精品解析：河北唐山市迁安市2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

2025-2026学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上． 3．考生务必用0.5mm黑色碳素笔将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图象是反比例函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象．反比例函数解析式为，由解析式可知，，图象与x轴、y轴都无交点，图象为双曲线． 【详解】解：由反比例函数解析式，可知，， ∴图象与x轴、y轴都无交点， C、B、D的图象都与坐标轴有交点． 故选：A． 2. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 从只有红球的袋子中摸出黄球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析． 【详解】解：、投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，故选项不符合题意； 、射击运动员射击一次，可能命中靶心，也有可能脱靶，是随机事件，故选项不符合题意； 、任意画一个圆，它是轴对称图形，因为任何圆都是轴对称图形，所以该事件是必然事件，故选项不符合题意； 、从只有红球的袋子中不可能摸出黄球，属于不可能事件，故选项符合题意． 故选：． 3. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体从左面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从左边看到的图形，即可求解． 【详解】解：该几何体从左面看到的平面图形是： 故选：B． 4. 已知反比例函数的图象如图，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数，当时，图象在第一、三象限．在每个象限，y随着x的增大而减小，当时，图象在第二、四象限．在每个象限，y随着x的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：由函数图象知，反比例函数的图象在第二象限， 则， 解得：． 观察四个选项，只有A选项符合题意． 故选：A． 5. 如图是人行天桥的示意图，高米，斜坡米，则斜坡的坡度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题．根据坡度的定义直接求解即可． 【详解】解：∵坡高，斜坡， ∴水平距离，， ∴斜坡的坡度为，， 故选：C． 6. 下图是甲、乙两名同学的5次1分钟引体向上成绩，下列结论表述正确的是（） 1 2 3 4 5 甲（次数） 7 8 5 8 7 乙（次数） 9 5 7 8 6 A. 甲、乙两名同学平均数分别是5次和7次； B. 甲同学的众数是8次，乙同学没有众数； C. 甲、乙两名同学中位数分别是5次和7次； D. 甲同学发挥得较稳定． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平均数，众数，中位数，方差，根据相关的统计量计算方法计算甲、乙的平均数、众数、中位数和方差，比较稳定性，判断各选项即可解答． 【详解】解：A、甲同学的平均数为（次） 乙同学的平均数为（次） ∴甲、乙两名同学平均数都是7次，故本选项错误． B、甲同学成绩中7次和8次各有2次，故众数为7和8；乙同学成绩每个值都是1次，故没有众数．故本选项错误． C、将甲同学的成绩排序为：5，7，7，8，8，则中位数为7； 乙同学的成绩排序为：5，6，7，8，9，则中位数为7，故本选项错误． D、甲同学成绩的方差为， 乙同学成绩的方差为， ∴， ∴甲的成绩更稳定，故本选项正确． 故选：D． 7. 如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设这个数为，根据题意得， ， 整理得， 解得， ∴这个数为， 故选：A． 8. 已知是的二次函数，下图给出了与的几组数值，下列结论不正确的是（ ） … 0 1 2 3 … … 0 … A. 图象的对称轴为直线 B. 当时，有最大值是 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，包括对称轴、最值、单调性及对称点的应用，关键是通过表格数据确定函数的开口方向与对称轴． 【详解】由表格中和时值均为，可得对称轴为直线，故选项A正确，不符合题意． 观察表格中值变化：从到，从递减到；从到，从递增到，说明二次函数开口向上，因此顶点是最小值点，即当时，有最小值，故选项B错误，符合题意． 对于选项C，因为函数开口向上，对称轴为，所以在对称轴左侧，随的增大而减小，即当时，随的增大而减小，选项C正确，不符合题意． 对于选项D，根据对称轴，关于的对称点为．由于表格中时，所以时，选项D正确，不符合题意． 故选：B． 9. 琪琪在地面上画出等边，先把三根等长、等粗的木棍分别钉在三个顶点处，然后以三根木棍为支架做一个圆形茶桌，如图，经测量．则圆形茶桌面的最小面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，三角函数． 当圆为等边外接圆时，达到最小值，设圆心为O，连接，，作交于D，则，根据三线合一得到，，根据圆周角定理得到，即，根据三角函数求出的值，进而根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解：当圆为等边外接圆时，达到最小值，设圆心为O，连接，，作交于D， ∴， 则，， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴圆形茶桌面的最小面积是． 故选：B． 10. 主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，已知舞台长米，则主持人应走到离点多远处效果最好（保留一位小数）（ ） A. 米 B. 米 C. 米或米 D. 米或米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割比，舞台的黄金分割点有两个位置，分别靠近点和点，设主持人站在离点的距离为米的点处，则米，根据黄金分割点满足或，即可求解． 【详解】解：设主持人站在离点的距离为米的点处，则米， 黄金分割点满足或， 或， 解得或， 即主持人应走到离A点米或米处， 故选：D． 11. 家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）（）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称轴x的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图， ∴抛物线对称轴且， ∴， ∴旋钮的旋转角度x在和之间，燃气灶烧开一壶水最节省燃气． 故选：C． 12. 已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 乙对，甲错 C. 甲乙都对 D. 甲乙都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质．甲中，由圆周角定理得到，可判定是的切线；乙中，由作图知，证明，得到，可判定是的切线． 【详解】解：甲中，由作图知是的直径， ∴， ∴是的切线； 乙中，由作图知，，，即， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 综上，甲乙都对． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 现有羽毛球，乒乓球，踢毽子3类体育活动供学生选择，小明随机选择一类活动，则选中“乒乓球”的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定总事件数与符合条件的事件数． 【详解】解：总共有羽毛球、乒乓球、踢毽子3种等可能的选择，选中“乒乓球”的情况只有1种， 所以根据概率公式，选中“乒乓球”的概率； 故答案为：． 14. 已知、是一元二次方程的两根，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）和代数式的因式分解，解题关键是先对代数式进行因式分解，再利用韦达定理代入与的值计算． 先因式分解代数式，再利用韦达定理得，，代入计算即可． 【详解】∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为． 15. 如图，与相切于点，的延长线交于点，，且交于点，若，则________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质．连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 16. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接、、．若，且，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形． 过点作轴于点，过点作轴于点，易得，利用相似三角形的性质及反比例函数值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，， ∴． ∴． 由于反比例函数的图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知：关于的一元二次方程 （1）直接写出当方程有两个相等的实数根时的值； （2）若，请解方程． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，关键是熟练运用判别式判断根的情况，掌握解一元二次方程的方法． （1）利用一元二次方程根的判别式，代入方程系数求解的值； （2）将代入原方程，得到具体的一元二次方程，再用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：对于一元二次方程， 方程有两个相等的实数根， ， 即， 解得； 【小问2详解】 解：当时，原方程为， 因式分解得， 则或， 解得，． 18. 【生活情境】为了测量树的高度，嘉嘉给出两个解决方案： 方案一：如图1，嘉嘉经反复调整后，使长为2米的标杆影子的顶端与树影子顶端重合，此时测得标杆的影长米，树的影长米． 方案二：如图1，嘉嘉站立点与树的距离米，眼睛观测树的顶端的仰角为，嘉嘉的眼睛离地面是1.6米． 【解决问题】请选择你认为可行的一种测量方案，求树的高．（参考值：，，，结果保留整数．） 【答案】方案一：树的高为9米．方案二：树的高为9米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用． 方案一：证明，利用相似三角形的性质求解即可； 方案二：作于点，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：方案一：由题意得，， ∴，即， 解得， 答：树的高为9米． 方案二：作于点， 则，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 答：树的高为9米． 19. 期中考试结束，某校数学老师统计了本班55分至65分的10名学生成绩，绘制成统计图． 55 57 58 58 55 57 58 58 （1）直接写出10名学生成绩的众数和中位数； （2）计算10名学生本次数学成绩的平均分； （3）该教师想对本次成绩在55分及以上，60分以下的“潜力生”分两组加强辅导，嘉嘉和淇淇本次数学成绩分别是55分和57分，嘉嘉列表法分析她和淇淇分到一组的概率．请补全嘉嘉的表格，并求出他们同组的概率是多少？ 【答案】（1）众数是63分；中位数是60分； （2）平均分为分； （3）嘉嘉和淇淇分到一组的概率是． 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数、众数和平均数的能力，列表法求概率． （1）中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；据此求解即可； （2）利用求平均数的方法求解即可； （3）用列表法表示所有等可能出现的结果，进而计算嘉嘉和淇淇被分到同一组的概率． 【小问1详解】 解：对10个数排序：55，57，58，58，60，60，63，63，63，65， 众数是63分；中位数是60分； 【小问2详解】 解：， 平均分为分； 【小问3详解】 解：补全嘉嘉的表格， 55 57 58 58 55 57 58 58 共有12种等可能的结果，其中嘉嘉和淇淇分到一组的情况只有2种， ∴， ∴嘉嘉和淇淇分到一组的概率是． 20. 如图，点是反比例函数在第一象限图象上一点，连接，过作轴，截取（在右侧），连接，交反比例函数的图象于点，若设所在直线的解析式为． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点的坐标； （3）依据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）； （2）点的坐标为； （3）． 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用勾股定理求得，求得，根据轴，即可求得点的坐标为； （3）数形结合即可求解． 【小问1详解】 解：∵点是反比例函数图象上的一点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴点的纵坐标为4，横坐标为， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：设所在直线的解析式为， ∴， ∴， ∴所在直线的解析式为， 联立得， 解得， ∵， ∴点的坐标为， 观察图象，不等式的解集为． 21. 如图，已知在中，，，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵将绕点C旋转得到，点A的对应点D落在上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、相似三角形的性质、求角的正弦值以及勾股定理，利用旋转得到对应边、对应角相等是解题的关键． （1）首先根据旋转的性质得到对应边成比例，再证明两个边的夹角相等，即可证明； （2）由得到，据此求得； （2）利用勾股定理求得，由旋转的性质知，，作于点，利用等积法求得，利用勾股定理求得，，根据正弦函数的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，，，， ∴， 由旋转的性质知，， 作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 随着汽车数量的不断增加，停车成为一个难题．政府规划利用一块矩形空地修建一个小型停车场，布局如图所示．已知，，阴影部分为车位，需要硬化，其余部分均是宽度为的车道．已知硬化的面积为． （1）求车道的宽度的值； （2）该停车场共有个车位，据调查分析，当每个车位日租金为元时，可全部停满；若每个车位的日租金每上涨1元，就会少租出2个车位．每个车位日租金上涨多少元时，停车场日租金收入最高，且最高日租金是多少元？ 【答案】（1）车道的宽度的值为 （2）每个车位日租金上涨元时，停车场日租金收入最高，最高日租金为元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用与二次函数的最值问题，关键是建立正确的面积模型和租金收入函数． （1）根据图形结构，将阴影车位拼接为一个新矩形，用含的式子表示其长和宽，结合面积列出方程求解； （2）设租金上涨元，用含的式子表示日租金和租出车位数量，建立日租金收入的二次函数，利用二次函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：由题意，阴影部分车位拼接后形成的矩形长为米，宽为米， ， 展开化简为：， 因式分解得：， 解得或(舍去)； 故车道的宽度的值为． 【小问2详解】 解：设每个车位日租金上涨元，停车场日租金收入为元， 则每个车位的日租金为元，租出的车位数量为个， ， ， 该二次函数开口向下， 所以当时，有最大值，(元)． 故每个车位日租金上涨元时，停车场日租金收入最高，最高日租金为元． 23. 月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，如图1是一圆弧形的月洞门．图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计原理图，若月洞门所在圆与地面相切于点，四边形是一个矩形，已知，． （1）在图2中用尺规作图画出月洞门所在圆的圆心； （2）求月洞门最高点到地面的距离； （3）若要在月洞门外侧（即优弧）安装一圈灯带，求灯带的长度． （参考值：；） 【答案】（1）见解析 （2）月洞门最高点到地面的距离为； （3）灯带的长度约为． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，垂足为，交优弧于点H；连接，作线段的垂直平分线交于点O；以点O为圆心； （2）设圆的半径为，连接，在中，由勾股定理列方程，求解即可； （3）利用正切函数的定义求得和，再利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，圆心即为所求： ； 【小问2详解】 解：设圆的半径为，连接， 由题意得：切点E在上， ， ∵四边形是一个矩形， ， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∵月洞门所在圆与地面相切于点， ∴月洞门最高点到地面的距离为； 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴优弧的长为． 答：灯带的长度约为． 【点睛】本题考查尺规作图—复杂作图，垂径定理的应用，解直角三角形，弧长公式的应用． 24. 如图1，已知抛物线，把此抛物线沿轴折叠，得到抛物线． （1）当抛物线经过原点时，直接写出的值； （2）当抛物线和有且只有一个公共点，求的值； （3）若抛物线经过． ①求抛物线的函数解析式和顶点坐标； ②直线与、分别交于点、、、，如图2，直接写出时的值． 【答案】（1）； （2）； （3）①，顶点坐标为；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，根据抛物线和有且只有一个公共点，联立后利用根的判别式求解即可； （3）①先求得，利用折叠的性质求得，化成顶点式即可求解； ②联立，利用根与系数的关系求得，，根据列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过原点， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵抛物线沿轴折叠，得到抛物线， ∴， ∵抛物线和有且只有一个公共点， ∴联立得， 整理得， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：①∵抛物线经过， ∴，解得； ∴， ∵抛物线沿轴折叠，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为； ②∵直线与交于点、， ∴， 整理得， 设两根为和， ∴，， ∴ ， ∵直线与交于点、， ∴，整理得， 设两根为和， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识，解题的关键是掌握相关的知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上． 3．考生务必用0.5mm黑色碳素笔将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图象是反比例函数图象的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 从只有红球的袋子中摸出黄球 3. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体从左面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数的图象如图，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 5. 如图是人行天桥的示意图，高米，斜坡米，则斜坡的坡度为（ ） A. B. C. D. 6. 下图是甲、乙两名同学的5次1分钟引体向上成绩，下列结论表述正确的是（） 1 2 3 4 5 甲（次数） 7 8 5 8 7 乙（次数） 9 5 7 8 6 A. 甲、乙两名同学平均数分别是5次和7次； B. 甲同学的众数是8次，乙同学没有众数； C. 甲、乙两名同学中位数分别是5次和7次； D. 甲同学发挥得较稳定． 7. 如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知是的二次函数，下图给出了与的几组数值，下列结论不正确的是（ ） … 0 1 2 3 … … 0 … A. 图象的对称轴为直线 B. 当时，有最大值是 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 9. 琪琪在地面上画出等边，先把三根等长、等粗的木棍分别钉在三个顶点处，然后以三根木棍为支架做一个圆形茶桌，如图，经测量．则圆形茶桌面的最小面积是（ ） A. B. C. D. 10. 主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，已知舞台长米，则主持人应走到离点多远处效果最好（保留一位小数）（ ） A. 米 B. 米 C. 米或米 D. 米或米 11. 家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）（）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ） A. B. C. D. 12. 已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 乙对，甲错 C. 甲乙都对 D. 甲乙都不对 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 现有羽毛球，乒乓球，踢毽子3类体育活动供学生选择，小明随机选择一类活动，则选中“乒乓球”的概率是_________． 14. 已知、是一元二次方程的两根，则代数式的值是________． 15. 如图，与相切于点，的延长线交于点，，且交于点，若，则________°． 16. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接、、．若，且，则的值是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知：关于的一元二次方程 （1）直接写出当方程有两个相等的实数根时的值； （2）若，请解方程． 18. 【生活情境】为了测量树的高度，嘉嘉给出两个解决方案： 方案一：如图1，嘉嘉经反复调整后，使长为2米的标杆影子的顶端与树影子顶端重合，此时测得标杆的影长米，树的影长米． 方案二：如图1，嘉嘉站立点与树的距离米，眼睛观测树的顶端的仰角为，嘉嘉的眼睛离地面是1.6米． 【解决问题】请选择你认为可行的一种测量方案，求树的高．（参考值：，，，结果保留整数．） 19. 期中考试结束，某校数学老师统计了本班55分至65分的10名学生成绩，绘制成统计图． 55 57 58 58 55 57 58 58 （1）直接写出10名学生成绩的众数和中位数； （2）计算10名学生本次数学成绩的平均分； （3）该教师想对本次成绩在55分及以上，60分以下的“潜力生”分两组加强辅导，嘉嘉和淇淇本次数学成绩分别是55分和57分，嘉嘉列表法分析她和淇淇分到一组的概率．请补全嘉嘉的表格，并求出他们同组的概率是多少？ 20. 如图，点是反比例函数在第一象限图象上一点，连接，过作轴，截取（在右侧），连接，交反比例函数的图象于点，若设所在直线的解析式为． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点的坐标； （3）依据图象，直接写出不等式的解集． 21. 如图，已知在中，，，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）直接写出的值． 22. 随着汽车数量的不断增加，停车成为一个难题．政府规划利用一块矩形空地修建一个小型停车场，布局如图所示．已知，，阴影部分为车位，需要硬化，其余部分均是宽度为的车道．已知硬化的面积为． （1）求车道的宽度的值； （2）该停车场共有个车位，据调查分析，当每个车位日租金为元时，可全部停满；若每个车位的日租金每上涨1元，就会少租出2个车位．每个车位日租金上涨多少元时，停车场日租金收入最高，且最高日租金是多少元？ 23. 月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，如图1是一圆弧形的月洞门．图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计原理图，若月洞门所在圆与地面相切于点，四边形是一个矩形，已知，． （1）在图2中用尺规作图画出月洞门所在圆的圆心； （2）求月洞门最高点到地面的距离； （3）若要在月洞门外侧（即优弧）安装一圈灯带，求灯带的长度． （参考值：；） 24. 如图1，已知抛物线，把此抛物线沿轴折叠，得到抛物线． （1）当抛物线经过原点时，直接写出的值； （2）当抛物线和有且只有一个公共点，求的值； （3）若抛物线经过． ①求抛物线的函数解析式和顶点坐标； ②直线与、分别交于点、、、，如图2，直接写出时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $