第14讲 二次函数与实际问题（复习讲义，考点9题型2重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“二次函数与实际问题”专题，覆盖抛物线型问题、最优化问题等中考核心考点，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析、分层训练等环节，系统梳理解题方法，助力学生突破建模与最值求解难点。 亮点在于“新情境+几何综合”双维度突破，如通过销售问题训练数学建模能力，借助拱桥问题培养几何直观，结合真题变式与三级分层练习，有效提升学生用数学语言表达实际问题的能力，教师可依此精准把控复习节奏，高效提升应考水平。

第三章 函数 第14讲 二次函数与实际问题 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点 二次函数与实际问题 题型01 销售问题 题型02 图形问题 题型03 方案选择问题 题型04 拱桥问题 题型05 隧道问题 题型06 喷水问题 题型07 小球运动轨迹问题 题型08 图形运动问题 题型09 其它问题 05·重难突破·思维进阶难 74 突破一 新情境问题 突破二 新考法问题 06·优题精选·练能提分 97 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 抛物线型实际问题（拱桥、轨迹等） / / 能识别实际问题中的二次函数关系，建立二次函数模型解决最值、轨迹等问题。 最优化问题（最大利润、最小成本等 / / 能将实际问题抽象为二次函数最值问题，通过顶点公式或配方法求解最优解。 几何图形中的二次函数关系 湖南省卷T26 长沙市卷T24 湖南省卷T25长沙市卷T25 能在几何图形中建立动点坐标与线段长度、面积的二次函数关系。 综合型实际问题建模 / / 能处理多变量、多条件的复杂实际问题，建立合理的二次函数模型。 命题预测 1. 基础应用稳定（6-8分） 抛物线型问题：拱桥、投篮轨迹、喷泉路径等实际问题；简单最值问题：矩形面积最大、利润最大等直接应用 2. 跨学科应用强化（8-10分） 物理情境：抛体运动、弹簧形变等；经济问题：成本收益分析、定价策略等；地理测量：距离计算、角度测量等 3. 几何综合突出（10-12分） 动点轨迹问题：坐标系中动点形成的抛物线；几何最值问题：三角形、四边形等图形中的最值；存在性问题：满足特定条件的点的存在性判断 4. 创新建模可能（压轴题，10-15分） 多变量建模：含多个变量的优化问题；分段函数模型：不同条件下不同的二次函数关系；参数讨论问题：含参数的实际问题求解。 备考建议 1. 强化建模训练：熟悉常见实际场景（利润、面积、抛射体）的函数模型，掌握 “设变量→列关系式→确定自变量范围” 的步骤； 2. 聚焦最值求解：重点练习顶点式求最值，注意验证顶点是否在实际取值范围内（若不在，需比较区间端点值）； 3. 关注细节条件：实际问题中常隐含自变量的限制（如边长为正、销量非负），需养成先确定范围再求解的习惯； 4. 积累典型题型：总结利润问题（单价、销量、成本的关系）、面积问题（几何图形的边长约束）的解题模板，提升解题效率。 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 1.（2025·湖南永州·二模）五一期间，大润发商场新上市了一款童装，进价每件80元，现以每件120元销售，每天可售出20件，在试销售阶段发现，若每件童装降价1元，那么每天就可多售2件，设每件童装单价降价了x元． (1)请写出每天销售该款童装的利润y（元）与每件童装降价x（元）之间的函数关系式； (2)当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定价为元时，商场每天可获得最大利润元． 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式． （1）根据利润=单件利润销售量，可列函数关系式； （2）根据（1）的函数解析式，由二次函数的性质求函数最值． 【详解】（1）解：由题意，得 ∴y与x的函数关系式为； （2）由（1）知， ∵， ∴当时，销售单价定价为元时，商场每天可获得最大利润元． 2.（2025·湖南·模拟预测）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，求水面宽度．      【答案】此时水面的宽度为 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：由题意，建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 由题意可知，点 在此抛物线上， 则 ， 解得， ， 当水面上升时，，则：， 解得， 此时水面的宽度为． 答：此时水面的宽度为． 3.（2025·湖南长沙·一模）北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离/m 6 7 7.5 竖直高度/m 10 10 6.25 根据上述数据，求出与的函数关系式； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，设她平时训练时入水点与原点的水平距离为m，比赛当天入水点与原点的水平距离为m，请比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求出函数关系式即可； （2）根据题意分别求出与的值，进行比较即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知，抛物线顶点为， 抛物线过点， 抛物线的对称轴是直线， 抛物线为． 抛物线过点，代入解得， 抛物线为； （2）解：由题意，平时跳水训练的抛物线为， 令，解得（不合题意，舍去）或， ． 又比赛当天跳水的抛物线为， 令，解得（不合题的意的值已舍去）， 即． 4.（2024·湖南岳阳·模拟预测）某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 的水池，且需保证总种植面积为，试分别确定，的长； (2)方案二：如图2，在Ⅰ区保留面积为 的水池且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大总种植面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时， 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一元一次方程的应用． （1）由围墙的长为，可得篱笆墙的宽为，设为，为，再由矩形面积公式求解； （2）设两块矩形总种植面积为y， 长为，那么，，由围成的两块矩形总种植面积最大，再建立二次函数求解即可． 【详解】（1）解：∵围墙的长为， ∴篱笆墙的宽为， 设为，为，那么 ， 即， 解得：， ∴，． （2）解：设两块矩形总种植面积为，长为，那么，， 由题意得：， ∴ ∵，， ∴， ∴当时，． 5.（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，平分交于点，点在的延长线上，满足. (1)求证：与相切； (2)在下列两个等式中，正确的请在相应的括号中打“√”，错误的打“×”，并选择其中一个正确的等式进行证明； ①（    ）；②（    ）； (3)设的面积为，的面积为，若，，试求关于的函数关系式，并求当为何值时，的值最大. 【答案】(1)见解析 (2)①√；②√ (3)关于的函数解析式为，当时，取最大值为2 【分析】（1）连接，先证，再证即可得证； （2）分别根据①和②式倒推出需要证明的等式，再根据题干条件去证即可，①过作，，则四边形是正方形，再根据等面积即可得证．②证和得出比例线段，再代入式子推导即可； （3）根据题干条件可得，，由得，所以，再代入得即可，需要注意的是在求最值过程中需要换元法． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， 平分， ， ， ，， ，且， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：①，②． 证明：①如图：过作，，则四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 两边同时除以得：． ②，， ， ，即， ，， ， ，即， ． 故答案为：，． （3）解：由前两问可知，，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 令，则， 当时，取最大值为2，此时， 关于得函数解析时为，当时，取最大值为2． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题关键． 命题点 二次函数与实际问题 ►题型01 销售问题 利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 【典例】（2025·湖南常德·一模）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售．设一次性销售利润为y元，一次性销售量为x千克． (1)当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？ (2)当一次性销售量为时，求一次性销售利润y的最大值． 【答案】(1)16000元 (2)22500元 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式是解题的关键． （1）根据利润的表示方法代数求解即可； （2）根据题意表示出一次性销售量时的利润，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，， 当一次性销售量为800千克时利润为16000元； （2）一次性销售量时， 销售价格为， ， ，， 当时，有最大值，最大值为， 一次性销售量时的最大利润为22500元． 【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）衡山红脆桃，湖南省衡阳市衡山县特产，全国农产品地理标志，衡山红脆桃为早熟品种，肉质甜脆爽口，成熟果肉血红色、多汁、离核，深受人们喜爱．某特产批发店以30元/箱的价格购进了一批衡山红脆桃，根据市场调查发现：售价定为58元/箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱，每天的利润w（元）与每箱降价x（元）之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数解析式，根据总利润单个的利润销售量，列出函数解析式即可． 【详解】解：每天的利润w（元）与每箱降价x（元）之间的函数表达式为： ． 故答案为：． 【变式2】（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【答案】(1) (2)10元或30元 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式． （1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可； （2）先表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可． 【详解】（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系， ∴设函数表达式为， ∵当时，；当时，； ∴，解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：由（1）知，， ∴日销售额， ∵玩具日销售额为300元， ∴令，即， 整理可得， 解得，， ∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）某超市销售一种儿童玩具，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为10元时，每天的销售量为100件；当每件售价为12元时，每天的销售量为90件． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该超市销售这种儿童玩具每天获得360元的利润，则每件儿童玩具的售价为多少元？ (3)设该超市销售这种儿童玩具每天获利元，则当每件儿童玩具的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每件儿童玩具的售价为12元． (3)每件儿童玩具的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识点，根据等量关系建立函数解析式成为解题的关键． （1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式即可； （2）根据每件的销售利润、每天的销售量、利润的关系列出一元二次方程求解即可； （3）利用销售该玩具每天的销售利润为每件的销售利润与每天的销售量的积，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：， 整理得：，解得：， ∵， ∴； 答：若该商店销售这种儿童玩具每天获得360元的利润，则每件儿童玩具的售价为12元． （3）解：根据题意得： ； ∵，且x为整数， 当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为525． 答：每件儿童玩具的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． ►题型02 图形问题 求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式. 在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边. 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图1，四边形中，，为的中点，为边上一动点，连接并延长至点，使得，连接． (1)四边形一定是___________（填特殊四边形的名称）； (2)若当运动到的中点时，四边形是矩形．设，试求的值； (3)若，，，是否存在这样的点，使得四边形为矩形，若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)平行四边形 (2)4 (3)存在，的最大值为 【分析】（1）①利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断； （2）证明，利用相似三角形的性质可得，然后结合即可求解； （3）设，证明，利用相似三角形的性质可求出，利用二次函数的性质可求出m的最大值为，过点D作，可求，利用勾股定理求出，利用矩形的性质可求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵E为边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵F是的中点，四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即， ∴， ∴k为定值4； （3）解：存在点F，使得四边形为矩形．理由如下： 如图，∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵m与x满足二次函数关系，且， ∴当时，m有最大值为， 如图，过点D作，垂足为M． 则四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴当m取最大值时，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，明确题意，证明是解题的关键． 【变式1】（2025·湖南湘西·一模）如图所示，矩形的边在的边上，顶点，分别在边，上.已知，，，设，矩形的面积为，则关于的函数关系式为 .（不必写出定义域） 【答案】 【分析】易证得△ADG∽△ABC，那么它们的对应边和对应高的比相等，可据此求出AP的表达式，进而可求出PH即DE、GF的长，已知矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到y、x的函数关系式； 【详解】如图，作AH为BC边上的高，AH交DG于点P， ∵AC=6，AB=8，BC=10， ∴三角形ABC是直角三角形， ∴△ABC的高==4.8， ∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上， ∴DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∵AH⊥BC， ∴AP⊥DG ∴， ∴， ∴ ∴PH=， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出矩形的边长. 【变式2】（2025·湖南株洲·模拟）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 【变式3】（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 【变式4】（2024·湖南长沙·模拟预测）某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． (1)若无盖纸盒的底面积为，则剪掉的小正方形的边长为多少？ (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 【答案】(1)剪掉的小正方形的边长为 (2)无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为时，有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查一元二次方程与几何图形面积，二次函数最值，掌握一元二次方程的解法，二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意和图示，设剪掉的小正方形的边长为，列式求解即可； （2）根据题意，设剪掉的小正方形的边长为，无盖纸盒的侧面积为，结合几何图形面积的计算方法，二次函数图象最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：设剪掉的小正方形的边长为， ∴无盖纸盒的底面的边长为， ∴， 解得，或26（舍去）， ∴剪掉的小正方形的边长为； （2）解：设剪掉的小正方形的边长为，无盖纸盒的侧面积为， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为时，有最大值，最大值为． 【变式5】（2024·湖南衡阳·二模）（1）问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直角边的长分别是_______、_______时，直角三角形的面积最大； （2）问题解决：如图①，在一个的内部作一个矩形，其中点A和点D分别在两直角边上，在斜边上，，，矩形面积最大是多少？在解决这个问题时，有一位爱动脑筋的同学通过作辅助线进行了转化，如图①，过点D作，所以，又因为四边形是矩形，所以，于是，那么求矩形的面积最大，就可以转化为求平行四边形的面积最大，设平行四边形的边，平行四边形的面积为，请你按这个思路继续完成这问题； （3）问题拓展：如图②，矩形中，，，点E是边上的动点（点E与A、D两点不重合），连接、，点F是边上的动点，过F作交于G，求面积最大值．    【答案】（1）5，5；（2）；（3） 【分析】（1）设一条直角边为x，则另一条直角边为，根据三角形的面积公式得到面积的函数关系，故可求解； （2）根据题中方法与相似三角形的性质，求出， ，表示出面积y关于x的二次函数即可求解； （3）作，设，则，根据得到，求出，在根据表示出面积与x的函数关系式，故可求解． 【详解】解：（1）设一条直角边为x，则另一条直角边为，根据三角形的面积公式得到面积 ∴当时，三角形的面积最大为 故答案为：5、5； （2）如图①，过点作． ， 又四边形是矩形， ， ， 那么求矩形的面积最大，就可以转化为求平行四边形的面积最大，设平行四边形的边，平行四边形的面积为，    ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，y的最大值为； （3）如图，作 ∵点E是边上的动点，点F是边上的动点， ∴的底为，高为 ∴的面积不变 又∵在矩形中， ∴的面积为 设，则 ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴， ∴ ∴当时，有最大值为．    【点睛】此题主要考查相似三角形与二次函数综合，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意列出二次函数进行求解． ►题型03 方案选择问题 【典例】（2025·湖南武冈·模拟预测）为提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形是矩形，分别以边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为，矩形的边长．（注：取） (1)试用含x的代数式表示y； (2)现计划在矩形区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元； ①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式； ②该工程要求矩形的边的长不超过长的，政府计划投入万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由？ 【答案】(1) (2)；能，设计的方案是：长为，长为，再分别以各边为直径向外作半圆 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确列出对应的函数关系式和方程是解题的关键． （1）整个广场的周长为两个圆的周长，据此根据圆周长计算公式求解即可； （2）①分别表示出矩形和两个圆的面积，二者求和即可得到答案；②先根据题意求出x的取值范围，再根据①所求令费用为万元建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由题意得， ； ②∵矩形的边的长不超过长的， ∴， 解得， 当时，则， 解得（舍去）， ∴． ∴设计的方案是：长为，长为，再分别以各边为直径向外作半圆． 【变式1】（2025·湖南·模拟）某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求： (1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元? (2)要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案． 【答案】(1)20元 (2)每件衬衫需降价15元 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要能利用基本数量关系：平均每天售出的件数×单件盈利=每天销售的利润． (1)依据题意，设每件衬衫降价元，可得每件盈利元，每天可以售出件，进而得到商场平均每天盈利元，依据方程即可得到的值； (2)依据题意，用“配方法”即可求出的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元． 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，则多售出件， 由题意：， 解得，（要尽快减少库存，故舍去） 答：每件衬衫降价20元． （2）设盈利元，则与的关系式为：， ， 当时，该二次函数有最大值，为1250元． 答：每件衬衫需降价15元，商场平均每天赢利最多． 【变式2】（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元。 【变式3】（2025·湖南常德·模拟）科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案： 方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边靠着现有墙体； 方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且． 两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题： (1)对于方案1，设． ①求的长度（用含x的代数式表示）； ②求的最大值； (2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由． 【答案】(1)①，②3600 (2)选择两种方案均可，理由见解析 【分析】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确表示出养殖区的总面积． （1）①根据矩形的性质表示即可； ②根据代入表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求出最大值，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：①由题可得，四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得； ②由题意得，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3600； （2）解：两种方案任选其一即可，理由如下： 设方案2中的， ∵， ∴， ∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍， ∴， ∴， ∴，即 ， ∵， ∴当时，y₂有最大值，最大值为3600． ∵， ∴两种方案养殖区总面积最大值相等， ∴选择两种方案均可． ►题型01 拱桥问题 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题. 【典例】（2025·湖南·模拟预测）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 【答案】B 【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解． 【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=， 设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+， ∵BC=10， ∴点B（﹣5，0）， ∴0=a×（﹣5）2+， ∴a=-， ∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2， ∵EF=14， ∴点E的横坐标为-7， ∴点E坐标为（-7，-），     ∴-=m（x﹣b）2， ∴x1=+b，x2=-+b， ∴MN=4， ∴|+b-（-+b）|=4 ∴m=-， ∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2， ∵大孔水面宽度为20米， ∴当x=-10时，y=-， ∴-=-（x﹣b）2， ∴x1=+b，x2=-+b， ∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米）， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，由题意得，，利用待定系数法可得到，再求出时，x的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为， 由题意得，， 把代入到中得：，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ∵， ∴当水面上升2米后，宽度变为米， 故选：B． 【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离是24m，则警示灯E距水面的高度为（     ） A．12m B．11m C．10m D．9m 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以的中点为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系，求出抛物线的解析式，进而求出点的纵坐标即可． 【详解】解：如图，以的中点为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系， 由题意，得：， 设抛物线的解析式为：，把代入，得：， ∴； ∵， ∴点的横坐标为， ∴当时，， 即：警示灯E距水面的高度为9m； 故选D． 【变式3】（2025·湖南岳阳·模拟）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．若每条龙舟赛道宽度为9米，则通过拱桥的龙舟赛道最多可设计 条． 【答案】4 【分析】依据题意，令，解方程求出x的值，求出可设计赛道的宽度，再除以9得出可设计赛道的条数．本题主要考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，当时，， 解得或， ∴可设计赛道的宽度为 ∵， ∴最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 故答案为：4． 【变式4】（2024·湖南·模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度，拱高． 同学们讨论出两种设计方案： 方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作于点D交圆弧于点C．连接． 方案二，设计成抛物线型，如图2，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求方案一中圆的半径； (2)求方案二中抛物线的函数表达式； (3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即．在大棚内需搭建高的植物攀爬竿，即，于点P，于点Q，与交于点K．请问哪种设计的种植宽度要大些?（不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形） 【答案】(1) (2) (3)方案一中的种植宽度要大些 【分析】本题考查二次函数与圆的综合，涉及垂径定理、勾股定理、待定系数法求二次函数的解析式，求得抛物线的函数表达式是解答的关系． （1）根据垂径定理和勾股定理求解即可； （2）利用待定系数法求解抛物线的函数表达式即可； （3）根据题意，分别求得两个方案中的长，然后比较大小可得结论． 【详解】（1）解：如图1，设圆的半径为， ∵，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，解得， 即圆的半径为； （2）解：根据题意，，，， 设该抛物线的函数表达式为， 将点代入中，得，解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （3）解：如图1，连接， 由题意，，，，， 在中，，， 由勾股定理得， ∴； 如图4，由题意，点H和点G的纵坐标均为1， 将代入得，解得， ∴， ∵， ∴方案一中的种植宽度要大些． ►题型05 隧道问题 判断货车能否安全通过隧道的方法: 1）固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高(相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高的值比较大小). 2）固定货车的高，看抛物线形的隧道是否足够宽(相当于已知y的值，根据函数解析式求x的值，再与限制的宽的值比较大小). 【典例】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 【变式1】（2026·湖南长沙·月考）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 【答案】(1)米 (2) (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】 一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图． 【解决问题】 已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【拓展应用】 该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题： （3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值． （4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）的最大值为：20.5m；（4）旋转角的度数为或或 【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出当时，正好是厢式货车宽度，求出即可； （3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出； （4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：， ∴， 解得：， ∴； （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时， ∴， ∴代入解析式得：； ∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道； （3）假设，可得， ∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：； （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，， 过点P作于点M， ∵， ∴，， ∴，， 如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 当时，； 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或． ►题型06 喷水问题 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． (1)若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； (2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①,；②；③ (2) 【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可； ②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可； （2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可． 【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设． 又∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 当时，， ∴，（舍去）． ∴喷出水的最大射程为．              图1 ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 即点是由点向左平移得到，则点的坐标为． ③如图2，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为0.5． 抛物线恰好经过点时， ． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使， 则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． （2）的最小值为． 由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴设上边缘抛物线解析式为． ∵上边缘抛物线过出水口（0，h） ∴ 解得 ∴上边缘抛物线解析式为 ∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴下边缘抛物线解析式为． 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上， ∵DE=3 ∴设点，，， ∵D在下边缘抛物线上， ∴ ∵EF=1 ∴ ∴， 解得， 代入，得． 所以的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键． 【变式1】（2025·湖南张家界·一模）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）1米，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．用待定系数法求出二次函数解析式，再令，算出x的值，即可解答． 【详解】解：由图可知抛物线的顶点为， 设水流形成的抛物线为， 将点代入可得 ∴抛物线为 当时，， 解得（舍去）或， ∴水流喷射的最远水平距离是5米， 故选：B． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图①，是可移动的灌溉装置，以水平地面方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，如图②所示．其水柱的高度y（单位：m）与水柱距喷水头的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式．在图②中，若水柱在某一个高度时总对应两个不同的水平位置，则x的取值范围是 ．    【答案】且 【分析】根据题意可先求出点的坐标，然后求出当时对应的值，即可得出水柱的水平距离的取值范围，然后求出顶点坐标和对称轴，再求出点关于对称轴对称的点，根据当水柱在某一个高度时，总对应两个不同的水平位置，即可得出的取值范围． 【详解】解：由题意可得：当时，， ， 当时，即， 解得：，， 水柱的水平距离的取值范围为：， ， 顶点坐标为，对称轴， 点关于对称轴对称的点为， 当水柱在某一个高度时，总对应两个不同的水平位置， 的取值范围为：且； 故答案为：且． 【点睛】本题考查的主要是二次函数的应用，解题关键是求出点关于对称轴对称的点以及顶点坐标． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，线段表示水池的宽，米，以边缘点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，在O处安装一根带喷头A的水管（喷泉装置的粗细忽略不计），从A喷出的水注可抽象为二次函数，且水注的形状大小与喷头的高度无关．已知水注在与点O水平距离1米处达到最高，要使水注落点C不超出水池外，则喷头A的最大高度为 米． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、二次函数的最值等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 由函数解析式可得抛物线的对称轴为，解得，进而得到抛物线解析式为，然后说明喷头A的高度为c；由线段表示水池的宽于再根据米可得，则抛物线过点时喷头A的高度最大，然后将代入抛物线解析式求得c的值即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，解得：， ∴， 当时，，即喷头A的高度为c， ∵米， ∴， ∴当抛物线过点时，喷头A的高度最大， ∴，解得：， ∴喷头A的最大高度为4米． 故答案为4． 【变式4】（2024·湖南长沙·模拟）如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观，喷出的水柱为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中，图2是其截面图，已知路面宽为3.5米，河道坝高为5米，B与A的水平距离为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为3米，以点O为坐标原点，射线为x轴正方向建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？ (3)水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上，当河水降至离路面距离为多少时，水柱刚好落在水面上？ 【答案】(1) (2)米 (3)米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能运用待定系数法求解析式是关键． （1）依据题意得：二次函数的顶点坐标为．故设该二次函数的解析式为：，再结合经过原点，求出a即可得解； （2）依据题意，由（1）该二次函数的解析式为：，从而可得当时，，进而可以判断得解； （3）依据题意，可得，B的坐标为，再设的解析式为，建立方程组可得k，b进 而可得直线，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得：二次函数的顶点坐标为． 设该二次函数的解析式为： 二次函数经过原点， 解得： 该二次函数的解析式为：； （2）解： 当时， 答：护栏的最大高度为米． （3）解：点的坐标为，点的坐标为 设的解析式为 解得： 解得：（不合题意，舍去）， 当时， 答：河水降至离路面距离米时，水柱刚好落在水面上． ►题型07 小球运动轨迹问题 球类运动与抛物线息息相关，如球的运动轨迹、速度变化等.因此可构建适当的函数模型，并运用抛物线的相关性质解决实际问题. 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为（不考虑小球落地后再弹起），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．以球出发的地方为原点建立直角坐标系，其中，表示飞行高度，表示飞行时间，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与轴的两个交点坐标，则可得一个球从出发到落地的用时，据此建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，其中，表示飞行高度，表示飞行时间，如图所示： 由题意得，二次函数的图象经过原点且对称轴为直线， ∴设二次函数表达式为， 将原点代入得：，解得， ∴， 令，则， 解得或， ∴这个二次函数的图象与轴的两个交点的坐标为和， ∴一个球从出发到落地用时为2秒， ∵整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式1】（2024·湖南长沙·一模）掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【答案】(1)2，3.6 (2) (3)明明在此次考试中能得到满分，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题． （1）根据图表即可求解； （2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时，， 得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是3.6米， 故答案为：2，3.6； （2）解：设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 得抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴明明在此次考试中能得到满分． 【变式2】（2025·湖南怀化·模拟）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：米）与飞行时间t（单位：秒）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15米时，需要多少飞行时间？ （2）在飞行过程中，小球飞行高度何时达到最大？最大高度是多少？ 【答案】（1）飞行时间为1s或3s时，飞行高度是15m；（2）飞行时间为2s时，飞行高度最大为20m 【分析】（1）把h=15直接代入，解关于t的一元二次方程即可； （2）将进行配方变形，即可得出答案． 【详解】解：（1）当h=15时， 15=-5t2+20t， 化简得：t2-4t+3=0， 解得：t1=1，t2=3， ∴飞行时间为1s或3s时，飞行高度是15m． （2）h=-5（t2-4t）=-5（t2-4t+4-4）=-5（t-2）2+20， ∴当t=2时，h最大=20． ∴飞行时间为2s时，飞行高度最大为20m． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键． 【变式3】（2024·湖南长沙长郡·三模）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． ►题型08 图形运动问题 【典例】（2025·湖南益阳·模拟）图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 【答案】(1)；；补全函数图象见解析 (2) (3) 平分 时 的值为 【分析】（1）根据当时，从点正好运动到点，即可求出运动速度，根据当时，，求出的长，然后用，即可算出的长，根据时，，补全图象即可； （2）分或两种情况下，使的面积为的值不小于的的取值范围，即可求出结果； （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知条件写出、、、的坐标，根据点为的中点，写出点的坐标，求出用表示的的函数关系式，把点的坐标代入，解关于的方程即可得出的值． 【详解】（1）解：图是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， 点运动的速度， 当时，， 即， ， ， ； 当时，， 当时，从运动到点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：；；补全图象见解析． （2）当时，，， ，即， 整理得， 解得：， ， ； 当时，， ，即， 解得：， ； 综上分析可知，当时，的面积为的值不小于． （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 则点坐标为，点坐标为，点的坐标为，点坐标为， 平分， 点为的中点， 点的坐标为：， 设直线的解析式为，把、两点的坐标代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得：，（舍去）， 即平分时的值是． 【点睛】本题主要考查了动点问题，一次函数关系式，二次函数关系式，解不等式，以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，用函数的思想解决问题（3），是解题的关键． 【变式1】（2024·湖南张家界·模拟）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形，B点坐标为，A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为，连结，点E、点F分别从A点、B点出发，在上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作交x轴于H点，交y轴于G点，连结、，在运动过程中，的最大面积为 ． 【答案】 【分析】先求直线的解析式，进而设直线的解析式为，得出，即，利用得出，根据二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】解：∵矩形，B点坐标为， ， ， 设直线的解析式为， 把D点坐标为代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ∴的最大面积为， 故答案为: ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质，二次函数的最值，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2】（2025·湖南永州·模拟）如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ，当时，x的值为 ． 【答案】 9 4或11 【分析】本题考查从函数图象获取信息，二次函数与运动图形的综合应用，由图象可知，当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分，当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，说明梯形的高为定值，说明高为的长，即当时，点与点重合，当时，点与点重合，说明，进而求出三段函数的解析式，求解即可． 【详解】解：由图象可知：当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分， 当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，则梯形的高为定值， 即：高为， ∴， ∴当时，，则， ∵等腰直角， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积：， 当时，， 解得：（舍去）； 当时，，， ∴， 当时，， ∴（舍去）； 当时，则：， ∴， 当时，， 解得：或（舍掉）； 故答案为：9；4或11． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟）我们知道，若矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，在艺术上和生活中也被广泛应用．    (1)将矩形的短边长度设为，长边长度设为，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①若，则该矩形是黄金矩形；（   ） ②若该矩形是黄金矩形，且，则该矩形的面积是；（  ） ③若该矩形是黄金矩形，外接圆半径为，则一定是．（  ） (2)如图1，将一张矩形纸片进行如图所示的操作：①沿对角线折叠，得到折痕；②折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；③过点折叠纸片，使点分别落在边上，展开得到折痕，折痕与折痕交于点．如果矩形是一个黄金矩形，其中． ①求证：； ②求的余弦值． (3)如图2，在中，高为，，，矩形的一边在边上，分别在上，交于点，且矩形是黄金矩形．该矩形以每秒1个单位的速度沿射线匀速向上运动（当矩形的边到达点时停止运动），设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】(1)①√；②√；③√ (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）根据黄金矩形的定义进行判断即可； （2）①根据平行线的性质和折叠的性质，求出，根据等腰三角形的判定得出； ②设，则，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，求出即可； （3）根据相似三角形的判定和性质，求出，，，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴该矩形是黄金矩形，故此说法正确； ②∵该矩形是黄金矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为，故此说法正确； ③∵该矩形是黄金矩形， ∴， ∴， ∵外接圆半径为， ∴矩形的对角线长为， 根据勾股定理得：， 即， 整理得：，故此说法正确． （2）解：∵矩形， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴； ②∵， ∴设，则， 设，则， 在中，由勾股定理，可知：， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为矩形，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵矩形是黄金矩形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 当时，如图所示：    则，，， 根据平移可知：， ∴， ∴， 即， 解得：， ； 当时，如图所示：    则， 根据平移可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 综上分析可知：． 【点睛】本题主要考查了黄金比，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 【变式4】（2025·湖南长沙·月考）在中，，点从点沿方向以的速度运动，同时点从点沿方向以的速度运动，连接．设运动时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)求四边形的面积与的关系式，并求出为何值时，最大，并求出最大值． (3)是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)；当时，S有最大值，最大值为； (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，列代数式，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可用含t的式子表示出线段的长，进而可得线段的长； （2）求出的面积，根据列出对应的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）由线段垂直平分线的性质得到，则由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴，； （2）解：∵， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴当时，S随t的增大而增大， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为； （3）解：当点P在线段的垂直平分线上时，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）． ∴当时，点P在线段的垂直平分线上． 【变式5】（2025·湖南岳阳·模拟）已知：与中，，，，，．现将与按图1的方式摆放，使点与点重合，点、（E）、在同一条直线上，并按如下方式运动． 运动一：如图2，从图1的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动； 运动二：在运动一的基础上，如图3，绕着点C顺时针旋转，与交于点Q，与交于点P，此时点Q在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转； 运动三：在运动二的基础上，如图4，以的速度沿向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题∶ (1)在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 s； (2)在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为S（），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)存在，3.5或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线、旋转、平移的性质等，要注意的是（2）中，要根据点的不同位置进行分类求解；（3）中要确定点的位置，是解答的关键． （1）运动一，停止时，，用时为秒；运动二，停止时，，用时为秒；运动三，点与点重合时，，用时为秒，可算出总用时； （2）运动一，与的重叠部分为直角的面积，表示出即可；运动二，连接，可得，，，所以，与的重叠部分不变：；运动三，四边形为矩形，，，所以，； （3）点在线段的中垂线上，连接，可得，可得，计算出，由，可得，解答出即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 运动一： 是等腰三角形，，， ， 运动一所用时间为：（秒）， 运动二： 当时暂停旋转， ， 运动二所用时间为：（秒）， 运动三： ， 运动三所用的时间为：（秒）， 整个过程共耗时（秒）； 故答案为：10； （2）解：运动一：如图2， 设为，则为， ， 与之间的函数关系式为：， 运动二：如图3，连接， 在和中， ， 与之间的函数关系式为：， 运动三：如图4， 可得四边形为矩形， ， ， ； 与之间的函数关系式为：， 综上可得，； （3）解：存在点，理由如下： 如图5，连接， 运动一： 点在线段的中垂线上， ， ， ，， 解得，， ， ， 此时，为：秒． 如图6， 运动二： 同理：， 过点作交于点，， 在中，， ， ； 运动三时，最大为， 所以无解． 综上，或时，点正好在线段的中垂线上． ►题型9 其它问题 【典例】（2024·湖南常德·一模）刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差，与锅的水平距离，锅的半径．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度不可能为（提示：，，水平移动距离）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，要使其落入锅中，需要满足，由即可求解；找出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：，（舍去）， 要使其落入锅中， ， ， ， ， ， 不可能； 故选：D． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）（）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为（    ） A．37.5° B．40° C．52.5° D．55° 【答案】B 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 该函数的对称轴x＞且x＜50， ∴37.5＜x＜50， ∴此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式2】（2025·湖南张家界·一模）在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第 天亚硝酸盐含量最高． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是求出二次函数的解析式．先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：将点、、代入中得： ， 解得：， ， ， 当时，有最大值为，即泡菜腌制过程中第天亚硝酸盐含量最高， 故答案为：． 【变式3】（2025·湖南衡阳·模拟）一般情况下，人体能够承受的安全电流为，电功率P（单位：）与电流I（单位：），电阻R（单位：）之间的公式为，已知人体电阻阻值约为，当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电流 （填“已”或“未”）超过人体能承受的安全电流． 【答案】已 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意把代入到中求出I的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴或（舍去）， ∵， ∴当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电流已超过人体能承受的安全电流． 故答案为：已． 【变式4】（2025·湖南湘西·模拟）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意可得s的最大值即为汽车从刹车后到停下来前进的距离，据此求解即可． 【详解】解：， ∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 【变式5】（2025·湖南武冈·模拟）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 【答案】（1），顶点的坐标为；（2）；（3） 【分析】（1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）先求出点的坐标为，再求出的解析式为：．然后求出点的坐标为，最后求出结果即可； （3）作抛物线的对称轴于点，则，设点的横坐标为，得出，根据点在抛物线上，列出方程，得出点的坐标为，最后求出即可． 【详解】解：（1）抛物线经过原点， ． 解得：． 抛物线的解析式为：． 顶点的坐标为； （2）取，， 解得：，， 点的坐标为， 心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点， 设的解析式为：． 经过点， ． 解得：． 的解析式为：． ， 解得： 点的坐标为． ． ． （3）作抛物线的对称轴于点，则， 直线与水平线的夹角为， ． 设点的横坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ． 顶点的坐标为， 点的纵坐标为． 点在抛物线上， ． 解得：． 点的坐标为． ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 突破一 新情境问题 【典例】【问题情境】：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且．榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 【方案实施】学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩7m篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； (2)求篱笆材料恰好用完时与之间的距离； 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)与之间的距离为1． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，然后设C的横坐标为m，E的横坐标为，表示出，，然后解方程即可． 【详解】（1）解：解法一： 平面直角坐标系如图所示， 设抛物线的解析式为（）， 由题意知，，对称轴为直线， 即，， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； 解法二： 平面直角坐标系如图所示， 由题意知，，，对称轴为直线， 设抛物线的解析式为（）， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，之间的距离等于， 设C的横坐标为m，E的横坐标为， ∴，， 设直线解析式为，代入得：，解得：， ∴直线解析式为， ∴，， ∴，， ∴， ∴，解得或． ∵在的左侧， ∴与之间的距离为1． 【变式1】综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班仔浩发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片(如图)，并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图所示，以仔浩的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球(P)出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球(P)恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度(n米)满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，仔浩在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)写出仔浩初次投篮时篮球的运动轨迹抛物线，并通过计算判断是否能命中篮筐？ (2)该班数学兴趣小组同学对仔浩的初次投篮数据进行研究后，让仔浩同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值(保留根号) (3)在比赛过程中，仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，仔浩此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？ 【答案】(1)不能 (2)t的值为 (3)不能，c的取值范围是 【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的易错点． （1）易得仔浩初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点 P的坐标代入可得a的值，取，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐； （2）设出向右平移后的抛物线解析式，把代入可得的值； （3）判断出运动后的抛物线解析式，取，得到y的值即可判断是否命中篮筐；判断出提高出手高度后的抛物线解析式，取，得到对应的y的值，进而根据y的取值范围得到m的值，取，得到c的值，即可判断c的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：仔浩初次投篮时抛物线的顶点坐标为：， ∴设， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴, 当时，， 时，篮球命中篮筐， 仔浩初次投篮时不能命中篮筐． （2）解：向前走了t米后抛物线的解析式为：， ∵经过点, ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， 答：t的值为； （3）解：由题意得：仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：， 当时，， 不能命中篮筐； 设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：， 当时，， ∴, 解得：， ∵出手点的坐标为， ， ． 【变式2】【问题情境】综合与实践小组的同学到医学院参加活动，对、两种药物在注射后几小时内的微量元素的浓度变化情况展开了探究，并以此为课题，研究系列问题． 数据获取：待测量对象注射药物结束时，用微量元素测量仪器测量并记录其微量元素浓度变化情况，直至仪器显示其微量元素浓度持续稳定在某一小范围内（），无较大幅度变化时停止记录，得到注射药物后几小时内的微量元素的浓度变化（单位：）与时间（单位：）的曲线图如下． 【初步探究】 (1)观察图象推断，正常情况下人体的微量元素可能是（　　） A． B． 【问题解决】已知段微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作抛物线，且其函数解析式为． (2)求段抛物线的函数解析式； (3)该测量对象注射药物后多久时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是多少？ 【拓展应用】 信息1：第二次测量时，该测量对象注射药物，通过测量发现，微量元素的浓度的最大值比注射药物高，且达到最大值的时间比注射药物延长了1小时（已知第二次测量时微量元素的浓度变化曲线仍是抛物线且经过点）． 信息2：注射药物后，微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作过点的射线（其中）．若注射药物生效后（），微量元素的浓度高于微量元素的浓度时为药物有效时间，记药物的有效时间为，药物的有效时间为，由于不同的病毒会导致注射药物后微量元素的浓度函数中的值不同，临床上通常比较与的大小进行决策． (4)请帮助综合实践小组的同学求出注射药物后的微量元素的浓度函数，并直接写出当时的值． 【答案】(1)B (2) (3)该测量对象注射药物后时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是 (4)， 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意是解题的关键． （1）观察图象即可判断； （2）利用待定系数法即可求解； （3）利用二次函数的性质即可求解； （4）由题意得，当时，取得最大值，最大值为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出的解析式；联立抛物线与射线的解析式，用含的式子表示出，结合求出的值即可解答． 【详解】（1）解：观察图象推断，正常情况下人体的微量元素可能是． 故选：B． （2）解：由图象可得，，， 代入和到，得， 解得：， 段抛物线的函数解析式为． （3）解：由（2）得，， ， 当时，有最大值，最大值为150， 答：该测量对象注射药物后时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是． （4）解：由题意得，当时，取得最大值，最大值为， 抛物线的顶点为， 设函数的解析式为， 代入得，， 解得：， 函数的解析式为； 联立， 解得：或， ， 联立， 解得：或， ， ， ， 解得：； 综上所述，，． 【变式3】综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 【答案】（1）随的增大而增大；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得答案； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论； （4）分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上， ∴，，， 又∵如图2，在上，，， ∴， ， 当时，如图，设交于点，交于点，则， 此时遮阳区的面积为的面积， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 当时，如图，设交于点，则，，， 此时遮阳区的面积为四边形的面积， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大； （2）如图3，此时点落在上，则， 由（1）知：当时，； ∴图3情形时，，； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为； （4）当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， ∵ ∴当时，的最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为， ∴当遮阳区面积最大时，向右移动了． 【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，列函数关系式，二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【变式4】［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 突破二 新考法问题 【典例】【发现问题】    “速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化． 【提出问题】 叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据： 第一层杯子的个数 杯子的总数 然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式． 【解决问题】 （1）直接写出与的关系式； （2）现有个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数； （3）杯子的侧面展开图如图4所示，，分别为上、下底面圆的半径，所对的圆心角，．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．（提示：杯子下底面圆周长与AB的长度相等） 【答案】（1）（2）第一层杯子的个数为个；（3）杯子叠放达到的最大高度为和此时杯子的总数为个 【分析】（1）根据题意，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式； （2）将代入（1）中的解析，即可求解； （3）根据弧长公式先求得，根据题意列出不等式求得第一层摆放杯子个，进而求得总数，根据得出，勾股定理求得的长，利用相似三角形的性质得出的长，进而即可求解． 【详解】解：（1）依题意，； （2）当时，， 解得：（舍去）， 答：第一层杯子的个数为个； （3）∵，， 解得：； ∵第一层摆放杯子的总长度不超过， 设第一层杯子的个数为个，则， 解得：，取最大值为， 即第一层摆放杯子个，杯子的层数也是， ∴杯子的总数为（个）， 在图4中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴最大高度为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求弧长，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 【答案】(1)y关于x的函数是二次函数，； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先计算出种子自然发芽率为35，令和时，分别求得x的值，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为， 将，，代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴种子自然发芽率为35， ∴当时，， 解得，， 当时，， 解得（舍去），， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为． 【变式2】用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； （2）不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3）∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 【变式3】为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【答案】(1) (2)这根材料的长度够用 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）由题意，可知：， ∴关于轴对称， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， 故这根材料的长度够用． 如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【答案】该抛物线的表达式为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为，，即， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的表达式为． 【变式4】综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2）   当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 1.（2024·湖南长沙·模拟预测）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，刹车距离与时间的关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（　　）． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴当时，s最大． ∴后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为， 故选：D． 2.（2024·湖南株洲·二模）如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解析式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米．（可用含根号的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 解得， ∴米， 故答案为：． 3.（2024·湖南·模拟预测）小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间 秒时，篮球距离地面最高． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，篮球距离地面最高，则此时篮球处于二次函数的顶点处，把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，h有最大值，即此时篮球距离地面最高， ∴当篮球在空中的飞行时间为秒时，篮球距离地面最高， 故答案为：． 4.（2025·湖南·模拟预测）有长为24米的篱笆，一边利用墙（墙的最大可用长度为米），围成如图所示的花圃，则能围成的花圃的最大面积为（    ）平方米． A．40 B．48 C． D． 【答案】C 【分析】可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积＝长×宽，得出S与x的函数关系式，求出最大值即可． 【详解】由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24−3x）米． 24−3x≤10，x≥， 这时面积S＝x（24−3x）＝−3x2＋24x＝−3（x−4）2＋48（≤x＜8）， 当x＝时，S有最大值是， ∴能围成的花圃的最大面积为平方米， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键． 5.(2026·湖南湘潭·月考)如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键．首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论． 【详解】解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ， ． 故选：A． 6.（2025·湖南·模拟预测）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是(   ) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 【答案】D 【分析】根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误； ②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确； ④设函数解析式为：， 把代入得，解得， ∴函数解析式为， 把代入解析式得，， 解得：或， ∴小球的高度时，或，故④错误； 故选D． 7.（2024·湖南·一模）如图，四边形为菱形，为上一点，的垂直平分线交于点F，若，记的面积最大值为S，周长最小值为l，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．过点作于点，过点作，交延长线于点，连接，设，则，，设，则，，在中，利用勾股定理可得，再分别利用含的式子将的面积和周长表示出来，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，连接， ∵四边形为菱形，，， ， ∴在中，， 设，则， ， ∵的垂直平分线交于点， ， ， ， 设，则， ， 在中，，即， 解得， ，， 则的面积为， 由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为， 的周长为， 由二次函数的性质可知，当时，的周长最小，最小值为， 故选：A． 8.（2025·湖南长沙·模拟预测）某校数学活动小组用20米长的围栏，在学校劳动基地围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，大家提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形，正五边形这四种方案，这四种方案你认为最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握相关知识点是解题关键．方案1：设矩形的宽为米，表示出，求出最值；方案2：设等腰三角形的底边长为米，高为米，表示出求出最值；方案3：求出半径，计算面积；方案4： 求出正五边形的边长为米，正五边形可以分成5个全等的等腰三角形，作其中一个等腰的高，利用等腰三角形的性质和角的正切值求面积． 【详解】解：方案1：设矩形的宽为米，则长为米， ， 当时，有最大值， 即当矩形的宽为米，长为米时，菜园面积最大为平方米； 方案2：设等腰三角形的底边长为米，高为米， 是等腰三角形， 米，米， ， ， 解得， ， ， 令，则， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最大值，最大值为， 即当等腰三角形的底边长为米时，菜园面积最大为平方米； 方案3：设半圆的半径为米， 则，解得， 此时平方米， 即当半圆的半径为米时，菜园面积最大约为平方米； 方案4：设正五边形的边长为米， 则，解得，即正五边形的边长为米， 正五边形可以分成5个全等的等腰三角形，作其中一个等腰的高， 正五边形， ，， ，米， 在中，， ， 米， 平方米， 即当正五边形的边长为米时，菜园面积最大约为平方米； 综上可知，半圆形菜地面积最大，即方案3是最佳方案， 故选：C． 9.（2025·湖南长沙·模拟）【问题背景】某科研机构计划种植一种药材，收集信息如下： 单位面积产量（单位：亩）与种植面积（单位：亩）的关系为：； 种植成本（单位：万元）与种植面积（单位：亩）的关系为：； 销售价格：万元． 【问题解决】 (1)求总产量为时的种植面积（总产量单位面积产量×种植面积）； (2)求该科研机构种植这种药材能获的最大利润（利润销售额种植成本）； (3)该科研机构计划种植这种药材的成本不超过180万元，所获利润不低于300万元，直接写出种植面积的范围． 【答案】(1)12亩 (2)时（万元） (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意列方程求解即可； （2）设该科研机构种植这种药材能获的最大利润为万元，得到，得出则时（万元） （3）根据题意得到，解不等式组即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ∴， 解得：， ∴种植面积为12亩； （2）解：设该科研机构种植这种药材能获的最大利润为万元， ， ∴， 则时（万元）． （3）解：根据题意得：， 解得：． 10.【综合与实践】 【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据． 【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示： 任务一：求出函数表达式 （1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下随变化的函数关系，发现场景的图象是抛物线的一部分，场景的图象是直线的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式； 任务二：探究该化学试剂的挥发情况 （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场影下发挥作用的时间更长? 任务三：探究化学试剂对人体的影响情况 （3）因化学试剂对人体是有一定的影响的，若试剂挥发过程中剩余质量不大于1克对人体影响最小，则哪个场景影响时间最少? 【答案】（1）；（2）在A场景下发挥作用时间更长；理由见解析；（3）B场景影响时间最少 【分析】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，理解题意及图形的意义是解题的关键． （1）将点分别代入中，解方程组，即可求得二次函数解析式；将点分别代入中，解方程组，即可求得一次函数解析式； （2）观察A、B两个场景下点，由这两点表示的意义即可判断； （3）与（2）分析相同． 【详解】解：（1）将分别代入中得 ， ， 将分别代入中得 ，解得：， ； （2）因为A场景当剩余质量为3克时，需要20分钟，而B场景20分钟时剩余质量为1克， 又因为该化学试剂发挥作用的最低质量为3克， 所以在A场景下发挥作用时间更长． （3）因为A场景当剩余质量为3克时，需要20分钟，而B场景20分钟时剩余质量为1克， 所以B场景影响时间最少． 11.（2025·湖南长沙·三模）如图，在等腰直角中，，点是斜边上一动点（不与点重合），连接，以为直角边在右侧构造等腰直角，，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，点从点运动到点， ①设，，求关于的函数关系式，并写出最大值； ②的外心所经过的路径长为_____； (3)记的面积为，的面积为，若，求的正切值． 【答案】(1)见解析 (2)①；最大值为2；②4 (3)或 【分析】（1）证明，得出即可； （2）①过点C作于点H，过点F作于点G，证明为等腰直角三角形，得出，求出，，证明，得出，代入相关的长度值求出，再根据二次函数的最值，求出最大值即可； ②延长，交于点G，作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接、，先说明点在过点B与垂直的射线上运动，证明垂直平分，垂直平分，说明当点D从点A运动到点B的过程中，点E从点B运动到点G，且点D在点A处时，点E在点B处，点D在点B处时，点E在点G处，的外心从点H处运动到点M处，求出其运动轨迹长即可； （3）设，则，根据，列出方程，求出或，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①过点C作于点H，过点F作于点G，如图所示： 则， ∵是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， 根据解析（1）可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得：； ∵， ∴当时，取最大值2； ②延长，交于点G，作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接、，如图所示： 根据①可知：， ∴， ∴点在过点B与垂直的射线上运动， ∵垂直平分， ∴的外心在上， ∵，，， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴M为的中点， ∴垂直平分， 同理得：垂直平分， ∵当点D从点A运动到点B的过程中，点E从点B运动到点G，且点D在点A处时，点E在点B处，点D在点B处时，点E在点G处， ∴的外心从点H处运动到点M处， ∴的外心运动的轨迹长为； （3）解：设，则， 根据解析（2）可知：， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据勾股定理得：， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或， 根据解析（1）可知：， ∴的正切值等于的正切值， 当时，，过点D作于点M，如图所示： 则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，，过点D作于点M，如图所示： 则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，二次函数的应用，解直角三角形的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是数形结合，作出辅助线，注意进行分类讨论． 1.（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 2.（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 3.（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2) (3)停车距离约为． 【分析】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用； （1）设，，结合题意可得，，再进一步求解即可； （2）结合（1）可得：； （3）当刹车距离为时，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．骑行速度为， ∴，， ∵当骑行速度为时，反应距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∵当骑行速度为时，刹车距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时，． （2）解：设骑行速度为，而，， ∴y关于x的函数表达式为． （3）解：∵当刹车距离为时， ∴， 解得：，（舍去）， ∴ ∴停车距离约为． 4.（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 5.（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【答案】(1)，， (2)抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为； (3) 【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可； （3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得． 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； （2）解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； （3）解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 6.（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第14讲 二次函数与实际问题 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点 二次函数与实际问题 题型01 销售问题 题型02 图形问题 题型03 方案选择问题 题型04 拱桥问题 题型05 隧道问题 题型06 喷水问题 题型07 小球运动轨迹问题 题型08 图形运动问题 题型09 其它问题 05·重难突破·思维进阶难 24 突破一 新情境问题 突破二 新考法问题 06·优题精选·练能提分 32 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 抛物线型实际问题（拱桥、轨迹等） / / 能识别实际问题中的二次函数关系，建立二次函数模型解决最值、轨迹等问题。 最优化问题（最大利润、最小成本等 / / 能将实际问题抽象为二次函数最值问题，通过顶点公式或配方法求解最优解。 几何图形中的二次函数关系 湖南省卷T26 长沙市卷T24 湖南省卷T25长沙市卷T25 能在几何图形中建立动点坐标与线段长度、面积的二次函数关系。 综合型实际问题建模 / / 能处理多变量、多条件的复杂实际问题，建立合理的二次函数模型。 命题预测 1. 基础应用稳定（6-8分） 抛物线型问题：拱桥、投篮轨迹、喷泉路径等实际问题；简单最值问题：矩形面积最大、利润最大等直接应用 2. 跨学科应用强化（8-10分） 物理情境：抛体运动、弹簧形变等；经济问题：成本收益分析、定价策略等；地理测量：距离计算、角度测量等 3. 几何综合突出（10-12分） 动点轨迹问题：坐标系中动点形成的抛物线；几何最值问题：三角形、四边形等图形中的最值；存在性问题：满足特定条件的点的存在性判断 4. 创新建模可能（压轴题，10-15分） 多变量建模：含多个变量的优化问题；分段函数模型：不同条件下不同的二次函数关系；参数讨论问题：含参数的实际问题求解。 备考建议 1. 强化建模训练：熟悉常见实际场景（利润、面积、抛射体）的函数模型，掌握 “设变量→列关系式→确定自变量范围” 的步骤； 2. 聚焦最值求解：重点练习顶点式求最值，注意验证顶点是否在实际取值范围内（若不在，需比较区间端点值）； 3. 关注细节条件：实际问题中常隐含自变量的限制（如边长为正、销量非负），需养成先确定范围再求解的习惯； 4. 积累典型题型：总结利润问题（单价、销量、成本的关系）、面积问题（几何图形的边长约束）的解题模板，提升解题效率。 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 1.（2025·湖南永州·二模）五一期间，大润发商场新上市了一款童装，进价每件80元，现以每件120元销售，每天可售出20件，在试销售阶段发现，若每件童装降价1元，那么每天就可多售2件，设每件童装单价降价了x元． (1)请写出每天销售该款童装的利润y（元）与每件童装降价x（元）之间的函数关系式； (2)当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 2.（2025·湖南·模拟预测）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，求水面宽度．      3.（2025·湖南长沙·一模）北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离/m 6 7 7.5 竖直高度/m 10 10 6.25 根据上述数据，求出与的函数关系式； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，设她平时训练时入水点与原点的水平距离为m，比赛当天入水点与原点的水平距离为m，请比较与的大小． 4.（2024·湖南岳阳·模拟预测）某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 的水池，且需保证总种植面积为，试分别确定，的长； (2)方案二：如图2，在Ⅰ区保留面积为 的水池且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大总种植面积为多少？ 5.（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，平分交于点，点在的延长线上，满足. (1)求证：与相切； (2)在下列两个等式中，正确的请在相应的括号中打“√”，错误的打“×”，并选择其中一个正确的等式进行证明； ①（    ）；②（    ）； (3)设的面积为，的面积为，若，，试求关于的函数关系式，并求当为何值时，的值最大. 命题点 二次函数与实际问题 ►题型01 销售问题 利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 【典例】（2025·湖南常德·一模）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售．设一次性销售利润为y元，一次性销售量为x千克． (1)当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？ (2)当一次性销售量为时，求一次性销售利润y的最大值． 【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）衡山红脆桃，湖南省衡阳市衡山县特产，全国农产品地理标志，衡山红脆桃为早熟品种，肉质甜脆爽口，成熟果肉血红色、多汁、离核，深受人们喜爱．某特产批发店以30元/箱的价格购进了一批衡山红脆桃，根据市场调查发现：售价定为58元/箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱，每天的利润w（元）与每箱降价x（元）之间的函数表达式为 ． 【变式2】（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）某超市销售一种儿童玩具，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为10元时，每天的销售量为100件；当每件售价为12元时，每天的销售量为90件． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该超市销售这种儿童玩具每天获得360元的利润，则每件儿童玩具的售价为多少元？ (3)设该超市销售这种儿童玩具每天获利元，则当每件儿童玩具的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ ►题型02 图形问题 求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式. 在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边. 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图1，四边形中，，为的中点，为边上一动点，连接并延长至点，使得，连接． (1)四边形一定是___________（填特殊四边形的名称）； (2)若当运动到的中点时，四边形是矩形．设，试求的值； (3)若，，，是否存在这样的点，使得四边形为矩形，若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·湖南湘西·一模）如图所示，矩形的边在的边上，顶点，分别在边，上.已知，，，设，矩形的面积为，则关于的函数关系式为 .（不必写出定义域） 【变式2】（2025·湖南株洲·模拟）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大． 【变式4】（2024·湖南长沙·模拟预测）某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． (1)若无盖纸盒的底面积为，则剪掉的小正方形的边长为多少？ (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 【变式5】（2024·湖南衡阳·二模）（1）问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直角边的长分别是_______、_______时，直角三角形的面积最大； （2）问题解决：如图①，在一个的内部作一个矩形，其中点A和点D分别在两直角边上，在斜边上，，，矩形面积最大是多少？在解决这个问题时，有一位爱动脑筋的同学通过作辅助线进行了转化，如图①，过点D作，所以，又因为四边形是矩形，所以，于是，那么求矩形的面积最大，就可以转化为求平行四边形的面积最大，设平行四边形的边，平行四边形的面积为，请你按这个思路继续完成这问题； （3）问题拓展：如图②，矩形中，，，点E是边上的动点（点E与A、D两点不重合），连接、，点F是边上的动点，过F作交于G，求面积最大值．    ►题型03 方案选择问题 【典例】（2025·湖南武冈·模拟预测）为提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形是矩形，分别以边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为，矩形的边长．（注：取） (1)试用含x的代数式表示y； (2)现计划在矩形区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元； ①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式； ②该工程要求矩形的边的长不超过长的，政府计划投入万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由？ 【变式1】（2025·湖南·模拟）某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求： (1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元? (2)要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案． 【变式2】（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【变式3】（2025·湖南常德·模拟）科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案： 方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边靠着现有墙体； 方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且． 两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题： (1)对于方案1，设． ①求的长度（用含x的代数式表示）； ②求的最大值； (2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由． ►题型01 拱桥问题 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题. 【典例】（2025·湖南·模拟预测）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离是24m，则警示灯E距水面的高度为（     ） A．12m B．11m C．10m D．9m 【变式3】（2025·湖南岳阳·模拟）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．若每条龙舟赛道宽度为9米，则通过拱桥的龙舟赛道最多可设计 条． 【变式4】（2024·湖南·模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．如图，大棚跨度，拱高． 同学们讨论出两种设计方案： 方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作于点D交圆弧于点C．连接． 方案二，设计成抛物线型，如图2，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求方案一中圆的半径； (2)求方案二中抛物线的函数表达式； (3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即．在大棚内需搭建高的植物攀爬竿，即，于点P，于点Q，与交于点K．请问哪种设计的种植宽度要大些?（不考虑种植间距等其他问题，且四边形是矩形） ►题型05 隧道问题 判断货车能否安全通过隧道的方法: 1）固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高(相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高的值比较大小). 2）固定货车的高，看抛物线形的隧道是否足够宽(相当于已知y的值，根据函数解析式求x的值，再与限制的宽的值比较大小). 【典例】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【变式1】（2026·湖南长沙·月考）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】 一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图． 【解决问题】 已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【拓展应用】 该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题： （3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值． （4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数． ►题型06 喷水问题 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． (1)若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； (2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 【变式1】（2025·湖南张家界·一模）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）1米，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图①，是可移动的灌溉装置，以水平地面方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，如图②所示．其水柱的高度y（单位：m）与水柱距喷水头的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式．在图②中，若水柱在某一个高度时总对应两个不同的水平位置，则x的取值范围是 ．    【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，线段表示水池的宽，米，以边缘点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，在O处安装一根带喷头A的水管（喷泉装置的粗细忽略不计），从A喷出的水注可抽象为二次函数，且水注的形状大小与喷头的高度无关．已知水注在与点O水平距离1米处达到最高，要使水注落点C不超出水池外，则喷头A的最大高度为 米． 【变式4】（2024·湖南长沙·模拟）如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观，喷出的水柱为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中，图2是其截面图，已知路面宽为3.5米，河道坝高为5米，B与A的水平距离为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为3米，以点O为坐标原点，射线为x轴正方向建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？ (3)水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上，当河水降至离路面距离为多少时，水柱刚好落在水面上？ ►题型07 小球运动轨迹问题 球类运动与抛物线息息相关，如球的运动轨迹、速度变化等.因此可构建适当的函数模型，并运用抛物线的相关性质解决实际问题. 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为（不考虑小球落地后再弹起），则的取值范围是 ． 【变式1】（2024·湖南长沙·一模）掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． (1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； (2)求满足条件的抛物线的解析式； (3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【变式2】（2025·湖南怀化·模拟）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：米）与飞行时间t（单位：秒）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15米时，需要多少飞行时间？ （2）在飞行过程中，小球飞行高度何时达到最大？最大高度是多少？ 【变式3】（2024·湖南长沙长郡·三模）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ ►题型08 图形运动问题 【典例】（2025·湖南益阳·模拟）图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 【变式1】（2024·湖南张家界·模拟）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形，B点坐标为，A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为，连结，点E、点F分别从A点、B点出发，在上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作交x轴于H点，交y轴于G点，连结、，在运动过程中，的最大面积为 ． 【变式2】（2025·湖南永州·模拟）如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ，当时，x的值为 ． 【变式3】（2025·湖南长沙·模拟）我们知道，若矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，在艺术上和生活中也被广泛应用．    (1)将矩形的短边长度设为，长边长度设为，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”） ①若，则该矩形是黄金矩形；（   ） ②若该矩形是黄金矩形，且，则该矩形的面积是；（  ） ③若该矩形是黄金矩形，外接圆半径为，则一定是．（  ） (2)如图1，将一张矩形纸片进行如图所示的操作：①沿对角线折叠，得到折痕；②折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；③过点折叠纸片，使点分别落在边上，展开得到折痕，折痕与折痕交于点．如果矩形是一个黄金矩形，其中． ①求证：； ②求的余弦值． (3)如图2，在中，高为，，，矩形的一边在边上，分别在上，交于点，且矩形是黄金矩形．该矩形以每秒1个单位的速度沿射线匀速向上运动（当矩形的边到达点时停止运动），设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围． 【变式4】（2025·湖南长沙·月考）在中，，点从点沿方向以的速度运动，同时点从点沿方向以的速度运动，连接．设运动时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)求四边形的面积与的关系式，并求出为何值时，最大，并求出最大值． (3)是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式5】（2025·湖南岳阳·模拟）已知：与中，，，，，．现将与按图1的方式摆放，使点与点重合，点、（E）、在同一条直线上，并按如下方式运动． 运动一：如图2，从图1的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动； 运动二：在运动一的基础上，如图3，绕着点C顺时针旋转，与交于点Q，与交于点P，此时点Q在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转； 运动三：在运动二的基础上，如图4，以的速度沿向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题∶ (1)在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 s； (2)在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为S（），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． ►题型9 其它问题 【典例】（2024·湖南常德·一模）刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差，与锅的水平距离，锅的半径．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度不可能为（提示：，，水平移动距离）（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）（）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为（    ） A．37.5° B．40° C．52.5° D．55° 【变式2】（2025·湖南张家界·一模）在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第 天亚硝酸盐含量最高． 【变式3】（2025·湖南衡阳·模拟）一般情况下，人体能够承受的安全电流为，电功率P（单位：）与电流I（单位：），电阻R（单位：）之间的公式为，已知人体电阻阻值约为，当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电流 （填“已”或“未”）超过人体能承受的安全电流． 【变式4】（2025·湖南湘西·模拟）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 ． 【变式5】（2025·湖南武冈·模拟）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 突破一 新情境问题 【典例】【问题情境】：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且．榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 【方案实施】学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩7m篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； (2)求篱笆材料恰好用完时与之间的距离； 【变式1】综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班仔浩发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片(如图)，并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图所示，以仔浩的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球(P)出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球(P)恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度(n米)满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，仔浩在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)写出仔浩初次投篮时篮球的运动轨迹抛物线，并通过计算判断是否能命中篮筐？ (2)该班数学兴趣小组同学对仔浩的初次投篮数据进行研究后，让仔浩同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值(保留根号) (3)在比赛过程中，仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，仔浩此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？ 【变式2】【问题情境】综合与实践小组的同学到医学院参加活动，对、两种药物在注射后几小时内的微量元素的浓度变化情况展开了探究，并以此为课题，研究系列问题． 数据获取：待测量对象注射药物结束时，用微量元素测量仪器测量并记录其微量元素浓度变化情况，直至仪器显示其微量元素浓度持续稳定在某一小范围内（），无较大幅度变化时停止记录，得到注射药物后几小时内的微量元素的浓度变化（单位：）与时间（单位：）的曲线图如下． 【初步探究】 (1)观察图象推断，正常情况下人体的微量元素可能是（　　） A． B． 【问题解决】已知段微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作抛物线，且其函数解析式为． (2)求段抛物线的函数解析式； (3)该测量对象注射药物后多久时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是多少？ 【拓展应用】 信息1：第二次测量时，该测量对象注射药物，通过测量发现，微量元素的浓度的最大值比注射药物高，且达到最大值的时间比注射药物延长了1小时（已知第二次测量时微量元素的浓度变化曲线仍是抛物线且经过点）． 信息2：注射药物后，微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作过点的射线（其中）．若注射药物生效后（），微量元素的浓度高于微量元素的浓度时为药物有效时间，记药物的有效时间为，药物的有效时间为，由于不同的病毒会导致注射药物后微量元素的浓度函数中的值不同，临床上通常比较与的大小进行决策． (4)请帮助综合实践小组的同学求出注射药物后的微量元素的浓度函数，并直接写出当时的值． 【变式3】综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 【变式4】［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 突破二 新考法问题 【典例】【发现问题】    “速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化． 【提出问题】 叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据： 第一层杯子的个数 杯子的总数 然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式． 【解决问题】 （1）直接写出与的关系式； （2）现有个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数； （3）杯子的侧面展开图如图4所示，，分别为上、下底面圆的半径，所对的圆心角，．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．（提示：杯子下底面圆周长与AB的长度相等） 【变式1】综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 【变式2】用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【变式3】为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【变式4】综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 1.（2024·湖南长沙·模拟预测）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，刹车距离与时间的关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（　　）． A．13 B．14 C．15 D．16 2.（2024·湖南株洲·二模）如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解析式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米．（可用含根号的式子表示） 3.（2024·湖南·模拟预测）小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间 秒时，篮球距离地面最高． 4.（2025·湖南·模拟预测）有长为24米的篱笆，一边利用墙（墙的最大可用长度为米），围成如图所示的花圃，则能围成的花圃的最大面积为（    ）平方米． A．40 B．48 C． D． 5.(2026·湖南湘潭·月考)如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6.（2025·湖南·模拟预测）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是(   ) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 7.（2024·湖南·一模）如图，四边形为菱形，为上一点，的垂直平分线交于点F，若，记的面积最大值为S，周长最小值为l，则（    ） A． B． C． D． 8.（2025·湖南长沙·模拟预测）某校数学活动小组用20米长的围栏，在学校劳动基地围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，大家提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形，正五边形这四种方案，这四种方案你认为最佳方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 9.（2025·湖南长沙·模拟）【问题背景】某科研机构计划种植一种药材，收集信息如下： 单位面积产量（单位：亩）与种植面积（单位：亩）的关系为：； 种植成本（单位：万元）与种植面积（单位：亩）的关系为：； 销售价格：万元． 【问题解决】 (1)求总产量为时的种植面积（总产量单位面积产量×种植面积）； (2)求该科研机构种植这种药材能获的最大利润（利润销售额种植成本）； (3)该科研机构计划种植这种药材的成本不超过180万元，所获利润不低于300万元，直接写出种植面积的范围． 10.【综合与实践】 【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据． 【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示： 任务一：求出函数表达式 （1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下随变化的函数关系，发现场景的图象是抛物线的一部分，场景的图象是直线的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式； 任务二：探究该化学试剂的挥发情况 （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场影下发挥作用的时间更长? 任务三：探究化学试剂对人体的影响情况 （3）因化学试剂对人体是有一定的影响的，若试剂挥发过程中剩余质量不大于1克对人体影响最小，则哪个场景影响时间最少? 11.（2025·湖南长沙·三模）如图，在等腰直角中，，点是斜边上一动点（不与点重合），连接，以为直角边在右侧构造等腰直角，，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，点从点运动到点， ①设，，求关于的函数关系式，并写出最大值； ②的外心所经过的路径长为_____； (3)记的面积为，的面积为，若，求的正切值． 1.（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 2.（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 3.（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 4.（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 5.（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 6.（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $