （且）， 当时，是减函数，所以当时，，此时，所以； 当时，是增函数，所以当时，，此时，不等式组无解. 综上所述，实数a的取值范围是； 【小问3详解】 . 因为是增函数，且恒成立，所以是减函数. 所以函数在区间上的值域为 若存在正数T，使得函数是区间上的有界函数，所以的最小值为与的较大者. 当，即，即， 所以，解得. 所以当时， ； 当时，，此时 . 综上，当时， ；当时， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $