第27章相似 章节测试 2025-2026学年人教版数学九年级下册

第27章 相似 章节测试2025-2026学年人教版数学九年级下册 一、单选题 1．如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，若点C，D都是线段的黄金分割点，，则AD的长度是（　　） A．2 B． C． D． 3．如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（　　） A． B． C． D．1 4．如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，OPAB交BC于点P，连接OD，若OP=3，AD=8，则OD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为．则标杆的影长为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在 中，如果点 是边 的中点，且 ，那么下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，定点C、动点D在上，并且位于直径的两侧，，过点C在作交的延长线于点E，则线段长度的最大值为（　　） A． B． C．16 D． 8．如图， 在平面直角坐标系中， 的顶点 与原点重合，点 在 轴的正半轴上， 按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长度为半径作 弧，分别交边 ， 于点 ， ；②分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧， 两弧在 内交于点 ；③作射线 ，交边 于点 ．若 ， ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB=AB，连PC，作CE⊥CP交AP的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②FG2=4CF•CD；③AD=DE；④CF=2DF．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（　　） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．不变 D．先变短后变长再变短 11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边上的点F处，若AD＝2，BC＝6，则EF的值是（　　） A．2 B． C． D．2 12．如图，正方形的对角线相交于点O，点F是上一点，交于点E，连接交于点P，连接OP．则下列结论：①；②；③；④若；则；⑤．其中正确的结论是（　　） A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 二、填空题 13．已知线段，，如果线段是线段的比例中项，那么线段等于　 　． 14．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为　 　． 15．甲、乙两同学测量一棵树的高度，在阳光下，甲同学测得一根1米长的竹竿的影长为0.8米，同时，乙同学测量时，发现树的影子不全落在地面上，如图，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长CD＝1.2米，落在地面上的影长BC＝2.4米，则树高AB的长是　 　米. 16．如图，正方形中，，点E为中点，以为直径的半圆交线段于点F，连接交于点G．下列结论：①；②；③；④当点E在边上（不与B、C重合）运动时，有最大值．其中正确结论有　 　． 17．如图，在矩形中，，对角线相交于点，点在射线上运动，过点作交射线于点，当时，的面积为　 　． 三、解答题 18．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4． （1）求CE的长； （2）求AB的长． 19．如图．，，． （1）请你添加一个条件，使相似于，你添加的条件是______． （2）若，，在（1）的条件下．求的长度． 20．如果一个矩形的宽与长的比是黄金比，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，已知四边形ABCD为黄金矩形，以它的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形，你能证明这个结论吗？ 21．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若 ▲ ，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 22．如图，，是的中点，延长交于点，与的延长线交于点．若，，，求：的长． 23．在矩形纸片中，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处． （1）如图1，若点落在对角线上，，则的度数为______； （2）如图2，若点是的中点，的延长线交于点，，，求的长； （3）如图3，若点落在对角线上，点，，三点共线，，求的长． 24．在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接． （1）如图1，，，若，求的度数； （2）如图2，，，过点D作交于点F，若，求证：； （3）如图3，，延长交的延长线于点F，交于点G，点D是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，连接，若，当线段取得最大值时，请直接写出的值． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】C 【解析】【解答】解：在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD， ∵AD∥BC，∠A＝∠AEC， ∴AB＝CE， ∴CE＝CD，故A不符合题意； ∵点E是边AD的中点， ∴AD＝BC＝2AE＝2DE， ∵AD∥BC， ∴△BFC∽△DFE， ∴ ∴BF＝2DF，故B不符合题意； ∵AB＝CE， ∴FC＝2EF， ∴CE＝3EF， ∴AB＝CE＝3EF，故C符合题意； ∵ ，△BFC∽△DFE， ∴S△BFC＝4S△DEF， ∴S△DFC＝2S△DEF， ∴S△BCD＝S△BFC+S△DFC＝6S△DEF， ∴S四边形ABFE＝5S△DEF，故D不符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据平行四边形的性质和 点 是边 的中点，且 ， 对每个选项一一判断求解即可。 7．【答案】B 8．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，分别过C、D、B点作CJ⊥AO于J，DK⊥AO于K，BL⊥AO于L， ∵在 中，则 ； ∵射线OP为∠AOC的平分线， ，DK⊥AO， ， ， ∴ ∴ ； ∵CJ⊥AO，DK⊥AO ， ∴CK∥DK， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，即B点的纵坐标为 ； ∵ ， ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即B点的横坐标为 ； 综上所述，点B 的坐标为 ． 故答案为：D． 【分析】由已知条件证明，得到OC=OQ，DC=DQ=3，AD=5，在直角三角形ADQ中，由勾股定理求出AQ，从而求出OQ，根据四边形OABC是平行四边形，得到AB//OC，从而得到，再利用相似三角形的性质求出OC，最后利用勾股定理求解即可。 9．【答案】C 【解析】【解答】解：①如图： 正方形ABCD中BA=BC，∠ABP=∠CBP，BP=BP， ∴△ABP≌△CBP，那么∠1=∠2， 在直角三角形ABG中∠1与∠G互余， ∠PCE=90°，那么∠2与∠5互余， ∴∠5=∠G， ∴EC=EG． 在直角三角形FCG中∠3与∠G互余，∠4与∠5也互余，而∠5=∠G， ∴∠3=∠4， ∴EC=EF， 从而得出EG=EF，即E为FG的中点． ∴①正确． ③∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BP=BP， ∴△ABP≌△CBP， ∴∠1=∠2， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠DFA， ∵AB=BP， ∴∠1=∠BPA， ∵∠DPF=∠APB， ∴∠DPF=∠DFP， ∵∠3=∠DFP， ∴∠4=∠DPE， ∴D、P、C、E四点共圆， ∴∠DEA=∠DCP， ∵∠1+∠DAP=90°，∠2+∠DCP=90°， ∴∠DAP=∠DCP=∠DEA， ∴AD=DE， ∴③正确， ②∵∠3=∠4，AD=DE（③已求证）， ∴△CEF∽△CDE， ∴ = ，即CE2=CF•CD， ∵∠3=∠4， ∴CE=EF， ∵E为FG的中点． ∴FG=2CE，即CE= FG， ∴ =CF•CD， 即FG2=4CF•CD， ∴②正确． ④∵四边形ABCD是正方形， ∴△PDF∽△PBA， ∴ = = ， ∴ = ， ∴ = ， 即CF= DF， ∴④错误， 综上所述，正确的由①②③． 故答案为：C． 【分析】①如图：根据正方形的性质得出BA=BC，∠ABP=∠CBP，从而利用SAS判断出△ABP≌△CBP，根据全等三角形的对应角相等得出∠1=∠2，根据等角的余角相等得出∠5=∠G，根据等角对等边得出EC=EG，根据等角的余角相等得出∠3=∠4，根据等角对等边得出EC=EF，故从而得出EG=EF，即E为FG的中点；根据二直线平行，内错角相等得出∠1=∠DFA，根据等边对等角得出∠1=∠BPA，根据对顶角相等得出∠DPF=∠APB，故∠DPF=∠DFP，然后根据等量代换得出∠4=∠DPE，根据确定圆的条件得出D、P、C、E四点共圆，根据圆周角定理得出∠DEA=∠DCP，根据等角的余角相等及等量代换得出∠DAP=∠DCP=∠DEA，根据等角对等边得出AD=DE；判断出△CEF∽△CDE，根据相似三角形对应边成比例得出CE2=CF•CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出FG=2CE，即CE= FG，整体替换得出FG2=4CF•CD；利用正方形的性质判断出△PDF∽△PBA，根据相似三角形的性质得出 = = ，根据比例式即可得出CF= DF，综上所述即可得出答案。 10．【答案】C 11．【答案】A 12．【答案】B 13．【答案】4 14．【答案】28 15．【答案】4.2 【解析】【解答】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米. 则有 ＝ ， 解得x＝3. 树高是3+1.2＝4.2（米）. 故树高为4.2米. 故答案为：4.2. 【分析】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，由根据同一时刻、同一地点，不同物体的长度与影子之比相等建立方程，求出x的值，进而可得树高. 16．【答案】①②④ 17．【答案】20或 18．【答案】（1）CE＝；（2）AB＝． 19．【答案】（1）（答案不唯一） （2） 20．【答案】证明：设矩形ABCD的长为x， ∵四边形ABCD为黄金矩形， ∴宽BC为 x， ∵四边形AEFD是正方形， ∴BE=x﹣ x= x， ∴ = = = = = ， ∴BE与BC的比是黄金比， ∴剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形 【解析】【分析】根据黄金分割设出矩形ABCD的长和宽，然后表示出矩形BCFE的宽，再求出宽与长的比值即可得证． 21．【答案】解：若选①； 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 选择②；，不能证明． 若选③；， 证明：∵， ∴，∴， 又∵， ∴． 【解析】【分析】若选择①，根据相似三角形的性质可得∠ADC=∠A′D′C′，，结合邻补角的性质可得∠ADB=∠A′D′B′，根据条件①得，则，然后结合相似三角形的判定定理进行证明；若选择③，根据相似三角形的性质得∠ADC=∠A′D′C′，结合邻补角的性质得∠ADB=∠A′D′B′，然后结合条件③即可证明. 22．【答案】 23．【答案】（1） （2） （3） 24．【答案】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， 又∵， ∴； （2）证明：在上截取，连接交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ； ∴， ∴， 又∵∠， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：． 【解析】【解答】解：如图所示，在上取一点T，使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点F作分别交延长线于S、K， ∴， 又∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 如图所示，取中点R，连接， 由折叠的性质可得， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点M在以R为圆心，为半径的圆上运动， ∴当A、M、R三点共线，且R在上时，有最大值， 如图所示，过点A作于V， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 【分析】（1）先根据题意得到∠A的度数，进而根据等边三角形的判定与性质得到，再根据平行线的性质得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明得到，从而运用角的运算即可求解； （2）在上截取，连接交于点N，先根据等腰三角形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，再证明即可得到，从而结合题意得到，再证明得到，从而即可得到，再结合题意进行线段的运算即可求解； （3）在上取一点T，使得，连接，先根据等边三角形的判定与性质得到，进而证明即可得到，设，则，进而结合题意即可得到，设，则，，再根据线段的运算得到，过点F作分别交延长线于S、K，根据等边三角形的判定与性质结合题意即可得到，，进而根据相似三角形的判定与性质得到，取中点R，连接，由折叠的性质可得，进而根据三角形中位线定理结合题意得到，从而得到点M在以R为圆心，为半径的圆上运动，当A、M、R三点共线，且R在上时，有最大值，过点A作于V，进而结合题意运用勾股定理即可求解。 学科网（北京）股份有限公司 $