精品解析：江西临川第一中学2025-2026学年上学期期末质量检测高二数学试题

临川一中2025-2026学年上学期期末考试 高二年级数学试卷 命题人： 一、单选题 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 则. 故选：B. 2. 若是空间的一个基底，则下列集合可构成空间的一个基底的是（ ） A. B. } C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念进行判断. 【详解】对A：假设在同一个平面内，则，， 所以，， 所以共面，这与是空间的一个基底矛盾， 所以假设不成立，所以不共面.所以可构成空间的一个基底.所以A正确； 对B：因为，所以共面，所以不能构成空间的一个基底，故B错误； 对C：因为，故共面，所以不能构成空间的一个基底，故C错误； 对D：因为，所以共面，所以不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A 3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 4. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是4， 故选：B. 5. 某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（ ）种. A. 18 B. 24 C. 27 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】应用分类分步计数原理及排列组合数求不同的安排方法数. 【详解】若甲被选出，从其它3位同学选2位有种， 将甲安排为记分员或秩序员有种，另2人作全排有种， 所以共有种； 若甲不被选出，只需将选出的3人作全排列有种， 综上，共有种. 故选：A 6. 已知椭圆的上，下顶点分别为，左顶点为，左焦点为，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的性质，得，结合条件得到，即可求解. 【详解】易知， 则，又，则， 得到，所以，解得或（舍）， 故选：C. 7. 某学校随机将16名学生平均分成两个小组，分别参加数学和物理兴趣小组，学生学号为1，2，3，..，16，设数学小组里的学生最小学号为，最大学号为，物理小组里的学生最小学号为，最大学号为，则“”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出将这16个学生随机分为两组参加数学和物理两个兴趣小组的方法数，再假设1号参加数学兴趣小组，推出学号为1到5的学生，11号在数学兴趣小组，数学兴趣小组另外2个学生情况数为，数学兴趣小组与物理兴趣小组互换，同样有6种情况，共有12种满足要求，从而计算出概率. 【详解】将这16个学生随机分为两组参加数学和物理两个兴趣小组，共有种方法， 假设1号参加数学兴趣小组，则数学兴趣小组中学生最大学号为11， 故16号学生参加物理兴趣小组，则物理兴趣小组中学生的最小学号为6， 从而学号为1到5的学生均参加数学兴趣小组， 学号为7、8、9、10的学生有任意2个参加数学兴趣小组， 满足要求的情况数为； 假设1号参加物理兴趣小组，同样有6种情况， 综上，共有种，满足要求，所以“”的概率为， 故选： C. 8. 如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有，再将目标式转化为，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件. 【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)， 由直线PQ过抛物线的焦点，则， 圆C2：圆心为(2,0)，半径1， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为13. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由焦半径的倾斜角式得到，并将目标式转化为，结合基本不等式求最值. 二、多选题 9. 已知，，则（ ） A. ，夹角为锐角 B. 与相互垂直 C. D. 以，为邻边的平行四边形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算逐项分析判断. 【详解】，，则， 对A：∵，则与不共线， 又∵，故，夹角为锐角，故 A正确； 对B：∵，则， ∴与相互垂直，故B正确； 对C：，，即，故C错误； 对D：∵，则， 故以，为邻边的平行四边形的面积为，故D正确. 故选：ABD. 10. 掷2次质地均匀的骰子，记事件为“两次掷出的数字相同”，事件为“两次掷出的数字不同”，事件为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有（ ） A. 和互斥 B. 和独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义判断B；根据条件概率的公式即可判断C；根据古典概型即可判断D． 【详解】对于A，由题可知，和互斥，故A正确； 对于B，，，， ，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，，故D正确； 故选：ACD． 11. （多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C. 【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示： 由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则；当与重合时，， 于是，因此，C正确． 对于D，如图②所示，取，，则，D正确． 故选：ACD 三、填空题 12. 若随机变量，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布方差的计算方式以及方差的性质，可得答案. 【详解】由题意可得，. 故答案为：. 13. 的展开式中，的系数为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 14. 已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，得到，得到离心率. 【详解】连接，由题意得，， 又，所以四边形为矩形，故， 所以，故， 又，由勾股定理得， 即，， 故，即，故， 解得， 又上存在关于坐标原点对称的两点，使得，故， 所以，即，所以，，解得， 综上，的离心率的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 四、解答题 15. （1）计算：；（结果用数字表示） （2）解不等式：； 【答案】（1）495；（2）3或4 【解析】 【分析】（1）根据组合数性质运算求解； （2）根据排列数公式运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知： ； （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 16. 已知点和圆：. （1）求经过点的圆的切线方程； （2）若是圆上一动点，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）验证斜率不存在时是否符合题意，斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （2）设，则，根据是圆上一动点，可得直线与圆有公共点，根据圆心到直线的距离小于等于半径列不等式求解即可 【小问1详解】 圆的方程可化为，圆心，半径. 过点且斜率不存在的直线与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，切线方程为， 所求切线方程为或. 【小问2详解】 设，则， 即， 因为是圆上一动点， 所以与有公共点， 所以，解得， 的取值范围 17. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 由于,故建立如图所示的空间直角坐标系， 则 , 故， 故，因此 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的垂直及可求解， （2）求解平面法向量，即可根据夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于平面，故平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， , 故，令，则， 设二面角的平面角为，由图可知为钝角， 故 18. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，认为学生报名参加答题活动与性别有关联 （2）（i）；（ii）的分布列见解析, 【解析】 【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成列联表，再计算出的值判断即可； （2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则，根据二项分布的概率性质建立不等式组即可求解；（ii）写出的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可写出的分布列及期望. 【小问1详解】 因为，所以愿意报名参加答题活动人数为， 又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为，则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001； 【小问2详解】 （i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则. 则， 假设最有可能答对题目的数量是10次，则 即： 解得，又，则； （ii）的所有可能取值为：1，2，3，4， ，，， ， 所以的分布列为： X 1 2 3 4 P 故. 19. 已知一动圆与直线相切且过定点. （1）求圆心的轨迹方程； （2）、是的轨迹上异于原点的两点； （i）若，求面积最小值； （ii）直线、的倾斜角分别为与，当时，试问：直线是否过定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）是，定点为. 【解析】 【分析】（1）根据题设有，整理化简即可得轨迹方程； （2）（i）设，，联立抛物线，应用韦达定理及求参数，进而有直线恒过点，根据求最小值； （ii）法一：根据已知可得、，写出直线的方程，结合及差角正切公式得，代入直线整理求定点即可；法二：设直线的方程为：，联立抛物线方程得到韦达定理式，根据两角和的正切公式再代入韦达定理式即可得到，则得其所过定点. 【小问1详解】 设，由题意有，则； 【小问2详解】 （i）设，，联立抛物线有， 则，且，，则， 由，可得，即， 所以直线恒过点，则 ，当且仅当时取等号， 所以面积最小值为； （ii）法一：由题设且，联立，可得，同理， 所以，则, 由， 所以， 当时，， 所以直线过定点. 法二：由题，斜率必存在，设直线的方程为：， 联立，消有：， ，， ， 代入韦达定理式得， 直线的方程为：， 过定点． 【点睛】关键点点睛：第二问，二小问，根据已知写出直线关于已知参数的方程，结合求定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川一中2025-2026学年上学期期末考试 高二年级数学试卷 命题人： 一、单选题 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是空间的一个基底，则下列集合可构成空间的一个基底的是（ ） A. B. } C. D. 3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6 5. 某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（ ）种. A. 18 B. 24 C. 27 D. 64 6. 已知椭圆的上，下顶点分别为，左顶点为，左焦点为，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 某学校随机将16名学生平均分成两个小组，分别参加数学和物理兴趣小组，学生学号为1，2，3，..，16，设数学小组里的学生最小学号为，最大学号为，物理小组里的学生最小学号为，最大学号为，则“”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，，则（ ） A. ，夹角为锐角 B. 与相互垂直 C. D. 以，为邻边的平行四边形的面积为 10. 掷2次质地均匀的骰子，记事件为“两次掷出的数字相同”，事件为“两次掷出的数字不同”，事件为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有（ ） A. 和互斥 B. 和独立 C. D. 11. （多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是4 三、填空题 12. 若随机变量，则的值为______. 13. 的展开式中，的系数为______ 14. 已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为______． 四、解答题 15. （1）计算：；（结果用数字表示） （2）解不等式：； 16. 已知点和圆：. （1）求经过点的圆的切线方程； （2）若是圆上一动点，求的取值范围. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 18. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知一动圆与直线相切且过定点. （1）求圆心的轨迹方程； （2）、是的轨迹上异于原点的两点； （i）若，求面积最小值； （ii）直线、的倾斜角分别为与，当时，试问：直线是否过定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $