2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：三角形

2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：三角形 一、单选题 1．以下列各组线段为边作三角形，能作出直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，5 C．3，4，5 D．2，4，6 2．下列四个图形中，线段是的高的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（　　） A． B．直线是的垂直平分线 C．若，则直线是的垂直平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 4．如图，已知AB=AC，AD=AE，添加一个条件可以使△ABD≌△ACE，小明给出了以下几个：①BD=CE；②∠BAD=∠CAE；③∠D=∠E．其中正确的条件有（　　）个 A．3 B．2 C．1 D．0 5．在如图所示的若干个正方形拼成的图形中，与三角形全等的三角形是 A． B． C． D． 6．如图，在中，，，边的垂直平分线交于，交于点，若，则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．19 7．如图，在中，，，为的中点，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴的夹角为，且点坐标为，点在轴上方，设，那么点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，等边三角形 中， 是 边上的中线，点 在线段 上， ， 的延长线交 于点 ， ，连接 交 于点 .下面结论： ① ；② ；③ ；④ . 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 10．如图，AC与BD相交于点O，且AB=CD，请添加一个条件 　 　，使得△ABO≌△CDO． 11．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝70°，AF平分∠CAB，交BC于点D.过点C作CE⊥AF于点E，则∠ECD的度数为　 　. 12．如图，以的三边长向外作等边三角形，若，则图中阴影部分的面积是　 　. 13．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一根竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为15米，顶端距离地面20米；如果保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在左墙时，其顶端距离地面为24米，则小巷的宽度为　 　米． 14．如图，中，，，D为延长线上一点，，且，与的延长线交于点P，若，则　 　． 15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A旋转，使点C落在AB边上的点E处，点B落在点D处，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，则EF的长为　 　 ​​ 三、解答题 16．如图，一木杆原来垂直于地面，在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部5米处，已知木杆原长25米，求木杆断裂处离地面多少米？ 17．如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？ 18．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上， ， ， ．判断BE和DF的位置关系，并说明理由． 19．如图，AC，FC分别平分∠BAD，∠BFD，且分别与FB，AD相交于点G，H，已知∠B=40°，∠D=50°，求∠C的度数. 20．如图， 中， ， ，垂足为 ， 是边 的垂直平分线，交 于 ，交 于点 ，求 的度数． 21．如图，已知分别为上的点，相交于点． （1）证明：； （2）求证：． 22．如图甲，已知A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD． （1）试问OE＝OF吗？请说明理由． （2）若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由． 23．数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决．请你结合同学们提出的问题给予解答． （1）甲同学提出：如图1，过点C作于点H，可求出　 　； （2）乙同学提出：的面积为：　 　； （3）丙同学提出：如图2点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值； （4）丁同学说受丙同学启发，如图3点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A：12+22≠32，不能构成直角三角形，故A错误； B：12+22≠52，不能构成直角三角形，故B错误； C：32+42=52，能构成直角三角形，故C正确； D：22+42≠62，不能构成直角三角形，故D错误； 故答案为：C. 【分析】根据勾股定理的逆定理，看两条短边的平方和是否等于较长边的平方，若是则能够构成直角三角形，否则不能构成即可判断。 2．【答案】D 【解析】【解答】解：A选项，△ABC中，BC为底，则高应该是从A点作CB的垂线； B、C选项，△ABC中，AB为底，则高应该是从C点作AB的垂线； D选项，△ABC中，AC为底，则高应该是从B点作AC的垂线； 综上可知，只有D选项中，线段是的高 故答案为：D． 【分析】本题根据三角形高的定义，逐选项进行分析即可得出答案。 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴点P在直线的垂直平分线上， ∴若，则直线是的垂直平分线，故C说法正确，符合题意 根据先有条件无法证明A、B、D中的结论，故A、B、D说法错误，不符合题意； 故选：C． 【分析】根据垂直平分线判定定理即可求出答案. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：在△ABD和△ACE中 ∴△ABD≌△ACE（SSS），故①正确； 在△ABD和△ACE中 ∴△ABD≌△ACE（SAS），故②正确； 若添加∠D=∠E，SSA不能证明三角形全等，故③错误； 正确的有2个. 故答案为：B. 【分析】利用SSS可知△ABD≌△ACE，可对①作出判断；利用SAS证明△ABD≌△ACE，可对②作出判断；利用SSA不能证明三角形全等，可对③作出判断；综上所述可得到正确条件的个数. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：如图， 在△ABC与△DFG中， ， ∴△ABC≌△DFG， 故答案为：C. 【分析】利用SAS证出△ABC≌△DFG，即可得出答案. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：垂直平分线段， ， ，， 的周长为：， 故答案为：B． 【分析】利用垂直平分线的性质可得BE=EC，再利用三角形的周长公式及等量代换求出三角形的周长即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示，延长到点，使，连接， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 为直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中 ，， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：C 【分析】延长到点，使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，，，由直角三角形判定定理可得为直角三角形，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，在中 ，根据勾股定理可得，再结合三角形面积即可求出答案. 8. 9．【答案】D 【解析】【解答】 解： 是等边三角形， 是 边上的中线 是AC的垂直平分线 ， ， ，则①正确 ，即 ，即点E为FG的中点 为等腰三角形 （等腰三角形的三线合一） 是等边三角形 ，则②正确 设 ，则 是等腰直角三角形 ，则③正确 在 中， ，则④正确 综上，正确的个数为4个 故答案为：D. 【分析】根据等边三角形的三线合一得出BD是AC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出CE=AE；由CE=AE，根据等边对等角得出∠CAE=∠ACE=45°，根据三角形的内角和得出∠AEC=90°，根据然后判断出CE是线段GF的中垂线，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出CG=CF，即△CGF是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一得出∠FCE=∠GCE=15°，从而根据角的和差及等边三角形的性质得出∠ACG=30°；设CD为a，利用勾股定理表示出BD，根据等腰直角三角形的性质及判定得出△CDE也是等腰直角三角形，故DE=a，从而根据线段的和差得出 ；在Rt△CDH中，根据含30°直角三角形的边之间的关系表示出DH，从而即可一一判断得出答案. 10．【答案】∠A=∠C(答案不唯一) 【解析】【解答】∵∠AOB、∠COD是对顶角， ∴∠AOB=∠COD， 又∵AB=CD， ∴要使得△ABO≌△CDO， 则只需添加条件：∠A=∠C．（答案不唯一） 故答案为：∠A=∠C．（答案不唯一） 【分析】首先根据对顶角相等，可得∠AOB=∠COD；然后根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，要使得△ABO≌△CDO，则只需∠A=∠C即可． 11．【答案】25° 【解析】【解答】解：∵∠CAB＝90°，∠ABC＝70°，AF平分∠CAB， ∴∠ACB=20°，∠CAE=∠BAE=45°， ∵CE⊥AF， ∴∠CEA=90°， ∴∠ACE=45°， ∴∠ECD=∠ACE-∠ACB=25°； 故答案为：25°. 【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数，利用角平分线的定义求出∠CAE的度数，利用垂直的定义得∠CEA=90°，从而根据三角形的内角和定理可求出∠ACE的度数，最后根据∠ECD=∠ACE-∠ACB，代入计算可求解. 12．【答案】 【解析】【解答】解：过点F作FG⊥AB，垂足为G， ∵∠ACB= 90°，AB=， ∴根据勾股定理得：BC2+AC2=AB2=3， ∵△ABF是等边三角形， ∴∠AFB= 60°，AF= BF= AB， ∴∠BFG =∠AFB= 30°，BG =AB， ∴FG =BG=AB， ∴S△ABF=AB·FG=AB·AB=AB2， ∴图中阴影部分的面积=×AB2 =×3 = 故答案为：. 【分析】图中阴影部分的面积为三个等边三角形的面积之和，分别将三个等边三角形的面积用含AB、BC、AC的式子表示出来，再根据勾股定理计算即可. 13．【答案】22 【解析】【解答】解： 在中，，米，米， 米． ∴米 在中，，米，米， 米， 米， ∴小巷的宽度为22米． 故答案为：22． 【分析】先利用勾股定理求出，再求出，最后利用线段的和差求出CD的长即可。 14．【答案】 【解析】【解答】解：作EM⊥AP于M， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ，， 设，，， ， ， 故答案为：． 【分析】作EM⊥AP于M，由AAS证△BCP≌△EMP，根据全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等）得BC=AC=EM，由AAS证△ADC≌△EAM，根据全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等）得出CP=PM，DC=AM，设PC=PM=x，AC=BC=3x，AM=DC=5x，求出DB=2x，即可求出答案. 15．【答案】： 16．【答案】解：设木杆断裂处离地面x米， 由题意得：x2＋52＝（25−x）2， 解得x＝12， 答：木杆断裂处离地面12米. 【解析】【分析】设木杆断裂处离地面x米，根据勾股定理列出方程求解即可. 17．【答案】解：AD是△ABC的角平分线，AF是△ABE的角平分线； BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线． 【解析】【分析】三角形一个内角的角平分线与其对边相交，交点与这个顶点的线段，就是三角形的角平分线，连接三角形一边中点及这边所对的顶点的线段，就是这个三角形的中线，根据三角形的角平分线的定义及三角形中线的定义即可一一判断得出答案. 18．【答案】解： AE=CF， AF=CE，在 ， 中， ， ， ∠BEC=∠DFA， BE∥DF. 【解析】【分析】根据已知条件和全等三角形的判定方法SAS，得到△AFD≅△CEB ，得到对应角相等，根据内错角相等两直线平行，得到BE∥DF. 19．【答案】解：∵∠B+∠1+∠AGB=180°，∠C+∠3+∠CGF=108°，∠AGB=∠CGF ∴∠B+∠1=∠C+∠3， ∴∠1﹣∠3=∠C﹣∠B， 同理可得：∠2﹣∠4=∠D﹣∠C. ∵AC，FC分别平分∠BAD，∠BFD， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠C﹣∠B=∠D﹣∠C， ∴∠C (∠B+∠D) ×(40°+50°)=45°. 【解析】【分析】由三角形内角和定理得出∠1-∠3=∠C-∠B，同理，∠2-∠4=∠D-∠C，由角平分线定义得出∠1=∠2，∠3=∠4，得出∠C-∠B=∠D-∠C，即可得出∠C的度数. 20．【答案】解：∵∠BAC=100°，∠C=50°， ∴∠B=180°-（∠BAC+∠C）=30°， ∵EF是边AB的垂直平分线， ∴EA=EB， ∴∠EAB=∠B=30°， ∴∠AED=∠EAB+∠B=60°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADE=90°， ∴∠EAD=90°-60°=30°． 【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，进而得到∠EAB=∠B=30°，根据三角形的外角性质，直角三角形的性质计算即可。 21．【答案】（1）证明：在和中， （2）证明： 在和中 【解析】【分析】（1）直接根据已知条件，用证明即可； （2）全等三角形的性质可得，等量代换得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出． 22．【答案】（1）解：OE＝OF； 证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEF＝∠BFE＝90°． ∵AE＝CF，AE+EF＝CF+EF．即AF＝CE． 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∵ ， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）， ∴BF＝DE． 在△BFO和△DEO中， ∵ ， ∴△BFO≌△DOE（AAS）， ∴OE＝OF； （2）解：结论依然成立． 理由：由AE＝CF，得AF＝CE， 结合已知得Rt△ABF≌Rt△CDE， 由BF＝DE，从而△BFO≌△DEO， ∴FO＝EO， 即结论依然成立. 【解析】【分析】（1）根据题意，由 HL 证明 Rt△ABF≌Rt△CDE ，根据直角三角形的性质，即可得到BF=DE，继而根据 AAS 证明 △BFO≌△DOE ，求出OE=OF； （2）同理，根据三角形全等的判定定理证明 Rt△ABF≌Rt△CDE ，继而根据全等三角形的性质证明 △BFO≌△DEO ，得到结论。 23．【答案】（1）5 （2）25 （3）解：连接，如图所示： ，点D为边的中点， 平分， ，， ， ， ，， 由（2）知， ， ； （4）解：连接，如图所示： ，，， ，，， ，， ， 即：， ． 【解析】【解答】（1） 解：过点C作于点H， ∴∠CHA=90°， ∵，， ∴. 故答案为：5； （2）解：过点B作BH⊥AC，交AC于点H，则：∠BHA＝90°， ∵AB＝AC＝10，∠A＝30°， ∴， ∴. 故答案为：25； 【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质求出结果即可； （2）过点B作BH⊥AC，交AC于点H，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出，根据三角形面积公式计算即可； （3）先根据等哟啊三角形的三线合一及角平分线的性质定理证明DE＝DF，根据，得出S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝5（DE+DF），即5（DE+DF）＝25，即可求出结果； （4）连接AD， 根据三角形的面积公式得出，，，再根据， 得出， 即，即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $