精品解析：云南省曲靖市2026届高三年级第一次教学质量监测数学试题

曲靖市2025-2026学年高三年级第一次教学质量监测 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的有关信息，在规定的位置贴好条形码. 2.考生作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效；作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；作答非选择题时，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的模计算公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 2. 已知全集，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，再根据补集和交集运算法则进行计算即可. 【详解】由题意得，， ， 则或， 所以. 故选：A 3. 已知向量在向量上投影向量为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设向量与向量的夹角为，根据投影向量的定义求出的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】设向量与向量的夹角为，因为， 所以向量在向量上的投影向量为，则， 所以 . 故选：D. 4. 相控阵雷达堪称作战飞机的“智能复眼”，是其核心感知器官.它通过调节相邻辐射单元的相位差，使电磁波波束定向传播，其波束传播方向与水平方向的夹角满足关系：（其中为电磁波波长，为相邻单元间距，为相位调节系数，且，，），则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则 D. 当从0增大到1时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【详解】对于A：当时，，由，得，所以A不正确； 对于B：当时，. 由，得，所以，所以B正确； 对于C：若，则，所以，所以，所以C不正确； 易知，对于确定的，当从0增大到1时，随的增大而增大. 对于D：令是关于的一次函数，，， 所以随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， 所以随的增大而增大.所以D不正确. 5. 已知数列的各项均为整数，且满足，其前项和为，若，且，，成等比数列，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定数列为等差数列，再列式求出首项及公差，进而求出. 【详解】数列中，由，得数列为等差数列， 则，即，设的公差为， 由成等比数列，得，即， 整理得，解得或， 当时，不是整数，与各项均为整数矛盾，因此， ，所以. 故选：C 6. 在中，内角，的对边分别为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合余弦定理求得. 【详解】由余弦定理，得； 由，得. 所以，所以. 因为，所以. 故选：C. 7. 已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴为，虚轴为，直线与直线相交于点.若，则的离心率等于（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，通过构造平行线，由对应线段成比例，解得，可得双曲线的离心率. 【详解】如图所示，，则， 连接，由双曲线的对称性，可得， ，得，故双曲线的离心率． 故选：A． 8. 函数与的图象在上有个不同的交点，则（ ） A. 2026 B. 4053 C. 8104 D. 8105 【答案】D 【解析】 【分析】根据两函数的对称性可求出它们的对称中心为，结合图象求出它们在上交点的总个数，即可求得结果. 【详解】易知函数关于点成中心对称， 又函数满足； 因此函数也关于点成中心对称， 易知函数的最小正周期为，其值域为 因为函数在上单调递减，且当时，，当，； 可知的值域为； 画出两函数在同一坐标系下的图象如下图： 根据图象可知两函数在上除了之外，共有四个交点， 且这四个交点的横坐标之和为0，纵坐标之和满足， 再由周期性可知两函数在上除了之外共有个交点， 结合对称性可知. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）方程表示的曲线不可能为（ ） A. 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 圆 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的　焦点，直线l叫做抛物线的准线． 【详解】解:设P(x，y)，由方程得， 点P到点F(2，2)的距离等于点P到直线3x-4y-6=0的距离， 又点F不在直线3x-4y-6=0上， 由抛物线的定义得，曲线为抛物线. 故选：BCD 10. 下列命题是假命题的有（ ） A. 若，则是函数的极值点 B. 若曲线在点处的切线方程为，则 C. 若不存在，则曲线在点处没有切线 D. 若定义域为R的函数，导数，且，则不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】应用特殊函数、说明判断A、C，由导数的定义判断B，构造并应用导数证明其单调性，利用单调性求解集判断D. 【详解】A，如在处导数，但在、上都单调递增，故不是函数的极值点，假命题； B，根据导数的定义可知，即，真命题； C，如且，则，显然不存在， 但在点处的切线为，假命题； D，令，则有，， 所以在R上单调递减，故的解集是， 所以的解集是，真命题； 故选：AC 11. 将平面凸四边形沿对角线折成直二面角，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，为空间任意一点，则下列叙述正确的是（ ） A. E，F，G，H四点共面 B. 平面EFGH C. D. 若与相交于点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算及共面向量定理推理判断AD；利用空间位置关系的向量证明推理判断B；借助反证法推理判断C. 【详解】对于A，连接，， 由共面向量定理得四点共面，A正确； 对于B，由分别为的中点，得， 即，而点直线，则，又平面EFGH，平面EFGH， 因此平面EFGH，B正确； 对于C，在平面内过点作于，连接，若，由， 平面，得，在平面凸四边形中，由， 得对角线，而平面凸四边形的对角线不一定垂直，因此不一定成立，C错误； 对于D，由，得，可得四边形为平行四边形， 又，则被点平分，因此 ，D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，经过点，且以非零向量为法向量的平面的方程为.若球过点，且与平面相切，则球表面积的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知平面的法向量且过点，应用向量法求点面距，结合球体的特征确定球半径最小值，进而求其表面积的最小值. 【详解】由题意平面的法向量且过点， 又在球上，则，故到平面的距离， 所以球半径最小值为，故球表面积的最小值为. 故答案为： 13. 已知数列的前项和为，且，，则数列的通项公式_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用与关系求出数列的通项公式. 【详解】在数列中，，当时，， 两式相减得，则，而， 因此当时，数列是以为首项，以3为公比的等比数列，， 所以数列通项公式. 故答案为： 14. 若非零实数a，b满足，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】变形给定等式可得，令并换元，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，， 则，即， 令，则，， 因此，当且仅当时取等号， 所以最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，对，，且当，为函数的两个不同的零点时，. （1）求出的解析式，并利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）说明函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到. 【答案】（1），简图见解析； （2）函数的图象可由的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到. 【解析】 【分析】（1）由“函数，对，”，求出，由“当，为函数的两个不同的零点时，”求出最小正周期，进而求得，得到的解析式，根据正弦函数五点特征，结合周期，列表、描点、连线，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）根据由的图象到的图象的变换法则可得. 【小问1详解】 由“函数，对，”，得，即，所以； 由“当，为函数的两个不同的零点时，”，得函数的最小正周期，即，所以. 所以的解析式为. 0 1 在坐标系内描点，连线可得函数在长度为一个周期的闭区间上的简图: 【小问2详解】 函数的图象可由的图象先向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到. 16. 如图，在长方体中，，，是棱的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再根据线面垂直的性质定理证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积计算两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 证明：在长方体中，， 又，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以； 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则由，，得， 又是棱的中点，所以，所以，， 设平面的一个法向量为， 则有，得， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕，11月21日在深圳闭幕，是粤港澳三地首次联合承办的全国性体育盛会.此次赛事融合了体育竞技与大湾区文化特色，彰显了粤港澳大湾区深度融合，丰富了“一国两制”的实践.其中公路自行车赛是唯一的一项联结粤港澳三地的标志性跨境赛事，运动员需6次无间断通过三地口岸，每次通关通过人脸识别、北斗定位等技术无感查验，甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立.舞龙舞狮更是首次纳入全运会群众展演项目，粤港澳联队由6名广东选手、1名香港选手和1名澳门选手组成，团队表演的难度系数分为、、三个等级，对应的得分概率如下表： 难度等级 得分区间 得分概率（广东选手） 得分概率（香港选手） 得分概率（澳门选手） A级 8-10分 0.7 0.65 0.6 B级 6-7分 0.25 0.3 0.35 C级 4-5分 0.05 0.05 0.05 （1）在公路自行车赛中，求甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率，以及至少有1次查验不顺利的概率（结果均保留四位小数）； （2）从粤港澳联队选手中任选2人分别作为狮头和狮尾进行“南狮自选赛”的表演，设这2人中广东选手的人数为，求的分布列和均值； （3）从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，已知该选手的得分在8-10分，求该选手是广东选手的概率（结果保留三位小数）. 【答案】（1）甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率为，至少有1次查验不顺利的概率， （2）分布列见解析，均值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由独立事件概率的乘法公式可得甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率，根据对立事件的概率关系，求至少有1次查验不顺利的概率； （2）由题可知，的可能取值为，分别求出相应的概率，可得的分布列，根据均值的计算公式可得的均值； （3）由全概率公式求得被选中选手的得分在8-10分的概率，根据条件概率公式求得得分在8-10分的条件下，该选手是广东选手的概率. 【小问1详解】 因为甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立， 所以甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率为； 至少有1次查验不顺利的概率为. 【小问2详解】 的可能取值为， ； ； . 所以的分布列列表为： 所以的均值为. 【小问3详解】 从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，则该选手是广东选手的概率为，是香港选手的概率为，是澳门选手的概率为. 记“选手的得分在8-10分”为事件，记“该选手是广东选手”为，“该选手是香港选手”为，“该选手是澳门选手”为. 由题可知，. . 所以，若已知该选手的得分在8-10分，则该选手是广东选手的概率为. 18. 已知动圆经过点，且与圆相切.记动圆圆心的轨迹为曲线，经过点，斜率为的直线与曲线交于两点，为坐标原点. （1）求曲线的标准方程； （2）当时，求的面积； （3）设，延长，分别与曲线交于，两点，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据动圆与圆相切，再由椭圆定义可知圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求得椭圆方程； （2）依题意写出直线方程并于椭圆方程联立，利用韦达定理直接计算可得结果. （3）设，，则，再由点差法计算可得，联立，解得，同理可得，代入化简计算可求得. 【小问1详解】 易知圆的圆心为，半径为， 因为动圆经过点，且在圆内，因此两圆只能内切； 设切点为，如下图所示： 因此， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设椭圆方程为， 易知，即，则， 所以曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设经过点，斜率为的直线方程为，； 当时，该直线方程为， 联立，整理可得，显然， 因此 则的面积为 因此的面积为. 【小问3详解】 依题意，设，如下图： 设，则； 又因为点在椭圆上，故， 两式作差可得， 因此可得； 联立，解得； 同理可设，可得; 因此 ； 所以可得，即为定值. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数极值点的个数； （3）若，，且满足，证明：. 【答案】（1）； （2）2； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，并由导数为零得，再构造函数，利用导数求出函数的性质，再确定直线与函数的图象交点个数即可. （3）由（2）中信息，按分类，当时，借助函数的单调性将不等式转化为，再构造函数并利用导数证明不等式；当时，证明即可. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则， 而，所以函数的图象在点处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 由，得，令函数，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 则，而当从大于的方向趋近于时，，当时，， 当时，直线与函数的图象有两个交点，即有两个变号零点， 所以函数极值点的个数为2. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，即， 函数在上单调递减， 又，则，， 不等式， 令函数，求导得， 又，不妨设，则， 由在上单调递减，得， 当时，，即， 因此， 令函数，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 则，即当时，，函数在上递减， 由，得，即，因此； 当时，由（2）知有两个极值点，且， 函数在上递减，在上递增， 由为极值点，得，即， 则， 又，则， 对任意，，由，得，则， 因此，即. 综上可知. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖市2025-2026学年高三年级第一次教学质量监测 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的有关信息，在规定的位置贴好条形码. 2.考生作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效；作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；作答非选择题时，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ） A B. C. D. 4. 相控阵雷达堪称作战飞机的“智能复眼”，是其核心感知器官.它通过调节相邻辐射单元的相位差，使电磁波波束定向传播，其波束传播方向与水平方向的夹角满足关系：（其中为电磁波波长，为相邻单元间距，为相位调节系数，且，，），则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则 D. 当从0增大到1时，随的增大而减小 5. 已知数列的各项均为整数，且满足，其前项和为，若，且，，成等比数列，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 在中，内角，的对边分别为，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴为，虚轴为，直线与直线相交于点.若，则的离心率等于（ ） A. 5 B. 3 C. D. 8. 函数与的图象在上有个不同的交点，则（ ） A. 2026 B. 4053 C. 8104 D. 8105 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）方程表示的曲线不可能为（ ） A. 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 圆 10. 下列命题是假命题的有（ ） A. 若，则是函数的极值点 B. 若曲线在点处的切线方程为，则 C. 若不存在，则曲线在点处没有切线 D. 若定义域为R的函数，导数，且，则不等式的解集为 11. 将平面凸四边形沿对角线折成直二面角，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，为空间任意一点，则下列叙述正确的是（ ） A. E，F，G，H四点共面 B. 平面EFGH C. D. 若与相交于点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，经过点，且以非零向量为法向量平面的方程为.若球过点，且与平面相切，则球表面积的最小值为_____. 13. 已知数列的前项和为，且，，则数列的通项公式_____. 14. 若非零实数a，b满足，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，对，，且当，为函数的两个不同的零点时，. （1）求出的解析式，并利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）说明函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到. 16. 如图，在长方体中，，，是棱中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕，11月21日在深圳闭幕，是粤港澳三地首次联合承办的全国性体育盛会.此次赛事融合了体育竞技与大湾区文化特色，彰显了粤港澳大湾区深度融合，丰富了“一国两制”的实践.其中公路自行车赛是唯一的一项联结粤港澳三地的标志性跨境赛事，运动员需6次无间断通过三地口岸，每次通关通过人脸识别、北斗定位等技术无感查验，甲运动员每次通关查验顺利的概率为0.99，且各次查验相互独立.舞龙舞狮更是首次纳入全运会群众展演项目，粤港澳联队由6名广东选手、1名香港选手和1名澳门选手组成，团队表演的难度系数分为、、三个等级，对应的得分概率如下表： 难度等级 得分区间 得分概率（广东选手） 得分概率（香港选手） 得分概率（澳门选手） A级 8-10分 0.7 0.65 0.6 B级 6-7分 0.25 0.3 0.35 C级 4-5分 0.05 0.05 0.05 （1）在公路自行车赛中，求甲运动员6次通关查验全部顺利通过的概率，以及至少有1次查验不顺利的概率（结果均保留四位小数）； （2）从粤港澳联队选手中任选2人分别作为狮头和狮尾进行“南狮自选赛”表演，设这2人中广东选手的人数为，求的分布列和均值； （3）从粤港澳联队中随机选取1名选手完成指定群众展演项目表演，已知该选手的得分在8-10分，求该选手是广东选手的概率（结果保留三位小数）. 18. 已知动圆经过点，且与圆相切.记动圆圆心的轨迹为曲线，经过点，斜率为的直线与曲线交于两点，为坐标原点. （1）求曲线标准方程； （2）当时，求的面积； （3）设，延长，分别与曲线交于，两点，直线的斜率为，求证：为定值. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数极值点的个数； （3）若，，且满足，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $