精品解析：内蒙古自治区赤峰市部分学校（赤峰实验中学、开鲁一中、新城红旗中学）2025届高三上学期期末联考数学试题

高三数学考试 命题单位：松山区外国语学校 命题人：黄东清 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再结合集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意可得，， 则． 故选：C. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 987 B. 985 C. 983 D. 981 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质可知，则． 故选：B 3. 在空间中，a，b，c是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，，，那么 C. 如果，，，，那么 D. 如果，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中直线和平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，在如图所示的正方体中，设，，， 则，，但a不平行于b，所以A选项错误； 对于B，根据面面平行的判定定理知，缺少这个条件，所以B选项错误； 对于C，如图，设为平面，为平面ABCD，，，易知，，，，但a不垂直于，所以C选项错误； 对于D，因为，所以存在，使得，又，，所以，所以，故D选项正确． 故选：D 4. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数和单调性逐项分析即可. 【详解】对于A， 在上单调递减，不符合题意，故A错误； 对于B，由对勾函数性质可知在上不单调，不符合题意，故B错误； 对于C，，不为偶函数，故C错误； 对于D，，且的定义域为， 即为偶函数，由在上单调递增， 在定义域内单调递增，故在上单调递增，符合题意，故D正确. 故选：D. 5. 第十五届中国国际航空航天博览会于 2024年11月12 日至17日在珠海举行．此次航展有47个国家参加．为了给观展人更准确、更专业的解读，某大学航空航天专业4名志愿者要到3个场地执勤，要求每个场地至少有1名志愿者，且每个志愿者只到1个场地执勤，则不同的执勤方案有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 18种 【答案】C 【解析】 【分析】将4名志愿者分成3组，再分配到3个场地即可. 【详解】依题意，将4人按分成3组有种分法，再将每种分法所得3组分到3个场地有种方法， 所以不同的执勤方案有（种）. 故选：C 6. 已知直角梯形中，，，，点M在线段BC上，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示直角坐标系，设，利用向量共线求出点，再利用向量的数量积求解即可. 【详解】依题意，在坐标系中表示直角梯形，，，，， ，设， 因为，所以，即， 所以，所以，， 所以． 故选：A 7. （ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式，结合同角三角函数的关系与和差角的正弦公式求解即可. 【详解】 ． 故选：A 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线l与y轴和C的右支分别交于点Q和点P（不是顶点），使得，且，则C的离心率为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性求得和，再利用三角形边角关系及双曲线定义求出离心率. 【详解】由，得Q为的中点，则，， 由，得，令双曲线的半焦距为， 则，由， 得，即，所以C的离心率. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的共轭得到，根据复数的模计算和判断A选项，根据复数的除法计算判断B选项，根据复数的乘方运算计算判断C选项，根据复数的乘方运算和加减运算计算判断D选项. 【详解】对于A，，，所以，则A正确； 对于B，，则B错误； 对于C，，则C正确； 对于D，，则D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 函数的图象可以关于点对称 C. 函数的图象可以关于直线对称 D. 若函数在区间上存在两个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据辅助角公式化简判断即可；对B，根据对称点公式求解即可；对C，根据对称轴公式求解即可；对D，令，可得，再结合区间求解即可. 【详解】对于A，，所以的最大值为2，故A正确． 对于B，若的图象关于点对称，则，得，当时，，符合，故B正确． 对于C，若的图象关于直线对称，则，得， 易知当时，，当时，，与不符，则C错误． 对于D，令，则由，得，由， 得，由，得， 所以，解得，又，所以，故D正确． 故选：ABD 11. 已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 的周期 【答案】AB 【解析】 【分析】令，推导出，结合函数的对称性可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断BC选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，因为函数的图象关于点对称， 即函数的的图象关于点对称，则， 所以，令，可得， 可得，所以的图象关于点对称，则A正确． 对于B选项，由已知得， 设，则， 所以，所以是偶函数，则B正确； 对于C选项，若函数是奇函数，则，可得， 即函数的图象关于点对称， 但函数的图象关于点对称，题中条件无法推出函数的图象关于点对称，则C错误； 对于D选项，若函数的周期为，则， 事实上，在等式中，令，则，则，矛盾，故D错误. 故选：AB. 【点睛】结论点睛：本题考查函数的对称性的判断，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取______人． 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样计算规则计算可得. 【详解】田径队运动员的总人数是，容量为的样本占总体的比例为， 则应该在男运动员中随机抽取人． 故答案为： 13. 已知体积为的球O与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为，则该正四棱锥的体积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由正四棱锥的内切球作图，根据勾股定理、三角形相似，求出四棱锥的高即可. 【详解】如图， 设正四棱锥的内切球的半径为R，H为底面中心， 由内切球的体积为，得． 连接PH．由题意得平面ABCD，球心O在PH上，， 取CD的中点F，连接HF，PF． 设点O在侧面PCD上的投影为点Q，则点Q在PF上，且，． 设O到P的距离为h，所以，即，解得， 所以． 故答案为：##. . 14. 甲、乙、丙三名排球运动员进行传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第次传球后，球不在甲手中的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设为事件“次传球后，球在甲手中”，则，进而得，由此递推公式可得则为首项为，公比为的等比数列，即得，进而可得. 【详解】记为事件“次传球后，球在甲手中”，其中，， 则有，显然第次传球在甲中，第次传球仍在甲中的概率为0， 即，则有， 故，即 整理得，又首次传球后球必不在甲手中，故， 则为首项为，公比为的等比数列， 故，故 由题意可得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题求事件“第次传球后，球不在甲手中”的概率较为麻烦，可考虑先求其对立事件 “次传球后，球在甲手中”的概率，由分析可知，则，进而可得递推关系，可得，进而可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合和差角的正弦公式化简求解即可； （2）由面积公式可得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理及． 得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由题意得的面积，所以①． 又，且，所以②． 由①②得． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）当时，，求导得，由导数的几何意义，可求得切线的斜率，进而根据点斜式可得切线方程； （2）求导得，通过对取值进行分类讨论，分析的符号，进而可得的极值情况，建立关于的不等式，即可得出答案. 【小问1详解】 ∵， ∴当时，， ∴，， ∴切点坐标为， ∴所求切线的斜率， ∴曲线在点处的切线方程为， 整理得． 【小问2详解】 ∵，∴， 当时，，在上单调递增，此时无极值； 当时，令，得， 当时，，的减区间为， 当时，，的增区间为， ∴的极小值， ∴，令，则，令，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时取得最大值1， ∴的取值范围是． 17. 在三棱柱中，，平面． （1）证明：平面． （2）已知，．上是否存在一点M，使得平面和平面夹角的正切值为？若存在，确定M位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，M是的中点． 【解析】 【分析】（1）由平面得，又，即可证平面，由平面即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，分别求平面的法向量和平面的法向量，利用夹角公式即可表示出含的方程解出即可. 【小问1详解】 证明：已知平面，平面，∴． ∵，，∴平面． 又平面，∴平面平面． 【小问2详解】 过C作AB的平行线作为x轴，以AC所在直线为y轴，以所在直线为z轴（C为坐标原点，为正方向）建立如图所示的空间直角坐标系． 由，，，，即， 设， 则，，，，，， ，． 设平面的法向量为，则有，令， 易得平面的一个法向量为． 平面的法向量为， ，， ，令， ∴平面的一个法向量为． ． 设平面和平面夹角为，则由平面和平面夹角的正切值为， 即，又，解得， ，解得，即M是的中点． 18. 已知椭圆：，点在上，且的焦距为2，左焦点为，． （1）求的方程； （2）设为原点，为上（除左、右端点外）一点，中点为，直线与直线：（直线不过和）交于点，过点作，交直线于点，证明：无论为何值，均有． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，由 点上可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程可得点坐标，进而可得，进而可得，结合，可得，进而可得，即，进而可得. 【小问1详解】 由题意可知，故，则两焦点的坐标为，． 由椭圆的定义得，故， 故，故C的方程为． 【小问2详解】 证明：由（1）得．设，， 直线的方程为， 联立方程组，得， 易知恒成立，由韦达定理得，故， 代入直线得，又是的中点，故， 故直线的方程为，又直线与直线交于点，故， 故，又因，故，故， 故直线的方程为， 因直线与直线交于点，故， 故，又，故， 故．设直线交直线于点，直线交于点, 故无论为何值，均有. 【点睛】关键点点睛：本题第二问证明，考虑到，只需证明即可，即证.根据题意设直线的方程为，进而根据题中条件求得点坐标即可. 19. 对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为原数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列． （1）数列的通项公式为，证明：数列是二阶等差数列． （2）数列的通项公式为，证明：数列的前n项和公式为． （3）设数列是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二阶等差数列的定义即可证得结果. （2） 再分组求和，即可求得结果. （3）计算的各阶等差数列，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．再利用累加法即可求出数列，再用累加法计算得. 【小问1详解】 数列的通项公式为，设数列的一阶差数列为， 则， 即， 所以数列的一阶差数列为， 所以的1阶差数列是一个以为首项，2为等差的等差数列， 则 的2阶差数列是一个以2为首项的常数列， 根据二阶等差数列定义可知数列是二阶等差数列. 【小问2详解】 证明： ． ∵， ∴， ∴．证毕． 小问3详解】 计算的各阶等差数列，设的一阶差数列为，二阶差数列为，三阶差数列为， 得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…． ∵是一个三阶等差数列，∴是一个常数列， ． ∵，，2，…， ∴， ∴． 同理可解得， 故． 【点睛】关键点点睛：先计算出的各阶等差数列，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．再利用累加法即可求出数列的通项公式.. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 命题单位：松山区外国语学校 命题人：黄东清 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 987 B. 985 C. 983 D. 981 3. 在空间中，a，b，c是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，，，那么 C. 如果，，，，那么 D. 如果，，，则 4. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 第十五届中国国际航空航天博览会于 2024年11月12 日至17日在珠海举行．此次航展有47个国家参加．为了给观展人更准确、更专业的解读，某大学航空航天专业4名志愿者要到3个场地执勤，要求每个场地至少有1名志愿者，且每个志愿者只到1个场地执勤，则不同的执勤方案有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 18种 6. 已知直角梯形中，，，，点M在线段BC上，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. （ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线l与y轴和C的右支分别交于点Q和点P（不是顶点），使得，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 函数的图象可以关于点对称 C. 函数的图象可以关于直线对称 D. 若函数在区间上存在两个零点，则 11. 已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（ ） A. 图象关于点对称 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 的周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取______人． 13. 已知体积为的球O与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为，则该正四棱锥的体积是______． 14. 甲、乙、丙三名排球运动员进行传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中任何一人，则第次传球后，球不在甲手中的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，面积为，求b，c的值． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求取值范围． 17. 在三棱柱中，，平面． （1）证明：平面． （2）已知，．上是否存在一点M，使得平面和平面夹角正切值为？若存在，确定M位置；若不存在，说明理由． 18. 已知椭圆：，点在上，且的焦距为2，左焦点为，． （1）求的方程； （2）设为原点，为上（除左、右端点外）一点，的中点为，直线与直线：（直线不过和）交于点，过点作，交直线于点，证明：无论为何值，均有． 19. 对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为原数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列． （1）数列的通项公式为，证明：数列是二阶等差数列． （2）数列的通项公式为，证明：数列的前n项和公式为． （3）设数列是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $