专题12平行四边形(1)(知识点梳理+14大题型精析+强化巩固专练+寒假预习讲义)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题12平行四边形(1) · 记住平行四边形定义与符号表示，分清性质（已知平行四边形推结论）、判定（证平行四边形）。 · 掌握核心性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分。 · 掌握核心判定：两组对边分别平行 / 相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分。 · 会用性质做基础计算，能依据判定完成简单证明，体会四边形转三角形的转化思路。 预习必备 知识点梳理 1.平行四边形定义 2.平行四边形的性质 3.平行四边形的判定定理 4.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.利用平行四边形性质求解 2.利用平行四边形性质证明 3.平行四边形性质拓展应用 4.等腰梯形的定义梳理 5.判定能否构成平行四边形 6.添条件使四边形为平行四边形 7.数图形中平行四边形个数 8.求构成平行四边形的点的个数 9.证明四边形使平行四边形 10.用平行四边形判定与性质求解 11.用平行四边形性质判定证明 12.平行四边形性质判定应用 13.求平行线间的距离 14.用平行线间距离解决问题 强化巩固 (解答题6题) 知识点01:平行四边形定义 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 记作：□ABCD 几何语言：，，∴ 四边形ABCD是平行四边形 知识点02:平行四边形的性质（边、角、对角线、对称性） 1. 边的性质 两组对边分别平行（定义） 两组对边分别相等 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，， 2. 角的性质 两组对角分别相等 邻角互补 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，，； 3. 对角线的性质 对角线互相平分 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线、交于点O，， 4. 对称性与面积 对称性：中心对称图形，对称中心是对角线的交点 面积：S=底×对应高（S=ah）；同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理 1. 定义判定（基础） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2. 边相关判定 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3. 角相关判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 4. 对角线相关判定 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 知识点04:易错点提醒 1.一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 2.平行四边形对角线不相等、不平分对角（特殊平行四边形：矩形、菱形才有额外性质）。 3.判定时需对应四边形的四个顶点顺序，避免边、角对应错误。 【题型1.利用平行四边形性质求解】 【典例】在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键是掌握平行四边形的性质．根据平行四边形对边相等，由已知边求出未知边的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ． 故答案为：30. 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线，相交于点．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键； 先根据对角线互相平分判定四边形为平行四边形，再依据平行四边形的性质逐项分析即可． 【详解】解：， 即对角线、互相平分 ∴四边形是平行四边形 A、，平行四边形对边相等，不符合题意； B、，平行四边形对边平行，不符合题意； C、，平行四边形对边相等，不符合题意； D、平行四边形无对角线互相垂直的性质，符合题意； 故选：D ． 【跟踪专练2】如图，在中，于点F，于点E．若，，，则的周长为 cm． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的性质与含角的直角三角形的性质，掌握平行四边形对边相等、对角相等，以及含角的直角三角形中角所对直角边是斜边的一半是解题的关键． 先利用平行四边形的性质，得到对边相等、对角相等；再结合垂直条件，识别出含角的直角三角形，利用角所对的直角边是斜边的一半求出邻边和的长度；最后代入平行四边形周长公式计算周长 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长为． 故答案为：． 【题型2.利用平行四边形性质证明】 【典例】如图，在平行四边形中，下列结论一定正确的是．（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形邻角互补的性质，选择答案即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， 根据现有条件无法推出、、， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形邻角互补是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，、是平行四边形的对角线上的点，要使四边形是平行四边形 （只需添加一个正确的即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，添加：，根据平行四边形的性质得，，继而得到，即可得证．掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：添加的一个条件为．理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，，是的两条对角线，则图中的全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分的性质是解题的关键． 根据平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，依次找出图中的全等三角形． 【详解】解：在中： ， 全等三角形有：   因此，图中的全等三角形共有对，对应选项C． 故选：C． 【题型3.平行四边形性质拓展应用】 【典例】平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过 变换可使它们互相重合． 【答案】旋转 【分析】根据平行四边形的中心对称性求解． 【详解】平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过旋转变换可使它们互相重合． 故答案为：旋转． 【点睛】本题考查平行四边形的中心对称性，理解中心对称的定义是解题的关键． 【跟踪专练1】有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确， 平行四边形不是轴对称图形，故②错误， 平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确， 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【题型4.等腰梯形的定义梳理】 【典例】下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 【跟踪专练1】梯形中，两底分别是3，5，一腰为3，则另一腰x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形三边关系，作辅助线：平移一腰，构造一个三角形，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．从而求得答案． 【详解】解：如图，梯形中，，，，，， 过D作，交于E点， 根据题意得：，即． 故答案为：. 【跟踪专练2】如图，等腰梯形中，，点M是腰的中点，且，则梯形的面积为 . 【答案】 【分析】用作辅助线的方法把梯形的上底移到下底上，从而梯形的面积转化成三角形的面积来解决． 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 过作于于， 则， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是梯形和勾股定理，解直角三角形，需要用到梯形的面积转化成三角形的面积． 【题型5.判定能否构成平行四边形】 【典例】把边长为3，5，7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成 个平行四边形． 【答案】3 【分析】把相等的边重合后，得到一个四边形，再把一个翻转180度后，相同边再重合，就又能组成一个四边形，这其中必有一次是平行四边形，由于三边不同，故可组成3×2＝6个不同的四边形，其中有3个是平行四边形． 【详解】解：因为将三角形的三边分别重合一次，可拼得3个四边形，通过旋转后可得3个，所以共有6个．其中有3个是平行四边形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，图形的拼接，两个全等的三角形能拼成一个平行四边形． 【跟踪专练1】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即需满足且，由此即可得到结论. 【详解】解：A、，，，，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； B、，，，，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，能判定这个四边形是平行四边形，符合题意； D、，，，，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有 （填序号）． 【答案】①② 【分析】①根据平行四边形的性质结合已知条件，证明，，可得，，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，即可判断①，②根据平行四边形是中心对称图形，即可判断②，根据已知条件不能判断③． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，,． ①， ∴， ∴． ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 故①正确； ②∵， ∴， ， ∴， ∴． 同理可得： ∵， 四边形是平行四边形． 故②正确； ③经过点O，，的位置未知，不能判断四边形是平行四边形， 故③不正确； 故答案为：①②． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【题型6.添条件使四边形为平行四边形】 【典例】在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列一个条件，使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定．已知四边形中，需添加一个条件使其成为平行四边形．根据平行四边形的判定定理，逐一分析选项即可得出结论． 【详解】A．若，此时仅知一组对边平行（）和另一组对边相等（），但无法直接推导出四边形为平行四边形，因为无法确定与是否平行或与是否相等．因此选项A不成立． B．若，结合已知，则两组对边分别相等（且），根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可直接判定四边形为平行四边形．因此选项B成立． C．若，仅说明对角线被点平分，但平行四边形的判定要求对角线互相平分（即且）．由于未给出的条件，无法确定四边形为平行四边形．因此选项C不成立． D．若，仅说明一组对角相等，但平行四边形的判定要求两组对角分别相等．无法由此推导出另一组对角相等，因此选项D不成立． 故选：B 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，则当 时，四边形是平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知，根据平行四边形判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需让即可列方程求解． 【详解】解：∵在四边形中，，要使其成为平行四边形，必须满足， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质和二元一次方程组的求解，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 利用平行四边形对角线互相平分的性质，建立关于和的方程并求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴对角线与互相平分，即， ∴，即；且，即， 联立方程得： 解得： 故选：A． 【题型7.数图形中平行四边形个数】 【典例】如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成 个平行四边形． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据平行四边形的定义数出具体有几个平行四边形． 【详解】解：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得： 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形 同理可得，四边形，四边形，四边形，均为平行四边形；一共4个； 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定和网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 以为边的格点平行四边形共有5个，以为对角线的格点平行四边形共有5个， ∴以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形，这样的平行四边形共有10个． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，，结合中点的性质得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得到四边形、四边形、四边形都是平行四边形，由此即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； 则图中平行四边形有个， 故答案为：． 【题型8.求构成平行四边形的点的个数】 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作 个不同的平行四边形． 【答案】3 【分析】连接三点，分别以三边作为平行四边形的对角线，作图即可得3个平行四边形． 【详解】解：如图， 以点，，能做三个平行四边形：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【跟踪专练1】以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解. 【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形. 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线. 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 【答案】，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 【题型9.证明四边形是平行四边形】 【典例】如图，已知，利用尺规作出平行四边形．示意图中的作图方法，利用到下列哪个定理（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据作图可得，结合平行四边形的判定即可求解． 【详解】解：根据作图得到， ∴根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 故选：D ． 【跟踪专练1】一个四边形的边长依次是，，，，且满足，则这个四边形是 ． 【答案】平行四边形 【分析】本题考查了非负数的性质和平行四边形的判定，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 由条件可知，绝对值和平方根均为非负数，因此两者均等于零，得出和，即四边形两组对边分别相等，从而判定为平行四边形． 【详解】∵且，且它们的和为零， ∴和， 即和 因此四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 【跟踪专练2】如图，四边形为平行四边形，为的中点．下列两个方案中，能得到以A，B，F，C为顶点的四边形为平行四边形的是（   ） 方案一 为和的延长线上的交点 方案二 为和的延长线上的交点 A．只有方案一 B．只有方案二 C．两个方案都不行 D．两个方案都行 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质，方案一证明可得，，即可判断四边形是平行四边形；方案二通过证明可得，，即可判断四边形是平行四边形，从而可得结论． 【详解】解：方案一：∵四边形是平行四边形，为的中点， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 方案二：∵四边形是平行四边形， ∴，互相平分于点，如图， 又为的中点， ∴为的重心， ∴为边上的中线，为边的中点， ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 综上，方案一和方案二都正确， 故选：D． 【题型10.用平行四边形判定与性质求解】 【典例】如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，，且，，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】20 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分和三角形的中线将三角形面积平分求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、三角形的中线性质，熟练掌握平行四边形的性质，得到是解答的关键． 【跟踪专练1】如图，已知的面积为18，点D在线段上，点F在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】连接，过A作交的延长线于M，求出平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可．本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和转化能力，题目比较好，但是有一定的难度． 【详解】解：连接，过A作交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵边上的高和的边上的高相同， ∴的面积和的面积相等， 同理的面积和的面积相等， 即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是 ∵， ∴， ∵的面积是18， ∴ ∴， ∴阴影部分的面积是． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的判定与面积计算，以及三角形面积公式的应用，掌握利用平行线间的距离相等，通过三角形面积求出平行四边形的高是解题的关键． 先判定四边形为平行四边形，求出的长度，再通过的面积求出平行线间的高，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：∵ 且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设点到直线的距离为 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【题型11.用平行四边形性质判定证明】 【典例】已知：如图，，，给出以下结论： ①；②； ③其中正确的是 （    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由，，可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴①平行四边形的对角相等，即，正确；②平行四边形的对边平行且相等，即，正确； ③平行四边形的对边平行且相等，即，正确． ∴正确的有：①，②， ③， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 利用平行四边形性质，结合推出且，判定四边形为平行四边形，再由平行四边形对角相等得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∵且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练2】四边形的对角线，垂足为，若，，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点C作，过点D作，二线交于点E，则四边形是平行四边形，得到，，由，推出，即，根据，当B，C，E三点共线时，取得最小值，最小值为的长，此时计算即可． 【详解】解：过点C作，过点D作，二线交于点E， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， 当B，C，E三点共线时， ∴取得最小值， ∴取得最小值，最小值为的长， ∵， 此时． 故选D． 【题型12.平行四边形性质判定应用】 【典例】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD．则四边形ABCD是平行四边形，其依据是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【分析】(1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2∶两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4）定理3∶对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4∶一组对边平行且相等的四边形是． 【详解】两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查的是平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【跟踪专练1】下列说法错误的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等，对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理即可判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确； C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确； D、一组对边相等，对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型． 【跟踪专练2】图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    【答案】 12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1），， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型． 【题型13.求平行线间的距离】 【典例】如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平行线的距离：从平行线中的一条直线上任取一点，该点到另一条直线的距离，即为两平行线间的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∴可以表示平行线与之间的距离, 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的距离的定义，熟练掌握平行线的距离的定义是解题的关键． 【跟踪专练1】在平面中，我们称一组平行直线为“平行线族”．对于“平行线族”中的任意两条直线，它们之间的“线距”是指这两条直线之间的垂直距离．已知“平行线族”中有三条直线、、，已知直线与的线距为5，直线与的线距为2，那么直线与的线距是 ． 【答案】3或7/7或3 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，解题的关键是注意进行分类讨论．分两种情况进行讨论：当直线c在直线a与b之间时，当直线c在直线a与b外侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当直线c在直线a与b之间时，如图所示： ∵直线与的线距为5，直线与的线距为2， ∴直线与的线距为； 当直线c在直线a与b外侧时，如图所示： ∵直线与的线距为5，直线与的线距为2， ∴直线与的线距为； 综上分析可知：直线与的线距是3或7． 故答案为：3或7． 【跟踪专练2】新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可 【详解】解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图， ∵，相邻两条平行线间的距离为m， ∴直线c， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴的面积 故选：A 【题型14.用平行线间距离解决问题】 【典例】如图，，的面积等于4，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线间间距相等可得与是同底等高的三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵，的面积等于4， ∴， 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图，已知点A，B，C是图示网格纸中的三个格点（小正方形的顶点），若点D是图示网格纸中的除点A外的一个格点，且的面积等于的面积，满足条件的点D的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要查了平行线间的距离．根据平行线间的距离解答，即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：满足条件的点D有，共4个． 故选：A 【跟踪专练2】如图，折叠直角梯形纸片的上底，点D落在底边上点F 处，已知，则长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，平行线的性质与判定，过点A作于H，则，（平行线间间距相等），再由折叠的性质得到，，由勾股定理得到，则；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， 由题意得，，则， ∴，（平行线间间距相等）， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：3． 1．如图，E，F分别是的边AB，CD上的点．已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与三角形全等的判定，掌握利用平行四边形的性质得到全等条件，通过三角形全等证明线段相等是解题的关键． 要证明，可通过证明包含这两条线段的三角形全等来实现，先利用平行四边形的性质得到三角形全等的条件，再结合已知条件，用判定三角形全等，从而推出对应边相等． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中： ∴， ∴． 2．在中，，，． (1)请说明的理由； (2)若，，，求与之间的距离． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的面积等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据：得到．推出．结合推出即可求解； （2）过点作于点，根据即可求解； 【详解】（1）解： ． 在中，． ， ． ． （2）解：过点作于点，如图， 即与之间的距离为 3．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下；如图，，相邻两平行线间的距离相等．，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度． 【答案】标语的长度为16米 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得成为解题的关键． 由平行线的性质可得，利用定理可得，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ，即， ∵相邻两平行线间的距离相等， ， 在与中，， ∴， 米． 4．如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形定义“两组对边平行的四边形是平行四边形”，证明，即可证明； （2）根据平分，，可证，在中，根据勾股定理可得，即可求得面积． 【详解】（1）证明：， 又， 四边形是平行四边形 （2）平分，，， ， ，且，， 在中，. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质和判定，勾股定理的应用，主要在于熟练掌握各个知识点的衔接. 5．如下图，在中，，，对角线，交于点，为边上一点，连接，．若，，求的长． 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理和勾股定理，求解OB的长度； 本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． 又， ，， ． ， ， ， ． ， ，， ， ， ． 6．如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)t的值为3 (3)存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或 【分析】此题是四边形综合题，考查了梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和梯形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． （1）根据，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，即可解决问题； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解决问题； （3）有两种情况：①点Q在线段上，②点Q在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，点P从点D出发，以的速度向点A运动， ∴， ∴， ∵，点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动， ∴， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分， 则是平行四边形， ∴， ∴， 解得， 故此时t的值为3； （3）解：存在，理由如下： 有两种情况： ①点Q在线段上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； ②点Q在线段的延长线上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12平行四边形(1) · 记住平行四边形定义与符号表示，分清性质（已知平行四边形推结论）、判定（证平行四边形）。 · 掌握核心性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分。 · 掌握核心判定：两组对边分别平行 / 相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分。 · 会用性质做基础计算，能依据判定完成简单证明，体会四边形转三角形的转化思路。 预习必备 知识点梳理 1.平行四边形定义 2.平行四边形的性质 3.平行四边形的判定定理 4.易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.利用平行四边形性质求解 2.利用平行四边形性质证明 3.平行四边形性质拓展应用 4.等腰梯形的定义梳理 5.判定能否构成平行四边形 6.添条件使四边形为平行四边形 7.数图形中平行四边形个数 8.求构成平行四边形的点的个数 9.证明四边形使平行四边形 10.用平行四边形判定与性质求解 11.用平行四边形性质判定证明 12.平行四边形性质判定应用 13.求平行线间的距离 14.用平行线间距离解决问题 强化巩固 (解答题6题) 知识点01:平行四边形定义 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 记作：□ABCD 几何语言：，，∴ 四边形ABCD是平行四边形 知识点02:平行四边形的性质（边、角、对角线、对称性） 1. 边的性质 两组对边分别平行（定义） 两组对边分别相等 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，， 2. 角的性质 两组对角分别相等 邻角互补 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，，； 3. 对角线的性质 对角线互相平分 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线、交于点O，， 4. 对称性与面积 对称性：中心对称图形，对称中心是对角线的交点 面积：S=底×对应高（S=ah）；同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理 1. 定义判定（基础） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2. 边相关判定 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3. 角相关判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 4. 对角线相关判定 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 知识点04:易错点提醒 1.一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 2.平行四边形对角线不相等、不平分对角（特殊平行四边形：矩形、菱形才有额外性质）。 3.判定时需对应四边形的四个顶点顺序，避免边、角对应错误。 【题型1.利用平行四边形性质求解】 【典例】在中，，则 ． 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线，相交于点．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，于点F，于点E．若，，，则的周长为 cm． 【题型2.利用平行四边形性质证明】 【典例】如图，在平行四边形中，下列结论一定正确的是．（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，、是平行四边形的对角线上的点，要使四边形是平行四边形 （只需添加一个正确的即可）． 【跟踪专练2】如图，，是的两条对角线，则图中的全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【题型3.平行四边形性质拓展应用】 【典例】平行四边形的一条对角线把平行四边形分成的两个三角形通过 变换可使它们互相重合． 【跟踪专练1】有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【跟踪专练2】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型4.等腰梯形的定义梳理】 【典例】下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【跟踪专练1】梯形中，两底分别是3，5，一腰为3，则另一腰x的取值范围是 ． 【跟踪专练2】如图，等腰梯形中，，点M是腰的中点，且，则梯形的面积为 . 【题型5.判定能否构成平行四边形】 【典例】把边长为3，5，7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成 个平行四边形． 【跟踪专练1】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【跟踪专练2】如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有 （填序号）． 【题型6.添条件使四边形为平行四边形】 【典例】在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列一个条件，使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，则当 时，四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型7.数图形中平行四边形个数】 【典例】如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成 个平行四边形． 【跟踪专练1】如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【跟踪专练2】如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 【题型8.求构成平行四边形的点的个数】 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作 个不同的平行四边形． 【跟踪专练1】以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 【题型9.证明四边形是平行四边形】 【典例】如图，已知，利用尺规作出平行四边形．示意图中的作图方法，利用到下列哪个定理（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【跟踪专练1】一个四边形的边长依次是，，，，且满足，则这个四边形是 ． 【跟踪专练2】如图，四边形为平行四边形，为的中点．下列两个方案中，能得到以A，B，F，C为顶点的四边形为平行四边形的是（   ） 方案一 为和的延长线上的交点 方案二 为和的延长线上的交点 A．只有方案一 B．只有方案二 C．两个方案都不行 D．两个方案都行 【题型10.用平行四边形判定与性质求解】 【典例】如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，，且，，则四边形ABCD的面积为 ． 【跟踪专练1】如图，已知的面积为18，点D在线段上，点F在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【跟踪专练2】如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为 ． 【题型11.用平行四边形性质判定证明】 【典例】已知：如图，，，给出以下结论： ①；②； ③其中正确的是 （    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【跟踪专练1】如图，在中，．若，则的度数是 ． 【跟踪专练2】四边形的对角线，垂足为，若，，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C． D． 【题型12.平行四边形性质判定应用】 【典例】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD．则四边形ABCD是平行四边形，其依据是 ． 【跟踪专练1】下列说法错误的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等，对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【跟踪专练2】图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    【题型13.求平行线间的距离】 【典例】如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面中，我们称一组平行直线为“平行线族”．对于“平行线族”中的任意两条直线，它们之间的“线距”是指这两条直线之间的垂直距离．已知“平行线族”中有三条直线、、，已知直线与的线距为5，直线与的线距为2，那么直线与的线距是 ． 【跟踪专练2】新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型14.用平行线间距离解决问题】 【典例】如图，，的面积等于4，则的面积是 ． 【跟踪专练1】如图，已知点A，B，C是图示网格纸中的三个格点（小正方形的顶点），若点D是图示网格纸中的除点A外的一个格点，且的面积等于的面积，满足条件的点D的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练2】如图，折叠直角梯形纸片的上底，点D落在底边上点F 处，已知，则长为 ． 1．如图，E，F分别是的边AB，CD上的点．已知，求证：． 2．在中，，，． (1)请说明的理由； (2)若，，，求与之间的距离． 3．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下；如图，，相邻两平行线间的距离相等．，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度． 4．如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 5．如下图，在中，，，对角线，交于点，为边上一点，连接，．若，，求的长． 6．如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $