精品解析：内蒙古自治区赤峰市2026届高三年级模拟考试数学试题

内蒙古自治区赤峰市2026届高三年级模拟考试数学试题 2026.02 本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. 复数，其中i为虚数单位，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的模公式，可得答案. 【详解】复数. 故选：C. 3. 若直线过圆的圆心，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知圆心坐标满足直线方程进而即得. 【详解】圆的圆心为， 因为直线经过圆心，所以，解得. 故选：C. 4. 高三某班共50人，某次数学单元测试成绩服从正态分布，已知成绩低于70分的同学有5人，则（ ） A. B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布性质结合题设可得答案. 【详解】由题可知， 又，因此， 由正态分布性质可知. 故选：B. 5. 如图所示，已知斜三棱柱中，，，点M，N分别为线段和BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图与题设结合空间向量线性运算可判断选项正误. 【详解】由图可得： . 故选：A. 6. 已知等比数列中，，若将除以7所得余数记为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列的性质求解，再根据二项式定理分析，可知的展开式中不含有7因子的只有最后一项1，除以7的余数为1，进而求解除以7的余数即可. 【详解】由等比数列，所以，即， 所以， 由二项式定理可知的展开式中不含有7因子的只有最后一项， 所以除以7的余数为1，则除以7的余数为2， 即， 故选：B． 7. 已知，则m，n，p（ ） A. 成等差，但不成等比 B. 成等比，但不成等差 C. 既成等差，又成等比 D. 既不成等差，又不成等比 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的定义和运算公式可判断选项正误. 【详解】由题可得，，因此，可知m，n，p成等差； 由，但，可知m，n，p不成等比． 故选：A． 8. 已知函数在[0，1]上单调递增，且满足，若对任意，有，则方程在[0，12]上解的个数是（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】先利用对称性和递推关系分析函数在各区间的单调性与函数值，再分段判断的解的个数并汇总. 【详解】由可知函数的图象关于对称，函数在上单调递增，那么函数在上单调递减，因此函数在上的最大值为； 又，则，，，，，，，，，，； 接下来分段分析的解： 在：最大值为，无解； 在：，且函数在递增，递减，故是唯一解； 在：，，且函数在递增，递减，因此在这两个小区间里各有一个解，即共两个； 在：同理，，，函数先增后减，有两个解； 在：同理，，，有两个解； 在：同理，，，有两个解； 将各区间解的个数相加：，因此，在上的解个数为9. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在上的最大值为1 D. 若要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 【答案】AC 【解析】 【分析】对于，根据最小正周期公式即可判断；对于，由正弦函数的对称中心即可求出对称点；对于，由，可求出取值范围，代入到即可求解；对于，根据三角函数图像的缩放规则即可判断. 【详解】对于，函数的周期为，故正确； 对于，要求函数的对称中心，令，即， 因此不是函数的对称中心，故错误； 对于，，当时，， 所以的最大值为1，故正确； 对于，将图象上所有点的横坐标变为原来的可得， 故错误. 故选： 10. 抛物线的焦点为，准线为，点为上的一点且在第二象限，过作于点，连接BF，将线段FB绕点逆时针旋转得到线段FC，若点在轴上，则下列正确的是（ ） A. 准线的方程为 B. 为等边三角形 C. 点的横坐标为 D. 线段CF的长为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由抛物线方程可得准线方程；对于B，由抛物线定义结合可判断选项正误；对于C，由题可得，，结合，可判断选项正误；对于D，由C分析结合可判断选项正误. 【详解】对于A，抛物线为开口向上的抛物线且，所以抛物线的准线方程为，故A正确； 对于B，由抛物线的定义可知，因将线段绕逆时针旋转时，得到，在轴上，可知，又，则，结合，则为等边三角形，故B正确； 对于C，设准线与y轴交点为，由题可得，又由C可得， 则，又A在第二象限，则，故C错误； 对于，由C分析可得，故D正确. 综上：选ABD． 11. 如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面与棱交于点，下列命题中是真命题的是（ ） A. 四棱锥的体积恒为定值 B. 延长与直线DC交于点，延长与直线DA交于点，则P、B、Q三点共线 C. 截面四边形周长最小时，点的位置不唯一 D. 为底面ABCD对角线AC和BD的交点，在棱上存在点，使平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三棱锥的体积公式，分析A选项；结合定理“若两个不重合的平面存在公共点，则该点一定在两个平面的交线上”对B选项进行判断；分析截面四边形为平行四边形，利用该长方体的侧面展开图，分析C选项；利用线线平行、线面平行、面面平行对选项D进行分析； 【详解】对于选项A，四棱锥的体积， 由于两个三棱锥和三棱锥的底面面积为定值，高也为定值，故体积恒定，故A正确； 对于选项B，由直线与直线交于点，即点在平面内，也在平面内， 同理点在平面内，也在平面内，点在平面内，也在平面ABCD内， 故P、B、Q在平面和平面的交线上，故P、B、Q三点共线，故B正确. 对于选项C，截面四边形周长：， 由于平面平行于平面，平面与截面交于， 平面与截面交于，故平行， 同理，平行，则截面四边形为平行四边形；； 由侧面展开图可知，当三点共线，即位于中点时，的和最小， 截面四边形的周长最小，因此，满足条件的只有一个，故C错误； 对于选项D，由于点为底面的对角线和的交点， 则点也为对角线和的中点，过一定存在一个平面与平面平行， 且该平面必然与棱相交，设该交点为，则平面，故D正确. 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 数据的第百分位数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用百分位求解方法求解即可. 【详解】数据从小到大排序为：， 由， 可知第百分位数为该组数据的第个数，即为， 故答案为：. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为，边上的高AD长为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意作图，根据三角函数公式，可得答案. 【详解】由题作图如下： 在中，，则，即； 在中，，，则； 则. 故答案为：. 14. 已知分别为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，圆为的内切圆，，且，则双曲线的离心率为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设的内切圆与和分别相切于点G，H，根据推得，可得，再根据双曲线定义推得的内切圆与轴相切于双曲线右顶点，可推得，，据此推得关于a、c的表达式，列等式求出a、c的比值关系后即可得双曲线离心率． 【详解】如图所示， 设的内切圆的半径为， 根据内切圆的性质可得，， 设的内切圆与和分别相切于点G，H， 可知，由， 可知，因此， 设的内切圆与轴相切于，由双曲线定义， 则有， 解得，也即A点为双曲线的右顶点， 即， 同理， 在中， 运用余弦定理可得， 经过计算可得，即双曲线的离心率． 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，已知的面积为. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式求得，再结合数量积的定义即可求解； （2）由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由题意，， 所以， . 【小问2详解】 ，由（1）知， 在中，， 即． 16. 如图所示，在多面体中，四边形均为正方形，点在线段上，且，过的平面交线段于点. （1）证明：； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，结合线面平行的性质可完成证明； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后结合空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 因，平面，平面， 则平面.又平面，平面平面， 则； 【小问2详解】 由题意，以为原点，以DA方向为轴，以DC方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系. 设. ， 由，且，可知， ， 则平面的法向量； ， 则平面的法向量； . 即平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆上动点处的切线方程为，过点且与切线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 【答案】（1） （2），点的轨迹为椭圆. 【解析】 【分析】（1）根据离心率建立关于的方程，再通过椭圆的点联立方程求解； （2）方法一：根据题意求出过点且与切线垂直的直线方程，由该直线分别交轴、轴于两点得到， 再根据点在椭圆上，得，最后代入和求解即可； （2）方法二：根据题意求出过点且与切线垂直的直线方程， 由该直线分别交轴、轴于两点得， 再由点在椭圆上得，最后代入求解即可. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为， 可设，则. 椭圆方程可化为. 又点在椭圆上，将点的坐标代入椭圆方程， 得，即， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （2）方法一：如图所示， 椭圆上动点处的切线方程为. 当或时，过点且与切线垂直的直线分别为轴和轴， 不满足与轴和轴有两点， 故可得该切线斜率为，与之垂直的直线斜率为， 因此过点且与切线垂直的直线方程为，① 由该直线分别交轴、轴于两点 在①中，令，则，即， 在①中，令，则，即， 由点在椭圆上，则坐标满足椭圆方程，即，② 将代入②，可得， 由（1）得，可得点的轨迹方程， 即，即点的轨迹为椭圆. （2）方法二：如图所示， 椭圆上动点处的切线方程为，可得该切线斜率为. 与之垂直的直线斜率为， 因此过点且与切线垂直的直线方程为，① 由该直线分别交轴、轴于两点 在①中，令，则，即， 在①中，令，则，即， 由点在椭圆上，则坐标满足椭圆方程，即，② 将代入②，可得， 可得点的轨迹方程， 即，即点的轨迹为椭圆. 18. 某企业在年会中设计了游戏环节，从员工中随机抽取10名参加游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者每次掷一枚质地均匀的骰子，初始分数为0，每次投掷时，若出现的点数能被3整除，可为自己积2分，否则为自己积1分.连续投掷，累计得分达到9分或10分时，游戏结束.设员工在游戏过程中累计得分的概率为. （1）求； （2）求； （3）得9分的员工，获得二等奖，奖金200元；得10分的员工，获得一等奖，奖金500元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）． （参考数据：） 【答案】（1），， （2） （3）2750元 【解析】 【分析】（1）根据概率的加法以及乘法公式，结合题意，可得答案； （2）由题意写出递推公式，构造等比数列，利用累加法，可得答案； （3）根据数列的通项公式，可得答案. 【小问1详解】 设员工每次游戏的得分为，则，， ，， . 【小问2详解】 由题意，， 则，解得或， 选， 由，则， ，……，， ， ， 当时，， 综上. 【小问3详解】 ， 即估计游戏奖励的预算资金为2750元. 19. 已知函数. （1）若，求的值以及在点处的切线方程； （2）求函数在上的最大值； （3）当时，在上恒成立，设是方程的根，求的最大值，并证明：. 【答案】（1）， （2）时，最大值为；时，最大值为 （3）的最大值为，证明见解析 【解析】 【分析】（1）解方程得值，再代入即可求点处的切线方程； （2）因为为二次函数，所以对参数范围进行分类讨论，求在上的最大值； （3）先利用不等式性质变形，再构造函数，找出和的关系，即，再利用放缩法证明时，在上恒成立. 法一：设函数，分别找出，的根，根据这些根的相对位置，作差即可证明； 法二：写出在时最小的根，，因为在上恒成立，所以 【小问1详解】 （1）已知函数，则， ，则. 则，， 在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （2）由， ①当时，在上恒成立，即在上单调递增， 函数在上的最大值为. ②当时，在上，即在上单调递减， 在上，即在上单调递增. 即函数在上的最大值为， 由 当时，即时，函数在上的最大值为. 当时，即时，函数在上的最大值为0. ③当时，在上恒成立，即在上单调递减， 即函数在上的最大值为． 综上所述，时，函数在上的最大值为； 时，函数在上的最大值为. 【小问3详解】 由时，在上恒成立， 即，即， 令，则， 由，可知. 当时， 由在上恒成立 可得， 综上，的最大值为. 法一：设函数 设，为时，的两根，不妨令， 则，，， 由的根为， 因为在上恒成立， 所以，故， 即. 法二：设，为时，的两根，不妨令， 则， 而的根为， 因为在上恒成立， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古自治区赤峰市2026届高三年级模拟考试数学试题 2026.02 本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，其中i为虚数单位，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 若直线过圆的圆心，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 高三某班共50人，某次数学单元测试成绩服从正态分布，已知成绩低于70分的同学有5人，则（ ） A. B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 5. 如图所示，已知斜三棱柱中，，，点M，N分别为线段和BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列中，，若将除以7所得余数记为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 7. 已知，则m，n，p（ ） A. 成等差，但不成等比 B. 成等比，但不成等差 C. 既成等差，又成等比 D. 既不成等差，又不成等比 8. 已知函数在[0，1]上单调递增，且满足，若对任意，有，则方程在[0，12]上解的个数是（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 11 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在上的最大值为1 D. 若要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 10. 抛物线的焦点为，准线为，点为上的一点且在第二象限，过作于点，连接BF，将线段FB绕点逆时针旋转得到线段FC，若点在轴上，则下列正确的是（ ） A. 准线的方程为 B. 为等边三角形 C. 点的横坐标为 D. 线段CF的长为8 11. 如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面与棱交于点，下列命题中是真命题的是（ ） A. 四棱锥的体积恒为定值 B. 延长与直线DC交于点，延长与直线DA交于点，则P、B、Q三点共线 C. 截面四边形周长最小时，点的位置不唯一 D. 为底面ABCD对角线AC和BD的交点，在棱上存在点，使平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 数据的第百分位数为__________． 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为，边上的高AD长为，则__________. 14. 已知分别为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，圆为的内切圆，，且，则双曲线的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，已知的面积为. （1）求； （2）若，求. 16. 如图所示，在多面体中，四边形均为正方形，点在线段上，且，过的平面交线段于点. （1）证明：； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆上动点处的切线方程为，过点且与切线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 18. 某企业在年会中设计了游戏环节，从员工中随机抽取10名参加游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者每次掷一枚质地均匀的骰子，初始分数为0，每次投掷时，若出现的点数能被3整除，可为自己积2分，否则为自己积1分.连续投掷，累计得分达到9分或10分时，游戏结束.设员工在游戏过程中累计得分的概率为. （1）求； （2）求； （3）得9分的员工，获得二等奖，奖金200元；得10分的员工，获得一等奖，奖金500元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）． （参考数据：） 19. 已知函数. （1）若，求的值以及在点处的切线方程； （2）求函数在上的最大值； （3）当时，在上恒成立，设是方程的根，求的最大值，并证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $