精品解析：湖北荆州市沙市区2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试题

2025年秋季期末考试 九年级数学试题 注意事项： 1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上． 3．在答题卡上答题，选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔或黑色墨水钢笔作答． 第一部分（基础性题，满分90分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分） 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 车辆随机到达一个路口遇到红灯 B. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 任意画一个三角形其内角和是 D. 早上的太阳从西方升起 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件是解答的关键． 根据初中数学知识，三角形的内角和定理保证任意三角形的内角和均为，因此选项C是必然事件；其他选项均不是一定发生的事件． 【详解】解：选项A中车辆随机到达一个路口可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，不是必然事件，不符合题意； 选项B中投掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，不是必然事件，不符合题意； 选项C中三角形的内角和定理：任意三角形的内角和等于，是必然事件，符合题意； 选项D中早上的太阳从东方升起，从西方升起是不可能事件，故不是必然事件，不符合题意． 故选：C． 3. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ） A. B. C. 4500 D. 1000 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率．掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键． 根据大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，据此即可解答． 【详解】解：由图像可知随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是． 故选：A． 4. 如图，、、三点在上，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”． 根据圆周角定理，直接用弧所对的圆心角的度数除以2，得到弧AB所对的圆周角的度数． 【详解】解：在圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 是弧所对的圆心角，是弧所对的圆周角， 因此： 故选：D． 5. 二次函数的图象不经过的象限为（ ） A. 第三象限、第四象限 B. 第二象限、第四象限 C. 第一象限、第二象限 D. 第一象限、第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开口方向，与坐标轴的交点，画出图象判断； 根据抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，开口方向，与轴的交点，可确定抛物线的大致位置，判断其不经过的象限． 【详解】解：∵二次函数，顶点坐标为，在轴上，且开口向上， ∴抛物线不经过第三象限和第四象限， 故选：A． 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数的函数值大小，根据解析式可得反比例函数经过的象限和每个象限内的增减性，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 7. 如图，从一块长、宽的长方形中间截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周的宽度一样，且小长方形的面积为，求长方形框的宽度．设长方形框的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据从一块长、宽的长方形中间截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周的宽度一样，且小长方形的面积为，列式，即可作答． 【详解】解：依题意，小长方形的长为，，小长方形的宽为， ∴， 故选：A． 8. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、几何图形中的角度计算、直角三角形两锐角互余等知识点，明确角之间的数量关系是解题的关键． 根据旋转的性质得，再利用可计算，所以． 【详解】解：如图： ∵将绕点C顺时针方向旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 9. 如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． 10. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（　　） A. 1 m B. 2 m C. 3 m D. 6 m 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点， 则O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB为AB一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 设顶点式y=ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a=﹣0.5， ∴抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2， 当水面下降2.5米， 把y=﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5=﹣0.5x2+2， 解得：x=±3， 2×3﹣4=2， 所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米， 故选B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数列式求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为 故答案为：． 12. 从，0，3这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键．先确定无理数的个数，再除以总个数． 【详解】解：，0，3中，是无理数， 则这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是． 故答案为：． 13. 为积极响应国家“双减政策”，某学校2024年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经过2024年第四季度和2025年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为480分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，设每季度平均每周作业时长的下降率为，然后根据列出一元二次方程即可． 【详解】解：设每季度平均每周作业时长的下降率为， 根据题意得，． 故答案为：． 14. 点，，，中，只有一个点不在同一个反比例函数的图象上，这个点是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．设反比例函数的解析式为，利用待定系数法逐个判断即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得：， 将点代入得：， 将点代入得：， 将点代入得：， 由此可知，只有点不在同一个反比例函数的图象上， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，以为直径的交于点E，则的长为______．（计算结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共45分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）方程左侧为完全平方式，可利用因式分解法求解． （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 解得． 【小问2详解】 解： ， 解得，． 17. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析，． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图——旋转变换，掌握旋转变换作图是解题的关键． （1）关于原点O 成中心对称，横纵坐标均互为相反数，找到A、B、C的对应点，顺次连接即可； （2）找到A、B、C的对应点，顺次连接即可； 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 如图，即为所求作；． 18. 为实施学科知识融合，数学李老师在黑板上画了一个电路图．如图所示，根据物理知识“在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”李老师提出了如下的数学问题． （1）在开关闭合的情况下，随机闭合中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为___________： （2）当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中能够让小灯泡发光的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及能使小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中能够让小灯泡发光的结果有：，共1种， ∴能够让小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意， 可以画出如下的树状图 ： 由树状图可以看出， 所有可能出现的结果共有 12 种， 这些结果出现的可能性相等， 能够让灯泡发光的有 6 种结果， 能够让灯泡发光的概率为： ． 19. 如图，是的直径，弦于点，连接，以为边在的左侧作，交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理： （1）连接，根据垂径定理可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）连接，根据垂径定理可得，设，则，，，在中，根据勾股定理可求出x的值，即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵，是直径， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，， 在中，， ∴ 解得：（舍去） ∴，即求的半径为． 20. 在平面直角坐标系中，对于双曲线和双曲线，如果，则称双曲线是双曲线的“半双曲线”． （1）写出的“半双曲线”是________； （2）如图，在平面直角坐标系中，已知点A是在第一象限内图像上任意一点，过点A作与y轴平行的直线交的“半双曲线”于点B，求的面积． 【答案】（1） （2）的面积为2 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义、反比例函数k的几何意义、反比例函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接利用“半双曲线”定义解答即可； （2）根据反比例函数k的几何意义以及三角形的面积公式求解即可； 【小问1详解】 解：由“半双曲线”的定义可知：的“半双曲线”是． 故答案为：． 【小问2详解】 双曲线的“半双曲线”是， 的面积为4，的面积为2， 的面积为2． 21. 设抛物线（b为常数）经过点． （1）求二次函数表达式． （2）过点（其中）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，若，求t的值． （3）若点，在抛物线上，且始终满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的知识是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）由（1）知，根据点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，得到，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，根据，得到，即，于是求得，把代入，得到； （3）把点，，分别代入得到，，根据，得到，求得． 小问1详解】 解：把代入， 得：， 解得：， 二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知：， 点在轴上，过点与轴平行直线交抛物线于，两点， ，关于对称轴对称，，的纵坐标均为， ，， ∴， 由对称性知， ∴， ， 代入， 得：， ； 【小问3详解】 解：点，，在抛物线上， ，， ， ， ． 第二部分（发展性题，满分30分） 一、选择题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 22. 如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据作图推出，得出，即可作答． 【详解】解：由作图可知， ∴，即点为劣弧的中点． 故选：D． 23. 设，是方程的两根，若，下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 设二次函数，当时，，可知二次函数经过点，再结合题意可知二次函数经过点和，则，代入点可得，再分2种情况：和讨论即可得出答案． 【详解】解：设二次函数， 当时，， ∴二次函数经过点， ∵，是方程的两根， ∴二次函数经过点和， ∴二次函数， 代入点得，， ∴， ∵， ∴， 若，则； 若，则； 结合选项可知，只有选项B判断正确，符合题意； 故选：B． 24. 如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）． ． 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 故选：C． 二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 25. 如图，已知A(5，0)，B(4，4)，以OA、AB为边作▱OABC，若一个反比例函数的图象经过C点，则这个函数的解析式为_____． 【答案】y＝﹣ 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的性质得出C点坐标，再利用反比例函数解析式的求法得出答案． 【详解】解：∵A（5，0），B（4，4），以OA、AB为边作▱OABC， ∴BC＝AO＝5，BE＝4，EO＝4， ∴EC＝1，故C（﹣1，4）， 若一个反比例函数的图象经过C点，则这个函数的解析式为：y＝﹣． 故答案为：y＝﹣． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和反比例函数解析式的求法，将反比例函数上的点带入解析式中即可求解. 26. 已知m，n是方程的两个根．记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．由根与系数的关系得，，计算通分后恒等于1，故 ，代入方程 求解即可． 【详解】解：方程的两个根为，，由根与系数的关系得，， 对于任意正整数有： 由于，则，代入得： ， ∵，， ∴，， ∴， ∴恒成立， 因此， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， 故． 故答案为：10． 27. 如图1，球员射中球门的难易程度与他所处的位置C对球门的张角（）有关．当球员在C，D处射门时，则有张角．如图2，若，米，A是的中点，球员在射线上的P点射门时的最大张角为，则的长度为________． 【答案】9米 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理、切线的性质等知识点，根据题意、正确画出图形是解题的关键． 如图，过点B作交于点P，以的中点为圆心、为半径画圆，连接，可得为等腰直角三角形，且，进而得到，即得，得到，又由直角三角形的性质可得，可得点A在上，由与射线相切，可知此时球员在射线上的点射门时的张角最大，且最大张角为，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，过点B作交于点P，以的中点为圆心、为半径画圆，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， ∵点A是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴点A在上， ∵与射线相切，， ∴可知此时球员在射线上的P点射门时的张角最大，且最大张角为， ∵， ∴， ∴米． 故答案为：9米． 三、解答题（本大题共1小题，共12分） 28. （1）如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）如图3，若是等边三角形，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接CE，若，且，，求的边长． 【答案】（1），证明见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，延长交于点F，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，证明，可得，进而勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：连接，延长交于点F，如图3， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点B在的垂直平分线上， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ 在中，由勾股定理得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期末考试 九年级数学试题 注意事项： 1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上． 3．在答题卡上答题，选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔或黑色墨水钢笔作答． 第一部分（基础性题，满分90分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分） 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 车辆随机到达一个路口遇到红灯 B. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 任意画一个三角形其内角和是 D. 早上太阳从西方升起 3. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ） A. B. C. 4500 D. 1000 4. 如图，、、三点在上，，则为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象不经过的象限为（ ） A. 第三象限、第四象限 B. 第二象限、第四象限 C. 第一象限、第二象限 D. 第一象限、第四象限 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，从一块长、宽的长方形中间截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周的宽度一样，且小长方形的面积为，求长方形框的宽度．设长方形框的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（　　） A. 1 m B. 2 m C. 3 m D. 6 m 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为_______． 12. 从，0，3这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是________． 13. 为积极响应国家“双减政策”，某学校2024年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经过2024年第四季度和2025年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为480分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为，则可列方程为_____． 14. 点，，，中，只有一个点不在同一个反比例函数图象上，这个点是________． 15. 如图，在中，，，以为直径的交于点E，则的长为______．（计算结果保留） 三、解答题（本大题共6小题，共45分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出点的坐标． 18. 为实施学科知识融合，数学李老师在黑板上画了一个电路图．如图所示，根据物理知识“在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”李老师提出了如下的数学问题． （1）在开关闭合的情况下，随机闭合中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为___________： （2）当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 19. 如图，是的直径，弦于点，连接，以为边在的左侧作，交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 20. 在平面直角坐标系中，对于双曲线和双曲线，如果，则称双曲线是双曲线的“半双曲线”． （1）写出的“半双曲线”是________； （2）如图，在平面直角坐标系中，已知点A是在第一象限内图像上任意一点，过点A作与y轴平行的直线交的“半双曲线”于点B，求的面积． 21. 设抛物线（b为常数）经过点． （1）求二次函数表达式． （2）过点（其中）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，若，求t的值． （3）若点，在抛物线上，且始终满足，求的取值范围． 第二部分（发展性题，满分30分） 一、选择题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 22. 如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）． A B. C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 23. 设，是方程的两根，若，下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 24. 如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 25. 如图，已知A(5，0)，B(4，4)，以OA、AB为边作▱OABC，若一个反比例函数的图象经过C点，则这个函数的解析式为_____． 26. 已知m，n是方程的两个根．记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为________． 27. 如图1，球员射中球门的难易程度与他所处的位置C对球门的张角（）有关．当球员在C，D处射门时，则有张角．如图2，若，米，A是的中点，球员在射线上的P点射门时的最大张角为，则的长度为________． 三、解答题（本大题共1小题，共12分） 28. （1）如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）如图3，若是等边三角形，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接CE，若，且，，求的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $