河南开封高级中学2025-2026学年高二年级上学期期末考试数学试题

开封高中27届高二年级上学期期末考试数学试题答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.D【详解1由稀圆C:二+二-1可得d=100,得a=10,所以到C的左.右焦点的距离之和为2a=20 “10025 2.A【详解】M为四面体OABC的棱BC的中点，N为OM的中点， 故OM-号08+oc,oW-0M=+,Op-a1+a,因为4P=2N,所以0-w. 0r=o1+A-oa+号4N-a1+引oN-a4-a+ow-a+6+言 3 3a+5b+1c 66 3.A【详解】S,=13(a+a_13(a,+a_13×852. 2 2 4.A【详解】当m=4时，两条直线分别为4x+5y+2=0与5x-4y+3=0,两条直线互相垂直，反之，由 (2m-4)x+(m+1)y+2=0与直线(+1)x-ny+3=0垂直，(+1)(2-4)+（-m(m+1)=0,解得 m=4或m=-1,则不能推出m=4,所以=4”是“直线（2-4)x+(+1)y+2=0与直线 (m+1)x-y+3=0垂直的充分不必要条件. 5.D【详解】直线1恒过定点P(2,3),圆C:(x-3)2+(y-4)2=9的圆心为C(3,4),半径为r=3,又 PC=(2-3)+(3-4)=2<9,即P在圆内，当CP⊥1时，圆心C到直线1的距离最大为d=PC=√2， 此时，直线1被圆C截得的弦长最小，最小值为2√2-d2=2√万. 6.C【详解】由己知m=2×8,加=4，当加=-4时，方程为x+上=1，曲线为椭圆，a2=4,6:=1, 4 c=4=5,离心率为e-5；当m=4时，方程为兰=1，曲线为双曲线，心-1B=4 4 c=√4+1=√5，离心率为e=√5. 7.C【详解】由己知可得P-ABC是正三棱锥，设PH是正三棱锥P-ABC的高， 易知外接球求心O在PH上，且H为底面正△ABC的中心. 如图，设外接球的半径为R,由题可知CH=,×s60=√5， 则PH=√PC2-CH=3.由oC2=0H+CH得R2=(3-R)2+(N5, 解得R=2,所以外接球的体积为V=4元 3π×23=-32π 3 3 8.B【详解】设球的半径为？，则椭圆的短轴长2b=2r,即b=r. 过椭圆的长轴作α的垂面，得到如图所示的截面图， 其中DE是椭圆的长轴，BC //DE,AD,BE是光线， A,B是光线与球面的切点，则∠ACB=日，AB=2r, 2r 椭圆的长轴长2a=DE=BC= n日'即a- sine 故椭圆的离心率e=C- b' =√1-sin20=cosa a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.BC【详解】对于A:因为AB=(1,1),CD=（-2,-2): 所以CD=-2AB,则CD/AB,则ABIICD或AB与CD在同一条直线上，故A错误： 对于B:若A,B,C,D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0,故B正确： 对于C:·MP=2MA+3MB,.MP,MAMB三个向量共面，∴.P,M,A,B四点共面，故C正确： 对于D:c-a=(b+ca+b),.a+b,b+c,c-a三个向量共面， :{ā+b,五+c,d-d}不能作为空间的一组基底，故D错误 13 10.AcD【详解】对于A,由a=-21+13,令a=-2n+13>0,解得<2，令a=-2n+13<0,解得 心号，又E,则a,>0,凸<0，数列a,}单调递减，数列1a}前6项的和最大，A正确 对于B,当a1<0,q>1时，等比数列{a.}也是递减数列，B错误； 对c,ns-0250,+0-20254e·s>0.有4u>0.cE: 2 对于D,若a}为等差数列，则3=4+nn-a,则三-已+8-日 2 n2+2 S出-S=日（为常数），因此数列}是等差数列，D正确. n+1n2 11.AC详解】对于A,点(x,y)关于直线y=x,y=-x对称的点分别为(y,x),（-y,-x),可知点(y,x),（-y,-x) 在曲线C上，∴.曲线C图象关于直线y=x和y=一x对称： 由图象可知：曲线C的长轴在y=x上，则焦点在直线y=x上，A正确： y=x x=3x=-3 对于B,由 r+2-y=9得： 2或 y=3y=-3 ∴.椭圆C长轴长2a=√62+62=6√2，则a=3W2: y=-x [x=5[x=-V5 由 +y2-w=9得： 或 y=-5y=5 -椭圆C短轴长2b=V25+(25=26,则b=6: c=V-B=25,∴腐心率e--236 B错误： a3W23 对于C,当直线y=n(n>0)与曲线C相切时，n取得最大值： +少-=9得：-m+-9-0,A=㎡-4(m-9）=0,解得：n=-25(合)或m=25, y=n 由 ∴n的最大值为2√5，C正确：对于D,:AB中点为椭圆的焦点F(√6，V6), .A.PB-(PA+PB)-(Pa-PB)-PRP-12. P可≤a+c=3W2+25,p=(32+25=30+126, ∴(PAPB）=18+12W6,D错误故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.亡-上=1【详解】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为ab,显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴 22 上，其半焦距c=2,由双曲线C的离心率为V2,得=2，解得a=√2，则b=-a=√5， 所以双曲线C的方程为号号=1，故答案为：。二 22 13.8【详解】因为C1(0,12),R=3,C2(5,0),R2=2, 所以1CC=√52+122=13>5=R+R2,所以圆C与圆C,外离， 所以POlm=CC-(R+R,)=8.故答案为：8 C2 5 14.【详解】因为两条直线4x+by+1=0和42x+b2y-1=0都经过点A(1,1), 所以4+b+1=0,42+b-1=0,所以(a,b),(a2,b)分别在直线x+y+1=0,x+y-1=0上， 所以两点a,4),B(a,4,)间的最短距离为两平行线间距离，即d=+=互，故答案为：万 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】(1)由题意设圆心C(a,-a+1) 因为AC=BC,即Va-3)+(←a+1+12=V(a-2)2+(-a+1-6), 解得a=-1,即C(-1,2),半径r=CA=V(-1-3}+[2-(-1)]=5, 所以圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=25; (2)当切线的斜率不存在时，则切线方程为x=4, 此时圆心C(-1,2)到直线x=4的距离为5=r,符合条件： 当切线的斜率存在时，设过M(4,1)的切线方程为y-1=k(x-4,即x-y-4k+1=0, 测圆0c(12列到的发的师夷d=长2桃=5，期得=号。 Vk2+(-102 号x-y-4号+1=0，即125y-480, 12、 此时切线的方程为： 综上所述：过M的切线方程为x=4或12x-5y-43=0. 16.【解析】(1)证明：由己知有2Sn+n2=2a,+n, ① 2Sn1+0n+1)2=20+1)a+1+n+1, ② ②-①可得2a+1=2(n+1)a+1-21.-21,整理得a+1-a.=1, 由等差数列定义得{a}为等差数列. (2)由(1)可得a4=41+3,47=41+6,4,=4+8 又4，☑，☑成等比数列，∴.☑2=a4·4, 即(a1+62=(q+3)(a+8),解得4=-12，∴a.=n-13, 8m+空-g 22 8 .当n=12或n=13时，Sn取得最小值-78. 17.【解析】(1)设A4=2AB=2,以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则4@ao2a02c5040-a24G-月 设平面AGD的法向量为n=(x,y,z), 则 AD=0 x+2z=0, D 即 1 i.AG=0,x+y=0, 2 B 令x=2,则i=(2,-4,-1) E 证明：L山，02原-（山0 D 因为Fn=-1x2-(+0x(-H)=0,所以亚1m, A B EFC平面ACD1,所以EF∥平面AGD: (2)易知AB为平面ADD的一个法向量，且AB=(0,1,0). cos(AB,n)= AB.n 421 AB网 21 易得二面角G-A0-D为锐角，所以二面角G-AD-D的余弦值为4W工 21 18.【解析】(1)由题意，得c1=1200,并且 cm+1=1.08cn-100. ① (2)将Cn+1-k=r(Cn-k)化成 cn=rcn -rk+k. ② r=1.08, r=1.08, 比较①②的系数，可得 k-rk=-100. 解这个方程组，得 1k=1250. 所以(1)中的递推公式可以化为c1-1250=1.08(c.-1250) (3)由(2)可知，数列{cm-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列， 则(G-1250)+(c2-1250)+(c,-1250)+…+(c。-1250) =-500-1.089）≈-7243 1-1.08 所以S0=G+c2+…+c0≈1250×10-724.3=11775.7≈11776， 19【解行】①解：港物战c的在点F0兮) 由题意可得： 12+(-1)2 ,即是迈号3， 2 √2 解得p=2或p=-10,又因为p>0,所以p=2. (2)解：由(1)可得抛物线方程为x2=4y,F(0,1), 所以直线1'的方程为y=-√3x+1,设A(5,),B(x2,2), 联立 y=-Bx+1,得2+43x-4=0, x2=4y △=4W5-4×1x(-4)=64>0, 所以x+x2=-4W3,xx2=-4, 40=+FV3+x广-4=+-V4-4x( =V1+3V48+16=16 a)证明：设2N式N的方程为y=+1. y=kx+t 2=4y，得-4-4=0， 由 所以△=16k2+16t>0,x3+x4=4k,xx4=-4t. 易知直线EM,EN的斜率存在， 设直线1的方牌为y一=m-) 电少寻苦=m(x-得二tG=0 x2=4y 由△=(-42-4(4nx-x)=0,解得m= 2 所以直线M的方程为yx子行，即4=2x号。 同理可得，直线EN的方程为4y=2xx-x. 设E(n,-1),代入直线EM、EN中，4=2x-x,-4=2c-x, 即x-2K3-4=0,x-2x4-4=0, 所以x,x4可看作方程x2-2-4=0的两根， 所以x3x4=-4,又x3x4=-4t,所以t=1. 所以直线MN的方程为y=c+1,故直线MW过定点(0,1).开封高中27届高二年级上学期期末考试 数学试题 命题人：202602042725审题人1：202602042721审题人2：202602042726 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.椭圆C:之+y :10+251上一点P到C的左，右焦点的距离之和为(） A.25 B.50 C.10 D.20 2.如图，M为四面体OABC的棱BC的中点，N为OM的中点，点P在线段AN上，且 AP=2PN,设OA=a,OB=b,OC=c,则OP() A.0m=a+6+2 B.0m=2a+6+c 366 3 1212 c.m-a-25+ D.0丽=2a+6-c 3.6 6 3 126 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a6+ag=8,则S3=（) A.52 B.104 C.112 D.120 4."m=4"是“直线(2m-4)x+(m+1)y+2=0与直线(m+1)x-y+3=0垂直”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5,已知圆C:(x-3}+(y-4)=9,直线1过点P(2,3),则直线1被圆C截得的弦长的最小值为（) A.6 B.2W2 C.0 D.27 6.已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线子-上=1的离心率等于（) m A.5 2 B,√2 C.v5或 2 D.V5或 2 7,在三枝维P-ABC中，PA=PB=PC=2√万，AB=AC=BC=3,则三楼锥P-ABC的外接球 的体积是( A9 B.82n C.32π 3 3 D.4/3n 第1页/供4页 8、如图，若平行光线与平而C所成的角0∈ 2 0. 其照射在球C上，在平 面上形成的投形星椭圆形，则该椭圆的离心率为() A.sin B.cos C. D. 1+co90 1+sine 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（) A.若丽=(1,1)，CD=（-2,-2),则AB/1CD B.若A,B,C,D是空间任意四点，则有A丽+BC+C⑦+DA=0 C、已知M示=2A+3M历，能判定空间中四点P,M,A,B共面 D.若{a,石，c为空间的一组基底，则a+i,5+c,c-a也是空间的一组基底 10.数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是（) A.若an=-2n+13,则数列{an}的前6项和S6最大 B.若等比数列{an}是递减数列，则公比9满足0<g<1 C.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sos>0,则ao3>0 D.已知{a}为等差数列，则数列 也是等差数列 1.斜椭圆是由焦点在坐标轴上的桶圆绕其中心旋转一定角度日+经，k€乙得到的图象已知曲线 C:x2+y-y=9的图象是如图所示的斜椭圆，点P(m,n)是C上任意一点，点A2W6,0, B0,2W6),0为坐标原点，则下列说法正确的为() A·该椭圆的焦点在直线y=x上 B该猫圆的离心率为 3 Cn的显大值为23 D.PP丽最大值为12+66 第2页/共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为√2，则C的标准方程为 13.己知P,2两点分别在圆C:x2+(y-12)2=9和圆C2:x2+y2-10x+21=0上，则P的最小值 为一 14.己知两条直线ax+by+1=0和a2x+b2y-1=0都经过点A(1,1),则两点R(a,b),B(a2,b2)间 的最短距离为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知圆心为C的圆经过点A(3,-1)和B(2,6),且圆心C在直线x+y-1=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)过点M(4,1)作圆的切线，求切线方程. 1615分州)记3，为数列{a,}的前n项和.已知2+n=2a,+1. ()证明：{a}是等差数列： (2)若a4,a,a,成等比数列，求Sn的最小值. 17,(I5分)加图，长方体ABCD-AB,CD的底面ABCD是正方形，E,F,G分别为CC,AB,CD的中 点，AA=2AD, (1)证明：EP∥平面AGD; (2)求二面角GAD-D的余弦值. 第3页/供4页 18.(17分)某收场今年初牛的存栏数为1200，计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100 头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为G,C2C,… (1)写出一个递滟公式，表示c1与c,之间的关系： (2)將(I)中的递推公式表示成C1一k="(Cn一k)的形式，其中飞，r为常数： (3)求S0=C+C2+C+…+C0的值（精确到1）. (卷考数据：1.088≈1.8509,1.08°≈1.9990,1.0810≈2.1589,1.08"≈2.3316) 19.17分)已知抛物线C:x=2p(p>0)的焦点F到直线1：x-y-2=0的距离为3 2 (I)求P的值： 2π (2)倾斜角为二的直线1'过F,与C交于A,B两点，求AB: 3 (3)E是直线y=-1上一动点，过点E作C的两条切线，切点分别为M,N,证明：直线MN过定 点。 第4页/供4页