21.3.1矩形寒假预习讲义（2知识点+14大题型+过关检测）2025-2026学年人教版八年级数学下册寒假预习（知识点+题型精讲）

21.3.1矩形寒假预习讲义 （2知识点+14大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 矩形性质理解】 2 【题型2 利用矩形的性质求角度】 5 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 7 【题型4 根据矩形的性质求面积】 9 【题型5 利用矩形的性质证明】 11 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 14 【题型7 矩形与折叠问题】 18 【题型8 斜边的中线等于斜边的一半】 20 【题型9 矩形的判定定理理解】 22 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 24 【题型11 证明四边形是矩形】 26 【题型12 根据矩形的性质与判定求角度】 28 【题型13 根据矩形的性质与判定求线段长】 32 【题型14 根据矩形的性质与判定求面积】 39 模块二 预习目标导航 · 熟练掌握矩形的所有性质，能分点梳理并准确表述 · 通用性质（继承平行四边形）：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、是中心对称图形； · 特有性质：四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）、对角线相等、是轴对称图形（2 条对称轴，对边中点连线）。 · 能由矩形的性质推导出直角三角形斜边中线定理，理解 “矩形对角线将矩形分成直角三角形，斜边中线等于对角线一半” 的转化关系。 · 会运用矩形性质解决基础计算问题：求矩形的边长、周长、面积、对角线长度，以及矩形内角度数、线段长度的简单推导。 模块三 知识点梳理 【知识点1 矩形的性质】 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形的性质： 1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角； 几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90° 3）对角线相等； 几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD 推论： 1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。 2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。 【知识点2 矩形的判定】 矩形的判定： 1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）对角线相等的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形的面积公式： 面积=长×宽 模块四 题型汇总 【题型1 矩形性质理解】 【典例1】．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴不一定正确，故A不符合题意； ，不一定正确，故B不符合题意； 不一定正确，故C不符合题意； 一定正确，故D符合题意， 故选：D． 变式1-1．如图，在矩形中，F是的中点，E是上一点，且，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形内角和性质，直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质，得，结合，则是直角三角形，因为F是的中点，则，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 则是直角三角形， ∵F是的中点， ∴， 故选：C 变式1-2．如图，在长方形的中，已知，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以，C，Q为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2或1 D．4或3 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，分类讨论全等三角形的对应边关系是解题的关键．设点P，Q运动的时间为，依题意得：，，得到，，①当，时，则当时，则，根据题意列方程即可得到结论 【详解】解：设点P，Q运动的时间为， 依题意得：， 四边形是长方形，且，， ， 当以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等时，有以下两种情况： ①当时，则， 由，得：， 解得：； ②当时，则， 由，得：， 解得：， 由， 得：， 将代入， 得：， 综上所述：的值为4或3． 故选：D． 【题型2 利用矩形的性质求角度】 【典例2】．在矩形中，对角线相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义．先根据矩形的性质，结合角平分线的定义求出，利用等腰三角形的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：在矩形中，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 变式2-1．如图，在矩形中，对角线和相交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得出，，再根据直角三角形两锐角互余可得出，再根据等边对等角得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C. 变式2-2．如图，在矩形中，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义、角的和差等知识点，由矩形的性质得出是解题的关键． 根据矩形的性质得出，进而利用角平分线的定义可求得，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 【典例3】．如图，矩形的顶点，B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，平面直角坐标系，由已知点坐标可得，，进而可解． 【详解】解：矩形的顶点， ，，轴， B的坐标为． 故选：A． 变式3-1．如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，点在上，已知矩形的长为，宽为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，由全等图形的性质可证，即得到，，进而可得是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵矩形和矩形全等， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 变式3-2．如图，在矩形中，两条对角线交于点O，，，则长为（ ） A．2 B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，根据直角三角形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【题型4 根据矩形的性质求面积】 【典例4】．如图，在矩形中，对角线与相交于点O．若，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质．由矩形的性质推出，，求出，根据矩形的面积即可求出答案． 【详解】解：过点D作交于点H， 四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 故选：A． 变式4-1．数学家贾宪提出，从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等（如图所示）．根据这一推论，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解决此题的关键． 由题意可得四边形、四边形、四边形、四边形均是矩形，矩形的对角线将矩形平分为两个面积相等的三角形，由此逐项论证即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形均是矩形． ∵是对角线，且点在上， ∴，，，故A，B选项不符合题意； ∵，， ∴，故C选项不符合题意； 只有当时，， ∴当点位置变化时，和不一定相等，故D选项符合题意． 故选：D． 变式4-2．如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质及三角形面积，熟练掌握矩形的性质是解题关键．连接，根据矩形的性质得出，由图可知，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵长方形的面积为， ∴， 由图可知， ∴，即， 解得：． 故选：A． 【题型5 利用矩形的性质证明】 【典例5】．如图，在矩形中进行如下操作：①以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接；②再以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是理解作图过程，熟练运用矩形的性质解题．根据作图过程和矩形的性质可以证明，进而可得线段与线段的位置关系以及与的数量关系，进一步推导与，与的数量关系即可． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形中，，，，， ∴， 由题意得，， ∴，，故A正确， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，，故B、D正确． 无法证明；C不一定成立； 故选：C． 变式5-1．如图，将平行四边形沿对角线折叠，点恰好落在延长线上的点处，若交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．是直角三角形 C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据平行四边形的性质，折叠的性质，数形结合分析逐一判定即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， ∴，，则， ∴， ∴，即， ∴点是的中点， ∴，故D选项正确，符合题意； ∴是等腰三角形， ∵， ∴是直角三角形，错误，故B选项不符合题意； 如图所示，连接， ∴四边形是矩形， ∵的数量关系不确定， ∴平分错误，故C选项不符合题意； ∵，但的位置关系不确定， ∴， ∴，故A选项不符合题意； 综上所述，只有D选项正确， 故选：D． 变式5-2．如图，在矩形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，首先根据题意得出矩形的面积，然后结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴，， 在中， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 【典例6】．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 变式6-1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【详解】∵，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∴由轴对称变换可知，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 变式6-2．如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质可得轴，则，据此可得，，再求出，得到，根据的面积等于长方形面积的，得到，可得，则． 【详解】解：∵四边形为长方形，轴，轴， ∴轴， ∵点A，C的坐标分别为， ∴， ∴，， ∵轴交y轴于点M， ∴， ∴， ∵的面积等于长方形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 【题型7 矩形与折叠问题】 【典例7】．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，平角的定义，计算解答． 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故选：C． 变式7-1．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的性质和得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，则． 本题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及性质，角的计算，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质是解题的关键． 【详解】解：在长方形纸片中，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 故选：B． 变式7-2．如图，将一张长方形纸片沿着折叠，使点A，B分别落在点E，F处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形及折叠性质，解题关键在于能够得到的角度． 先由折叠性质得到，再由平行线性质得到与，进而得到，从而得到． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠性质可知，， ． ∵， ． 又由折叠性质可得， ． 故选：A． 【题型8 斜边的中线等于斜边的一半】 【典例8】．如图，在中，是的中点，且，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质等知识，熟记相关几何性质及判定是解决问题的关键． 先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由等边三角形的判定与性质求解即可得到答案． 【详解】解：在中，是的中点，则， ， ， 即是等边三角形， ， 故选：A． 变式8-1．如图，公路和互相垂直，点和的中点被一个湖泊隔开，若公路的长为千米，则B，D两点之间的距离为（    ） A．10千米 B．8千米 C．6千米 D．5千米 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解B和D之间的距离即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是的中点，千米， ∴千米． 故选：D． 变式8-2．如图，是直角三角形，且，，斜边的端点、分别在两条互相垂直的直线上滑动，两直线交点为，连接，则线段的最大值是（     ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线定理，三角形三边关系，利用三角形三边关系将最大值转化为两条线段之和是解题关键． 取斜边的中点，利用直角三角形斜边中线定理，分别得到和的长度；再结合三角形三边关系，得出的最大值为． 【详解】解：如图，取中点为，连接，， 在中，，， 根据含角的直角三角形性质，可得， ， ，， ， 故的最大值为． 故选：． 【题型9 矩形的判定定理理解】 【典例9】．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟记矩形的判定定理，并会灵活运用． 根据矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：选项A：对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A错误，不符合题意； 选项B：两组对边分别相等得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误，不符合题意； 选项C：对角线是否互相垂直不能判定四边形为矩形，故C错误，不符合题意； 选项D：根据四边形内角和定理，三个角是直角，则另一个角也是直角，即四个角均为直角，可判定四边形为矩形，故D正确，符合题意； 故选D． 变式9-1．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，符合题意； D、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：C． 变式9-2．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（   ） A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否相互平分 D．测量对角线是否相等 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定为矩形；符合题意； B、测量两组对边是否相等，只能判定为平行四边形；不符合题意； C、测量对角线是否相互平分，只能判定为平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否相等，不能判定其为矩形（如等腰梯形的对角线也相等），不符合题意； 故选：A． 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 【典例10】．要使变为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，解答此题的关键是熟练掌握矩形的判定定理． 矩形是有一个角是直角的平行四边形，或对角线相等的平行四边形，添加条件需使平行四边形满足矩形定义． 【详解】解：选项A和B是平行四边形固有性质，不能保证为矩形，不符合题意； 选项C中，表示邻边相等，可证四边形为菱形，但不一定是矩形，不符合题意； 选项D中，对角线相等，可证平行四边形为矩形，符合题意； 故选D． 变式10-1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和矩形的判定知识点，解题关键是熟练掌握矩形的判定定理，并结合平行四边形的基本性质对每个选项进行逻辑推导． 需要结合平行四边形的性质，对每个选项进行分析，判断能否推出平行四边形是矩形． 【详解】解：A、在平行四边形中，，根据平行线性质，是恒成立的，这只是平行四边形的基本性质，不能判定它是矩形，不符合题意； B、在平行四边形中，，根据平行线性质，也是恒成立的，不能判定它是矩形，不符合题意； C、在平行四边形中，，∴．若，则可推出．根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定平行四边形是矩形，符合题意； D、在平行四边形中，本身就有对角相等的性质，即，这不能判定它是矩形，不符合题意． 故选：C． 变式10-2．在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解题的关键． 根据矩形的判定定理，结合平行四边形的性质，逐一分析各选项是否能判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项B： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； 选项C： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项D： ∵ 平行四边形中本身就有（平行四边形对角相等）， ∴ 此条件不能判定为矩形． 故选：B． 【题型11 证明四边形是矩形】 【典例11】．如图，四个内角的平分线两两相交，构成四边形，则四边形的形状是（   ） A．任意四边形 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，关键是掌握有三个角是直角的四边形是矩形． 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，结合对顶角相等得到，同理可得，，进而可证明四边形是矩形． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ． ，分别平分，， ， ． 同理可得，， 四边形是矩形． 故选：C． 变式11-1．四边形的对角线，相交于点，能判定它是矩形的条件是（ ） A．， B．，， C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，矩形的判定需满足对角线互相平分且相等，或有一个直角的平行四边形. 选项D中，说明对角线互相平分且相等，可判定矩形． 【详解】解：A选项：，，四边形是平行四边形，但是不能判定四边形是矩形，故A选项不符合题意； B选项：，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形，故B选项不符合题意； C选项：，，无法判定四边形是平行四边形或矩形，故C选项不符合题意； D选项：，四边形的对角线相等且互相平分，可以判定四边形是矩形，故D选项符合题意． 故选：D． 变式11-2．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【题型12 根据矩形的性质与判定求角度】 【典例12】．如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 变式12-1．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为，延长EF交AD于点，与互余，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形，矩形的判定与性质，轴对称，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，且，连接，由，推导出，即与关于对称，可得，在直角三角形内根据面积公式可求得，同时根据已有的边与直角可推导出四边形是矩形，继而证明，，则，即可解答． 【详解】解：过点作，且，连接，如图 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 即与关于对称， ∴， ∵， ∴F，E，共线，且， 在中，， ∴， ∵，， ， ∴四边形是矩形，且D，C，F共线， ∴，即，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式12-2．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 【题型13 根据矩形的性质与判定求线段长】 【典例13】．图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米，，则点C到水平线l的距离为 分米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点C作于点M，交于点N，证明四边形是矩形，得到，证明，则，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：过点C作于点M，交于点N， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分米， ∴分米， ∴分米， ∵分米， ∴分米， ∴分米， 故答案为：． 变式13-1．如图，点是两直角边上的两点，连接，已知点D、E、F分别是的中点． (1)求度数； (2)连，取中点G，连接，若，求的长． 【答案】(1)90度 (2) 【分析】（1）先证明，得到．结合即可． （2）连接，取中点G，连接、，证明四边形为矩形．再利用勾股定理得． 【详解】（1）证明：∵D、E、F分别是的中点， ∴． ∴． ∴， （2）解：连接，， ∵G、F分别是和的中点， ∴． 同理：． ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． ∴，， ∵E、F、G，D分别是、、、的中点，， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 变式13-2．矩形折叠问题： 如图，把矩形（）折叠，折痕为，点在边上，点在边上，记点落在点处，点落在点处． (1)如图1，已知，． ①甲同学折叠时使，点落在矩形的一边上，求的长． ②乙同学折叠时使，且，求的长． (2)如图2，点在点处，作的平分线交的延长线于，过作的平行线交，分别于R，T．连结，，若，，求的值． 【答案】(1)①的长为或；②的长度为 (2) 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，具有极强的综合性，解题的关键在于添加准确的辅助线确定运动状态． （1）①对点P的落点进行分类讨论，分析当点落在、边上，结合折叠性质，矩形的性质，勾股定理，依次计算可得的边长，令，通过等量关系得出对应方程，进行求解即可；②由关键信息，结合折叠性质，可得出，，通过假设，得出相关线段的表达式，利用方程解出答案； （2）令，，根据特殊平行四边形的性质，得出其他线段的表达式，结合勾股定理，得出，通过角度关系，证出，也能得出的另一种表达式为，故可得方程，解出即可得出的值． 【详解】（1）解：①当点落在边上时，过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∵，得， 在中，由勾股定理得， ∴， 令， ∴， 又∵， 由得， 得方程， 解得， 故此时的长度为； 当点落在边上时，连接，如下图所示： 由，可得， 解得， ∴， 令， ∴， 在和中， ，, ∴， 可得方程 解得， 故此时的长度为； 综上，当点落在矩形的一边上，的长为或． ②连接、、、、，过点作交于点，延长交于点，如下图所示： 根据翻折的性质，可得， ∴， ∵， 故， 观察图象，可知， ， ∴要满足，应满足， 令，则， ∵翻折的性质， ∴， 在中，可得， 在中，可得， ∴， ∵， ∴为的角平分线，结合， ∴，且点为中点， ∴， ∵， ∴， 得方程， 解得或， 故的长度为． （2）解：延长交于点，如下图所示： ∵翻折的性质， 得，， ∵平分， ∴，， 故四边形为正方形， 令，， ∴， 由， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 得方程， 解得， ∴． 【题型14 根据矩形的性质与判定求面积】 【典例14】．矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵过作的平行线交于，交于， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 变式14-1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，若经过一次平移后得到，点A，B，C的对应点分别为点，已知点的坐标为根据以上条件，请解决下列问题： (1)请画出平移后的； (2)四边形______平行四边形填“是”或“不是”； (3)在平移过程中，边扫过的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)是 (3)16 【分析】本题考查了作图-平移变换，勾股定理，矩形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据勾股定理求得，，于是得到结论； （3）根据勾股定理和矩形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：，，，， ，， 四边形是平行四边形， 故答案为：是； （3）解：由题意知，边扫过的四边形是矩形， ，， 边扫过的面积为， 故答案为： 变式14-2．（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个矩形称为赵爽弦图，其验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边 a，b 与斜边c 满足关系式称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为S= ， ∴ ∴ ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程； （3）如图3所示， ，请你添加适当的辅助线证明结论    【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． （1）根据四个全等的直角三角形的面积＋中间小正方形的面积=大正方形的面积，构造等量关系，然后化简即可证得； （2）根据四个全等的直角三角形的面积＋中间小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明； （3）作辅助线，构建矩形，根据矩形的面积可得结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为， ∴． ∴， ∴， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 故答案为：，，； （2）证明：由图得，大正方形面积=， 整理得，， 即 ； （3）如图，过A作，过E作于F，交的延长线于D，则四边形是矩形，    ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ∴． 模块五 过关检测 1．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，则的长为（　　） A．6 B．8 C．11 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形对角线互相平分是解题关键．根据矩形的性质，得到，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，，， ， ， 故选：A． 2．在中，，，点是斜边上的中点，则为（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质． 根据直角三角形斜边上中线斜边的一半作答即可． 【详解】解：，，点为斜边上的中点， 是斜边的中线， ， 故选：A． 3．如图，在中，，，，垂足为D，，垂足为E，O为的中点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 由直角三角形的性质可得，则，再根据三角形内角和定理可得，同理：，最后根据平角的性质列式计算即可． 【详解】解：∵，O为的中点，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴． 故选C． 4．在中，，是斜边上的中线，那么下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边对等角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则，据此可判断③；根据等边对等角和三角形外角的性质可判断②；根据直角三角形两锐角互余得到，则，据此可判断①；根据现有条件无法证明，则可判断④． 【详解】解：如图所示，∵在中，，是斜边上的中线， ∴，即，故③正确； ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故①正确； 根据现有条件无法证明，故④错误； ∴正确的有①②③，共3个， 故选：C． 5．如图①的长方形中，E在上，沿将A点往右折成如图②所示，再作于点F，如图③所示，若，，，则图③中的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质和判定，折叠变换，勾股定理，含角的直角三角形.能作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键. 作于，证明四边形是矩形，得出，在中，求得，则根据勾股定理可求出，可求出的长度即为的长度. 【详解】解：如图，作于，则， ∵四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴根据折叠的性质可知 ∵ 在中，，， ∴，根据勾股定理， ∴， ∴， 故选：B. 6．下列命题是假命题的是（    ） A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的判定，正确判定命题是解题的关键． 直接判断每个命题的真假，A、B、D均为真命题，C为假命题． 【详解】A、是直角三角形的性质，为真命题； B、中两个角互余，则第三个角为90°，为真命题； C、中面积相等的两个三角形不一定全等， 如底和高分别为2和3与1和6的三角形面积相等但不全等，为假命题； D、是角平分线的性质，为真命题． 故选：C． 7.如图，在中，，根据以下步骤作图：（1）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线，交于点D．若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则点D为的中点，结合直角三角形斜边上的中线的性质可得． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴点D为的中点． ∴为斜边上的中线， ∴， ∴． 故选：D． 8．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据折叠的性质得出，从而可得，再利用勾股定理列出关于的方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 在中， ∴ 解得：， 故选：B． 9．如图，在中，，，，是的角平分线，过点作，且，连接分别交，于，两点，点，分别是线段和线段上的两个动点，连接，，则下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，证明三角形全等是解题的关键． ①根据条件证明，利用互余的角即可得出结论； ②根据等边对等角，求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数，全等三角形的性质，得到的度数，的度数，即可得出结论； ③由②推出，，，再利用等量代换即可得出结论； ④连接，过点作于点，三线合一结合中垂线的性质，以及垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴；故②正确，符合题意； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故③正确，符合题意； ④如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵点是线段上的动点， ∴， ∴， ∴的最小值为3．故④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①②③④， 故选：D． 10．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又 ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：6． 11．在矩形中，点E是的中点，连接，，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 延长，相交于点，根据矩形的性质和，易证，得，则，根据角平分线，可得，，再利用，易证，得，，从而，得是等腰三角形，进而得，根据角之间的关系求出的度数，最后利用三角形内角和计算即可求解． 【详解】解：如图，延长，相交于点， 矩形， ，，， 点E是的中点， ， ()， ，则， 平分， ， ， ，则 平分， 在和中， ， ， ， ， ，即是等腰三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：. 12．如图，的边与矩形的边相交于点．若，，则的大小为 ． 【答案】124° 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质及四边形内角和定理，解题的关键是利用矩形的直角性质求出相关角，再结合平行四边形对边平行、对角相等的性质推导角度． 结合矩形的直角性质、三角形外角定理，先求出的度数，再利用平行四边形对角相等得到的大小． 【详解】解：四边形是矩形， ． ， ． 又， ． 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 13．如图，在中，对角线，相交于点，点，每秒运动1个单位长度，分别从点，出发，沿，方向运动．若，，则经过 后，四边形是矩形． 【答案】2或10 【分析】设运动的时间为，则，由平行四边形的性质得或，再根据列方程或，求出的值即可． 【详解】解：设运动的时间为． 四边形是平行四边形，，， ，． 由题意可知，， 或， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形， ，即或， 或． 故经过或后，四边形是矩形． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定、动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示、的长是解题的关键． 14．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，．则蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片． 本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求． 【详解】解：如图，展开矩形，则， ∵矩形对边平行相等， ∴ ∴． 故答案为：10． 15．小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查最短路径问题，轴对称性质等．根据题意利用中位线性质即可得到的值，再过点C作轴，使，连接交x轴于点P，则此时有最小值，继而利用题干中的性质即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵，点D是的中点，， ∴， 过点C作 轴于点H，使，连接交x轴于点P， 则此时有最小值， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 16．如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点为点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化求解是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，，根据折叠的性质得出，，进而可得，根据证明； （2）根据平行线的性质可得，进而根据折叠的性质可得，根据平角的定义得出，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，． 矩形沿折叠得到四边形， ，， 即， ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ， 又折叠， ， ． ， ． 17．如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点D，E，点F是线段的中点，过点D作，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，推出，由垂直平分线的性质求得，证明四边形是平行四边形，再证明四边形为矩形； （2）在，由勾股定理求得的长，利用三角形面积公式求得，再利用等高的两个三角形面积的比等于底的比即可求解． 【详解】（1）证明：点F是的中点， ， ， ，， ∴， ， 垂直平分BC， ，， ， 又，即， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； （2）解：连接． 由（1）得，， ，， 在，由勾股定理得，， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．灵活运用各知识点是解答本题的关键． 18．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 19．如图，在矩形中，对角线的中点为，点，在对角线上，，直线绕点逆时针旋转角，与边、分别相交于点、（点不与点、重合）． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由矩形的性质，根据“”可证，可得，结合，可证四边形是平行四边形； （2）连接，可证明垂直平分，可得，在中，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：在矩形中，对角线的中点为， ， ， ，即， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ． 20．如图，做如下操作：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕与交于点，若直线交直线于点． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，角直角三角形性质，等边三角形的判定与性质等知识点． （1）连接，根据两次对折得到为等边三角形，即可求解； （2）在中，由角直角三角形性质以及勾股定理得到，由折叠得，证明，则在中，，设，，再由勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接，由对折矩形可知： ， ， 由第二次折叠可知：， ， 为等边三角形， ， ； （2）解：在中，， ， ∵矩形， ∴，，， ∵沿着对折， ， ∴四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 在中，，设， ， ， 解得（舍去负值）， 即，故． 21．如图1，在四边形中，连接，交于点，，． (1)求证； (2)如图2，过点作于点，的延长线交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点为的中点，于点，交于点，，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用同角的余角相等即可求证；（2）设，通过角的转化得出，即，再通过证明，得出，即可求证；（3）连接，，过点作交延长线于点，再证明和证明， ，进而求出，从而求出． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）设． ，， ， ， ，     ， ， ， ，， ， ； （3）如图， 连接，，过点作交延长线于点， 点为的中点， ， ， ， ， 又, ， ，， 又，为的中点， 垂直平分，， ，，且， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，，， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了三角形相关内容的综合，包括直角三角形斜边中线与斜边的关系，全等三角形的判定以及性质，熟练掌握三角形中的线段性质和三角形全等是解决本题的关键． 22．如图，在长方形中（四个内角都是直角，，），，在边上，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点运动的时间为秒（），连接．当点P运动到点D时，．【提示：．】 (1) ； (2)当点P在上运动时， ；当点P在上运动时， ；（用含有的代数式表示） (3)连结，当的面积为6时，求的值； (4)如图，作点关于直线的对称点，当点落在边上时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)； (3)或 (4)秒，秒 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）当点在上和上时，根据路程求解即可； （3）分类讨论，当点在上和上，再根据面积建立关于的方程求解即可； （4）根据对称的性质，可知，所以可以以为圆心，为半径画圆，与矩形的边的交点即为对应，有几个点则会有几种情况，然后分类讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当P运动到点D时，， 结合勾股定理， ∵，， 解得， 故答案为：． （2）解：当点P在上运动时， ， ∴； 当点P在上运动时， ， ∴； 故答案为：；． （3）解：当点P在上运动，的面积为6， 则， 解得； 当点P在上运动，的面积为6， 则， 解得； 故当的面积为时，求的值为或． （4）解：分以下两种情况讨论： 当点落在边上且靠近点时，过点作交于点，如下图所示： ∵，， ∴， ∵， ∵， 结合勾股定理，， 得， 解得； 当点落在边上且靠近点时，过点作交于点，如下图所示： 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 结合勾股定理， 得， 解得； 故答案为：秒或秒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.1矩形寒假预习讲义 （2知识点+14大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 矩形性质理解】 2 【题型2 利用矩形的性质求角度】 3 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 4 【题型4 根据矩形的性质求面积】 4 【题型5 利用矩形的性质证明】 5 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 6 【题型7 矩形与折叠问题】 7 【题型8 斜边的中线等于斜边的一半】 8 【题型9 矩形的判定定理理解】 9 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 9 【题型11 证明四边形是矩形】 10 【题型12 根据矩形的性质与判定求角度】 10 【题型13 根据矩形的性质与判定求线段长】 11 【题型14 根据矩形的性质与判定求面积】 12 模块二 预习目标导航 · 熟练掌握矩形的所有性质，能分点梳理并准确表述 · 通用性质（继承平行四边形）：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、是中心对称图形； · 特有性质：四个角都是直角（∠A=∠B=∠C=∠D=90°）、对角线相等、是轴对称图形（2 条对称轴，对边中点连线）。 · 能由矩形的性质推导出直角三角形斜边中线定理，理解 “矩形对角线将矩形分成直角三角形，斜边中线等于对角线一半” 的转化关系。 · 会运用矩形性质解决基础计算问题：求矩形的边长、周长、面积、对角线长度，以及矩形内角度数、线段长度的简单推导。 模块三 知识点梳理 【知识点1 矩形的性质】 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形的性质： 1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角； 几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90° 3）对角线相等； 几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD 推论： 1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。 2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。 【知识点2 矩形的判定】 矩形的判定： 1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）对角线相等的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形的面积公式： 面积=长×宽 模块四 题型汇总 【题型1 矩形性质理解】 【典例1】．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．如图，在矩形中，F是的中点，E是上一点，且，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 变式1-2．如图，在长方形的中，已知，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以，C，Q为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2或1 D．4或3 【题型2 利用矩形的性质求角度】 【典例2】．在矩形中，对角线相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，在矩形中，对角线和相交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 变式2-2．如图，在矩形中，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据矩形的性质求线段长】 【典例3】．如图，矩形的顶点，B的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，点在上，已知矩形的长为，宽为，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．如图，在矩形中，两条对角线交于点O，，，则长为（ ） A．2 B． C． D．8 【题型4 根据矩形的性质求面积】 【典例4】．如图，在矩形中，对角线与相交于点O．若，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D．32 变式4-1．数学家贾宪提出，从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等（如图所示）．根据这一推论，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【题型5 利用矩形的性质证明】 【典例5】．如图，在矩形中进行如下操作：①以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接；②再以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 变式5-1．如图，将平行四边形沿对角线折叠，点恰好落在延长线上的点处，若交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．是直角三角形 C．平分 D． 变式5-2．如图，在矩形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 【典例6】．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式6-1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式6-2．如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型7 矩形与折叠问题】 【典例7】．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式7-1．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 变式7-2．如图，将一张长方形纸片沿着折叠，使点A，B分别落在点E，F处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型8 斜边的中线等于斜边的一半】 【典例8】．如图，在中，是的中点，且，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 变式8-1．如图，公路和互相垂直，点和的中点被一个湖泊隔开，若公路的长为千米，则B，D两点之间的距离为（    ） A．10千米 B．8千米 C．6千米 D．5千米 变式8-2．如图，是直角三角形，且，，斜边的端点、分别在两条互相垂直的直线上滑动，两直线交点为，连接，则线段的最大值是（     ） A．1 B．2 C． D．3 【题型9 矩形的判定定理理解】 【典例9】．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 变式9-1．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 变式9-2．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（   ） A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否相互平分 D．测量对角线是否相等 【题型10 添一条件使四边形是矩形】 【典例10】．要使变为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 变式10-1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（    ） A． B． C． D． 变式10-2．在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【题型11 证明四边形是矩形】 【典例11】．如图，四个内角的平分线两两相交，构成四边形，则四边形的形状是（   ） A．任意四边形 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形 变式11-1．四边形的对角线，相交于点，能判定它是矩形的条件是（ ） A．， B．，， C．， D． 变式11-2．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【题型12 根据矩形的性质与判定求角度】 【典例12】．如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 变式12-1．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为，延长EF交AD于点，与互余，则 ． 变式12-2．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【题型13 根据矩形的性质与判定求线段长】 【典例13】．图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米，，则点C到水平线l的距离为 分米（结果保留根号）． 变式13-1．如图，点是两直角边上的两点，连接，已知点D、E、F分别是的中点． (1)求度数； (2)连，取中点G，连接，若，求的长． 变式13-2．矩形折叠问题： 如图，把矩形（）折叠，折痕为，点在边上，点在边上，记点落在点处，点落在点处． (1)如图1，已知，． ①甲同学折叠时使，点落在矩形的一边上，求的长． ②乙同学折叠时使，且，求的长． (2)如图2，点在点处，作的平分线交的延长线于，过作的平行线交，分别于R，T．连结，，若，，求的值． 【题型14 根据矩形的性质与判定求面积】 【典例14】．矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】8 变式14-1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，若经过一次平移后得到，点A，B，C的对应点分别为点，已知点的坐标为根据以上条件，请解决下列问题： (1)请画出平移后的； (2)四边形______平行四边形填“是”或“不是”； (3)在平移过程中，边扫过的面积为______． 变式14-2．（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个矩形称为赵爽弦图，其验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边 a，b 与斜边c 满足关系式称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为S= ， ∴ ∴ ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程； （3）如图3所示， ，请你添加适当的辅助线证明结论    模块五 过关检测 1．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，则的长为（　　） A．6 B．8 C．11 D． 2．在中，，，点是斜边上的中点，则为（ ） A． B． C． D．不能确定 3．如图，在中，，，，垂足为D，，垂足为E，O为的中点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．在中，，是斜边上的中线，那么下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图①的长方形中，E在上，沿将A点往右折成如图②所示，再作于点F，如图③所示，若，，，则图③中的长度为（   ） A． B． C． D． 6．下列命题是假命题的是（    ） A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B．有两个角互余的三角形是直角三角形 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 7.如图，在中，，根据以下步骤作图：（1）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线，交于点D．若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 9．如图，在中，，，，是的角平分线，过点作，且，连接分别交，于，两点，点，分别是线段和线段上的两个动点，连接，，则下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 11．在矩形中，点E是的中点，连接，，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则 ． 12．如图，的边与矩形的边相交于点．若，，则的大小为 ． 13．如图，在中，对角线，相交于点，点，每秒运动1个单位长度，分别从点，出发，沿，方向运动．若，，则经过 后，四边形是矩形． 14．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，．则蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是 ． 15．小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为 ． 16．如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点为点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点D，E，点F是线段的中点，过点D作，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的面积． 18．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 19．如图，在矩形中，对角线的中点为，点，在对角线上，，直线绕点逆时针旋转角，与边、分别相交于点、（点不与点、重合）． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 20．如图，做如下操作：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕与交于点，若直线交直线于点． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 21．如图1，在四边形中，连接，交于点，，． (1)求证； (2)如图2，过点作于点，的延长线交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点为的中点，于点，交于点，，若，，求线段的长． 22．如图，在长方形中（四个内角都是直角，，），，在边上，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点运动的时间为秒（），连接．当点P运动到点D时，．【提示：．】 (1) ； (2)当点P在上运动时， ；当点P在上运动时， ；（用含有的代数式表示） (3)连结，当的面积为6时，求的值； (4)如图，作点关于直线的对称点，当点落在边上时，直接写出t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $