精品解析：云南省曲靖市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题

曲靖市2024-2025学年高三年级第一次教学质量监测数学试题卷 （本卷满分150分，考试时间为120分钟） 注意事项： 1．答题前、考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的交集运算求解. 【详解】，， . 故选：B. 2. 若双曲线的焦距为4，实轴长为2，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质求出得解. 【详解】由题可得，，， 所以双曲线的离心率为. 故选：A. 3. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 42 B. 49 C. 56 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】应用等差数列的性质结合等差数列求和公式计算求解. 【详解】等差数列中，因为，则， 则. 故选：C. 4. 已知复数和，满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的模长平方关系计算求和即可. 【详解】因为复数和，满足， 则， 所以，所以. 故选：C. 5. 有一组样本数据为0，1，2，3，4，5，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的第25百分位数相等的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数的概念可知，当为1，2，3，4，5时，新的样本数据的第25百分位数不变，进而求出概率. 【详解】由题意，，，所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数， 所以，当为1，2，3，4，5时，新的样本数据的第25百分位数不变， 所以，新的样本数据的第25百分位数不变的概率是. 故选：D. 6. 在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系、若，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出与的模，进而得到的三角函数值，再根据为的中点，得到的三角函数值，最后利用三角函数求出的坐标. 【详解】根据向量模的计算公式，若，则. 已知，则； ，则.  可得. 所以. 则.  则.  根据半角公式，； .  因为，设. ； . 所以.  故选：B. 7. 已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出三棱锥外接球的半径，取的中点，当垂直截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长，当截面过球心时，截面圆的面积最大，即可得解. 【详解】如图，作平面，垂足为，取的中点，外接球的球心为，连接， 易得为的中心，则，所以， 设外接球半径为，则，即，解得， 当垂直过的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长， 最小面积为， 当截面过球心时，截面圆的面积最大，最大面积为， 故截面面积的取值范围是. 故选：B. 8. 已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，利用函数得单调性可得，运算得解. 【详解】由题可得，可得， 因为函数在上单调递增， 所以，则. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由题得到，构造函数并根据单调性得到. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数解析式，结合正弦函数的性质，逐项判断作答. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，，，由的单调性可知，在上单调递增，故B正确； 对于C，将代入解析式得， 所以不是的对称轴，故C错误； 对于D，当时，，所以的图象关于对称，故D正确. 故选：ABD. 10. 若的展开式的各二项式系数之和为32，则（ ） A. B. 展开式中只有第三项的二项式系数最大 C. 展开式中项的系数为1960 D. 展开式中系数为有理数的项共有2项 【答案】AC 【解析】 【分析】由题设得即可求解n判断A；由得二项式系数最大的是即可求解判断B；求出展开式的通项公式，再令即可求解判断C；由通项公式令即可求解判断D. 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，因为，所以展开式中的二项式系数最大的是， 分别为展开式中的第三项和第四项的二项式系数，故B错误； 对于C，的展开式的通项公式为， 令，则，即展开式中项的系数为1960，故C正确； 对于D，因为的展开式的通项公式为， 所以若，则时，对应的项为，均为有理项， 所以展开式中系数为有理数的项共有3项，故D错误. 故选：AC 11. “脸谱”是中国戏剧中特有的化妆艺术．“脸谱”图形可近似看作如图所示的由半圆和半椭圆组成的曲线．若半圆的方程为，半椭圆的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在半圆上，点在半椭圆上，且，则面积的最大值为30 B. 若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值是 C. 若、是半椭圆上的动点，（异于坐标原点）是线段的中点，则 D. 若曲线在点处的切线为，半椭圆的焦点为，过点作直线的垂线，垂足为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，易得，，从而求解判断；对B，由椭圆定义可得到，由基本不等式可以得到，结合余弦定理即可求出的最小值；对C，设，，，将点的坐标代入椭圆方程，利用点差法求解判断；对D，求出曲线在点处的切线方程，进而求出直线的方程，求出点的坐标，求出. 【详解】对于A，因为点在半圆上，点在半椭圆上，为坐标原点，， 则，，， 当点在长轴的端点时，的面积最大，最大值为30，故A正确； 对于B，因为是半椭圆上上一点，所以， ， 当且仅当时，即点在短轴顶点时等号成立，故B错误； 对于C，设，，，则，， 又，两式相减得， 则，即.故C正确； 对于D，由椭圆在点处的切线方程为， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 则切线的斜率为，点，所以直线的斜率为， 直线的方程为， 联立方程，解得，即， ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题选项D解题的关键是求出椭圆在点处的切线方程，进而求出点的坐标. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：与：平行，则与间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行可求得，再由平行线间的距离公式代入计算可得结果. 【详解】由与两直线平行可得，解得； 即可得：， 所以与间的距离为. 故答案为： 13. 在棱长为1的正方体的顶点中任取两个不同的点，则这两点间的距离的均值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】立方体的个顶点中任意选择个作为线段的端点共有种可能，结合各种不同的长度线段的条数可以计算得到线段长度的均值. 【详解】立方体的个顶点中任意选择个作为线段的端点共有种可能， 其中有条棱，长度为，12条线段为立方体的个表面的对角线，长度为， 另有四条线段为立方体的体对角线，长度为， 根据均值的定义，计算均值为. 故答案为： 14. 已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先作出的图象，即可求出在的取值范围，依题意可得，结合图象可得的解集，即可得解. 【详解】因为，则定义域为， 所以的图象是取与图象位于下方的部分， 作出的图象如下所示（实线部分）： 当时，显然在上单调递减，且； 因为，使得关于的不等式成立， 所以，令，解得， 结合图象可得的解集为或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出的图象，结合图象得到的解集. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线相交于A，两点，且，线段中点的横坐标为． （1）求抛物线的方程； （2）若直线的倾斜角为锐角，为坐标原点，求外接圆的一般方程. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）设，，由焦点弦长公式结合中点坐标公式即可求出p得解； （2）由题设设直线的方程为，与抛物线方程联立依次求出和即可求出m，进而求出点A、B，再设外接圆的一般方程列出方程组即可计算求解. 【小问1详解】 设，，则，， 抛物线的方程为． 【小问2详解】 由题意可知直线不与轴重合，又， 故可设直线的方程为， 由，得，故． 又，故． 直线的倾斜角为锐角，， 将带入，解得或， 不妨设点A在轴下方，则，， 设外接圆的一般方程为， 则，解得， 所以外接圆的一般方程为． 16. 已知函数，设锐角三个角，，的对边分别为，，． （1）若，，，求的值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，，，求的取值范围． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）由二倍角和辅助角公式求得，再结合正、余弦定理即可求解； （2）根据图像变换确定，求出，然后得到，进而利用三角函数的性质可求解. 【小问1详解】 ． ，． 又，故， ，故． ，由正弦定理得． 又，由余弦定理得． ，． 【小问2详解】 由题意可知，． 且，． ． 为锐角三角形，, ， ，即的取值范围是． 17. 在四棱锥中，平面，，． （1）若，为的中点，且平面，求的长； （2）若，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）4 （2）． 【解析】 【分析】（1）取的中点为，易证，由平面，可得，四边形为平行四边形，得得解； （2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的一个法向量结合二面角的大小为，求出，由运算得解. 【小问1详解】 如图，取的中点为，连接，， 则，且． ， ． 平面，平面，平面平面， ． 又，四边形为平行四边形． ，又， ． 【小问2详解】 平面，平面， ，又，，且平面， 平面，平面， ． 如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设， 则，，，． ，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，故． 又，，设平面的一个法向量为， 则，令，可得，故． 二面角的大小为，所以， ， ，即． ， 即三棱锥的体积为． 18. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即得切线方程； （2）函数求导分解因式后，对参数分类讨论导函数的符号即得原函数的单调性； （3）根据（2）的结论，对参数分类，分析函数的单调性，极值以及图象变化趋势，结合特殊值，即可得解. 【小问1详解】 当时，， ，． 又，故在处的切线方程为：． 【小问2详解】 ． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 当时，在上单调递增，不符合题意，故． 由（2）知，当时，． 有两个零点，． 又，． 令，则， 在上单调递减，且， 当时，，即． 又， 在上有一个零点； ，． 当时，， 在上有一个零点． 综上所述，有两个零点时，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是由（2）得，，构造函数利用导数研究零点. 19. 当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别．信息论之父香农（C.E.Shannon）在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算“信息熵”的数学表达式，从而解决了对信息的量化度量问题．设随机变量的所有可能取值为1，2，…，，且，，定义的“信息熵”为． （1）当时，求的值； （2）当时，若，探究与是正相关还是负相关，说明理由； （3）若，，，求此时的． 【答案】（1）0 （2） 与负相关，理由如下： 当时，，． 令，， 则， 因为，则，所以，即， 函数在上单调递减． 与负相关． （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用公式求解； （2）先求出，再判断单调性即可求解； （3）由可知数列从第二项起，是首项为，公比为4的等比数列，故而可求出，再由可得的解析式. 【小问1详解】 当时，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知， ． ． ． 令① 则 ② 由①-②得，， ． ． ． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，特别是第三问，根据等比数列定义写出，进而写出的通项公式，应用错位相减法及等比数列前项和公式求化简. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖市2024-2025学年高三年级第一次教学质量监测数学试题卷 （本卷满分150分，考试时间为120分钟） 注意事项： 1．答题前、考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线的焦距为4，实轴长为2，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 42 B. 49 C. 56 D. 72 4. 已知复数和，满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 1 5. 有一组样本数据为0，1，2，3，4，5，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的第25百分位数相等的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系、若，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2025 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 10. 若的展开式的各二项式系数之和为32，则（ ） A. B. 展开式中只有第三项的二项式系数最大 C. 展开式中项的系数为1960 D. 展开式中系数为有理数的项共有2项 11. “脸谱”是中国戏剧中特有的化妆艺术．“脸谱”图形可近似看作如图所示的由半圆和半椭圆组成的曲线．若半圆的方程为，半椭圆的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在半圆上，点在半椭圆上，且，则面积的最大值为30 B. 若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值是 C. 若、是半椭圆上的动点，（异于坐标原点）是线段的中点，则 D. 若曲线在点处的切线为，半椭圆的焦点为，过点作直线的垂线，垂足为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：与：平行，则与间的距离为__________． 13. 在棱长为1的正方体的顶点中任取两个不同的点，则这两点间的距离的均值为__________． 14. 已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线相交于A，两点，且，线段中点的横坐标为． （1）求抛物线的方程； （2）若直线的倾斜角为锐角，为坐标原点，求外接圆的一般方程. 16. 已知函数，设锐角三个角，，的对边分别为，，． （1）若，，，求的值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，，，求的取值范围． 17. 在四棱锥中，平面，，． （1）若，为的中点，且平面，求的长； （2）若，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 18. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围． 19. 当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别．信息论之父香农（C.E.Shannon）在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算“信息熵”的数学表达式，从而解决了对信息的量化度量问题．设随机变量的所有可能取值为1，2，…，，且，，定义的“信息熵”为． （1）当时，求的值； （2）当时，若，探究与是正相关还是负相关，说明理由； （3）若，，，求此时的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $