精品解析：山东济南市市中区2025-2026学年第一学期期末九年级数学试卷

2025-2026学年第一学期 数学九年级参考样题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 4. 如图，在中，，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，抛物线向上平移3个单位长度后得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若， ，的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 小明从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①，②，③，④，⑤， 你认为其中正确信息的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题:（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为________． 12. 如图，已知点、分别是的边、上的点，要使得，可添加的一个条件是________．（只写一个） 13. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求斜坡上相邻两树间的坡面距离为4米，则相邻两树间的水平距离AC为_________米． 14. 掷实心球是广安市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生（图1）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如（图2）所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．根据广安市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生）：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该男生在此项考试中________得满分（选填：“能”或“不能”）． 15. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，轴于点B，，点C在x轴正半轴上，连接PC，，若的面积为6，则k的值为_________． 三、解答题:（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 如图，DE∥BC，且AD＝3，AB＝5，DE＝4，求BC的长． 18. 如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为，拱桥的最高点B到水面的距离为．求抛物线的表达式． 19. 小红竖直站立在地面上（），E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到垂直于地面教学楼的顶端（），根据光的反射定律可得，此时米，米．已知眼睛距离地面的高度米，求教学楼的高度． 20. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，研究人员对某型号机器狗的最快移动速度和负重重量的数据进行了记录，得到部分数据如下表所示： 负重重量 30 20 15 12 10 最快移动速度 2 3 4 5 6 （1）请选择合适的函数模型，并求出关于的函数解析式． （2）若想要该型号的机器狗载重后的最快移动速度大于，求负重重量的取值范围． 21. 如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． （1）求证：是切线． （2）若，，求半径． 22. 阅读与思考 阅读材料，完成任务． 书架摆放设计 素材一 一个书架上放着个完全一样的长方体档案盒，其中左边个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放．档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上． 素材二 经测量知，书架内侧的长为，档案盒的长．（参考数据：） 任务一 （1）利用素材二中的数据求的长． 任务二 （2）求出每个档案盒的厚度（即求的长）． 23. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）点P是在y轴上一动点，连接，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 24. 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当时， ；② 当时， （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决 当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长. 25. 综合与探究，如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，平行于x轴直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知在x轴上存在一点D，使得的周长最小，则点D的坐标为　 ； （3）若点P在直线上，直线将的面积分成两部分，求点P坐标． （4）点Q在直线上，在抛物线上是否存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期 数学九年级参考样题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断． 【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． 故选：D． 【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质，将已知进行变形，得到，代入即可求出答案． 【详解】解： 故选：D 【点睛】本题主要考查了比例的性质；能灵活运用比例关系式，将所求代数式正确变形是做出本题的关键． 3. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，直接代入求值即可．将点的坐标代入反比例函数解析式，求解的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 代入得， ． 故选：D． 4. 如图，在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，注意正弦，余弦，正切定义记清楚．直接利用正弦函数的定义进行求解即可． 【详解】解：在中： ． 故选：B． 5. 如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 故选：. 6. 在平面直角坐标系中，抛物线向上平移3个单位长度后得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，向上平移时，函数表达式中的常数项增加平移单位数即可得解． 本题考查二次函数图象的平移，掌握“上加下减”的规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度后得到的抛物线为． 故选：D． 7. 如图，若， ，的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据题意可知，，据此即可求得答案． 【详解】∵， ∴，． ，的值无法确定． 故选：C 8. 将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求解锐角的正切，本题先利用平行线的性质把转化到已知直角三角形中，从而可得答案，熟练的利用平行线的性质进行等角的转换是解本题的关键． 【详解】解：如图，先标注顶点，∵， ∴， 在中，， ∴． 故选B． 9. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出，由旋转的性质得到，于是． 【详解】解：，，， ， ∴， 绕A点逆时针旋转后得到， ， ∴ ∴． 故选：A． 10. 小明从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①，②，③，④，⑤， 你认为其中正确信息的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上可知a＞0，图象与y轴交点在负半轴，c＜0，正确； ②由图象可知x=-1时，y=a-b+c＞0，正确； ③对称轴x=-＞0，a＞0，b＜0，abc＞0，正确； ④对称轴x=-=，-3b=2a，2a-3b=-6b，错误； ⑤由图象可知x=2时，y=4a+2b+c＞0，正确． 所以①②③⑤四项正确． 故选C． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题:（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为________． 【答案】π 【解析】 【分析】根据弧长公式求出即可． 【详解】解：∵一个扇形的圆心角为60°，半径为3， ∴此扇形的弧长是， 故答案为：π． 【点睛】本题考查了弧长的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：一个扇形的圆心角为n°，半径为r，则此扇形的弧长是． 12. 如图，已知点、分别是的边、上的点，要使得，可添加的一个条件是________．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由于和有一个公共角，所以利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件． 【详解】解：∵， ∴当时，． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求斜坡上相邻两树间的坡面距离为4米，则相邻两树间的水平距离AC为_________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坡度．根据坡度等于“铅直距离与水平距离的比”，设米，则米，由勾股定理表示出坡面距离．结合坡面距离为4米，列方程求解． 【详解】解：由题意得， 设米，则米， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 掷实心球是广安市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生（图1）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如（图2）所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．根据广安市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生）：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该男生在此项考试中________得满分（选填：“能”或“不能”）． 【答案】能 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用． 根据题意设二次函数的表达式为顶点式，代入起始点的坐标求出关于的函数表达式，令，求出落地点坐标即可与进行比较，从而作出判断． 【详解】解：由题可知抛物线的顶点为， 故可设关于的函数表达式为， 把起始点代入表达式，得，解得 ； 令，即， 解得（负值舍去）． ， 该男生在此项考试中能得到满分． 故答案为：能． 15. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，轴于点B，，点C在x轴正半轴上，连接PC，，若的面积为6，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的判定和性质得到，设，则，根据三角形面积公式求出，根据k的意义作答即可． 【详解】解：∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， 设 ∵， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：（负值舍去） ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，三角函数，解一元二次方程，反比例函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三、解答题:（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案． 本题考查特殊角的三角函数值，熟记相关数据是解题关键． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，DE∥BC，且AD＝3，AB＝5，DE＝4，求BC的长． 【答案】． 【解析】 【分析】根据可得，再根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式， 代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵，，， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质， 掌握相似三角形的对应角相等， 对应边的比相等是解题的关键． 18. 如图，单孔拱桥形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为，拱桥的最高点B到水面的距离为．求抛物线的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查待定系数法求函数解析式，根据实际问题得到图象上点坐标，设定函数解析式是解题的关键．由题意可知，顶点坐标，设二次函数顶点式，将代入求出，即可得到抛物线的表达式． 【详解】解：由题意可知，顶点坐标， 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得：， 则抛物线的表达式． 19. 小红竖直站立在地面上（），E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到垂直于地面的教学楼的顶端（），根据光的反射定律可得，此时米，米．已知眼睛距离地面的高度米，求教学楼的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据有两个角对应相等的三角形相似，可证，根据相似三角形的性质可得，可得教学楼的高度． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 米，米，米， ， 解得：米， 答：教学楼的高度为米． 20. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，研究人员对某型号机器狗的最快移动速度和负重重量的数据进行了记录，得到部分数据如下表所示： 负重重量 30 20 15 12 10 最快移动速度 2 3 4 5 6 （1）请选择合适的函数模型，并求出关于的函数解析式． （2）若想要该型号的机器狗载重后的最快移动速度大于，求负重重量的取值范围． 【答案】（1） （2）负重重量的取值范围是． 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）由数据可知，得到与成反比例，则关于的函数解析式，即可解答； （2）令，即，求出，再根据，得到，即可解答． 【小问1详解】 解：由数据可知， ∴与成反比例， ∴关于的函数解析式． 【小问2详解】 解：令，即， 解得， 又∵， ∴． 答：负重重量的取值范围是． 21. 如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定以及含角的直角三角形性质，熟练掌握切线判定定理和直角三角形边角关系是解题关键． （1）利用“直径所对圆周角为直角”得到角的互余关系，结合等腰三角形性质和已知角相等的条件，推导出半径与直线垂直，从而证明切线； （2）在直角三角形中，根据角所对直角边是斜边的一半，结合线段和差关系，建立关于半径的等式求解． 【小问1详解】 证明：连接 是的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， 又， ， 的半径为． 22. 阅读与思考 阅读材料，完成任务． 书架摆放设计 素材一 一个书架上放着个完全一样的长方体档案盒，其中左边个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放．档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上． 素材二 经测量知，书架内侧的长为，档案盒的长．（参考数据：） 任务一 （1）利用素材二中的数据求的长． 任务二 （2）求出每个档案盒的厚度（即求的长）． 【答案】任务一：的长约为； 任务二：每个档案盒的厚度为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）由题意可知，则有， （）由题意得，通过三角形内角和定理得， 设每一个档案盒的厚度为，由（）得，然后求出的值即可． 【详解】解：（）由题意，可知， 在中，， ∴， ∴的长约为； （）解：由题意，得， ∴， ∴， 设每一个档案盒的厚度为， 在中，， ∴， 由（），得， ∴， 答：每个档案盒的厚度为． 23. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）点P是在y轴上一动点，连接，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3），，， 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线解析式，继而求出直线与轴的交点坐标，根据代入数据计算即可； （3）分四种情况讨论，分别求出满足条件的点坐标即可． 小问1详解】 解：已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点， ， ，， 反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：，在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为：， 设一次函数与轴交点为，则，， ； 【小问3详解】 解：在轴上存在点，使是等腰三角形， 设点， ， ， 分四种情况考虑，如图所示： 当时，为等腰三角形， 则，即， 解得 ； 当时， 则， 此时； 当时，， 此时； 当时， 则， 此时； 综上，满足题意坐标为，，，． 24. 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当时， ；② 当时， （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决 当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长. 【答案】（1）①,②.（2）无变化；理由参见解析.（3），. 【解析】 【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少． ②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可． （2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可． （3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可． 【详解】（1）①当α=0°时， ∵Rt△ABC中，∠B=90°， ∴AC=， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴,BD=8÷2=4， ∴． ②如图1， ， 当α=180°时， 可得AB∥DE， ∵， ∴ （2）如图2， ， 当0°≤α＜360°时，的大小没有变化， ∵∠ECD=∠ACB， ∴∠ECA=∠DCB， 又∵， ∴△ECA∽△DCB， ∴． （3）①如图3， ， ∵AC=4，CD=4，CD⊥AD， ∴AD= ∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=． ②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P， ， ∵AC=，CD=4，CD⊥AD， ∴AD=， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE==2， ∴AE=AD-DE=8-2=6， 由（2），可得 ， ∴BD=． 综上所述，BD的长为或． 25. 综合与探究，如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知在x轴上存在一点D，使得的周长最小，则点D的坐标为　 ； （3）若点P在直线上，直线将的面积分成两部分，求点P坐标． （4）点Q在直线上，在抛物线上是否存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）P的坐标为或 （4）在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）由对称轴直线，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式； （2）如图1，作点关于x轴的对称点为点，连接交x轴于点D，则，此时取得最小值，则此时的周长最小，再求出直线解析式，即可求解； （3）求出直线解析式为，设直线l与交于点P，如图2，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，可得，然后根据直线将的面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）设点Q的坐标为，设交y轴于点K，则，分四种情况，通过证明三角形全等，求出M的坐标，再代入即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与y轴交于点，对称轴为直线， 将点A的坐标代入，结合对称轴公式得：， 解得：， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 对称轴为直线，， 点B横坐标为，C横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：， ． 如图1，作点关于x轴的对称点为点，连接交x轴于点D，则， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为，将点B的坐标代入得：， 解得：， 直线解析式为， 当时，， 解得：， 点D的坐标为， 故答案：； 【小问3详解】 解：由（2）得：， 设直线解析式为， ，解得：， 直线解析式为， 设直线l与交于点P，如图2，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ， ， 直线将的面积分成两部分， 或， 或， ， 或， 或， 点P的横坐标为或， 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时， 综上所述，点P的坐标为或； 【小问4详解】 在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或，理由如下： 设点Q的坐标为， 设交y轴于点K，则， 根据题意得：， 如图3，过点M作于点N，则，此时, ， ， 在和中 ， ， , ， 点， 把点代入得：， 解得：（不合题意，舍去）或0， 此时点Q的坐标为； 如图4，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，, 同理， ， ， 点， 把点代入得：， 解得：或（不合题意舍去）， ； 如图5，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时， 同理， ， ， 点， 把点代入得：， 解得： （不合题意舍去）或， ； 如图6，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时， 同理， ， ， 点， 把点代入得：， 解得：或0（不合题意，舍去）， 点； 综上所述，在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $