2026年中考数学第一轮复习专题讲练第8讲一元一次不等式（组）及其应用基础巩固专项训练

2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第二单元 方程(组)与不等式(组) 《第8讲 一元一次不等式（组）及其应用》基础巩固专项训练答案解析 一、单选题 1．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点、正确求得不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ， ． 在数轴上表示如下： ． 故选C． 2．（2025·山东枣庄·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来；分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分，最后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 则不等式组的解集为：，在数轴上表示如下： ； 故选：A． 3．（2025·山东泰安·一模）解集在数轴上表示如图的不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题重点考查一元一次不等式组的解集在数轴上的表示方法，理解数轴上实心点表示包含端点（等号）、空心点表示不包含端点（严格不等式），并能从数轴解集反推不等式组是解题的关键． 根据数轴表示，逐选项判断即可． 【详解】 根据数轴表示，该不等式组的解集表示为， 对于A，，解得： ，不满足题意； 对于B，，解得：，满足题意； 对于C，，解得：，不满足题意； 对于D，，解得：，不满足题意； 故选：B． 4．（2025·湖北·一模）已知一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则被墨迹覆盖的不等号是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的性质、一元一次不等式的解集，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据不等式的性质即可解题． 【详解】解：由题图可得，不等式的解集为：， ∵， ∴不等式系数化为1时不等号要改变方向， ∴被墨迹覆盖的不等号是“”． 故选：D． 5．（2025·陕西·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式性质解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 6．（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别求解两个不等式，得到解集后求交集，再找出最小整数解． 【详解】解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为． 故选：A． 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】不等式的性质 【分析】此题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的有关性质．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，A正确，不符合题意； ，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B正确，不符合题意； ，不等号两边同时加上同一个数，不等号方向不变，C正确，不符合题意； ，D错误，符合题意； 故选：D． 8．（2025·江苏南京·一模）设，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了整式的加减运算，配方法的应用，偶次方的非负性，掌握整式的加减运算法则，配方法，偶次方的非负性是解题的关键． 通过作差法和配方法比较与的大小，即可解答． 【详解】，， ， ， ， ，即． 故选：A． 9．（2025·浙江温州·三模）不等式组的所有整数解之和是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】此题考查求不等式组的整数解，先解不等式得到不等式组的解集，即可得解． 【详解】解： 解不等式①得，解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为， 所有整数解之和是， 故选：A． 10．（2025·上海·模拟预测）已知，那么下列不等式组中，无解的不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了．利用求不等式解集的方法判定即可． 【详解】解：A．根据“同小取小”的原则，原不等式组的解集为，故有解，不符合题意； B．根据“大大小小无解了”的原则，原不等式组无解，符合题意； C．根据“大小小大中间找”的原则，原不等式的解集为，故有解，不符合题意； D．根据“同大取大”的原则，原不等式组的解集为．故有解，不符合题意； 故选：B． 11．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，数轴上表示的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了在数轴上的表示不等式的解集，牢固掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是解题的关键．解题时，结合图像依据：“空心圆圈向右表示大于，空心圆圈向左表示小于；实心圆圈向右表示大于或等于，实心圆圈向左表示小于或等于”，结合图像可得出答案． 【详解】解：数轴上点1处实心圆圈向右， 由此可得： ． 故选：B ． 12．（2025·云南昆明·三模）式子在实数范围内有意义，的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，掌握二次根式有意义的条件是被开方数非负是解题的关键． 根据二次根式有意义则被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 13．（24-25八年级下·山东聊城·期末）若不等式组无解，则m的值可能为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的无解情况，掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别解两个不等式，再根据不等式组无解得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解： 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， 不等式组无解， ， 解得：， 4选项中只有选项A满足 ， 故选A． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查不等式组有解的条件； 根据不等式组有解的条件确定参数的取值范围即可． 【详解】解：若不等式组有解，则两个解集必须有公共部分，此时需满足， 当时，解集为，存在解； 当时，和无公共部分，无解； 因此，的取值范围是， 故选：A． 15．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、求一元一次不等式的整数解 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：， 解得：． 故选：． 16．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组的整数解是4和5，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是4和5，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， ∵不等式组的整数解是4和5， ， 解得， 故选：D． 17．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 18．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 19．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】不等式组的经济问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 二、填空题 20．（2025·四川乐山·二模）不等式的解集是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过移项解不等式即可得到答案． 【详解】解： 移项得， 故答案为：． 21．（2025·安徽合肥·二模）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数建立不等式计算即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 22．（2025·广东清远·三模）关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的整数解有 个． 【答案】3/三 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式的解集 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组的整数解．根据数轴得到不等式组的解集为，据此即可得到该不等式组的整数解的个数． 【详解】解：由数轴可知关于的不等式组的解集为， ∴该不等式组的整数解有，共3个， 故答案为：3 23．（2025·广东深圳·模拟预测）不等式组的解集为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先求出不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 24．（2025·安徽滁州·二模）若关于x的不等式的解集如图所示，则m的值为 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表述不等式的解集. 解关于x的不等式求得其解集，然后再结合数轴上表示的解集得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：已知关于x的不等式， 解得：， 由数轴可得该不等式的解集为， 则， 解得：， 故答案为： 25．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 26．（2025·云南丽江·模拟预测）若关于的一元一次不等式组恰有2个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键． 分别对于不等式组进行求解，然后根据题意确定实数a所满足的条件，求解即可． 【详解】解：∵ ∴解得：， 解得：， 原不等式组恰有2个整数解， 这2个整数解必然是5，6， ， 解得：， 故答案为：． 27．（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【难度】0.85 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求不等式组的解集 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：，且． 故答案为：且． 28．（2025·湖北襄阳·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了根据不等式组的情况求参数取值范围，由不等式组的，，根据无解进行判断，即可求解． 【详解】解：， 解：由①得：， 由②得：， 原不等式组无解， ； 故答案为：． 29．（2025·河南驻马店·模拟预测）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 先求得2个不等式的解集，然后根据“同小取小”和已知解集得到的取值范围． 【详解】解不等式得， 解不等式得， 关于的不等式组的解集是， ， 故答案为：． 30．（2025·湖南长沙·模拟预测）某次知识竞赛共有25道选择题，答对一题得4分，答错或不答一题扣1分．若小明希望得分不少于80分，则他至少需要答对 道题． 【答案】21 【难度】0.85 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意设未知数，并且找到不等量关系列出不等式．根据竞赛得分答对的题数答错或不答的题数，根据得分不少于80分，列出不等式求解即可； 【详解】解：设要答对道题，则答错或不答道题， 由题意可得：， 解得：， 根据必须为整数，故取最小整数， 故答案为：． 31．（2025·四川绵阳·一模）为落实“城市更新项目”的相关工作，市住建部门计划对老城区部分道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队工作，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造360m的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费9万元，乙队工作一天需付费8万元，如需改造的道路全长1800m，改造总费用不超过420万元，至少安排甲队工作 天． 【答案】20 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，根据题中的等量关系和不等关系列方程是解题关键．设乙队每天改造x米，甲队每天改造米， 根据题意列出分式方程求出乙队每天改造30米，甲队每天改造45米，再设则甲队工作a天，根据改造的道路全长1800m，改造总费用不超过420万元列出关于a的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设乙队每天改造x米，甲队每天改造米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 则乙队每天改造30米，甲队每天改造米， 则甲队工作a天， ∴， 解得：， ∴甲队至少工作20天， 故答案为：20 三、解答题 32．（2025·贵州·一模）（1）计算：； （2）下面是小琴同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 任务一：第步运算的依据是 ； 任务二：第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ，并写出正确的解答过程． 【答案】（）；（）不等式的两边都乘同一个正数，不等号方向不变；；移项没有变号；过程见解析． 【难度】0.65 【知识点】负整数指数幂、求一元一次不等式的解集、求一个数的绝对值、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式，熟练掌握运算法则和解法步骤是解题的关键． （）先化简绝对值，负整数指数幂，有理数乘方法则分别计算，然后合并即可； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可求解． 【详解】解：（）原式 ； （）任务一：不等式的两边都乘同一个正数，不等号方向不变； 任务二：；移项没有变号； 正确的解答过程如下： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 33．（2025·广西·一模）解不等式：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法；先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 解得： 34．（2025·江苏·一模）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【难度】0.65 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，涉及一元一次不等式的解法、用数轴表示不等式组解集的方法，熟练掌握一元一次不等式的解法及数轴表示是解决问题的关键；先分别解出不等式组的两个不等式，再根据不等式组解集的求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”求出解集，在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得 ； 解不等式②得 ； 故原不等式组的解集为． 在数轴上表示出不等式组的解集，如图所示： ． 35．（2025·贵州·模拟预测）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生．根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共12亩，所需学生人数不超过65人，至多种植甲作物多少亩？ 【答案】(1)种植1亩甲作物需要7名学生，种植1亩乙作物需要2名学生 (2)至多种植甲作物亩 【难度】0.65 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生”列方程组求解即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过65人”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物需要7名学生，种植1亩乙作物需要2名学生； （2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， ∵种植1亩甲作物需要7名学生， ∴种植甲作物的亩数是整数， ∴a的最大值为． 答：至多种植甲作物亩． 36．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 37．（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 【答案】(1)每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元 (2)至多购买款木偶工艺品10件 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找准等量关系列出方程组，找准不等关系列出不等式． （1）根据甲、乙的销售情况，设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元，列二元一次方程组求解两款木偶的售价． （2）设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件，列一元一次不等式求解A款的最大购买量． 【详解】（1）解：设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元， 则， 解得， 答：每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元； （2）解：设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件， 购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的， ， 解得， 答：至多购买款木偶工艺品10件． 38．（2025·江西·模拟预测）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元． (1)求精品果和普通果每箱的价格； (2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱． 【答案】(1)精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元 (2)最少要购进普通果67 箱 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用与一元一次不等式的实际应用，理解题意，正确列出方程与不等式是关键； （1）设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元，根据等量关系：用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，列出分式方程并求解，最后检验即可． （2）设购进普通果m箱，则购进精品果箱，根据不等关系：购进精品果与普通果共花费不超过5000元，列出不等式，解不等式，求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元． 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元； （2）解：设购进普通果m箱，则购进精品果箱． 根据题意得，， 解得 ∴符合题意的m的最小值为67， 答：最少要购进普通果67 箱． 39．（2025·辽宁·模拟预测）随着技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及，某快递运营区有若干揽投员，无人车3辆．若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的，若2位揽投员和3辆无人车每天可配送快递4810件． (1)求1辆无人车的日均投递量； (2)旺季期间，该运营区有揽投员50人，要求日均投递总量不低于40000件，求至少需要增加无人车多少辆． 【答案】(1)1辆无人车的日均投递量为1300件 (2)至少需要增加11辆无人车 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设1辆无人车的日均投递量为件，则每位揽投员的日均投递量是件，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设需要增加无人车辆，根据题意列出不等式，求出的范围，结合题意得到的最小值即可解答． 【详解】（1）解：设1辆无人车的日均投递量为件，则每位揽投员的日均投递量是件， 由题意得，， 解得， 答：1辆无人车的日均投递量为1300件； （2）解：设需要增加无人车辆， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴的最小值为11， 答：至少需要增加无人车11辆． 40．（2025·黑龙江佳木斯·一模）2025年2月7日至2月14日第九届亚洲冬季运动会在中国黑龙江省哈尔滨市举行．本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎，分别名为“滨滨”和“妮妮”．哈尔滨亚冬会官方旗舰店销售妮妮手办和滨滨旋转手办两种摆件国风动漫卡通纪念品，已知用360元钱可以购买3个妮妮手办和2个滨滨旋转手办；用350元钱可以购买4个妮妮手办和1个滨滨旋转手办．请解答下列问题： (1)求妮妮手办和滨滨旋转手办的单价各是多少元？ (2)若购买妮妮手办和滨滨旋转手办共10件，所花费用不超过750元，且购买妮妮手办的数量不超过滨滨旋转手办的数量，则有哪几种购买方案？ (3)若每个妮妮手办的利润为8元，每个滨滨旋转手办的利润为10元，在的条件下，请直接写出顾客如何购买手办商家所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)妮妮手办的单价是68元，滨滨旋转手办的单价是78元； (2)有3种购买方案：①购买妮妮手办3件，滨滨旋转手办7件；②购买妮妮手办4件，滨滨旋转手办6件；③购买妮妮手办5件，滨滨旋转手办5件； (3)购买妮妮手办3件，滨滨旋转手办7件商家所获利润最大，最大利润是94元 【难度】0.85 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设妮妮手办的单价是x元，滨滨旋转手办的单价是y元，根据用360元钱可以购买3个妮妮手办和2个滨滨旋转手办；用350元钱可以购买4个妮妮手办和1个滨滨旋转手办；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买妮妮手办m件，则购买滨滨旋转手办件，根据所花费用不超过750元，且购买妮妮手办的数量不超过滨滨旋转手办的数量，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题； （3）求出（2）中三种方案的利润，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设妮妮手办的单价是x元，滨滨旋转手办的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：妮妮手办的单价是68元，滨滨旋转手办的单价是78元； （2）解：设购买妮妮手办m件，则购买滨滨旋转手办件， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， ， 有3种购买方案： ①购买妮妮手办3件，滨滨旋转手办7件； ②购买妮妮手办4件，滨滨旋转手办6件； ③购买妮妮手办5件，滨滨旋转手办5件； （3）解：由（2）可知，①购买妮妮手办3件，滨滨旋转手办7件，利润为（元）； ②购买妮妮手办4件，滨滨旋转手办6件，利润为（元）； ③购买妮妮手办5件，滨滨旋转手办5件，利润为（元）； ， 购买妮妮手办3件，滨滨旋转手办7件商家所获利润最大，最大利润是94元． 41．（2025·广东广州·模拟预测）陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量：2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风火轮”联合运转1小时，能产生26单位净化能量． (1)单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？ (2)结界需要450单位能量才能完全净化．若哪吒一次最多能启动18个法器（“乾坤圈”和“风火轮”），法器持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？ 【答案】(1)单个“乾坤圈”每小时各能产生6单位净化能量，单个“风火轮”每小时各能产生4单位净化能量 (2)9个 【难度】0.65 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量，根据题意列出方程组，解方程，即可求解； （2）设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动个“风火轮”，根据5个小时至少产生450单位能量，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量， 根据题意得：， 解得： 答：单个“乾坤圈”每小时能凝聚6单位净化能量，单个“风火轮”每小时能凝聚4单位净化能量； （2）解：设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动个“风火轮”， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为9， 答：哪吒最少要启动9个“乾坤圈”才能完全净化结界． 42．（2024·广东深圳·三模） 背景 【长城上可以点无人机送的外卖了】打开手机外卖软件下单，在长城上也可以点外卖了，最快5分钟收货！目前，美团无人机在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供了应急救援等商品货物配送服务，这也是北京市内首次开通常态化无人机配送服务.近年来，中国低空经济发展迅速，成为了经济增长的新动能． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5件商品，8件商品，共需2400元；若买8件商品，5件商品，共需2280元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元? 任务2 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中商品购买件；①若使用无人机配送商品，共需要_____元； ②若不使用无人机配送商品，共需要______元．（结果均用含的代数式表示）； 任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买商品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？ 【答案】任务1：该商店在无促销活动时，商品的销售单价是160元，商品的销售单价是200元 任务2：①，② 任务3：当时，使用无人机配送商品更合算 【难度】0.85 【知识点】列代数式、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组、代数式的应用及一元一次不等式的解法，涉及知识点包括方程组的建立与求解、代数式的化简与应用、不等式的性质及其应用；解题的关键在于准确建立数学模型，通过方程组求解商品单价，利用代数式表达不同促销方案下的总费用，并通过不等式确定最优选择，整个过程需注重逻辑推理与数学运算的准确性． 任务1：通过设未知数，利用无促销活动时两种购买组合的总价建立二元一次方程组，求解得到A、B商品的销售单价； 任务2：先确定购买B商品的数量为件，再根据两种促销方案的折扣规则，结合任务1求得的单价，分别计算使用无人机配送和不使用无人机配送时的总费用，用含a的代数式表示； 任务3：根据“使用无人机配送更合算”这一条件，建立一元一次不等式，求解不等式并结合的范围，确定购买A商品数量的范围． 【详解】解：任务１ 设A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元，依题意得 ，解得, 答：A，B商品的销售单价分别是160元，200元； 任务2  A商品打折后单价为元，B商品打折后单价为元， 总费用为服务卡费用加上A、B商品的打折后总价， ，    A商品打折后单价为元，B商品打折后单价为元， 总费用为A、B商品的打折后总价，即： ． 故答案为：①，②； 任务3 依题意，， 解得， ， ， 当时，使用无人机配送商品更合算． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第二单元 方程(组)与不等式(组) 《第8讲 一元一次不等式（组）及其应用》基础巩固专项训练 一、单选题 1．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东枣庄·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东泰安·一模）解集在数轴上表示如图的不等式组为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·一模）已知一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则被墨迹覆盖的不等号是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏南京·一模）设，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·浙江温州·三模）不等式组的所有整数解之和是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 10．（2025·上海·模拟预测）已知，那么下列不等式组中，无解的不等式组为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，数轴上表示的解集为（    ）    A． B． C． D． 12．（2025·云南昆明·三模）式子在实数范围内有意义，的取值范围是（      ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·山东聊城·期末）若不等式组无解，则m的值可能为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 14．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·江苏南通·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组的整数解是4和5，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 17．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 20．（2025·四川乐山·二模）不等式的解集是 ． 21．（2025·安徽合肥·二模）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 22．（2025·广东清远·三模）关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的整数解有 个． 23．（2025·广东深圳·模拟预测）不等式组的解集为 ． 24．（2025·安徽滁州·二模）若关于x的不等式的解集如图所示，则m的值为 ． 25．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 26．（2025·云南丽江·模拟预测）若关于的一元一次不等式组恰有2个整数解，则实数的取值范围是 ． 27．（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 28．（2025·湖北襄阳·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 29．（2025·河南驻马店·模拟预测）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 30．（2025·湖南长沙·模拟预测）某次知识竞赛共有25道选择题，答对一题得4分，答错或不答一题扣1分．若小明希望得分不少于80分，则他至少需要答对 道题． 31．（2025·四川绵阳·一模）为落实“城市更新项目”的相关工作，市住建部门计划对老城区部分道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队工作，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造360m的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费9万元，乙队工作一天需付费8万元，如需改造的道路全长1800m，改造总费用不超过420万元，至少安排甲队工作 天． 三、解答题 32．（2025·贵州·一模）（1）计算：； （2）下面是小琴同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 任务一：第步运算的依据是 ； 任务二：第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ，并写出正确的解答过程． 33．（2025·广西·一模）解不等式：． 34．（2025·江苏·一模）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 35．（2025·贵州·模拟预测）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生．根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共12亩，所需学生人数不超过65人，至多种植甲作物多少亩？ 36．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 37．（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 38．（2025·江西·模拟预测）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元． (1)求精品果和普通果每箱的价格； (2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱． 39．（2025·辽宁·模拟预测）随着技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及，某快递运营区有若干揽投员，无人车3辆．若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的，若2位揽投员和3辆无人车每天可配送快递4810件． (1)求1辆无人车的日均投递量； (2)旺季期间，该运营区有揽投员50人，要求日均投递总量不低于40000件，求至少需要增加无人车多少辆． 40．（2025·黑龙江佳木斯·一模）2025年2月7日至2月14日第九届亚洲冬季运动会在中国黑龙江省哈尔滨市举行．本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎，分别名为“滨滨”和“妮妮”．哈尔滨亚冬会官方旗舰店销售妮妮手办和滨滨旋转手办两种摆件国风动漫卡通纪念品，已知用360元钱可以购买3个妮妮手办和2个滨滨旋转手办；用350元钱可以购买4个妮妮手办和1个滨滨旋转手办．请解答下列问题： (1)求妮妮手办和滨滨旋转手办的单价各是多少元？ (2)若购买妮妮手办和滨滨旋转手办共10件，所花费用不超过750元，且购买妮妮手办的数量不超过滨滨旋转手办的数量，则有哪几种购买方案？ (3)若每个妮妮手办的利润为8元，每个滨滨旋转手办的利润为10元，在的条件下，请直接写出顾客如何购买手办商家所获利润最大，最大利润是多少元？ 41．（2025·广东广州·模拟预测）陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量：2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风火轮”联合运转1小时，能产生26单位净化能量． (1)单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？ (2)结界需要450单位能量才能完全净化．若哪吒一次最多能启动18个法器（“乾坤圈”和“风火轮”），法器持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？ 42．（2024·广东深圳·三模） 背景 【长城上可以点无人机送的外卖了】打开手机外卖软件下单，在长城上也可以点外卖了，最快5分钟收货！目前，美团无人机在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供了应急救援等商品货物配送服务，这也是北京市内首次开通常态化无人机配送服务.近年来，中国低空经济发展迅速，成为了经济增长的新动能． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5件商品，8件商品，共需2400元；若买8件商品，5件商品，共需2280元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动：①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售；②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元? 任务2 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中商品购买件；①若使用无人机配送商品，共需要_____元； ②若不使用无人机配送商品，共需要______元．（结果均用含的代数式表示）； 任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买商品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $