专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题02平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的铅笔头模型是平行线拐点问题的经典模型，与猪蹄模型（M 型）、锯齿模型并列，核心是拐点在两条平行线外侧，形成 “尖角”，结论与猪蹄模型相反，解题关键仍是过拐点作平行线。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.铅笔头模型 3 9 铅笔头模型名称源于生活观察，铅笔头模型因图形类似铅笔的笔头形状而得名，是平行线拐点模型中的基础形态之一。铅笔头模型因其独特的形状和解题方法，被学生形象地称为“角度迷宫”的破解工具。有学生用“绕一圈回到原点要转360°的生活化比喻来记忆其结论，使抽象几何问题变得生动有趣。‌‌ （24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（   ） A． B． C． D． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型1.铅笔头模型 例1（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 例2（24-25七年级下·广东茂名·期中）已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 例3如图，如果，那么 ． 例4（24-25七年级下·山西·月考）如图，若直线，，，则的度数为 ． 例5（24-25七年级下·天津滨海新区·期末）如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 1．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（    ）. A．30° B．40° C．50° D．65° 2．如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·天津滨海新·月考）已知． （1）如图1，当时，则的度数为 ； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为 ； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小 （用含α、β、γ的式子表示）． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 5．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是 ．    6．（25-26七年级下·黑龙江·期中）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 7．（24-25七年级下·山东聊城·月考）如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 8．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 9．（24-25七年级下·广东东莞·期中）（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    10．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 11．（24-25七年级下·内蒙古·期中）综合与探究： （1）问题情境：如图1，．求的度数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P作，∴． ∴． ∵．∴． ………… 请你帮助小明完成剩余的解答． （2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足． （1）试问：，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________． （2）如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则的度数为______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 13．（24-25七年级下·广西贺州·期末）请在横线上填上合适的内容． （1）如图（1）已知//，则． 解：过点作直线//． ∴（   ）．（    ） ∵//，//， ∴（  ）//（   ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行） ∴（   ）．（    ）． ∴． ∴． （2）如图②，如果//，则（ ） 14．（24-25七年级下·广东汕头·期中）探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系． 发现：在图1中，；如图5 小明是这样证明的：过点Р作 ∴___________ ∵，． ∴__________ ∴ ∴ 即 （1）为小明的证明填上推理的依据； （2）理解： ①在图2中，与、的数量关系为_____________________； ②在图3中，若，，则的度数为_________________； （3）拓展： 在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由． 15．（24-25七年级下·吉林松原·期中）（1）问题发现 如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现：，请你写出证明过程； （2）拓展探究 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：． （3）解决问题 如图③，，，，则________．（直接写出结论，不用写计算过程） 16．（24-25七年级下·上海·期中）已知，直线AB∥CD （1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？ （2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？ （3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论． 17．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期末）请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接． （1）在图（1）中，与有何关系？ （2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？ （3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？ （4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？ （5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？ （注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由） 18．（24-25七年级下·山东德州·期中）（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数． 小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程． （2）问题迁移： ①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，问：∠、、∠之间有何数量关系？请说明理由． ②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠、、∠间的数量关系． 19．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知，，为，上的点，是，之间的点． (1)如图1，连，，探究（均指小于平角的角）间的数量关系，并说明理由． (2)为射线，上的点，分别过点作，的平行线交于F点，分别作的角平分线，交点为，如图2． ①若，则求的大小． ②将射线沿所在直线翻折交线段于点，如图3，若，则判断与的位置关系，并说明理由． 20．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．       经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，． (1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 21．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 22．（24-25七年级下·湖北随州·期末）已知直线，点A，C分别在，上，点B在直线，之间，且． （1）如图①，求证：． 阅读并将下列推理过程补齐完整： 过点B作，因为， 所以__________（      ） 所以，（     ） 所以． （2）如图②，点D，E在直线上，且，BE平分． 求证：； （3）在（2）的条件下，如果的平分线BF与直线平行，试确定与之间的数量关系，并说明理由． 23．（24-25七年级下·浙江·期末）已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点． （1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由． （2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明 （3）当满足，且，分别平分和， ①若，则__________°． ②猜想与的数量关系．（直接写出结论） 24．（24-25七年级下·湖北荆门·期中）AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点． （1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的铅笔头模型是平行线拐点问题的经典模型，与猪蹄模型（M 型）、锯齿模型并列，核心是拐点在两条平行线外侧，形成 “尖角”，结论与猪蹄模型相反，解题关键仍是过拐点作平行线。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.铅笔头模型 3 9 铅笔头模型名称源于生活观察，铅笔头模型因图形类似铅笔的笔头形状而得名，是平行线拐点模型中的基础形态之一。铅笔头模型因其独特的形状和解题方法，被学生形象地称为“角度迷宫”的破解工具。有学生用“绕一圈回到原点要转360°的生活化比喻来记忆其结论，使抽象几何问题变得生动有趣。‌‌ （24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴由图①； 图②中过点E作，    ∵，∴，∴，， ∴，即， 同理可得图③，， ∴图4时，．故选C． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型1.铅笔头模型 例1（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 【答案】(1)理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答； （2）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答． 【详解】（1）解：能，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． （2）解：，证明如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， 又， ． 例2（24-25七年级下·广东茂名·期中）已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作平行线，根据平行的性质计算即可． 【详解】解：过点作平行线， ， ． 故选C． 例3如图，如果，那么 ． 【答案】540 【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答，构造辅助线，是解答本题的关键． 【详解】过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， 故答案为：540． 例4（24-25七年级下·山西·月考）如图，若直线，，，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】如图，先根据直线，得出，然后根据，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数． 【详解】如图所示，点在直线上，点、在直线上，点在、之间，为， 直线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质与判定定理是解本题的关键． 例5（24-25七年级下·天津滨海新区·期末）如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． （1）过点过作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （2）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （3）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （4）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】（1）解：过作（如图②）． 原四边形是长方形， ， 又， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， 又， ， 故答案为：；    （2）分别过、分别作、，如图③所示，     原四边形是长方形， ， 又， ． ，，， ， ，， ， 故答案为：； （3）分别过、、分别作、、，如图④所示，     原四边形是长方形， ， 又，，， ． ，，，， ， ，，， ， 故答案为：； （4）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（    ）. A．30° B．40° C．50° D．65° 【答案】B 【分析】由题意过点B作直线，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作直线， ∵直线m//n，， ∴， ∴∠2+∠3=180°， ∵∠2=130°， ∴∠3=50°， ∵∠B=90°， ∴∠4=90°-50°=40°， ∵， ∴∠1=∠4=40°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键． 2．如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB    观察图形可知，图中有5组同旁内角， 则 故选D 【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键 3．（24-25七年级下·天津滨海新·月考）已知． （1）如图1，当时，则的度数为 ； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为 ； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小 （用含α、β、γ的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质和判定、垂直的定义即可求解； （2）过点作，利用平行线的性质和判定即可求解； （3）过点作，过点作，根据平行线的性质和判定得到，，，推出，，，再根据即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ； 故答案为：． （3）如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，，， ； 故答案为：． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 5．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是 ．    【答案】540° 【分析】分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小． 【详解】解：如图，根据题意可知：AB∥EF， 分别过点C，D作AB的平行线CG，DH， 所以AB∥CG∥DH∥EF， 则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°， ∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°， ∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°． 故答案为：540°．    【点睛】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小． 6．（25-26七年级下·黑龙江·期中）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确过拐点作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同位角相等；③两直线平行，同旁内角互补；④平行于同一直线的两直线平行． （1）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （2）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （3）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】（1）证明：如图①， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）证明：如图②，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·山东聊城·月考）如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与平行公理； （1）过点P作，则，从而有，根据即可求证； （2）过点P作，则，，由即可得之间的关系． 【详解】（1）证明：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴；    （2）解：； 证明如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴．   + 8．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 9．（24-25七年级下·广东东莞·期中）（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 10．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 【答案】110；（1），理由见解析；（2）或，理由见解析 【分析】小明的思路是：过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得． （1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：小明的思路：如图2，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：110； （1），理由如下： 如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）当P在延长线时，； 理由：如图6，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图7，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 11．（24-25七年级下·内蒙古·期中）综合与探究： （1）问题情境：如图1，．求的度数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P作，∴． ∴． ∵．∴． ………… 请你帮助小明完成剩余的解答． （2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，，点P在射线上运动，．当点P在A，B两点之间时，之间有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1）110°；（2），理由见解析 【分析】（1）过P作PE//AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°． （2）过P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案． 【详解】解：（1）过P作， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）， 如图3，过P作PE//AD交CD于E， ∵AD//BC， ∴AD//PE//BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足． （1）试问：，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________． （2）如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则的度数为______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①130°；②，见解析；③∠EPF+22021∠EQ2020F＝360° 【分析】（1）过点P作PHAB，利用平行线的性质即可求解； （2）根据（1）的结论结合角平分线的定义，平角的定义，运用整体思想即可求解． 【详解】解：（1）如图2，当点P在EF的右侧时，过点P作PMAB，则PMCD， ∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°， ∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°， 即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°； 故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°； （2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∵∠EPF＝100°， ∴∠PEA+∠PFC＝100°， ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， ∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°， ∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°， ∴∠DFQ+∠BEQ＝130°， ∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°， 故答案为：130°； ②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下： ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， ∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°， ∴∠PFC＋∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)＝360°， ∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∴∠EPF +2∠EQF＝360°； ③∵Q1E，Q1F分别平分∠QEB和∠QFD， ∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°， ∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°， ∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°， ∴∠PFC＋∠PEA +22(∠DFQ1 +∠BEQ1)＝360°， ∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∴∠EPF +22∠EQ1F＝360°； 同理可得：∠EPF +23∠EQ2F＝360°，∠EPF +24∠EQ3F＝360°，…… ∴∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线的定义等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，利用整体思想解决第（2）问是解此题的关键． 13．（24-25七年级下·广西贺州·期末）请在横线上填上合适的内容． （1）如图（1）已知//，则． 解：过点作直线//． ∴（   ）．（    ） ∵//，//， ∴（  ）//（   ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行） ∴（   ）．（    ）． ∴． ∴． （2）如图②，如果//，则（ ） 【答案】（1）∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等； （2）360° 【分析】（1）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB=∠B，继而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED； （2）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB+∠B=180°，继而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°． 【详解】解：（1）解：过点E作直线EF∥AB． ∴∠FEB=∠B．（ 两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）． ∴∠FED=∠D（ 两直线平行，内错角相等）． ∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED． ∴∠B+∠D=∠BED． 故答案为：∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等； （2）解：过点E作直线EF∥AB，如图． ∴∠FEB+∠B=180°．两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）． ∴∠FED+∠D=180° （ 两直线平行，内错角相等）． ∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°． ∴∠B+∠BED+∠D=360°． 故答案为：360°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键． 14．（24-25七年级下·广东汕头·期中）探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系． 发现：在图1中，；如图5 小明是这样证明的：过点Р作 ∴___________ ∵，． ∴__________ ∴ ∴ 即 （1）为小明的证明填上推理的依据； （2）理解： ①在图2中，与、的数量关系为_____________________； ②在图3中，若，，则的度数为_________________； （3）拓展： 在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①；②40°；（3），理由见解析． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）①过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②根据平行线的性质得出，根据三角形外角性质得出即可； （3）根据平行线的性质得出，求出，根据得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点作， ∴（两直线平行，内错角相等） ，． （平行于同一直线的两直线平行） 即 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行； （2）① 解：过点作， 所以， ，． ， ， ，， 即， 故答案为：； ② 解：，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：． 理由是：如图4，过点作， ， ， ，， （平行于同一直线的两直线平行） ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键． 15．（24-25七年级下·吉林松原·期中）（1）问题发现 如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现：，请你写出证明过程； （2）拓展探究 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：． （3）解决问题 如图③，，，，则________．（直接写出结论，不用写计算过程） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据平行判定得到，利用平行线的性质得，，得到，即可求证出答案； （2）类比（1），过点E作EF∥AB，然后根据平行线的判定和性质即可求证出答案； （3）类比，过点作，根据平行判定得到，再根据平行的性质得：，，根据角与角的关系求得：，则可求出答案． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， ∵（已知），（辅助线的作法）. ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）. ∵， ∴， ∴（等量代换） 即. （2）证明：如图②，过点作， ∵（已知），（辅助线的作法）. ∴（平行于同一直线的两直线平行）. ∴，， ∴， ∴. （3）解：如图③，过点作， ∵（已知），（辅助线的作法）， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，灵活运用平行判断以及平行线的性质找到角与角之间的关系． 16．（24-25七年级下·上海·期中）已知，直线AB∥CD （1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？ （2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？ （3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论． 【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC． 【分析】（1）过点G作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解． （2）过点G作GF∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解． （3）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，利用平行线的性质即可进行转化找到角的关系． 【详解】解：（1）如图，过点G作GE∥AB， ∵AB∥GE， ∴∠A+∠AGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠A=140°， ∴∠AGE=40°． ∵AB∥GE，AB∥CD， ∴GE∥CD． ∴∠C+∠CGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠C=150°， ∴∠CGE=30°． ∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°． （2）如图，过点G作GF∥AB ∵AB∥GF， ∴∠A=AGF（两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥GF，AB∥CD， ∴GF∥CD． ∴∠C=∠CGF． ∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C ． ∵∠A=x°，∠C=y°， ∴∠AGC=（x+y）°． （3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD． ∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（两直线平行，内错角相等）． ∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD． ∵∠EFN+∠NFG=∠EFG， ∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，本题构造辅助线利用平行线的传递性结合平行线性质是解题关键． 17．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期末）请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接． （1）在图（1）中，与有何关系？ （2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？ （3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？ （4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？ （5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？ （注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由） 【答案】（1）∠B+∠C=180º；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360º；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C =∠B 【分析】（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答； （2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论； （3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论； （4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论； （5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论． 【详解】（1）如图（1）∵与平行，∴∠B+∠C=180º； （2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC， ∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC， 即∠B+∠C=∠A； （3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF， ∴∠B+∠BAD=180º，∠DAC+∠C=180º， ∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360º， 即∠B+∠A+∠C=360º； （4）如图（4），设BE与AC相交于D， ∵与平行， ∴∠C=∠ADE， ∵∠ADE=∠A+∠B， ∴∠A+∠B=∠C； （5）如图（5），设CF与AB相交于D， ∵与平行， ∴∠B=∠ADF， ∵∠ADF=∠A+∠C， ∴∠A+∠C=∠B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键． 18．（24-25七年级下·山东德州·期中）（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数． 小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程． （2）问题迁移： ①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，问：∠、、∠之间有何数量关系？请说明理由． ②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠、、∠间的数量关系． 【答案】(1)110°；（2）①；②或 【分析】（1）过点P作PE//AB，可得PE//CD，所以由平行线的性质可以求得和的度数，进一步可以得到的度数； （2）分别过P作PQ//AD，则可得PQ//BC，再由平行线的性质和角的加减运算可以得解． 【详解】解：（1）如图，过点P作PE//AB，则由平行线的性质可得PE//CD，所以： ，所以： ， 所以，； （2）①，理由如下： 如图，过P作PQ//AD交DC于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以： ， ∵，∴； ②分两种情况讨论： 第一种情况，P在射线AM上，如图，过P作PQ//AD交射线DN于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以： ； 第二种情况，点P在OB之间，如图，过P作PQ//AD交射线OD于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以： 【点睛】本题考查平行线性质的综合应用，在添加辅助线的基础上灵活应用平行线的性质和角的加减运算是解题关键． 19．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知，，为，上的点，是，之间的点． (1)如图1，连，，探究（均指小于平角的角）间的数量关系，并说明理由． (2)为射线，上的点，分别过点作，的平行线交于F点，分别作的角平分线，交点为，如图2． ①若，则求的大小． ②将射线沿所在直线翻折交线段于点，如图3，若，则判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）过点作，由平行线的性质，从而得到； （2）①由（1）可得，再分别延长交于点，延长交于点，利用平行线的性质得到，因为分别平分，所以可以利用整体法得到，最后求得度数； ②利用（1）中结论，以及方程思想，设 ，分别表示出，代入条件，解得，根据垂直的定义判定． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作， 即 （2）解：①延长交于点，延长交于点， 有（1）知， 分别平分 ②由折叠性质得： 由题意得，， 设 . 即 【点睛】本题考查了角平分线的性质及平行线的性质和判定的综合应用，主要是对平行线拐点模型的应用，根据图形准确的找到角的和差关系是关键． 20．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．       经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，． (1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由见解析 (2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β (3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+ 【分析】（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； （2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α； 当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β． （3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M， 由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+． 故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用． 21．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案； （2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案； （3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案； （4）由（2）（3）类比可得答案． 【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：180°； （2）如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案为：540°； （4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案为：（n-1）×180°． 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 22．（24-25七年级下·湖北随州·期末）已知直线，点A，C分别在，上，点B在直线，之间，且． （1）如图①，求证：． 阅读并将下列推理过程补齐完整： 过点B作，因为， 所以__________（      ） 所以，（     ） 所以． （2）如图②，点D，E在直线上，且，BE平分． 求证：； （3）在（2）的条件下，如果的平分线BF与直线平行，试确定与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）BG；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，再根据平行线的性质即可得结论； （2）过点作，根据，可得，所以，，结合（1）即可进行证明； （3）根据，，可得，根据平分，可得，结合（2）可得，中根据平行线的性质即可得结论． 【详解】（1）解：如图①，过点作，因为， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 所以，（两直线平行，内错角相等）． 所以． 故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等； （2）证明：如图②，过点作，因为， 所以， 所以，， 由（1）知：． 又， 所以． 因为． 所以， 所以， 因为平分． 所以， 所以， 所以； （3）解：，理由如下： 因为，， 所以， 因为平分， 所以， 由（2）知：， 所以， 因为， 所以， 所以，， 而， 所以． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用． 23．（24-25七年级下·浙江·期末）已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点． （1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由． （2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明 （3）当满足，且，分别平分和， ①若，则__________°． ②猜想与的数量关系．（直接写出结论） 【答案】（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF 【分析】（1）由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为：； （2）当点在的右侧时，，，满足数量关系为：； （3）①若当点在的左侧时，；当点在的右侧时，可求得； ②结合①可得，由，得出；可得，由，得出． 【详解】解：（1）如图1，过点作， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为：； 过点作， ， ， ， ， ， ； （3）①如图3，若当点在的左侧时， ， ， ，分别平分和， ，， ； 如图4，当点在的右侧时， ， ， ； 故答案为：或30； ②由①可知：， ； ， ． 综合以上可得与的数量关系为：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键． 24．（24-25七年级下·湖北荆门·期中）AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点． （1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数． 【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明详见解析；（3）55°． 【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°； （2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A−∠C； （3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即可得出答案． 【详解】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下： 如图1所示，过点P作PQ∥AB， ∴∠A+∠APQ＝180°， 又∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠C+∠CPQ＝180°， ∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°， 即∠A+∠C+∠APC＝360°； （2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下： 如图2所示，过点P作PQ∥AB， ∴∠A＝∠APQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠C＝∠CPQ， ∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ， ∴∠APC＝∠A−∠C； （3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD， ∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°， ∴∠PCD＝110°， ∵AB∥CD， ∴∠PQB＝∠PCD＝110°， ∵EF∥PC， ∴∠BEF＝∠PQB＝110°， ∵∠PEG＝∠PEF， ∴∠PEG＝∠FEG， ∵EH平分∠BEG， ∴∠GEH＝∠BEG， ∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH ＝∠FEG−∠BEG ＝∠BEF ＝55°． 【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $