精品解析：上海市行知中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

上海市行知中学2025学年第一学期期末考试 高一年级数学试卷 一、填空题（本题满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 设集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义可得集合. 【详解】因为集合，，则. 故答案为：. 2. 不等式的解集为_______. 【答案】 【解析】 【分析】应用一元二次不等式计算求解. 【详解】因为，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3. 若幂函数的图像经过点，则实数_______. 【答案】 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数解析式解方程求即可. 【详解】因为幂函数的图象经过点， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 4. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】. 5. 已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为______rad. 【答案】 【解析】 【分析】直接代入扇形面积公式，通过代数运算求解圆心角. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，面积为， 则，代入，，得， 解得. 故答案为： 6. 已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】令，根据条件得，即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为：. 7. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原走马，易放难收，”《增广贤文》是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是10%，那么“进步”的是“退步”的100倍需要至少经过______天.（结果为整数）（参考数据：）. 【答案】23 【解析】 【分析】由题意列出相应不等式，结合对数运算，即可求得答案. 【详解】设经过x天后，“进步”的是“退步”的100倍以上 依题意可得，即， ∴（天）． 故最少要经过23天 故答案为：23 8. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理得出，分析可知或，可得出关于的不等式或等式，即可解得的取值范围. 【详解】因为，，由正弦定理 得，即， 因为，要使三角形有唯一解， 所以或，所以或， 即或，解得或， 所以的取值范围为 故答案为：. 9. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】通过凑角，利用诱导公式和同角三角函数关系式计算即得. 【详解】因，则， 又，则， 故. 故答案为： 10. 已知，，，且，则下列命题中正确的是____. （1）的最大值为；（2）的最小值为； （3）的最小值为；（4）. 【答案】（1）（3） 【解析】 【分析】对于（1）和（2），根据条件，利用基本不等式，即可求解；对（3）根据条件得，即可求解；对（4），根据条件，利用作差法，即可求解. 【详解】对于命题（1），因为，，且， 则，当且仅当，即时取等号， 所以命题（1）正确， 对于命题（2），因为， 当且仅当，即时取等号，所以命题（2）错误， 对于命题（3），因为，则，且，即， 所以， 当时，取到最小值，所以命题（3）正确， 对于命题（4），因为，则， 又，，，则，所以，即， 所以命题（4）错误， 故答案为：（1）（3）. 11. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】画出的函数图象，设，根据对数函数以及二次函数可得，，进而求出范围. 【详解】如图所示为的函数图象，其中，，， 设，则， 因为，所以， 则，则， 又，即的两根为，则， 则， 故的取值范围为. 故答案为： 12. 已知在上的非严格递增函数，满足，，如果存在上述要求函数及实数，满足，则m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意整理可得：对任意正整数，有，分类讨论，的取值范围，根据分段函数定义运算，再利用反证法，结合函数单调性求解范围，并举例分析存在性. 【详解】因为，即， 则对任意正整数，有， 所以对任意正整数，有， 因为，则有： 1.当时，则， 可得，不成立； 2.当时，则， 可得， 则， 3.当时，则， 可得，不成立； 4.当时，则， 可得， 则. 5.当时，则， 可得，不成立； 综上可知，函数需要存在满足，或存在满足. ①证明：若存在满足，则. 假设，则， 由是上的非严格递增函数， 则， 则，这与矛盾； 假设，则， 由是上的非严格递增函数， 则， 则，这与矛盾； 故； 下面举例说明当时，存在函数及满足题意. 例：当时， 令函数，，，可知满足. 存在， 则， 所以， 满足； 当时， 令，，，可知满足. 存在， 则， 所以， 满足； ②证明：若存在，满足，则， 假设，则，， 由是上的非严格递增函数， 则， 则，这与矛盾； 假设，则，， 由是上的非严格递增函数， 则， 则，这与矛盾； 故； 下面举例说明当时，存在函数及满足题意. 例：当时， 令，，，可知满足. 存在， 则， 所以， 满足； 当时， 令，，，可知满足. 存在， 则， 所以， 满足； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例可判断，根据不等式的基本性质，可判断B，进而得到答案． 【详解】对于A，令，满足， 此时，，故A错误； 对于B，由，两式相加得，故B正确； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 故选：B 14. 若，且，则是（ ） A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 【答案】B 【解析】 【分析】判断出角的正余弦的正负，进而可得答案. 【详解】由，得， 所以角位于第二象限的角. 故选：B 15. 设，是定义在上的两个函数，若对于任意，有恒成立，下列四个命题正确的是（ ） A. 若是奇函数，则也一定是奇函数 B. 若是偶函数，则也一定是偶函数 C. 若是上的严格增函数，则在上一定是严格减函数 D. 若存在非零常数m，使得对任意都满足成立，则对任意都满足也成立 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件，再结合函数的奇偶性、单调性和周期性的定义来逐一分析各个选项. 【详解】选项A：已知是奇函数，则， 令，，则， 由可得， 仅根据此式不能得出，所以不能确定是奇函数，A错误. 选项B：已知是偶函数，则， 令，，则， 由可得， 仅根据此式不能得出，所以不能确定是偶函数，B错误. 选项C：若 严格递增，即 （）， 则 ， 但 的单调性无法确定， 如 ， 时， 为常数函数，C错误. 选项D：已知存在非零常数，使得对任意都满足成立， 则是周期为的周期函数， 令，，则， 由可得， 即，所以， 令替换为，可得，D正确 故选：D. 16. 已知函数满足，且当时，，现有如下四个命题：①为奇函数；②若，则；③若，则；④若，则，则其中为假命题的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据赋值法可得，，进而可得，即可判断①，根据函数单调性的定义可判断在上为减函数，即可求解②，代值逐步求解即可判断③④. 【详解】令，，，所以. 令，，，则. 令，得，故为偶函数．①错误； 任取，，，则， 则，故在上为减函数． 由已知，可得， 故，解得，且，②错误； 若，则，， ，③正确； 若，则，， ，所以，故④错误， 故选：C． 三、解答题（本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤） 17. 记关于的不等式的解集为A，不等式的解集为B. （1）若，求A. （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式求解； （2）先将分式不等式转化为一元二次不等式，再分、、三种情况求集合，再根据求解. 【小问1详解】 若，则，即，即，得， 则. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以，得，即， 可化为，即， 若，则，则，故； 若，则，符合题意； 若，则，则，故， 综上，实数a的取值范围为. 18. 已知常数，函数，其中， （1）函数是否为奇函数，若是请证明；若不是，请说明理由. （2）当，若函数在区间上的最大值为2，求实数的值. 【答案】（1） 由得，所以的定义域是，该区间关于原点对称. ， 故函数是奇函数. （2） 【解析】 【分析】（1）先确定定义域的对称性，再通过与的关系判断奇偶性； （2）化简函数后，分析内层函数的单调性，结合对数函数的单调性确定最值点，解方程求的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，. 令，. 在单调递减，在单调递增，故在单调递增. 因，单调递增，故在单调递增. ，解得，（）. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，， （1），求B. （2）若，，求的面积. （3），，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，代入等式结合诱导公式可得，利用二倍角公式求出即可求解； （2）由正弦定理可得，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为在中，， 由，可得， 即， 所以，解得：或， 因为，所以，故 所以 【小问2详解】 因为，由正弦定理可得：， 所以的面积 【小问3详解】 由，可得， 由余弦定理可得：， 即，解得： 20. 已知函数，其中. （1）若，且，求x的值. （2）若函数为偶函数，若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围. （3）已知函数在区间上是奇函数，在上是偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将得，由即可求解； （2）根据函数为偶函数求出函数的解析式，求出函数在的值域为，将不等式在上有解转化为在上有解即可求解； （3）求出函数的解析式，计算出函数的值域，再考虑，两种情况，分别计算即可求解. 【小问1详解】 时，， ，即，解得， 故x的值为. 【小问2详解】 因为函数为偶函数， 所以，即， 整理得，解得，即， 当时，令，，为对勾函数，所以， 所以， 在上有解，即在上有解， ，则，所以， 故实数m的取值范围为. 【小问3详解】 因为在区间上是奇函数，所以有，即， 整理得，解得，即，， 由（2）知，， 所以， ①当时，令，，由反比例函数与一次函数的单调性得函数在上单调递增，所以； ②当，令，，为对勾函数，所以； 所以的值域为， 对于上的任意实数，，，不等式恒成立，则 （i）当时，， ，解得， （ii）当时，， ，解得， 综上，的取值范围是. 21. 如果函数满足：对于任意，均有，其中为常数，则称函数在D上具有性质. （1）分别判断函数，，是否在上具有性质，并说明理由. （2）设函数在具有性质，对任意的实数，求证：函数具有性质. （3）若在闭区间上具有，且，求证：对任意的都有. 【答案】（1）函数在上具有性质，函数，在上不具有性质 （2） 函数在上具有性质， 即对于任意，均有成立， 故对任意的实数，，则， 设，则 ， 故函数具有性质； （3） 若在闭区间上具有，且， 则对于任意，， 当时，则， 当时，不妨设，则， 由，得， 由三角不等式可得：， 由于在闭区间上具有，则， 得到， 所以， 由于，则， 得到， 所以当时，有. 综上，对任意的，都有. 【解析】 【分析】（1）（2）利用函数在D上具有性质.的定义依次判断即可； （3）根据题意可得对于任意，，当，可得，当时，由结合三角不等式即可证明. 【小问1详解】 函数在上具有性质，函数，在上不具有性质，理由如下： 对于函数，对于任意，， 故不等式成立，所以函数在上具有性质， 对于函数，，则， 不满足，所以函数在上不具有性质， 对于函数，则， 不满足，所以函数在上不具有性质， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市行知中学2025学年第一学期期末考试 高一年级数学试卷 一、填空题（本题满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 设集合，，则______. 2. 不等式的解集为_______. 3. 若幂函数的图像经过点，则实数_______. 4. 已知，则______． 5. 已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为______rad. 6. 已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 7. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原走马，易放难收，”《增广贤文》是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是10%，那么“进步”的是“退步”的100倍需要至少经过______天.（结果为整数）（参考数据：）. 8. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 9. 已知，则______. 10. 已知，，，且，则下列命题中正确的是____. （1）的最大值为；（2）的最小值为； （3）的最小值为；（4）. 11. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围为______. 12. 已知在上的非严格递增函数，满足，，如果存在上述要求函数及实数，满足，则m的取值范围是______. 二、选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 若，且，则是（ ） A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 15. 设，是定义在上的两个函数，若对于任意，有恒成立，下列四个命题正确的是（ ） A. 若是奇函数，则也一定是奇函数 B. 若是偶函数，则也一定是偶函数 C. 若是上的严格增函数，则在上一定是严格减函数 D. 若存在非零常数m，使得对任意都满足成立，则对任意都满足也成立 16. 已知函数满足，且当时，，现有如下四个命题：①为奇函数；②若，则；③若，则；④若，则，则其中为假命题的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 三、解答题（本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤） 17. 记关于的不等式的解集为A，不等式的解集为B. （1）若，求A. （2）若，求实数a的取值范围. 18. 已知常数，函数，其中， （1）函数是否为奇函数，若是请证明；若不是，请说明理由. （2）当，若函数在区间上的最大值为2，求实数的值. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，， （1），求B. （2）若，，求的面积. （3），，求. 20. 已知函数，其中. （1）若，且，求x的值. （2）若函数为偶函数，若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围. （3）已知函数在区间上是奇函数，在上是偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 21. 如果函数满足：对于任意，均有，其中为常数，则称函数在D上具有性质. （1）分别判断函数，，是否在上具有性质，并说明理由. （2）设函数在具有性质，对任意的实数，求证：函数具有性质. （3）若在闭区间上具有，且，求证：对任意的都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $