精品解析：广东省深圳市深圳外国语学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年深圳外国语学校九年级（上）期末数学试卷 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成（如图所示）．一个正六边形的内角和的度数是（ ） A. 360° B. 540° C. 720° D. 1080° 5. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为。以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 7. 如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，抛物线与轴交于点，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 因式分解：______． 10. 已知都是实数，且，则________． 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是______． 12. 实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为，经测得：．实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在同一条直线上），线段的长度为_________．（结果精确到0.1，参考数据：） 13. 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么____． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求．某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，并绘制出如图的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为______°，并将条形统计图补充完整． （2）若“”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100，求这组数据的中位数和众数． （3）若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按20%，30%，50%确定最后得分，达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． （4）经过初赛，进入决赛的同学有3名女生2名男生，现从这五位同学中决出冠亚军，请用列表法或画树状图的方法求冠亚军恰好是一男一女的概率． 17. 随着新能源汽车的逐渐增加，为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ 18. 如图，是的直径，点C在上，D为外一点，且，． （1）求证：直线为的切线． （2）若DC=，AD=2，求⊙P的半径． （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 19. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，远光九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 如图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 任务一 如图2，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 任务二 如图2，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度下降了至线段处，求此时水面宽度的长； 任务三 如图3，把瓷碗绕点B缓慢倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜，求此时碗里水面的宽度__________． 20. 我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数的图象向右平移一个长度单位得到；函数也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用“描点法”作出函数的图象，列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值． x … 0 1 2 … … 2 0 … 描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来． （1）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①函数的图象是由函数向__________（填“左”或“右”）平移1个单位得到． ②函数的图象关于点__________中心对称（填写点的坐标）． （2）一次函数的图象经过函数的中心对称点，并且与函数的图象交于点，点B．当时，x的取值范围是__________． （3）如图2，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形的顶点A，C的坐标分别为、．点D是的中点，连结交于点E，函数的图象经过B，E两点． ①求出函数的表达式． ②过线段中点M的一条直线l与这个函数的图象交于P，Q两点（P在Q右侧），若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年深圳外国语学校九年级（上）期末数学试卷 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， 不是中心对称图形； B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形； C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形； D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形． 故选：C． 2. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 3. 英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 4. 蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成（如图所示）．一个正六边形的内角和的度数是（ ） A. 360° B. 540° C. 720° D. 1080° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理， 根据多边形内角和定理，再代入计算即可. 【详解】解：一个正六边形的内角和的度数是. 故选：C. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为。以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，据此可得答案． 【详解】∵点的坐标为，点的坐标为， ， ∵四边形是矩形， ∵将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：B． 6. 关于x的方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 7. 如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质易知， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵E为边的中点， ∴． 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，抛物线与轴交于点，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图像与性质，由抛物线与轴交于点，得到对称轴，从而得到，①正确；由①中，抛物线开口向下及抛物线交轴的正半轴即可确定②错误；根据二次函数最值即可得到，③错误；根据平面直角坐标系中三角形面积的求法，得到，利用二次函数图像与性质即可确定④错误． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴对称轴为直线，即， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线交轴的正半轴， ∴， ∴，故②错误，不符合题意； ∵抛物线的对称轴，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴（为任意实数）， ∴（为任意实数），故③错误，不符合题意； ∵， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 将点代入， ∴， ∴， 过点作轴交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的面积最大，故④不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数图形与性质，平面直角坐标系中求三角形面积等是解决问题的关键． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 10. 已知都是实数，且，则________． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根被开方数的非负性，利用算术平方根被开方数的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．熟练掌握并灵活运用算术平方根被开方数的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 将代入， 得：， ∴． 故答案为：64． 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握求交点的基本方法是解题的关键． 根据题意，求出时的函数值即可得到二次函数图象与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图像与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 12. 实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为，经测得：．实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在同一条直线上），线段的长度为_________．（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】21.8 【解析】 【分析】本题考查三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，过点作于点，于点，利用三角函数可解得的值，即可求得的值；过点作于点，再证明为等腰三角形，并解得，然后由求解即可． 【详解】解：过点作于点，于点，如图： 由题可得： 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 过点作于点，则四边形为矩形， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么____． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分两种情况讨论，由相似三角形的性质和锐角三角函数可求解 【详解】当时，如图，过点D作于H， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或； 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，，，，再计算即可. 【详解】解：原式. 【点睛】本题主要考查了实数的计算，掌握运算法则是解题的关键.即，（a≠0）. 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的减法计算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先计算括号内分式的减法，再将除法化为乘法计算，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 当，． 原式． 16. 党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求．某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来．在某次竞赛活动中，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，并绘制出如图的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为______°，并将条形统计图补充完整． （2）若“”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100，求这组数据的中位数和众数． （3）若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按20%，30%，50%确定最后得分，达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． （4）经过初赛，进入决赛的同学有3名女生2名男生，现从这五位同学中决出冠亚军，请用列表法或画树状图的方法求冠亚军恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）54， 条形统计图如图所示： （2）众数为96，中位数为 （3）小敏能参加决赛，理由： 小敏最后得分：， ∴小敏能参加决赛． （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据相关联，求中位数、众数，以及加权平均数; （1）先用组的人数除以组所占的百分比，求出参加此次竞赛的总人数，再计算组人数所占的百分比，最后用360°乘以组所占百分比，即可求出A组所在扇形的圆心角度数；用总人数乘以组所占百分比，即可求出组的人数，即可补充条形统计图; （2）根据众数和中位数的定义，即可进行解答即可； （3）将小敏三轮比赛成绩分别乘以其所占比例，求出其最后得分，即可进行解答； （4）画出树状图，根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 参加此次竞赛总人数：（人）， A组所占百分比：， A组所在扇形的圆心角度数， B组人数：（人）， 故答案为：54． 【小问2详解】 排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100， ∴中位数为：， ∵96出现次数最多， ∴众数为96， 综上：众数为96，中位数为； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 画树状图如下： ∴一共有20种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有12种情况， ∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为． 17. 随着新能源汽车的逐渐增加，为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ 【答案】（1）甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元 （2）购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需总费用最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解不等式，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【小问1详解】 解：设乙型充电桩的单价是万元，则甲型充电桩的单价是万元， 由题意得： 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元． 【小问2详解】 设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需总费用为万元， 由题意得： ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 此时， 答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需总费用最少． 18. 如图，是的直径，点C在上，D为外一点，且，． （1）求证：直线为的切线． （2）若DC=，AD=2，求⊙P的半径． （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明过程见解析；（2）4；（3） 【解析】 【分析】（1）连接PC，根据圆周角定理得∠APC=2∠B，结合题意推出∠APC+∠DAB=180°，从而由平行线的判定得到AD∥PC，进而利用平行线的性质进行证明即可； （2）连接AC、PC，在△ADC中根据勾股定理求得AC=4，根据直角三角形边之间的关系推出∠CAD=60°，从而根据平行线的性质推出∠CAD=∠ACP=60°，得出△APC是等边三角形，进而求得⊙P的半径； （3）结合图形可知S阴影部分=S梯形ADCP-S扇形APC，从而利用梯形的面积公式及扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， 连接PC，则∠APC=2∠B， ∵2∠B+∠DAB=180°， ∴∠APC+∠DAB=180°， ∴AD∥PC， ∵∠ADC=90°， ∴∠DCP=90°， ∴PC⊥DC， 故直线CD为⊙P的切线； （2）如图2，连接AC、PC， ∵DC=，AD=2，∠ADC=90°， ∴AC= ∴∠CAD=60°， 由（1）得AD∥PC， ∴∠CAD=∠ACP=60°， 又PA=PC， ∴△APC是等边三角形， ∴PC=PA=AC=4， 故⊙P的半径是4； （3）∵S梯形ADCP= （AD+PC）×CD=（2+4）×=，S扇形APC== ， ∴S阴影部分=S梯形ADCP-S扇形APC=， 故阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查圆的综合运用，与圆周角定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质以及梯形的性质结合起来，应充分的结合图形，能够根据角之间的关系推出线段间的关系，求面积的时候充分运用转化的思想，将不规则图形的面积转化为规则图形间的和差关系来求解． 19. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，远光九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 如图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 任务一 如图2，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 任务二 如图2，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度下降了至线段处，求此时水面宽度的长； 任务三 如图3，把瓷碗绕点B缓慢倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜，求此时碗里水面的宽度__________． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确建立平面直角坐标系， 任务一：由待定系数法求解函数解析式； 任务二：通过液面高度确定液面的纵坐标，再利用解析式给出液面两端的横坐标，即可求解． 任务三：仍建立以为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，通过等腰三角形的判定可求出点S的坐标，再利用待定系数法给出直线解析式，通过直线和抛物线求得交点H的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题． 【详解】解：任务一：如图： 瓷碗高度，碗口宽，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗中盛满水时的最大深度， 由题意得：，， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点C的坐标代入得：， 解得， 抛物线解析式为； 任务二：碗中液面高度为，， 这时液面的纵坐标为， 当时，， 解得，，， 则液面宽度为； 任务三：以为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记y轴交于点S，交于点P， 由题知，，， 轴， 又， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， ， 联立方程组， 解得或（舍）， ， ∴． 故答案为：． 20. 我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数的图象向右平移一个长度单位得到；函数也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用“描点法”作出函数的图象，列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值． x … 0 1 2 … … 2 0 … 描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来． （1）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①函数的图象是由函数向__________（填“左”或“右”）平移1个单位得到． ②函数的图象关于点__________中心对称（填写点的坐标）． （2）一次函数的图象经过函数的中心对称点，并且与函数的图象交于点，点B．当时，x的取值范围是__________． （3）如图2，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形的顶点A，C的坐标分别为、．点D是的中点，连结交于点E，函数的图象经过B，E两点． ①求出函数的表达式． ②过线段中点M的一条直线l与这个函数的图象交于P，Q两点（P在Q右侧），若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）①左，② （2）或 （3）①；②或． 【解析】 【分析】（1）依据题意，①函数的图象可以由函数的图象向左平移1个单位得到，②由关于原点对称，从而可以得到函数的图象关于对称，进而得解； （2）先由平移规律找到函数的对称点为，再利用待定系数法求出，进而可得出的坐标，结合图象即可得解； （3）将坐标原点平移到点的位置，构建新的坐标系，在新的坐标系中，分点在点的左边和右边两种情况讨论，只需先求出点在新坐标系下的坐标，就可求出点在原坐标系下的坐标． 【小问1详解】 解：观察图象并分析表格， ①函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的； ②函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的， ∴对称中心也是由原点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到， ∴函数的图象关于点成中心对称， 故答案为：左；； 【小问2详解】 解：， ∴由（1）规律知，函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的， ∴对称中心也是由原点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到， ∴函数的对称点为， ∴一次函数的图象经过，， ∴，解得， ∴， 将与列成方程组得， ，解得或， ∴， ∴如图所示， 当时，即对应的一次函数图象在函数的图象下方对应的自变量的取值范围，即为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：①∵矩形的顶点A，C的坐标分别为、．点D是的中点， ∴， ∴设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，，解得，， ∴，， ∴，解得， ∴， 将、代入函数可得， 解得：， ②∵线段中点为M， ∴为函数的对称中心， ， ， 以B、E、P、Q为顶点组成的四边形为平行四边形，且为平行四边形对角线， ∵， ∴由平移规律知，的图象可以看作由的图象向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到的，此时，若两坐标轴也一起移动，则新坐标系下得到的新函数解析式为，点的新坐标为，点为新坐标系的原点， ∴可构建如图所示的新坐标系，若点在点的左边， ∵直线与双曲线都是以点为对称中心， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作轴于，过点作轴于， 根据反比例函数比例系数的几何意义可得：， ∴， 设点在新坐标系中的坐标为， 则有， 解得（舍去），， 当时，， 即点在新坐标系中的坐标为， ∴点在原坐标系中的坐标为，即； 若点在点的右边， 如图， 同理可得：点在新坐标系中的坐标为， ∴点在原坐标系中的坐标为即， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象及性质，一次函数图象及性质，矩形的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，中心对称等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $