8.2.平行四边形 第4课时 平行四边的判定定理 课件 2025-2026学年青岛版八年级数学下册

第8章 四边形 平面图形 三角形 ………… 青岛版 八年级下册 四边形 图形的性质 内容提要 ◆ 四边形 ◆ 梯形 ◆ 平行四边形 ◆ 矩形、菱形、正方形 两组对边分别平行的四边形平行四边形。 几何语言： ∴四边形ABCD是平行四边形。 AB∥CD，　 AD∥BC　 ∵ ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，　 AD∥BC　 平行四边形的定义： 判定方法 性质方法 温故而知新 两组 的四边形是平行四边形。 ∵ ， 几何语言： 平行四边形的判定定理1： ∴四边形ABCD是平行四边形 温故而知新 对边分别相等 AB＝CD，BC＝AD 一组对边 的四边形是平行四边形。 ∵ ， 几何语言： 平行四边形的判定定理2： ∴四边形ABCD是平行四边形 温故而知新 平行且相等 AD∥BC，AD=BC 前面我们从四边形对边的位置关系和数量关系出发,得到了平行四边形的几种判定方法。 创设情境 导入新课 那么,四边形的角或对角线满足什么条件时, 能够判定它是平行四边形呢? 青岛版数学八年级下册 第8章四边形 8.2 平行四边形 第4课时 平行四边形的判定 (1)我们知道 “平行四边形的两组对角分别相等”, A D C B 探究一 平行四边形的判定定理 已知：四边形ABCD, ∠A=∠C，∠B=∠D 求证：四边形ABCD是平行四边形 “两组对角分别相等的四边形是平行四边形”吗? 思考与交流 ∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知） 又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 ° 证明： ∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行） ∴四边形ABCD是平行四边形 ∴ 2∠A+ 2∠B=360 ° 即∠A+ ∠B=180 ° 同理可证AB∥CD A D C B 的四边形是平行四边形。 ∵ ， 几何语言： 平行四边形的判定定理3： ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对角分别相等 ∠A=∠C，∠D=∠B 探究一 平行四边形的判定定理 A. 1：3：3：1 B. 1：3：1：3 C. 3：3：1：1 D. 3：1：1：3 B 例1、下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、 ∠D的度数之比，其中能判别四边形ABCD是 平行四边形的是（　） 例题解析 练习1.一个四边形的三个角的度数依次如下，那么能判定四边形是平行四边形的是（ ） A 88°，108°，88° B 88°，104°，108° C 88°,92°,92° D 108°，72°，108° 跟踪练习 D (2)如图,任意画两条相交直线l1,l2,交点记为O,在l1上以O 为端点,截取OA=OC;在l2 上以O 为端点,截取OB=OD。连接AB,BC,CD,DA,得到四边形ABCD。这个四边形是平行四边形吗? 思考与交流 探究一 平行四边形的判定定理 你有几种证明方法？ OA=OC, ∠AOB=∠COD, OB=OD, 在△ABO 与△CDO 中, ∴△ABO≌△CDO(SAS)。 ∴AB=CD, ∠3=∠4 1 2 3 4 ∴AB∥CD。 ∵AB=CD,AB∥CD ∴四边形ABCD 是平行四边形。 证明： 的四边形是平行四边形。 ∵ ， 几何语言： 平行四边形的判定定理4： ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线互相平分 OA=OC，OB=OD 探究一 平行四边形的判定定理 A D C B O 1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 4、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 平行四边形的判定定理： 平行四边形的判定定理与性质定理的关系 判定定理 性质定理 图形 定理2：两组对角相等的 四边形是平行四边形. 定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 定理1：平行四边形的两组对边分别相等。 定理2：平行四边形的 两组对角分别相等。 定理3：平行四边形的 对角线互相平分. 定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 A D C B O 平行四边形的判定定理1、判定定理3和判定定理4,分别与平行四边形的性质定理1、性质定理2和性质定理3互为逆命题。 探究一 平行四边形的判定定理 通常,对一个定理的逆命题进行探究,是数学发现的一种重要途径。 例2、如图,在 ABCD 中,E,F 是对角线AC 上的两点,且AF=CE。求证:BF∥DE。 O 证明:如图，连接BD,交AC 于点O。 ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD。 ∵AF=CE,∴OF=OE。 ∴四边形BEDF 是平行四边形。 ∴BF∥DE。 例题解析 练习2．如图四边形ABCD中，AB//CD，只需添加一个条件，能使四边形ABCD是平行四边形，现有条件:①AB=CD，②BC=AD，③AD//BC， ④∠ABC=∠ADC， 这些条件中，满足要求的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A C B D C 跟踪练习 例3.如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠DAB,∠BCD的平分线。 求证：四边形AFCE是平行四边形。 A C B D E F 例题解析 A C B D E F 证法一:(证两组对角相等) ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB=∠BCD,∠B=∠D. ∵AE平分∠DAB,CF平分∠BCD, ∴∠DAE=∠FAE=1/2∠DAB, ∠ECF=∠BCF=1/∠BCD, ∴∠DAE=∠FAE=∠ECF=∠BCF. 又∵∠AEC=∠DAE+∠D,∠AFC=∠BCF+∠B, ∴∠AEC=∠AFC. ∴四边形AFCE是平行四边形。 A C B D E F 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠DAB=∠BCD,DC // AB. 所以∠DEA=∠EAF,∠ECF=∠CFB. 又因为AE平分∠DAB,CF平分∠BCD, 同证法一可得∠DAE=∠FAE=∠ECF=∠BCF. 所以∠DEA=∠ECF.所以AE // CF. 所以四边形AFCE是平行四边形。 证法二；(证两组对边平行) A C B D E F 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=BC,AB=CD，AB // CD即EC // AF. 所以∠DEA=∠EAB. 又因为4E平分∠DAB， 所以∠DAE=∠EAB. 所以∠DAE=∠DEA。所以DE=AD. 同理BF=BC，所以DE=BF, 所以DC-DE=AB-BF，即EC=AF. 所以四边形AFCE为平行四边形。 证法三：(证一组对边平行且相等) 如图，四边形ABCD中AD∥BC，AB=CD，但四边形ABCD不是平行四边形。 × 练习3.判断题： （1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形。（ ） 跟踪练习 （2）对角线相等的四边形是平行四边形。（ ） 如图，四边形ABCD的对角线相等，但四边形ABCD不是平行四边形。 × 如图，四边形ABCE中，∠A与∠B互补，∠D与∠C互补，即有两组邻角互补，但 四边形ABCD不是平行四边形。 × （3）有两组邻角互补的四边形是平行四边形。（ ） 如图，四边形ABCD中， AB=AD，BC=CD， 但四边形ABCD不是平行四边形。 × （4）有两边相等，并且另外两边也相等的四边形是平行四边形。（ ） 如图，四边形中ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，由此可证AD∥BC，DC∥AB， 所以四边形ABCD是平行四边形。 √ （5）两组对角分别相等的四边形一定是平行 四边形。（ ） 如图，四边形ABCD中，∠A=∠D，∠B=∠C， 但四边形ABCD不是平行四边形。 × （6）有两组内角分别相等的四边形是平行四 边形；（ ） 如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D任意相邻两角互补， 由此可证AD∥BC，DC∥AB， 所以四边形ABCD是平行四边形。 √ （7）任意相邻内角互补的四边形是平行四边 形；（ ） 如图，四边形ABCD中， ∠A=∠C，AB=CD， 但四边形ABCD不是平行四边形。 × （8）有一组对边相等，还有一组对角相等的四边形是平行四边形。（ ） 你学会了哪些判定平行四边形的方法？ 课堂小结 1.下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 。①∠A+∠B=180,∠B+∠C=180; ②∠A∶∠B∶∠C∶∠D=3∶4∶3∶4； ③∠A=∠B，∠C=∠D; ④∠A=∠C,∠B=∠D. 当堂检测 ① ② ④ A D C B O E F 2.如图，在 ABCD中，对角线AC,BD相交于O, E,F分别是OA,OC的中点，连接DE,BF。 求证：DE//BF. 证明:连接BE,DF. ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD。 ∵E,F分别是OA,OC的中点， ∴OE=OA,OF=OC, ∴OE=OF。 ∵OE=OF,OB=OD。 ∴四边形BEDF 是平行四边形。 ∴DE//BF。 $