精品解析：重庆大足区2025～2026学年度上期期末质量监测八年级数学试卷

2025～2026学年度上期期末质量监测 八年级 数学 试题卷 注意事项： 1．测试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：8页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5MM签字笔． 4．答题前，务必将自己的姓名、监测号填写在答题卡规定的位置上． 5．测试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. “常来大足，人生幸福”是重庆市大足区官方文旅宣传语，承载大足文化内涵与幸福理念，是展现城市气质的名片，以下汉字中是轴对称图形的是（ ） A. 足 B. 生 C. 幸 D. 福 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，等边三角形纸片的边长为8，D为边上的点，过点D作交于点G，于点E，过点G作于点F，把三角形纸片分别沿按图所示方式折叠，点A、B、C分别落在点、、处，若点、、在长方形内，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．设的长为m，若重叠三角形存在，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（ ）． ①；②平分，③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 11. “香中别有韵，清极不知寒”是唐代诗人崔道融创作的《梅花》中的诗句，描写了在孤寒环境中的梅花依然坚韧顽强，傲然独立．已知梅花的花粉直径约为米，将数据用科学记数法可以表示为______． 12. 已知：，则的值为___________． 13. 因式分解：______． 14. 如图，在中，是直角，，是上一点，过的中点，若，，则图中阴影部分的面积为______． 15. 已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的和为_____． 16. 对于一个四位自然数，若千位数字与个位数字之和等于9，百位数字与十位数字之和等于7，则称这个四位数为“至尊数”．将“至尊数”的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调组成新的四位数，并规定，则___________；若一个四位自然数N是“至尊数”，且能被7整除，则满足条件的N的最大值与最小值的差为___________． 三．解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 已知，，，求的值． 18. 如图，中，，． （1）尺规作图：过点A作于E，交线段于点G．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）填空：求证：． 证明：， ①___________° ， 又∵②___________ ∴③___________ 在和中 （④___________） 四．解答题：（本大题7个小题，每个小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在对应的位置上． 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的图形，并写出、、的坐标． （2）连接和，求的面积． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 已知，，， （1）如图1，求证：是等腰三角形； （2）如图2，是的角平分线，，垂足为F，若，求的长． 23. 为了打造书香校园文化品牌，大足区某学校计划采购甲（经典名著摘录卡）、乙（原创诗词书签）两种文创产品用于学生阅读激励．学校预算资金为3500元，且乙种产品每件的价格是甲种产品每件价格的1.25倍．若用1400元购买甲种产品，剩余的资金购买乙种产品，则购买到的甲种产品的数量比乙种产品的数量少14件． （1）分别求出甲种摘录卡和乙种书签每件的价格； （2）采购当日恰逢世界读书日促销，甲种摘录卡按原价的八折销售，乙种书签无优惠、按原价付款．已知该学校需采购甲、乙两种产品共100件，购买乙种书签的总资金不低于785元，购买两种产品的总费用不超过1910元，求共有多少种不同的购买方案？ 24. 在学习综合与实践活动一《确定简单平面图形的重心位置》时发现，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，下面我们进一步探究三角形重心的性质． 已知，点O是重心． 【探究】 （1）如图1，若的面积为m，则___________，___________； （2）在（1）的条件下，试猜想，，的值，并选择其中一个说明理由． 【应用】 （3）如图2，在中，若交于点O，，，求四边形的面积． （4）已知的中线，，请直接写出面积的最大值． 25. 如图，在中，，点D是线段上一点，连接，将线段沿翻折得到线段，连接并延长交的延长线于点F． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，若，过点A作，且，取的中点M，连接、，当取最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度上期期末质量监测 八年级 数学 试题卷 注意事项： 1．测试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：8页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5MM签字笔． 4．答题前，务必将自己的姓名、监测号填写在答题卡规定的位置上． 5．测试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. “常来大足，人生幸福”是重庆市大足区官方文旅宣传语，承载大足文化内涵与幸福理念，是展现城市气质的名片，以下汉字中是轴对称图形的是（ ） A. 足 B. 生 C. 幸 D. 福 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的判断方法是解题的关键．根据轴对称图形的定义，逐一判断每个选项中的汉字是否能沿某条直线对折后完全重合． 【详解】解：∵ 汉字“幸”在标准字体中具有垂直对称轴，沿中心竖线对折后左右部分完全重合， ∴ “幸”是轴对称图形． 其他汉字“足”、“生”、“福”均无对称轴，不是轴对称图形． 故选：C． 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】只需验证每组中较短两根小木棒的长度和大于最长根的长度，即可判断能否摆成三角形． 【详解】解：A、，不能摆成三角形． B、 ，不能摆成三角形． C、，不能摆成三角形． D、 ，能摆成三角形． 3. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0进行分析，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 4. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A选项是整式乘法，结果为和的形式，不是因式分解； B选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解； C选项，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，是因式分解； D选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算（积的乘方、幂的乘方、同底数幂相乘）与合并同类项，熟练掌握幂的运算法则和合并同类项的规则是解题的关键．根据幂的运算规则与合并同类项法则，逐一判断每个选项的运算是否正确． 【详解】选项A：∵，∴A正确； 选项B：∵，∴B错误； 选项C：∵，∴C错误； 选项D：∵，∴D错误； 故选：A． 6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】解：如图， ， ． 故选：． 7. 如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的全等判定，关键在熟练掌握各判定定理的条件和方法．依据三角形全等判定的定理（、、、），即可． 【详解】解：，， ，故A不符合题意； ， ， ， ，， ，故B不符合题意； ，， ，故C不符合题意； 根据，，不能使得，故D符合题意； 故选：D． 8. 如图，等边三角形纸片的边长为8，D为边上的点，过点D作交于点G，于点E，过点G作于点F，把三角形纸片分别沿按图所示方式折叠，点A、B、C分别落在点、、处，若点、、在长方形内，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．设的长为m，若重叠三角形存在，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，求出当点与点重合时，点与点F重合，m的值，即可求m的范围． 本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，直角三角形的性质，理解题意是解决本题的关键． 【详解】解：∵等边三角形纸片的边长为8， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， 当点与点重合时，不存在， 此时， ∴， ∴当时，存在，此时， ∴， ∴， ∵点、、在长方形内， ∴点最远落在矩形的边上，即点与点F重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴m的取值范围是． 故选：A 9. 我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出等量关系是解题的关键．由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．慢马所需时间为，快马速度为，所需时间为．根据路程相等，建立方程，即可解答． 【详解】解：由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．依题意，得 ， 由①，得， 将③代入②，得 ， 化简后得： 即． 故选D． 10. 如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（ ）． ①；②平分，③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，可得，根据题意，无法得到与的大小关系，可判断④错误；证明，，可判断⑤正确． 【详解】解：①∵平分，，， ∴，故结论①正确； ②过点D作于点H，如图所示： ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴平分，故结论②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴，故结论③正确； ④在和中， ， ∴， ∴， 根据题意，无法得到与的大小关系， ∴无法得到和的大小关系，故结论④错误； ⑤在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， 即，故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个． 故选：C． 二．填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 11. “香中别有韵，清极不知寒”是唐代诗人崔道融创作的《梅花》中的诗句，描写了在孤寒环境中的梅花依然坚韧顽强，傲然独立．已知梅花的花粉直径约为米，将数据用科学记数法可以表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式． 利用科学记数法进行表示即可，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知：，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法． 根据得到，根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 14. 如图，在中，是直角，，是上一点，过的中点，若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】25 【解析】 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、梯形的面积公式等知识．由，得，，而，即可根据证明，得，则，因为，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ，， 过的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 是直角，， ， ， 故答案为：25． 15. 已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，根据分别求出不等式组的每一个不等式，然后根据一元一次不等式的解集为确定出的一个解集，然后根据分式方程的解为正整数得出的另一个范围，从而得出所有整数的和，熟练掌握解一元一次不等式组以及解分式方程是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等组的解集为， ∴，解得， 解分式方程得：， ∵分式方程的解为正整数， ∴且， ∴或或， ∵， ∴或， ∴所有整数的和为， 故答案为：． 16. 对于一个四位自然数，若千位数字与个位数字之和等于9，百位数字与十位数字之和等于7，则称这个四位数为“至尊数”．将“至尊数”的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调组成新的四位数，并规定，则___________；若一个四位自然数N是“至尊数”，且能被7整除，则满足条件的N的最大值与最小值的差为___________． 【答案】 ①. 70 ②. 8082 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义、代数式的推导与整除性分析，熟练掌握新定义的转化、代数式化简及整除条件的应用是解题的关键．计算：先验证2347是“至尊数”，再按规则得到新四位数，代入直接计算．求满足条件的的最大最小值之差：设，利用“至尊数”条件、推导出的表达式，结合能被7整除的条件，确定的取值，进而找出所有符合条件的，并求出最大最小值之差． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴是“至尊数”， ∵由千位与十位对调、百位与个位对调得到， ∴， ∴； 设， ∵是“至尊数”， ∴，， ∵， ， ∴， ∵，， ， ， ∵能被7整除， ∴（为整数）， ∴是7的倍数， ∴是7的倍数， ∵，， ∴的取值范围为， ∴的取值为或， ∴或， 当时，的值为：， 当时，的值为：， ∴，， ， 故答案为：，． 三．解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 已知，，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算与幂的运算法则，熟练掌握积的乘方、单项式乘单项式及单项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 先将 、、 代入表达式 ，再根据幂的运算法则和整式的乘除法则逐步计算． 【详解】解： ． 18. 如图，中，，． （1）尺规作图：过点A作于E，交线段于点G．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）填空：求证：． 证明：， ①___________° ， 又∵②___________ ∴③___________ 在和中 （④___________） 【答案】（1） 如图，、点G即为所求； （2），，，． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，垂线的定义，对顶角相等，全等三角形的判定方法． （1）以A为圆心，适当长为半径作弧，交于M、N，作的垂直平分线交于E，交线段于点G即可； （2）根据垂线的定义、对顶角相等、等量代换、全等三角形的判定方法补全证明过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四．解答题：（本大题7个小题，每个小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在对应的位置上． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握“去分母将分式方程转化为整式方程求解，并检验根的有效性”是解题的关键． （1）先将分母化为同形式，确定最简公分母为，方程两边乘最简公分母转化为整式方程，求解后检验； （2）先因式分解分母，确定最简公分母为，方程两边乘最简公分母转化为整式方程，求解后检验． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 检验：， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， ， ， 检验：， ∴是原方程的解． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的图形，并写出、、的坐标． （2）连接和，求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查用轴对称变换作图、平面直角坐标系内的点与三角形面积；熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）先作出关于y轴对称的点、、，再顺次连接可得，最后写出点、、的坐标即可； （2）运用分割法求的面积． 【小问1详解】 解：点 【小问2详解】 解：的面积． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、分式的混合运算、负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握运算法则和因式分解是解题的关键．先化简给定的代数式，再计算出的值，最后代入求值．化简时，先处理括号内的分式运算，再进行乘除，最后合并整式；计算时，利用负指数幂和零指数幂的运算法则． 【详解】解： ， ， 当时，原式． 22. 已知，，， （1）如图1，求证：是等腰三角形； （2）如图2，是的角平分线，，垂足为F，若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 是等腰三角形； （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）利用条件证明，得到，即可证明结论； （2）连接，证明以及，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的角平分线， ； 由（1）可知：， ， ， ， 又， 且， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 为了打造书香校园文化品牌，大足区某学校计划采购甲（经典名著摘录卡）、乙（原创诗词书签）两种文创产品用于学生阅读激励．学校预算资金为3500元，且乙种产品每件的价格是甲种产品每件价格的1.25倍．若用1400元购买甲种产品，剩余的资金购买乙种产品，则购买到的甲种产品的数量比乙种产品的数量少14件． （1）分别求出甲种摘录卡和乙种书签每件的价格； （2）采购当日恰逢世界读书日促销，甲种摘录卡按原价的八折销售，乙种书签无优惠、按原价付款．已知该学校需采购甲、乙两种产品共100件，购买乙种书签的总资金不低于785元，购买两种产品的总费用不超过1910元，求共有多少种不同的购买方案？ 【答案】（1）甲种摘录卡每件20元，乙种书签每件25元 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系和不等关系建立方程与不等式组的方法是解题的关键． （1）设甲种摘录卡的单价为未知数，根据用1400元买甲的数量比剩余的资金买乙的数量少14件这一关系列分式方程，求解两种产品的单价． （2）设乙种书签的购买数量为未知数，根据购买乙的总资金不低于785元和两种产品总费用不超过1910元列不等式组，求出整数解的个数，即不同购买方案的数量． 【小问1详解】 解：设甲种摘录卡单价为元，则乙种书签单价为元 ， ， ， ， ， , 经检验是原方程的解， ∴， 答：甲种摘录卡单价为元，乙种书签单价为元． 【小问2详解】 解：设购买乙种书签件，则购买甲种摘录卡件， ， 解得， ∵y为整数， ∴，， ∴共有3种不同的购买方案． 答：共有3种不同的购买方案． 24. 在学习综合与实践活动一《确定简单平面图形的重心位置》时发现，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，下面我们进一步探究三角形重心的性质． 已知，点O是重心． 【探究】 （1）如图1，若的面积为m，则___________，___________； （2）在（1）的条件下，试猜想，，的值，并选择其中一个说明理由． 【应用】 （3）如图2，在中，若交于点O，，，求四边形的面积． （4）已知的中线，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）， （2），，，理由： 由（1）知三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 则， ∵两个三角形高相等， ∴， ∴， 同理可得：，； （3）12（4）72 【解析】 【分析】本题主要考查三角形重心的性质，三角形中线与三角形面积，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）设，，，根据题意可得，，即可得到,三条中线分成的六个三角形面积相等，从而可得到答案； （2）由（1）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，则，由两个三角形高相等，则，即可得出，同理可得，； （3）求出，，根据可求解； （4）设交于重心，则，, 当时，面积最大，从而可求出面积的最大值． 【详解】解：（1）设，，， ∵是的中点， ∴， ∵，，， 同理：，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， ∴，； 故答案为：；； （2）略 （3）∵点O是重心， 由（1）、（2）可知：，， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴， ， 则， ∴； （4）设交于重心，则，, 当时，面积最大，最大为, ∴的最大面积． 25. 如图，在中，，点D是线段上一点，连接，将线段沿翻折得到线段，连接并延长交的延长线于点F． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，若，过点A作，且，取的中点M，连接、，当取最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如下图所示，延长至点G，使，连接， 设， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出的度数； （2）延长至点G，使，连接，可证，根据全等三角形的性质可证为等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可证为等边三角形，根据等边三角形的性质可证结论成立； （3）先确定出点Q的轨迹，再利用轴对称的性质结合两点之间线段最短得出最小值，根据题意利用勾股定理，等腰直角三角形的性质得出相关线段的值，最终可得． 【小问1详解】 解：，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点D为上的动点，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图，当点D在中点M，即与点M重合时，作，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当点与点B重合时，作，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，M为中点， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴,， ∴，即与的夹角始终为， ∴点Q的轨迹为定直线l， 如图，过点A作关于直线l的对称点，连接，与直线l交点Q，连接， ∴， ∴的最小值为， 如图，作，， 设，则， ∴， ∵，， 在中，， ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵是直角三角形， 由直角三角形斜边上的中线定理可知，点Q是斜边上的中点， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $