2026年中考数学第一轮复习专题讲练第6讲一元二次方程及其应用基础巩固专项训练

2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第二单元 方程(组)与不等式(组) 《第6讲 一元二次方程及其应用》基础巩固专项训练 一、单选题 1．（2025·河南濮阳·一模）一元二次方程的常数项是（   ） A． B．2 C． D．3 2．（2025·贵州·模拟预测）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·四川广元·一模）若方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川广安·一模）将一元二次方程化为二次项系数为1的一般形式后，其一次项系数是（    ） A．1 B． C． D．4 6．（2025·新疆·模拟预测）如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为(   ) A． B． C． D． 7．（2025·天津·一模）一元二次方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（2025·新疆昌吉·模拟预测）关于方程，下列说法不正确的是（   ） A．该方程是一元二次方程 B．解方程时，两边同时除以即可 C．该方程适合用因式分解法求解 D．该方程有两个不等的实数根 9．（2025·四川成都·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·四川绵阳·一模）如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D．1或 11．（2025·四川绵阳·一模）关于x的方程有两个实数根，，满足，则m的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．5或 12．（2025·北京·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·天津·一模）设方程的两实数根为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 14．（2020·广东潮州·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 15．（2025·四川雅安·一模）对方程进行配方，正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2025九年级上·全国·专题练习）根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 17．（2025·河南郑州·一模）关于x的一元二次方程无实数根，则的取值范围（    ） A． B．且 C．且 D． 18．（25-26九年级上·河南郑州·月考）方程化为一元二次方程的一般形式是，则m，n的值分别是（    ） A．12， B．1， C．，25 D．0，25 19．（2025·四川广安·一模）对于嘉嘉与淇淇两人解方程的过程，下列判断正确的是（        ） 嘉嘉：两边同时除以，得，解得． 淇淇：移项，得． 因式分解，得． 于是得，或， 解得，． A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 20．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 21．（2025·四川雅安·一模）篮球比赛中，要求每两队之间都进行一场比赛，总共比赛45场，问有多少个队参加比赛？设有x个队参加比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·云南·模拟预测）云南铁路从高原到大海，从中国铁路运输的末梢，逐渐变成面向南亚东南亚的铁路运输枢纽中心．某高铁交通路线从昆明南站出发，最终到达广州南站，若从昆明南站到广州南站共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有个站点，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 23．（2025·四川绵阳·一模）如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为，设小路宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·四川南充·一模）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块，面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？若设正方形田的边长为x，则可列出方程为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·四川成都·一模）据某省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年7月产值达到3000万元，第三季度总产值将达到9930万元．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·云南丽江·一模）如图，现将一张长、宽的北盘江大桥风景照贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度均为．若矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，则下列所列的方程中，正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 27．（2025·四川绵阳·一模）一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别是 ． 28．（2025·辽宁抚顺·一模）方程的根是 ． 29．（2025·四川广元·一模）关于x的方程是一元二次方程，则 ． 30．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是1，则该方程的另一个根是 ． 31．（24-25九年级上·广西南宁·期中）若，是方程的两个根，则的值为 ． 32．（2023·江西吉安·三模）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 33．（2025·四川广安·一模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 34．（2025·四川广元·模拟预测）设，是一元二次方程 的两个实数根，则 ． 35．（2025·四川眉山·一模）已知是方程的两个根，则的值为 ． 36．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 37．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 38．（2025·四川雅安·一模）有两人患了流感，经过两轮传染后，共有200人患了流感，则每轮传染中平均每人传染的人数为 ． 39．（2025·陕西渭南·一模）我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为 ． 三、解答题 40．（2025·新疆昌吉·模拟预测）解下列方程： (1)； (2) (3)； (4)． 41．（2025·河南驻马店·三模）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： (1)用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是______元； ②实际的销售量是______个； (2)为了赚得10000元的利润而尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 42．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 43．（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． 44．（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 45．（2025·四川雅安·一模）阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫作配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 46．（24-25八年级下·山东淄博·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为50元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为70元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为90元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变且销售量不低于70件，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售量平均每天多售出40件，同时实体店的销售量受网上影响，平均每天销售量减少5件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为66元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）达到8640元，求每件商品的网上销售价下降多少元？ 任务3 优化价格方案 当每件商品的网上销售价下降多少元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润最大？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第二单元 方程(组)与不等式(组) 《第6讲 一元二次方程及其应用》基础巩固专项训练答案解析 一、单选题 1．（2025·河南濮阳·一模）一元二次方程的常数项是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将方程化为标准形式，常数项为，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴常数项为， 故选：C． 2．（2025·贵州·模拟预测）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 即，， ∴一元二次方程的解是，． 故选：A． 3．（2025·四川广元·一模）若方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、分式化简求值 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值． 先求出，，将通分计算即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∴． 故选：A． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，据此分析各选项． 【详解】解：A、，展开得，是一元二次方程； B、化简得，不是一元二次方程； C、 ，若，则方程不是二次方程，因此不一定是一元二次方程； D、不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：A． 5．（2025·四川广安·一模）将一元二次方程化为二次项系数为1的一般形式后，其一次项系数是（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．将方程化为一般形式后，一次项系数为． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∴一次项系数为． 故选：C． 6．（2025·新疆·模拟预测）如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选：C． 7．（2025·天津·一模）一元二次方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．通过因式分解法求解一元二次方程，找到两个根即可． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 故方程的两个根为，． 故选：A． 8．（2025·新疆昌吉·模拟预测）关于方程，下列说法不正确的是（   ） A．该方程是一元二次方程 B．解方程时，两边同时除以即可 C．该方程适合用因式分解法求解 D．该方程有两个不等的实数根 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的定义、因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解． 【详解】解：A、方程整理得，故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意； B、解方程时，方程两边先同时除以，会漏解，故该说法错误，符合题意； C、， 移项得 ， 提取公因式得 ， 即 ， ∴ 方程根为 或 . 用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意； D、由得： ， 故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意； 故选：． 9．（2025·四川成都·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的知识，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 利用一元二次方程的根的判别式解答即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：D 10．（2025·四川绵阳·一模）如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D．1或 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，方程需满足：①未知数的最高次数为2；②二次项系数不为0．由条件可得关于k的方程，即可求解． 【详解】解：∵关于x方程是一元二次方程， ∴，且， 解得， 故选：A． 11．（2025·四川绵阳·一模）关于x的方程有两个实数根，，满足，则m的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．5或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】公式法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键．首先利用根与系数的关系，可得，从而得到异号，然后分两种情况讨论，结合根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根，， ∴， ∴异号， 当时， ∵ ， ∴，即， ∴，解得：， 此时原方程为， 解得：， 经验证， ，成立，故符合题意； 当时， ∵ ， ∴，即， ∴，解得：， 此时原方程为， 解得：， 经验证， ，成立，故符合题意． 综上所述，或． 故选：D 12．（2025·北京·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是判别式大于零，且二次项系数不为零．本题中二次项系数为1，已满足，故只需判别式大于零． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴， ∴ ，即， ∴ 实数的取值范围为． 故选：A． 13．（2025·天津·一模）设方程的两实数根为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再计算它们的和． 【详解】解：∵ 方程 中，，，， ∴ ， ， ∴ ， 故选：A． 14．（2020·广东潮州·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A． 15．（2025·四川雅安·一模）对方程进行配方，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，准确地计算是解决本题的关键． 通过配方法将方程转化为完全平方形式即可． 【详解】解： ， 故选：B． 16．（2025九年级上·全国·专题练习）根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查利用函数值的连续性估算方程近似解，需关注函数值跨过目标值的区间． 通过比较表格中的值与1的大小关系，确定函数值从小于1到大于1的区间，从而得到方程解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴方程的一个解的范围是， 故选：B． 17．（2025·河南郑州·一模）关于x的一元二次方程无实数根，则的取值范围（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用；根据一元二次方程根的判别式， 计算求值即可； 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， 且，， 解得：． 故选： D． 18．（25-26九年级上·河南郑州·月考）方程化为一元二次方程的一般形式是，则m，n的值分别是（    ） A．12， B．1， C．，25 D．0，25 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程化为一般形式，熟练掌握知识点是解题的关键． 把方程化为一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程化为一元二次方程的一般形式是， ∴． 故选：A 19．（2025·四川广安·一模）对于嘉嘉与淇淇两人解方程的过程，下列判断正确的是（        ） 嘉嘉：两边同时除以，得，解得． 淇淇：移项，得． 因式分解，得． 于是得，或， 解得，． A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程．嘉嘉在两边除以时未考虑的情况，漏解；淇淇在因式分解时计算错误，正确因式应为，而非． 【详解】解：原方程为． 嘉嘉解法：两边同除以，得， ∴， 但当时，即也是解，故漏解，错误． 淇淇解法：移项得， 提取公因式，得， ∵， ∴应为， 解得或． 但淇淇误写为，解得或，计算错误． 故两人都错． 故选：D． 20．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． 根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，选项D结论错误，符合题意． 故选：D． 21．（2025·四川雅安·一模）篮球比赛中，要求每两队之间都进行一场比赛，总共比赛45场，问有多少个队参加比赛？设有x个队参加比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：∵有x个队参加比赛，每两队之间都进行一场比赛， ∴总比赛场数为， ∵总共比赛45场， ∴． 故选：B． 22．（2025·云南·模拟预测）云南铁路从高原到大海，从中国铁路运输的末梢，逐渐变成面向南亚东南亚的铁路运输枢纽中心．某高铁交通路线从昆明南站出发，最终到达广州南站，若从昆明南站到广州南站共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有个站点，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据从昆明南站到广州南站共设计了56种往返车票，列出方程即可． 【详解】解：设这条线路共有个站点，由题意，得； 故选A． 23．（2025·四川绵阳·一模）如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为，设小路宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握用含有未知数的式子将草坪面积表示出来是解题的关键． 小路宽为，可得草坪的总长度为，总宽度为，根据矩形的面积列方程，化简成一般形式，即可求解． 【详解】解：小路宽为，草坪的总长度为，总宽度为， 根据题意，可得，化简得 ． 故选：C． 24．（2025·四川南充·一模）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块，面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？若设正方形田的边长为x，则可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．根据正方形面积公式和圆面积公式，结合题意列出方程． 【详解】解：正方形田的边长为， 正方形面积为， 圆形田的直径与正方形边长相等，为， 圆半径为， 圆面积为， 面积之和为 252， ， 故选 C． 25．（2025·四川成都·一模）据某省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年7月产值达到3000万元，第三季度总产值将达到9930万元．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：∵7月产值达到3000万元，该公司8，9两个月产值的月均增长率为x， ∴8月产值为：，9月产值为：， ∵第三季度总产值将达到9930万元， ∴， 故选：B． 26．（2025·云南丽江·一模）如图，现将一张长、宽的北盘江大桥风景照贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度均为．若矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，则下列所列的方程中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出大矩形的长与宽． 根据“矩形衬纸的面积为照片面积的2倍”进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，矩形衬纸的面积为 ， 照片面积为 ， 所以， 故选：D． 二、填空题 27．（2025·四川绵阳·一模）一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别是 ． 【答案】2，， 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的定义、化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，明确一元二次方程的“二次项系数、一次项系数、常数项”的定义是解题关键． 一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解： 一元二次方程中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 方程中，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：2，，． 28．（2025·辽宁抚顺·一模）方程的根是 ． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了解一元二次方程，通过因式分解法求解方程即可． 【详解】解：． ∴． ∴或． 解得，． 故答案为：， 29．（2025·四川广元·一模）关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 故答案为：． 30．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是1，则该方程的另一个根是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据一元二次方程的根与系数的关系，两根之积为常数项，代入已知根可求另一个根． 【详解】解：设方程的两根为和，则， 设，则， 所以， 故答案为：． 31．（24-25九年级上·广西南宁·期中）若，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系； 根据一元二次方程的两根进行求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 32．（2023·江西吉安·三模）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】7 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，准确地计算是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：7． 33．（2025·四川广安·一模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程解的定义可得，再根据根与系数的关系可得，然后整体代入代数式求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． 又∵， ∴ ． 故答案为：． 34．（2025·四川广元·模拟预测）设，是一元二次方程 的两个实数根，则 ． 【答案】13 【难度】0.85 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，掌握该知识点是解题的关键．根据题意可知，，然后将转化成进行计算即可． 【详解】解： ，是一元二次方程 的两个实数根， ， ， 故答案为：13． 35．（2025·四川眉山·一模）已知是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式的应用等知识，先根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据完全平方公式变形得出，将代入变形后的式子计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ 故答案为：1 36．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，由此列出方程求解． 【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴判别式 ， 解得 ， 故答案为：． 37．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零． 根据非负数的性质求出 a 和 b 的值，再根据一元二次方程有两个实数根的条件，即判别式非负且二次项系数不为零，求解 k 的取值范围. 【详解】解：由，得 且， ∴， 则代入方程得， ∵方程有两个实数根， ∴判别式且； 解得 且 ， 故答案为： 且 . 38．（2025·四川雅安·一模）有两人患了流感，经过两轮传染后，共有200人患了流感，则每轮传染中平均每人传染的人数为 ． 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． 设每轮传染中平均每人传染的人数为x，根据两轮传染后的总人数列方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染的人数为x， 初始患病人数为2人， 第一轮传染后总人数为 ， 第二轮传染后总人数为 ， 根据题意，有 ， 即 ， 解得 或 （舍去）， 所以 ， 故答案为：9． 39．（2025·陕西渭南·一模）我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，即可得出关于的一元二次方程； 【详解】解：依题意，得：． 故答案为：． 三、解答题 40．（2025·新疆昌吉·模拟预测）解下列方程： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)， (4)， 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （3）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （4）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， 解得，． 41．（2025·河南驻马店·三模）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： (1)用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是______元； ②实际的销售量是______个； (2)为了赚得10000元的利润而尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 【答案】(1)①； (2)元 【难度】0.85 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】此题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）①根据售价进价利润，进而得出答案；②销量减少的销量实际销量进而得出答案； （2）利用总利润，进而得出方程求出答案； 【详解】（1）解：①依题意，设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出 ∴每个磁盘的实际利润是：（元）； ②∵进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个 ∴实际的销售量是：个； （2）解：设瓷盘每个涨价元能赚得元的利润， 依题意得：， 解得：， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 尽量兼顾顾客的利益应定为每个艺术瓷盘为元； 42．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月平均增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价每个应定为75元 【难度】0.65 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同．据此列出方程，解方程即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元，月销售利润达到8750元，据此列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（舍去） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元， 由题意得：， 解得：，， 因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意 则， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元． 43．（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． 【答案】(1) (2)长和宽分别为55，5或者20，． 【难度】0.65 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意直接用x表示出y即可； （2）由（1）可得改良后养鸡场的长，再根据养鸡场的总面积为，列出一元二次方程求解并检验即可解答． 【详解】（1）解：若养鸡场的宽为， 由题意可得：改良后养鸡场的长，即． （2）解：由题可得：， 整理得：， 解之得：， 当宽为5，，长分别为55，20，均符合题意． 所以养鸡场的长和宽分别为55，5或者20，． 44．（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 45．（2025·四川雅安·一模）阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫作配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是 【难度】0.65 【知识点】列代数式、配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方式、代数式求值等知识点，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）先运用完全平方公式配方，然后再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：鸡场的长为， 则鸡场的面积：； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是， ∵，， ∴最大面积是符合题意． 故当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是． 46．（24-25八年级下·山东淄博·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为50元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为70元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为90元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变且销售量不低于70件，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售量平均每天多售出40件，同时实体店的销售量受网上影响，平均每天销售量减少5件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为66元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）达到8640元，求每件商品的网上销售价下降多少元？ 任务3 优化价格方案 当每件商品的网上销售价下降多少元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润最大？ 【答案】任务1：5760元，3200元；任务2：每件商品的网上销售价下降2元；任务3：网上销售价下降5元时，总毛利润最大 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键． 任务1：根据题意列式求解即可； 任务2：设网上售价下降元，根据题意列出一元二次方程得到，，然后根据题意列出不等式求解即可； 任务3：首先根据题意列出不等式得到且为正整数，然后分情况求解即可． 【详解】解：任务1： 由题意，当网上售价降至66元/件时，下降幅度为：（元）， 网上总销量为（件）． 网上毛利润为：（元）． 实体店销量减少：（件）， 实体店总销量为（件）． 实体店毛利润为：（元）．； 任务2： 由题意，设网上售价下降元， 网上毛利润为： 实体店毛利润为： 总利润方程为： 整理得， 解得，． ， ． 每件商品的网上销售价下降2元． 任务3： 由题意，且为整数， 且为正整数． 当时，总利润为：（元）， 当时，总利润为：（元）， 当时，总利润为：（元）， 当时，总利润为：（元）， 当时，总利润为：（元）， 当时，总利润为：（元）， 网上销售价下降5元时总毛利润最大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $