精品解析：福建宁德市2025-2026学年第一学期期末高一质量检测数学试题

宁德市2025-2026学年度第一学期期末高一质量检测 数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.答题结束后，学生必须将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，，若，则实数a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】，，， ，，，解得，即，，符合题意. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式，再根据充分条件和必要条件的概念即可判断. 【详解】，即或， 即是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 角是第二象限角，其终边与单位圆交于点P，若点P的纵坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再利用三角函数定义求出目标值. 【详解】依题意，点在第二象限，纵坐标为，则点的横坐标为， 所以. 故选：C. 4. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式恒成立讨论，即可. 【详解】解：当时，对一切实数都成立，故符合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立， 则， 综上： 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 5. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数值的定义及奇函数的性质,结合对数的运算即可求解. 【详解】函数是定义在上的奇函数，， 又当时，，. 故选：A. 6. 已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先确定函数的解析式，再分段求函数的最小值即可. 【详解】由或. 所以. 当时，； 当时，； 当时，. 综上可得，. 故选：B 7. 设函数，，若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：根据，均是偶函数，分类讨论列式计算即可求出； 解法二：求出，再判断为偶函数，最后分类讨论列式计算即可求出； 解法三：函数的零点问题转化为函数与在区间的交点问题. 【详解】解法一 因为，均是偶函数，所以只需考虑在上的零点情况， （1）当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 可得，即，解得 （2）当时，，， 所以两函数图象没有交点，所以无零点.综上所述，a的取值范围为. 解法二 ，，易知为偶函数，故只需考虑的零点情况. 当时，恒成立，不存在零点； 当时，在上单调递增，要使在区间内存在零点， 只需，，得，又也符合题意，得. 综上a的取值范围为. 解法三 令得，函数的零点问题转化为函数与在区间的交点问题. 如图可知，a的取值范围为. 故选：C. 8. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是“悬链线”.在适当坐标系下，该曲线的解析式为，称为双曲余弦函数，与之对应的函数称为双曲正弦函数.若对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将进行转化，然后通过换元法化简式子，再由二次函数性质并利用判别式得到实数a的取值范围. 【详解】依题意得，令，， 则， 故原式化简为，即在上恒成立， 于是，所以a的取值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据对数函数的单调性得到，再逐项判断即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以. 所以，故选项A正确； 因为在上单调递减，所以，故选项B错误； 因为，所以，，且，所以成立，故选项C正确； 由，两边同乘以，因为，所以，故选项D错误. 故选：AC 10. 下列各式计算结果为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦、余弦、正切的二倍角公式和两角和的正切即可求出. 【详解】， ， ， ，， . 故选：BD. 11. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的值域为 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间上有7个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，由周期性的定义判断；对B，分段讨论函数值域；对C，验证；对D，分段求解方程求零点. 【详解】由，可得是偶函数，是的一个周期， 当时，，如图画出函数图象 ，，，所以不是的一个周期，故A错； 由图可知的值域为，故B对； ， 所以直线是函数图象的一条对称轴，故C对； 令，即，由图可得函数与的图像有7个交点，故D对. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的运算性质和诱导公式求值. 【详解】原式. 故答案为： 13. 若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】设，根据条件探究满足的条件即可. 【详解】先假设为一次函数，设， 则. 所以函数都满足条件. 故答案为：（不唯一） 14. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.在停止喝酒后，他血液中的酒精含量会按确定的比率衰减，若经过4个小时他血液中的酒精含量下降到原来的一半.那么他停止喝酒后，至少经过__________小时才能驾驶.（结果保留整数，参考数据：） 【答案】10 【解析】 【分析】设出未知数，得到不等式，两边取对数，得到，求出答案. 【详解】因为驾驶员体内的酒精含量是按确定的比率衰减， 设t小时后驾驶员体内的酒精含量为，， 依题意得：，解得 由，得，整理得，两边取对数 解得 所以他停止喝酒后，至少经过10小时才能驾驶. 故答案为：10. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，分别确定集合，，再根据并集的概念求两个集合的并集即可. （2）问题转化为求参数的取值范围求解. 【小问1详解】 ，即 ，. 当时，， ，，. . 【小问2详解】 “”是“”的充分条件， ， ，所以a的取值范围是. 16. 已知函数. （1）求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； （2）求不等式的解集. 【答案】（1），偶函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求得函数的定义域，然后根据函数奇偶性的知识进行证明. （2）解法一：先化简函数，再把化为，最后根据函数的单调性求解即可： 解法二：先化简函数，判断的单调性，再根据偶函数得到求得即可. 【小问1详解】 依题意得 解得，所以函数的定义域为 判断为偶函数， 又的定义域关于原点对称，所以是偶函数. 【小问2详解】 解法一： 所以可化为 因为在定义域内单调递增， 故有，解得或 又因为的定义域为，所以的解集为 解法二： 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减. 故可化为， 所以，即或， 又因为的定义域为，故的解集为 17. 函数（，，）在一个周期内的图象如图所示. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的，得到的图象.若，且，求的值. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据图像可直接求出，根据周期以及点的坐标，即可求得解析式，然后利用正弦型的单调性直接求解单调区间即可； （2）根据图像变换，得到解析式，利用三角函数值，结合两角差的余弦公式即可求出结果. 【小问1详解】 由图可得且，， ，，，， 代入，，， ， ，，， 令， 的单调递增区间为. 【小问2详解】 依题意得，， ，， 又，， ， ， 所以的值为. 18. （，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”. （1）若，判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）若两个不相等的正数m，n满足，求证：； （3）若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 在上单调递增，理由如下： 证明：任取，且，， 则 因为，故且 于是，即，所以在单调递增 （2） 依题意得，，即，整理得 因为，所以，即 又依题意m，，故 因为，故等号不成立，所以 （3）不存在，理由： 假设存在实数，使得在的值域是，易知， 因为定义域为，区间是连续区间，故符号相同 当时，因为，故，即 由（1）可知，在单调递增，于是，即，故有， 得，这与矛盾，故无解 同理，当时，可得. 由，可得是奇函数，由对称性可知在单调递增. 于是，得，解得，这与矛盾，故无解. 综上所述，不存在符合要求的实数s，t. 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）由题得，化简得，再利用均值不等式即可证明； （3）先利用反证法假设存在实数s，t，使得在的值域是，再分类讨论，根据单调性列式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知直线，于点E，于点，是线段上一定点，，.，分别是，上的动点（，均位于线段的右侧）.设. （1）如图1，若，请写出的面积关于角的函数解析式，并求的最小值： （2）如图2，若是等边三角形，求的值； （3）如图3，若，当时，求四边形面积的最小值. 【答案】（1），，最小值2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而可得，，得，计算即可求解； （2）由题意可得，计算可得，结合计算即可求解； （3）过B作交于点F，根据，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 依题意得：，所以， 所以，， 则，， 当时，取到最小值2. 【小问2详解】 ，， 故有，， 因为是等边三角形，所以，即， 整理得，所以，故有， 所以， 所以的值为. 【小问3详解】 过作交于点， 则，，故，， 所以四边形的面积 ， 当且仅当时取到等号， 所以四边形面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁德市2025-2026学年度第一学期期末高一质量检测 数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.答题结束后，学生必须将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，，若，则实数a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 角是第二象限角，其终边与单位圆交于点P，若点P的纵坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 设函数，，若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是“悬链线”.在适当坐标系下，该曲线的解析式为，称为双曲余弦函数，与之对应的函数称为双曲正弦函数.若对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列各式计算结果为1的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的值域为 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间上有7个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 14. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.在停止喝酒后，他血液中的酒精含量会按确定的比率衰减，若经过4个小时他血液中的酒精含量下降到原来的一半.那么他停止喝酒后，至少经过__________小时才能驾驶.（结果保留整数，参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 16. 已知函数. （1）求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； （2）求不等式的解集. 17. 函数（，，）在一个周期内的图象如图所示. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的，得到的图象.若，且，求的值. 18. （，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”. （1）若，判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）若两个不相等的正数m，n满足，求证：； （3）若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由. 19. 已知直线，于点E，于点，是线段上一定点，，.，分别是，上的动点（，均位于线段的右侧）.设. （1）如图1，若，请写出的面积关于角的函数解析式，并求的最小值： （2）如图2，若是等边三角形，求的值； （3）如图3，若，当时，求四边形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $