专题04 导数及其应用（高频考点专练）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题04 导数及其应用 目录 高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（8大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 求曲线上一点处的切线方程（） 题型二 利用导数求函数的单调区间（含参与不含参）（） 题型三 由函数在区间上的单调性求参数（） 题型四 函数的极值（） 题型五 函数的最值（） 题型六 利用导数证明不等式（） 题型七 利用导数研究不等式恒成立问题（） 题型八 利用导数研究函数零点问题（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升） 有关导数的北京高考试题，导数小题一般以课程学习情境为主,突出基础性;大题一般以探索创新情境为主,突出综合性,作为载体的指数函数、对数函数、三角函数应引起足够的重视.在备考时应注意以下两点: (1)利用导数的几何意义解决与函数的切线有关的问题、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题要侧重通性通法,含参的讨论要准确把握住分类标准,有条不紊地进行分类讨论;(2)不等式恒(能)成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题,要侧重函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法的渗透,加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养 基础知识必备：熟练掌握导数的切线、极值、最值问题；掌握恒成立、单调性及证明不等式 2026高考预测：导数小题一般切线最值及极值,突出基础性，大题一般侧重单调性、恒成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题 重难知识汇总： 1.导数运算问题 ①几个常用函数的导数 (c为常数) ②基本初等函数的导数公式 ③简单函数导数的运算法则 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方 ④复合函数的导数 定义：一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作 求导：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积 简称：由外到内依次求导 2.函数的单调性 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。 (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。 (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。 3.函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 注：求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 4.函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 常用技巧方法： 1.利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． ①在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． ②过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 2.有关可导函数单调性问题 ①．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： 单调递增；单调递增；单调递减；单调递减. ②利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 ①由函数在区间上单调递增(减)可知 ()在区间上恒成立列出不等式； ②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； ③对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值． 3讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 4.函数恒成立问题 恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 5.函数零点问题 函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 6.导数证明不等式问题 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 易错避坑提效： 1.对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚 解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。 2.对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻 一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。 3.误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系 在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号。 题型一 求曲线上一点处的切线方程 【例1】（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·北京海淀·一模）已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·北京朝阳·一模）已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 . 【变式1-3】（2025·北京西城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围． 题型二 利用导数求函数的单调区间（含参与不含参） 【例2】（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【变式2-1】（2025·北京·三模）设函数 ，且在处的切线方程为. (1) 求k的值； (2) 求的单调区间； (3) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由. 【变式2-2】（2025·北京延庆·一模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)若，且，证明：. 【变式2-3】（2022·北京顺义·二模）若函数. (1)判断方程解的个数，并说明理由； (2)当，设，求的单调区间. 题型三 由函数在区间上的单调性求参数 【例3】（2024·北京朝阳·模拟预测）已知函数在上是增函数，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·北京石景山·一模）设函数， ①若有两个零点，则实数的一个取值可以是 ； ②若是上的增函数，则实数的取值范围是 ． 【变式3-2】（2025·北京朝阳·二模）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 【变式3-3】（2025·北京·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)当时，求在处的切线方程; (2)若在区间上不是单调函数，求的取值范围； (3)若当时，恒成立，求的取值范围. 题型四 函数的极值 【例4】（24-25高三上·北京海淀·期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-1】（2024·北京大兴·三模）已知函数，则下列命题不正确的是（   ） A．当时，有唯一极小值 B．存在定直线始终与曲线相切 C．存在实数a，使为增函数 D．存在实数a，使为减函数 【变式4-2】（2025·北京海淀·三模）已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 【变式4-3】（2025·北京·二模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线经过点，求的值； (2)证明：函数存在极小值； (3)记函数的最小值为，求的最大值． 题型五 函数的最值 【例5】（2025·北京·模拟预测）已知函数，则（   ） A．函数没有零点 B．函数有最小值 C．在上单调递增 D．存在，对任意，有 【变式5-1】（2024·北京顺义·三模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，，则下列命题不正确的是（    ） A．有且只有一个极值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值 【变式5-2】（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 【变式5-3】（2025·北京昌平·二模）已知函数，其中． (1)当时， ①若，求函数的最大值； ②若直线是曲线的切线，且经过点，证明：； (2)当时，若是函数的极小值点，求的取值范围． 题型六 利用导数证明不等式 【例6】（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求证：是上的单调递减函数； (3)求证：当时，. 【变式6-1】（2024·北京昌平·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最小值； (3)若，当时，求证：． 【变式6-2】（2024·北京石景山·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)当时，求证：． 【变式6-3】（2024·北京·三模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：．（且） 题型七 利用导数研究不等式恒成立问题 【例7】（2025·北京·模拟预测）已知函数，，. (1)求函数的极值； (2)若恒成立，求实数的最小值. 【变式7-1】（2025·北京大兴·三模）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若恒成立． ①求实数的值； ②判断方程的根的个数，并说明理由． 【变式7-2】（2025·北京石景山·一模）已知函数． (1)若， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若实数使得对恒成立，求的取值范围． 【变式7-3】（2024·北京通州·二模）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 题型八 利用导数研究函数零点问题 【例8】（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 【变式8-1】（2025·北京·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)①求证：只有一个零点； ②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围. 【变式8-2】（2025·北京通州·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)曲线在点处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值； (3)若有两个根，，写出a的范围并证明. 【变式8-3】（2025·北京朝阳·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求证：当时，； (3)若函数有个不同的零点，求的取值范围． （限时训练：15分钟） 1．（2025·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·模拟预测）已知函数 ，则 的极值点的个数情况可能为 （   ） A．没有极值点 B．有无穷多个极值点 C．恰有 2025 个极值点 D．恰有 2026 个极值点 3．（2025·北京丰台·一模）已知函数，当时， ；若在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 4．（2025·北京延庆·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①，使得关于直线对称； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中所有正确的结论的序号是 . 5．（2024·北京·模拟预测）已知，则的最小值为 ． 6．（2024·北京·三模）设函数，给出下列四个结论： ①当时，函数有三个极值点； ②当时，函数有三个极值点； ③，是函数的极小值点； ④，不是函数的极大值点． 其中，所有正确结论的序号是 ． 7．（2025·北京·三模）已知函数，，． (1)若在点处的切线平行于直线：，求的值； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：对任意，恒有成立． 8．（2025·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在处的切线的倾斜角； (2)若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数及其应用 目录 高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（8大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 求曲线上一点处的切线方程（） 题型二 利用导数求函数的单调区间（含参与不含参）（） 题型三 由函数在区间上的单调性求参数（） 题型四 函数的极值（） 题型五 函数的最值（） 题型六 利用导数证明不等式（） 题型七 利用导数研究不等式恒成立问题（） 题型八 利用导数研究函数零点问题（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升） 有关导数的北京高考试题，导数小题一般以课程学习情境为主,突出基础性;大题一般以探索创新情境为主,突出综合性,作为载体的指数函数、对数函数、三角函数应引起足够的重视.在备考时应注意以下两点: (1)利用导数的几何意义解决与函数的切线有关的问题、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题要侧重通性通法,含参的讨论要准确把握住分类标准,有条不紊地进行分类讨论;(2)不等式恒(能)成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题,要侧重函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法的渗透,加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养 基础知识必备：熟练掌握导数的切线、极值、最值问题；掌握恒成立、单调性及证明不等式 2026高考预测：导数小题一般切线最值及极值,突出基础性，大题一般侧重单调性、恒成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题 重难知识汇总： 1.导数运算问题 ①几个常用函数的导数 (c为常数) ②基本初等函数的导数公式 ③简单函数导数的运算法则 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方 ④复合函数的导数 定义：一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作 求导：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积 简称：由外到内依次求导 2.函数的单调性 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。 (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。 (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。 3.函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 注：求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 4.函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 常用技巧方法： 1.利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． ①在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． ②过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 2.有关可导函数单调性问题 ①．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： 单调递增；单调递增；单调递减；单调递减. ②利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 ①由函数在区间上单调递增(减)可知 ()在区间上恒成立列出不等式； ②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； ③对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值． 3讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 4.函数恒成立问题 恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 5.函数零点问题 函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 6.导数证明不等式问题 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 易错避坑提效： 1.对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚 解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。 2.对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻 一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。 3.误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系 在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号。 题型一 求曲线上一点处的切线方程 【例1】（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程. 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得切线方程为， 把原点代入方程，可得，即， 解得，所以切线方程为，即. 故选：A. 【变式1-1】（2024·北京海淀·一模）已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助分段函数性质计算可得，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得. 【详解】令，即时，，解得， 时，，无解，故， 设过点与曲线相切的直线的切点为， 当时，，则有， 有，整理可得，即， 即当时，有一条切线， 当时，，则有， 有，整理可得， 令， 则， 令，可得， 故当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 由， ，故在上没有零点， 又， 故在上必有唯一零点， 即当时，亦可有一条切线符合要求， 故. 故选：B. 【变式1-2】（2024·北京朝阳·一模）已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知，，再根据函数的取值，即可求解. 【详解】，由题意可知，， 即，所以，得，，， 或，得，，， 所以，，, 所以的一个取值为. 故答案为：(答案不唯一) 【变式1-3】（2025·北京西城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）当时，求出的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程； （2）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间； （3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数a的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a的不等式，综合可得出实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 所以， 曲线在点处的切线方程为， （2）当时，， 所以该函数的定义域为， ， 由，解得或， 所以当时，求函数的单调递减区间为， （3）因为， 则， 令，因为函数在区间上只有一个极值点， 则函数在上有一个零点， 当时，对任意的，，不合乎题意； 当时，函数在上单调递增， 因为，只需，合乎题意； 当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，只需，不合乎题意，舍去. 综上所述，实数a的取值范围是. 题型二 利用导数求函数的单调区间（含参与不含参） 【例2】（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的减区间为,增区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据导数即可判断单调区间； （3）构造函数对任意恒成立，据此根据导数求解即可. 【详解】（1）由，得， 则，又， 所以曲线在点处的切线为； （2）当时，， 所以， 令，则， 所以在单调递增，且， 所以当时，，则，函数单调递减， 当时，，则，函数单调递增， 所以函数的减区间为，增区间为； （3）设， 则， 因为时，所以为增函数， 又在上都是增函数， 所以函数在上单调递增，且， 当即时，， 所以函数在上单调递增，所以， 所以时，符合题意； ②当即时，，又， 当即时，恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 此时不符合题意； 当即时， 存在，使得， 且当时，，当时，， 即函数在上单调递减，此时，不符合题意； 综上所述，的取值范围是 【变式2-1】（2025·北京·三模）设函数 ，且在处的切线方程为. (1) 求k的值； (2) 求的单调区间； (3) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义可得，可得解； （2）利用导数求函数单调性； （3）求出切线方程，设，转化为在恒成立，再由二次函数性质可解. 【详解】（1）， 则， 解得； （2）， 令，得或， 当时，，所以函数在和上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为； （3）因为，所以，， 所以处切线方程为， 整理得：， 设， 则 ， 所以， 若在单调，则恒成立， 所以只有即或（舍）时，恒成立， 即在单调递增，所以. 【变式2-2】（2025·北京延庆·一模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)若，且，证明：. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为， (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出导数，再根据得出方程的根，列表即可求出函数单调区间； （3）求出，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值即可得证. 【详解】（1）由，所以 所以， 又， 所以曲线在处的切线方程为， 即 （2）由，定义域为， 令得或 因为，所以. 所以， 列表： 0 0 递减 递增 递减 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， （3）因为， 又，， 所以是方程的两个根. 依题意，有， 所以，即， 所以 ， 令，则， 令，则 因为，所以， 所以在上是增函数， 所以，所以在为减函数， 所以，即. 【点睛】关键点点睛：根据题意计算出是解题的第一个关键，再由二次求导判断出函数单调性，利用单调性求最值是解决问题的第二个关键所在. 【变式2-3】（2022·北京顺义·二模）若函数. (1)判断方程解的个数，并说明理由； (2)当，设，求的单调区间. 【答案】(1)仅有一个，理由见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题可得，进而可得函数的极大值为，即得； （2）由题可得，分，，讨论即得. 【详解】（1）方程仅有一个解， 因为， 所以， 令可解得， 所以单调性如下表： 单调递增 极大值 单调递减 又，即的极大值为， 所以方程仅有一个解； （2）因为， 所以， 令可得或 分类讨论如下：（i）当时， 所以的单调性如下 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调增区间为，，单调减区间为； （ii）当时，，此时恒成立 所以的单调增区间为，无单调减区间 （iii）当，， 所以的单调性如下 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调增区间为，，单调减区间为. 题型三 由函数在区间上的单调性求参数 【例3】（2024·北京朝阳·模拟预测）已知函数在上是增函数，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，对任意的，，令，则，可得出，利用参变量分离法可求出的最小值. 【详解】因为，则， 因为，令，则， 因为函数在上是增函数，则对任意的，恒成立， 即对任意的，，可得， 因为函数、在区间上为减函数， 所以，函数在上为减函数，则， 因此，实数的最小值为. 故选：B. 【变式3-1】（2024·北京石景山·一模）设函数， ①若有两个零点，则实数的一个取值可以是 ； ②若是上的增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 （内的值都可以） 或 【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解； ②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解. 【详解】①函数在上单调递增，， 所以函数在区间上无零点， 则函数在上有2个零点， 即，，则，或或，， 则，解得：， 所以的一个值是； ②函数在上单调递增， 则在上，也单调递增，且， 若函数在在区间单调递增， 则，即在区间上恒成立， 即，即， 不等式，解得：或， 综上可知，或. 故答案为：（内的值都可以）；或 【变式3-2】（2025·北京朝阳·二模）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断在的单调性进而求最大值即可； （2）求导，结合导数的几何意义按的不同取值范围分类讨论求解即可； （3）由极值点的概念可得，消去得（*），令，利用导数可得，当且仅当时取等号，又（*）等价于，解得，代入求出的值即可. 【详解】（1）若，则，， 当时，，所以在单调递减， 所以当时，取得最大值. （2）的定义域为， 当时，易知在区间上单调递减，符合题意； 当时，，设， 则，当时，，所以在区间上单调递减， ①若，即时，当时，，即， 此时在区间上单调递增，不符合题意； ②若，即时，， 所以存在唯一的使得， 当时，，即， 此时在区间上单调递减，符合题意； 综上，的取值范围为. （3）由题意可得即， 所以，即（*）， 设函数， ， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，当且仅当时取等号， 又（*）等价于，所以， 所以． 经检验，当时，存在极大值点且，符合题意， 所以． 【变式3-3】（2025·北京·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)当时，求在处的切线方程; (2)若在区间上不是单调函数，求的取值范围； (3)若当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，求得，得到，进而得到切线方程； （2）求得，令，得到，分和，两种情况讨论，结合函数在区间上不单调，得出不等式，即可求得的取值范围； （3）根据题意，转化为在区间上恒成立，令，求得，令，得到，得到，得到的单调性和最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：当时，函数，可得， 则， 所以 在 处的切线方程为，即. （2）解：由函数，可得， 令，则， 若，可得恒成立，则在上单调递增，不符合题意； 若，令，可得， 要使得函数在区间上不单调，则满足， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以实数的取值范围为. （3）解：当时，由恒成立，即， 即恒成立，即在上恒成立， 令， 可得， 令，则且， 所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为 题型四 函数的极值 【例4】（24-25高三上·北京海淀·期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】函数，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点； 若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得， 所以“”是“没有极值点”的充分必要条件. 故选：C 【变式4-1】（2024·北京大兴·三模）已知函数，则下列命题不正确的是（   ） A．当时，有唯一极小值 B．存在定直线始终与曲线相切 C．存在实数a，使为增函数 D．存在实数a，使为减函数 【答案】C 【分析】通过对函数求导，结合零点存在性定理可判断A；由题意可知、恒成立，即可求出切线方程，进而可判断B；由B中结论，可判断C；当时可利用导数判断出为减函数，可判断D. 【详解】对于A，当时，， ， 令，则， 由得或，由得， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， ，，， 所以在内存在唯一零点，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有唯一极小值，故A正确；     对于B，，因为，， 所以存在定直线始终与曲线相切，故B正确； 对于C，由B可知，不论为何值，恒成立，故不能为增函数， 故C错误； 对于D，当时，， 令，，令，则， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，所以， 所以是单调递减函数，故D正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题，（4）考查数形结合思想的应用 【变式4-2】（2025·北京海淀·三模）已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 【答案】(1)极大值点，极大值，无极小值点和极小值； (2) (3) 【分析】（1）求出导函数，得出单调性，进而求出极值和极值点情况； （2）求出，根据的值域确定出的正负性，进而得出单调性即可求最值； （3）将问题转化为使得成立，求的最小值即可. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点为，极大值为，无极小值点和极小值； （2）因， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 因，则，， 则存在使得， 故时，；时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 又，，则， 故函数在上的最小值为. （3）由题意可知，使得成立， 即使得成立， 又，则，即， 故a的取值范围为. 【变式4-3】（2025·北京·二模）已知函数，其中． (1)若曲线在点处的切线经过点，求的值； (2)证明：函数存在极小值； (3)记函数的最小值为，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)0 【分析】（1）由导数的几何意义确定切线方程，进而可求解； （2）通过二次求导，确定函数的单调性，即可求证； （3）由（2）得到，构造函数，求导确定单调性，进而可求解. 【详解】（1）求导，得， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为， 将点代入切线方程，得． （2）函数的定义域为． 设函数，则， 由，得， 所以函数在上单调递增， 因为， 所以存在唯一的，使得，即． 当变化时，与的变化情况如下： - 0 + 极小值 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 故函数存在极小值． （3）由（2）知，函数有最小值． 由，得． 所以． 设函数，则． 今，得（舍）或． 当变化时，与的变化情况如下： 1 + 0 - 极大值 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，，即当时，． 结合，知当时，． 由函数的导数，知其在区间上单调递减， 故当且仅当时． 所以当时，取得最大值0． 题型五 函数的最值 【例5】（2025·北京·模拟预测）已知函数，则（   ） A．函数没有零点 B．函数有最小值 C．在上单调递增 D．存在，对任意，有 【答案】B 【分析】根据判断A；利用导数判断函数单调性、求出函数最小值可判断BC；根据函数没有最大值判断D. 【详解】因为函数，， 所以函数至少有一个零点，A错误； 所以， 令，可得， 时，在上递减； 时，在上递增； 故在R上不单调递增，C错误； 所以时，有最小值，B正确； 因为的增长速度大于的增长速度，所以时，， 故不存在，对任意，有，D错误. 故选：B. 【变式5-1】（2024·北京顺义·三模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，，则下列命题不正确的是（    ） A．有且只有一个极值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值 【答案】C 【分析】由条件可得函数可以看作为函数与函数的复合函数，然后求导判断其单调性与极值，即可得到结果. 【详解】由得，令， 则函数可以看作为函数与函数的复合函数， 因为为增函数，所以与单调性、图象变换等基本一致， ， 由得，列表如下： 0 由表知，在上单调递减，在上单调递增， 在时，取得极小值（最小值）， 所以在上单调递增，即B正确； 在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是找到已知函数的同构函数，由此即可顺利得解. 【变式5-2】（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）把问题等价转为为证明在区间恒成立，设，利用导数研究其单调性，即可证明； （2）求导后，分和两种情况讨论，当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值，当，函数先减后增，有最小值，求解即可； （3）记，分和和时讨论，根据（1）（2）中得结论结合零点存在定理，推出和两类不等式矛盾，当时，，得出在单调递增，从而，满足题意，即可求解． 【详解】（1）在恒正， 则在区间恒成立等价于在区间恒成立． 取，，故在区间单调递增， 所以． 故原不等式恒成立． （2），， 当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 则的最小值为，令，，则，的单调递增区间是，单调递减区间是，． 即当时，的最小值为0， ． （3）记， 则当时，由（2）知，在上单调递减，所以． 对恒成立， 又当时，由（1）知，， 取时，， 则与已知不等式矛盾． 当时，， ，由（1）知， 当时，，取，则， 从而由函数零点存在定理知，存在，使， 当时，，在单调递减，，与已知不等式矛盾． 当时，， 在单调递增，从而，，满足题意． 综上可知． 【变式5-3】（2025·北京昌平·二模）已知函数，其中． (1)当时， ①若，求函数的最大值； ②若直线是曲线的切线，且经过点，证明：； (2)当时，若是函数的极小值点，求的取值范围． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2) 【分析】（1）把代入，①利用导数探讨单调性求出最大值；②设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过的点，结合一元二次方程有解推理得证. （2）求出导数，由给定的极小值点可得，且，构造函数，按最小值不小于0和小于0分类讨论求解. 【详解】（1）（i）当时，函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，且，在上单调递增，又 所以当时，函数的最大值为. （ii）设切点为，而，， 曲线在点处的切线方程为 由经过点，得，整理得， 由，得，所以. （2）函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极小值点，得，即， 则，令， 求导得，令，即，，得， 当时，；当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则， ①当时，即时，得，此时， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； ②当时，即时，则，而， 则存在，使，当时，， 因此不是函数的极小值点，不符合题意， 所以的取值范围为. 题型六 利用导数证明不等式 【例6】（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求证：是上的单调递减函数； (3)求证：当时，. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出，再计算得切点和切线斜率即可得到切线方程； （2）通过二次求导得，则，则是上的单调递减函数； （3）令，求导得，再利用放缩法得，最后再次放缩即可证明. 【详解】（1）依题意，． 又， 所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由（1）知，，， 所以. 令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递减，所以， 即，所以是上的单调递减函数. （3）令， 则， 由（2）知，在上单调递减， 所以当时，，此时，即在上单调递减， 所以，即， 当时，，，. 所以即， 所以即， 综上可得：当时，. 【变式6-1】（2024·北京昌平·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最小值； (3)若，当时，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再求出，最后利用点斜式写出直线方程再整理即可； （2）含参数的单调性讨论问题，先求导，再分参数，讨论单调性得出结果即可，其中当时又分、、三种情况； （3）构造函数，结合对数的运算化简，求导再结合基本不等式得到的单调性，即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）因为， 当时，在区间上恒成立， 所以在区间上是增函数，此时； 当时，令，解得， ①当，即时，在区间上恒成立， 所以在区间上是增函数， 所以当时，； ②当，即时，与的情况如下： 负 0 正 减 极小值 增函数 所以当时，； ③当即时，在区间上恒成立， 所以在区间上是减函数， 所以当时，， 综上 （3）设， 所以， 因为， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛： （1）第一问可用导数的意义求出切线的斜率，再用点斜式求出直线方程； （2）第二问为带参数的单调性的讨论求极值点问题，可求导分析单调性，进而求极值，在求出最值； （3）第三问为函数不等式问题，可构造函数求导分析单调性求解. 【变式6-2】（2024·北京石景山·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)当时，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程； （2）首先求函数的导数，再讨论和两种情况求函数的单调性，求函数的最值； （3）首先根据不等式构造函数，再利用导数求函数的最小值，即可证明. 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， 当时，在区间上恒成立，在区间上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值为， 当时，，得， 在区间小于0，函数单调递减， 在区间大于0，函数单调递增， 所以函数的最小值为， ，，显然，所以函数的最大值为， 综上可知，当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，函数的最小值为，最大值为； （3）当时，，即证明不等式， 设，，， 设，，， 所以在单调递增，并且，， 所以函数在上存在唯一零点，使， 即，则在区间，，单调递减， 在区间，，单调递增， 所以的最小值为， 由，得，且， 所以， 所以，即. 【变式6-3】（2024·北京·三模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：．（且） 【答案】(1)答案见解析． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导,再根据的正负分类讨论单调性即可; （2）若恒成立，即，根据（1）中的单调性求出其最大值即可列式求解. （3）由（2）知当时,有在恒成立，令,即可推出，再对不等式两边累加求和,即可推出结论. 【详解】（1）函数的定义域为． ． ①时，，的递增区间为，无递减区间； ③时，令得；令得， 所以的递增区间为，递减区间为． （2）由（1）知，时，在上递增，，不合题意， 故只考虑的情况，由（1）知 即 综上，的取值范围为． （3）由（2）知：当时，恒成立，所以， 所以当恒成立，令， 进而， 即，． 所以．（且） 即．（且） 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 题型七 利用导数研究不等式恒成立问题 【例7】（2025·北京·模拟预测）已知函数，，. (1)求函数的极值； (2)若恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)极大值为-1，无极小值； (2) 【分析】（1）求得导函数，根据的正负结合的定义域可求出的单调区间，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意，转化为，然后构造函数，根据的单调性且分离参数得，令利用导数求出最值即可； 【详解】（1）由题意得函数， 得的定义域为， 所以， 令，得，所以函数在单调递增； 令，解得，所以函数在单调递减； 所以函数在处取得极大值，且极大值为，无极小值. （2）由， 即在恒成立，且， 所以， 即， 令， 则， 所以， 且，因为，所以， 所以在单调递增， 所以， 令， 则， 令，解得，则在单调递增， 令，解得，则在单调递减， 所以在处取得最大值， 所以实数的取值范围为， 故实数的最小值为. 【变式7-1】（2025·北京大兴·三模）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若恒成立． ①求实数的值； ②判断方程的根的个数，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)① ；②两个，理由见解析 【分析】（1）分，两种情况，解不等式，可得单调区间； （2）①由（1）可得满足题意，注意到，通过研究单调性可得答案； ②由（）单调性，结合零点存在性定理可得零点个数. 【详解】（1），． 当时，对，， 所以的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令，得． 因为时，；时，． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）①由（1）知，当时，的单调递增区间为， 所以当时，有，不符合题意； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以， 令（），， 与在区间上的情况如下： － 0 ＋ ↘ 0 ↗ 所以 所以时，， 时，，所以． ②方程有两个根，证明如下： 令（），， ①时，令，， ，，单调递增， ， 所以，， ． － 0 ＋ ↘ 0 ↗ ，，， 所以在区间上有一个零点． ②时，，，所以，所以递增， ， 由（i）知，所以在区间上有一个零点． ③时，由①知，， 所以，所以无零点． ④时，因为， 对于函数，则, 故在上递增， 所以， 所以无零点． 综上可知函数有两个零点． 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常利用数形结合思想，转化为函数图象的交点问题，也可如本题，利用函数单调性结合零点存在性定理解决. 【变式7-2】（2025·北京石景山·一模）已知函数． (1)若， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若实数使得对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析 (2) 【分析】（1）（i）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；（ii）令，利用导数说明函数的单调性，即可得到的单调性，再结合零点存在性定理证明即可； （2）令，，求出函数的导函数，对分三种情况讨论，说明函数的单调性，即可得解. 【详解】（1）（i）当时，则， 又，则， 所以函数在点处的切线方程为； （ii）因为，，令，，则， 当时，所以，所以即在上单调递减， 又，所以，所以在上单调递增， 又，当时，，所以， 所以在区间上有且只有一个零点； （2）由对恒成立， 即对恒成立， 令，，则， 所以，令， 则， 当时，对任意，则， 所以在单调递减，所以，满足题意； 当时，在上恒成立，所以在单调递减，又，， ①当，即时，恒成立，所以在单调递减， 所以，满足题意； ②当且时，即时，由零点存在性定理知，，使得. 当时，，所以在上单调递增，所以，不满足题意； ③当时，即时，对任意单调递增，所以，不满足题意. 综上，的取值范围为. 【变式7-3】（2024·北京通州·二模）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)单调递减区间为和，单调递增区间为； (3)． 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可； （2）求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可； （3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可. 【详解】（1）因为，所以． 所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 所以． 因为，令，即， 解得，，所以． 当x变化时，，的变化情况如下表所示． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为． （3）在（2）的条件下，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为对于任意，不等式成立， 所以，，． 所以，得，，得； ，得． 因为， 所以． 所以a的取值范围是． 题型八 利用导数研究函数零点问题 【例8】（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由函数求导，根据导数的几何意义建立方程，可得答案； （2）先由图象分析零点的存在性，再分段研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案； （3）由函数求导并构造函数，利用导数要求新函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】（1），定义域为． ．由题可得，，解得． （2）由（1）可得，． 当时，，，故，在时无零点； 当时，，，故，在时无零点． 当时，，所以在上单调递增． 而，． 故由零点存在性定理知，在上存在唯一零点． 当时，，，故，在时无零点； 综上：在上的零点个数为1． （3）．令，． 令，则． 当时，，，，所以．所以在上单调递增． ，，所以由零点存在性定理，存在唯一，使得． 当变化时，，的变化如下表： 0 极小值 又，，． 所以由零点存在性定理，分别在，上各恰有一个零点，即在上存在两个零点． 不妨设．则当时，；当时，． 而，． 所以．故． 【变式8-1】（2025·北京·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)①求证：只有一个零点； ②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合题意得切线方程建立方程，解之即可求解； （2）①由（1），利用导数研究函数的单调性，结合零点的定义即可证明；②利用导数的几何意义求出切线方程，令可得，结合，利用导数研究函数的单调性可得当时，当时，即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以曲线在处的切线的斜率为， 又曲线在处的切线方程为， 所以，解得； （2）①：由（1）知，， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 且当时，，当时，， 所以函数在上存在唯一，使得， 即函数在上存在唯一零点. ②：由①知，切线的斜率为，又， 所以， 令，得， 设，则， 令或，或， 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增， 当时，，即，由①知，故不符合题意； 当时，由，得 ， 即，符合题意， 故实数的取值范围为. 【变式8-2】（2025·北京通州·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)曲线在点处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值； (3)若有两个根，，写出a的范围并证明. 【答案】(1)增区间，减区间 (2) (3)，证明见详解 【分析】（1）求导，判断导数正负得解； （2）利用导数的几何意义求出曲线在处的切线方程，得到的表达式，利用导数求最大值； （3）由的单调性判断极值，值域，得到的取值范围，且，，要证，即证，又，即证在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，，利用导数证明恒成立即可. 【详解】（1）由， 故当时，，当时，， 所以的单调增区间为，减区间为； （2）曲线在处的切线斜率，又， 所以其切线方程为， 令，得，则，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以； （3）由（1），的单调增区间为，减区间为，且，， 当时，，当时，， 即时，，时，， 若有两个根，则，且，， 要证，即证，又在上单调递减， 即证，又， 即证在上恒成立， 又，即证， 两边取对数，原命题即证在上恒成立， 令，， ， 故在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，故得证. 【变式8-3】（2025·北京朝阳·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求证：当时，； (3)若函数有个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性即可证得结论成立； （3）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，确定每种情况下函数的零点个数，并结合零点存在定理可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题设知． 设函数． 当时，因为， 所以对任意的恒成立，即． 所以函数在区间上单调递增，所以． 所以当且时，． （3）函数的定义域为， ． ①当时，，函数在区间上单调递减， 函数至多一个零点，不合题意； ②当时，由（2）可知函数在区间上单调递增， 函数至多一个零点，不合题意． ③当时，对于函数， 因为，所以方程有两个实数根、， 满足，， 不妨设，则，、的情况如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是． 因为，所以为的一个零点． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 所以函数有个不同的零点． 综上，的取值范围为． （限时训练：15分钟） 1．（2025·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义，和函数单调性与导函数的关系，求出函数在区间上的单调性，分别判断各选项正误. 【详解】已知的定义域是，不是奇函数，所以A错误. 已知，定义域为，且，是奇函数， ，所以在区间上单调递增，所以B正确. 已知，则，在区间上单调递减，所以C错误. 已知，则，令，即，解得， 所以在上单调递减，所以D错误. 故选：B. 2．（2025·北京·模拟预测）已知函数 ，则 的极值点的个数情况可能为 （   ） A．没有极值点 B．有无穷多个极值点 C．恰有 2025 个极值点 D．恰有 2026 个极值点 【答案】C 【分析】先对函数求导，然后令导数为，将问题转化为两个函数图象的交点问题，通过分析交点个数来确定极值点的个数. 【详解】对求导，可得. 令，即，移项可得. 那么的极值点个数就等价于函数与图象的交点（不算切点）的个数. 当时，，与只有一个交点，且在该点两侧导数符号改变变，所以此时有1个极值点； 当时，与都是奇函数，图象关于原点对称， 是周期函数，是过原点的直线， 随着的取值不同，由正弦函数的对称性及有界性，两函数图象的交点（不算切点）的个数只能是有限个，且是奇数个（因为关于原点对称）. 所以该函数可能恰有2025个极值点. 故选：C 3．（2025·北京丰台·一模）已知函数，当时， ；若在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 0 【分析】根据分段函数的解析式可直接计算得到空①答案；利用分段函数单调性的条件可以得到不等式求解，得到②的答案. 【详解】时,; 由于当时是单调递增函数； 当时是单调递增函数， 所以为了使得在上单调递增， 必须且只需,即, 故答案为：；. 4．（2025·北京延庆·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①，使得关于直线对称； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中所有正确的结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】赋值法判断①；数形结合判断②④；利用导函数判断③， 【详解】取，得， 因为， 所以，使得关于直线对称；故①对； 由， 所以， 若， 当时，令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以， 所以 在单调递减， 当时，令，则， 所以 在单调递减， 所以，在上单调递减，故，不存在最小值，故②错，③对， 如图    若，则当函数与直线的图象相切时， 设切点横坐标为，此时，则， 得到方程组，化简得，易得， 则此时有两个零点，图象见下图， AI   当时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图象如下图所示， 则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示， AI   故④对， 故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：对于复杂函数的零点个数问题我们常将其转化成两个函数的交点个数问题，其次就是相切的临界状态将是零点变化得关键位置. 5．（2024·北京·模拟预测）已知，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】变形函数，换元构造函数，再利用导数分段探讨单调性求出最小值. 【详解】函数，令，令， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 因此当时，，所以当时，取得最小值2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：利用对数运算法则变形，再换元构造新函数是解决本题的关键. 6．（2024·北京·三模）设函数，给出下列四个结论： ①当时，函数有三个极值点； ②当时，函数有三个极值点； ③，是函数的极小值点； ④，不是函数的极大值点． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】取特殊值，结合函数图象可判断①③；作出函数图象，数形结合可判断②；讨论的取值范围，结合函数图象，可判断④. 【详解】对于①，不妨取，此时， 作出函数图象如图： 此时函数有2个极值点，故①错误； 对于②，当时，，作出函数的大致图象如图： 在，上单调递减，在，上单调递增， 此时函数有3个极值点：，②正确； 对于③，由①的分析可知，时，是函数的极大值点，③错误； 对于④，由以上分析可知当时，， 且为的对称轴， 此时为函数的极小值点， 当时，，此时在上单调递减， 在上也单调递减，在上单调递增， 不是函数的极大值点， 故不是函数的极大值点，④正确. 故答案为：②④. 【点睛】方法点睛：题目中分段函数涉及的函数是比较常见的函数，故可作出函数大致图象，数形结合，再结合函数极值点的概念进行判断，即可解决问题. 7．（2025·北京·三模）已知函数，，． (1)若在点处的切线平行于直线：，求的值； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：对任意，恒有成立． 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间； (3)见解析 【分析】（1）求导得出即可求解； （2）利用导数求解函数的单调区间，分和和进行讨论，其中当和时，需要令，研究的单调性，得出与的关系即可判断； （3）把问题转化为：令，需要证明对任意成立，分两种情况来讨论，通过求导，证明出单调递增． 【详解】（1）， ， ， 切线平行于直线：， ，解得：； （2）， ， 当时，显然，故在上单调递增； 令，， 当时，，故在上单调递增， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故在上单调递增； 当时，令，， 当时，，故在上单调递减， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间； （3）当时，需要证明：，恒有成立， 即， 化简得：， 即证：， 当时，，又， ， 当时，记，则， 记，则， ，， 所以当，单调递增，所以， 所以在单调递增，所以， 综上：对任意，恒有成立． 8．（2025·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在处的切线的倾斜角； (2)若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 【答案】(1)； (2)（i）1；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而确定倾斜角大小； （2）（i）对函数求导，由已知有求参数值，注意验证；（ii）将问题化为证明在且上恒成立，应用换元法及导数研究不等式恒成立，即可证. 【详解】（1）由题设，则，故切线斜率， 所以，结合直线倾斜角的范围，易知在处的切线的倾斜角为. （2）（i）由题设，则， 由，则，故且， 令，则， 所以在上单调递减，且， 所以时，在上单调递增， 时，在上单调递减， 所以是函数的极值点，故； （ii），则且， 当时，，此时，即证， 当时，，此时，即证， 综上，只需证明在且上恒成立， 令，，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，故得证. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $