精品解析：陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试题（卷） 试题总分：120分 考试时间：120分 一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 若1是关于x一元二次方程的一个解，则的值为（　　） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把方程的解代入方程进行求解即可，熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键． 【详解】解：∵1是关于x的一元二次方程的一个解， ∴， ∴． 故选：B． 2. 科技改变生活，智慧点亮世界．下列图1是一个多功能遥控学习护眼灯，图2是台灯的灯罩部分，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，熟练运用空间想象能力是解题的关键． 根据此灯罩的俯视图特点即可求解． 【详解】解：俯视图是个同心圆，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，根据题意两个圆的轮廓都能看见，所以是两个实线的同心圆．   故选：B ． 3. 如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂．已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．先作于H，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出． 【详解】解：如图，，作于H，如图所示： ∴，， ∵， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 4. 点在反比例函数的图象上，下列说法中错误的是（ ） A. 反比例函数的图象在第二、四象限内 B. 反比例函数的图象过点 C. 当时，的值随的增大而增大 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行判断是解此题的关键； 由点代入反比例函数解析式求出值，再根据反比例函数的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴图象在第二、四象限内，故A正确； 当时，，故图象过点，故B正确； 当时，值随的增大而增大，故C正确； 当，时，，但，，，故D错误， 故选：D． 5. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据周长之比等于位似比计算即可． 【详解】设的周长是x， ∵ 与位似，相似比为，的周长为4， ∴4：x=2：3， 解得：x=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键． 6. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 根据题意可得出第二周的票房为，第三周的票房为，将第三周的票房收入代入即可得出答案． 【详解】增长率为x，则第二周的票房为，第三周的票房为， 所以可列方程为． 故选：B． 7. 如图，在菱形中，对角线与交于点，延长至点，连接交于点．若为的中点，，则菱形的面积为（ ） A. B. 6 C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，根据证明得，由勾股定理得，最后由菱形的性质可求面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又为的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理得： ∴, ∴； ∴菱形的面积， 故选：A． 8. 如图，点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为( ) A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3 D. ﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中线的性质求出△AEO的面积，根据相似三角形的性质求出S△OCD＝1，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【详解】∵点E为OC的中点， ∴， ∵点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点， ∴S△ABO＝S△CDO， ∴S四边形CDBE＝S△AEO＝， ∵EB∥CD， ∴△OEB∽△OCD， ∴， ∴S△OCD＝1， 则xy＝﹣1， ∴k＝xy＝﹣2． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分） 9. 阳光下广告牌的影子属于_______投影（填“中心”或“平行”）． 【答案】平行 【解析】 【分析】根据平行投影中心投影的定义判断即可． 【详解】解：阳光下广告牌的影子属于平行投影． 故答案为：平行． 【点睛】本题考查平行投影，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握平行投影，中心投影的定义，属于中考常考题型． 10. 某班级一次班会活动中，李老师将“冬至”和“小寒”的“二十四节气”主题邮票共30张放在一个不透明的盒子中，这些主题邮票除节气图案不同外其余都相同，他让若干学生进行摸邮票试验，每次摸出一张主题邮票，记下节气后，放回洗匀，经过多次试验发现，摸出“冬至”主题邮票的频率稳定在0.3，则估计盒中“冬至”主题邮票的数量为____张． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，摸出“冬至”主题邮票的频率稳定在0.3，即概率为0.3，再根据概率公式计算数量． 【详解】解：设盒中“冬至”主题邮票的数量为x张，总邮票数为30张，摸出“冬至”主题邮票的概率为0.3， 即， 解得， 故估计盒中“冬至”主题邮票数量为9张， 故答案为：9． 11. 已知二次函数的图象经过点和，则该函数的解析式为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查运用待定系数法求二次函数解析式，由二次函数图象经过点 和 ，可知这两点为二次函数的零点，因此可设交点式解析式，再代入点求解即可． 【详解】解：由二次函数的图象经过点，则可设二次函数的解析式为， 代入点 得：， 解得， 所以二次函数解析式为． 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于等于零时，方程有两个实数根，据此解答即可． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根， ∴，即， 解得. 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，是边上的动点，，连接为的中点，连接，若，，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题关键是熟练运用二次函数解决问题．首先根据已知条件可得、、都是直角三角形，设，由含30度直角的三角形性质和勾股定理可得，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，进而可得，由二次函数的性质求出的最小值，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，是线段的中点， ∴， ∴，即， ∴当时，取最小值为，此时取最小值． 答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，原式分别计算特殊角三角函数值、零次指数幂，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 15. 解方程：2x2﹣2x﹣1＝0． 【答案】x1＝，x2＝． 【解析】 【分析】根据配方法或公式法即可求解． 【详解】解法一：原式可以变形为， ， ， ∴， ∴，． 解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝12， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知配方法与公式法的应用． 16. 如图，是的高．若，，求边的长？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，先利用、间关系求出，再利用直角三角形的边角间关系求出，最后利用勾股定理得结论． 【详解】解：∵是的高， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴． 在中， ． 故答案为：． 17. 如图，在中，点，分别在，边上，连接，且．请用尺规作图法在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，尺规作图—作一个角等于已知角，作，再由平行线的性质可得，即可证明，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 即点即为所求． 18. 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE． 【答案】证明见解析． 【解析】 【详解】试题分析：连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE． 试题解析：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，∵CD=CB，CF=CE，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE． 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质． 19. 守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉祥三宝”的新名片．某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同． （1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为______； （2）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张， 则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③， 列表如下： ① ② ③ ① ② ③ 由表知，共有6种等可能结果，其中抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的有2种结果， 所以抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20. 已知，如图，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于点、， （1）试确定这两个函数的表达式； （2）求的面积； （3）直接写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围． 【答案】（1）反比例函数为：一次函数为：（2）（3）或 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式， （2）结合两个函数的交点，求出△AOB的面积； （3）结合两个函数的交点，求出不等式的解集. 【详解】解：（1）把A点坐标（1,4）代入反比例函数， 得k=4，所以反比例函数为， 把B（-4，n）代入，得n=-1. 把A（1,4）、B（-4，-1）代入， 得，解得：， 所以一次函数为. （2）一次函数与y轴的交点坐标为（0,3）， （3）结合图象，使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围是或 21. 学完了《图形的相似》这一章后，汉中市某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量天汉楼的高度（如图1），如图2，在地面上取两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察点，三点也成一线，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出天汉楼的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于x，y的方程组，即可求出建筑物的高度． 【详解】解：设天汉楼高度， ∵，， ∴， ∴， ，得， 同理可得：，， ∴， ，得， 联立， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以， 答：天汉楼高度为． 22. “早黑宝”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，若售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽可能减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑室”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】售价应降低3元． 【解析】 【分析】设售价应降低元，则每天可售出千克，每千克的利润为（20-12-y）元，根据每天获利1750元，可得方程，解方程即可． 【详解】设售价应降低元，则每天可售出千克 根据题意，得 整理得， 解得， 要减少库存 不合题意，舍去 答：售价应降低3元． 【点睛】本题考查了一元二次方程在物品销售中应用，要注意的是：降价则减利润，降价增加销量，此外，所列方程可以化简则应尽量化简． 23. 如图，BO 是△ABC 的角平分线，延长 BO 至 D 使得 BC＝CD． （1）求证：△AOB∽△COD． （2）若 AB＝2，BC＝4，OA＝1，求 OC 长． 【答案】（1）答案见解析；（2）2． 【解析】 【详解】试题分析：由BD是∠ABC的角平分线得，再由BC=CD得，所以，又，从而∽； （2）根据∽可求出结果. 试题解析：（1）证明： BO是的角平分线 BC=CD 又 ∽ （2） ∽ 又 AB=2，BC=4，OA=1，BC=CD OC=2 24. 如图，的对角线相交于点O，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积是，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论； （2）连接，交于，由菱形的性质得，，，再由菱形的面积求出及长，然后由勾股定理得出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接，交于， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， 即的长为． 25. 为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示，根据图象信息，解决以下问题： （1）写出从药物释放开始，与之间的两个函数解析式； （2）当空气中每立方米含药量不低于6毫克且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】（1） （2）此次消毒有效，理由见解析 【解析】 【分析】（1）待定系数法先求出反比例函数解析式，进而求出点坐标，再利用待定系数法，求出正比例函数的解析式即可； （2）求出时对应的两个自变量的值，进而求出含药量不低于6毫克的时间，进行判断即可． 【小问1详解】 解：设药物释放完毕后，与的解析式为：， 由图可知：，解得：， ∴， 当时，， ∴， 设药物释放过程中，与的解析式为：， 则：，解得：， ∴； 综上：； 【小问2详解】 有效，理由如下： 当时，，解得：；，解得：， ∴空气中每立方米含药量不低于6毫克的时间为：； ∵， ∴此次消毒有效． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．解题的关键是正确的求出函数解析式． 26. 【感知】如图①，在四边形中，点在边上（不与、重合），．若，，，则的长为________． 【探究】 如图②，在四边形中，点在边上（点不与点、重合），．，，，求的长． 【应用】 如图③，在中，，．点在上（点不与点、重合），连结，作，与交于．当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）（2）6或16（3）或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键： （1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）证明，列出比例式进行求解即可； （3）证明，结合是等腰三角形，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，； （2）∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：或； （3）∵， ∴， ∴， 同（2）法可得：， 当是等腰三角形时，分3种情况： ①当时，则：， ∴， ∴； ②当，则：， ∵，， ∴这种情况不存在； ③当，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即： 解得：； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试题（卷） 试题总分：120分 考试时间：120分 一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 若1是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为（　　） A. 1 B. 4 C. D. 2. 科技改变生活，智慧点亮世界．下列图1是一个多功能遥控学习护眼灯，图2是台灯的灯罩部分，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂．已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为（ ） A. B. C. D. 4. 点在反比例函数的图象上，下列说法中错误的是（ ） A. 反比例函数的图象在第二、四象限内 B. 反比例函数的图象过点 C. 当时，的值随的增大而增大 D 若，则 5. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 16 6. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（ ） A. B C D. 7. 如图，在菱形中，对角线与交于点，延长至点，连接交于点．若为的中点，，则菱形的面积为（ ） A. B. 6 C. 12 D. 8. 如图，点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为( ) A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣3 D. ﹣4 二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分） 9. 阳光下广告牌的影子属于_______投影（填“中心”或“平行”）． 10. 某班级一次班会活动中，李老师将“冬至”和“小寒”的“二十四节气”主题邮票共30张放在一个不透明的盒子中，这些主题邮票除节气图案不同外其余都相同，他让若干学生进行摸邮票试验，每次摸出一张主题邮票，记下节气后，放回洗匀，经过多次试验发现，摸出“冬至”主题邮票的频率稳定在0.3，则估计盒中“冬至”主题邮票的数量为____张． 11. 已知二次函数的图象经过点和，则该函数的解析式为____． 12. 已知关于一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为___． 13. 如图，在四边形中，是边上的动点，，连接为的中点，连接，若，，则的最小值是___________． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解方程：2x2﹣2x﹣1＝0． 16. 如图，是的高．若，，求边的长？ 17. 如图，在中，点，分别在，边上，连接，且．请用尺规作图法在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE． 19. 守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉祥三宝”的新名片．某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同． （1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为______； （2）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率． 20. 已知，如图，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于点、， （1）试确定这两个函数的表达式； （2）求的面积； （3）直接写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围． 21. 学完了《图形的相似》这一章后，汉中市某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量天汉楼的高度（如图1），如图2，在地面上取两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察点，三点也成一线，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出天汉楼的高度． 22. “早黑宝”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，若售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽可能减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑室”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 23. 如图，BO 是△ABC 的角平分线，延长 BO 至 D 使得 BC＝CD． （1）求证：△AOB∽△COD． （2）若 AB＝2，BC＝4，OA＝1，求 OC 长． 24. 如图，的对角线相交于点O，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积是，求的长． 25. 为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示，根据图象信息，解决以下问题： （1）写出从药物释放开始，与之间的两个函数解析式； （2）当空气中每立方米含药量不低于6毫克且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 26. 【感知】如图①，在四边形中，点在边上（不与、重合），．若，，，则的长为________． 【探究】 如图②，在四边形中，点在边上（点不与点、重合），．，，，求的长． 【应用】 如图③，在中，，．点在上（点不与点、重合），连结，作，与交于．当是等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $