第07讲 三角函数的性质讲义-2026年艺体生高三数学一轮复习资料（新高考新题型）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数性质核心考点，涵盖周期、对称性、单调性、奇偶性、值域、伸缩平移、解析式及综合运用，按考向分块构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题精讲及分层练习，帮助学生系统掌握性质应用规律，突破解题难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用“考向-例题-反三-题组”四层训练模式，如单调性判断中通过整体代换法培养推理能力，周期计算结合图像分析强化几何直观。设置基础巩固与综合应用分层练习，配合各地模拟真题，确保高效提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第07讲 三角函数的性质 考向一 周期 【例1-1】（2026云南）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2025湖北）下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【例1-3】（25-26四川）若函数的最小正周期为，则等于（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【一隅三反】 1．（25-26高三上·广东）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26天津）下列函数中，周期为的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26河北）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（   ） A．①②④ B．①②③ C．②④ D．③④ 考向二 对称性 【例2-1】（25-26浙江杭州）已知函数，则（   ） A．直线是函数图象的对称轴 B．直线是函数图象的对称轴 C．点是函数图象的对称中心 D．点是函数图象的对称中心 【例2-2】（2026·新疆·模拟预测）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例2-3】（25-26高三上·湖南·月考）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【一隅三反】 1．（25-26海南）函数的对称轴方程为（ ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高三上·河北邯郸·月考）函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁大连·一模）函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26山东）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A． B． C． D． 考向三 单调性 【例3-1】（25-26广东茂名）函数在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递增 【例3-2】（25-26江苏常州）在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【例3-3】（25-26广州）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【例3-4】（25-26天津·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【一隅三反】 1．（25-26浙江嘉兴）函数的单调递减区间为 . 2．（24-25山东）函数在上的单调递减区间是 ． 3．（2025江苏·专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 4．（25-26吉林）已知函数在上单调递减，则的取值范围为 5．（25-26天津·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的对称轴方程和对称中心； (3)求的单调递增区间. 考向四 奇偶性 【例4-1】（25-26新疆）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26高三上·河南·月考）已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26湖南）下列函数中最小正周期为且是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海嘉定·一模）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 3．（25-26广西）若函数为偶函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为的奇函数是（　　） A． B． C． D． 考向五 值域 【例5-1】（25-26福建）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为 （     ） A． B． C．0 D． 【例5-2】（25-26广东梅州）已知函数，，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【例5-3】（25-26江苏）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时的值. 【一隅三反】 1．（25-26上海）函数，的值域是 . 2．（25-26河北）函数的值域是 . 3．（25-26黑龙江牡丹江）已知函数. (1)求出函数图象的对称中心和对称轴; (2)若，求的取值范围. 4．（25-26陕西西安·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间的值域． 考向六 伸缩平移 【例6-1】（25-26江苏）要得到函数的图象，只需将函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【例6-2】（25-26湖南长沙）（多选）已知曲线，，则下列说法正确的是（ ） A．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线 B．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到曲线 C．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到曲线 D．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线 【一隅三反】 1．（25-26高三上·河北邢台·月考）为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 2．（2026·陕西咸阳·一模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 3．（2026·陕西宝鸡·一模）将函数的图象向左平移后得到的图象，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·二模）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．（25-26青海西宁·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 考向七 解析式 【例7-1】（23-24山东淄博）（多选）函数的部分图象如图，则下列说法中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的表达式 C． D．函数图象是由图象向左平移个单位而得到 【一隅三反】 1．（23-24云南昆明）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B． C． D．的单调递增区间为 2．（24-25河南信阳）（多选）函数（，，是常数，且，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B．在区间上单调递增 C．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 D． 3．（25-26贵州遵义）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（   ）    A．的图象关于点对称 B．将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象 C．在上单调递增 D．的一个零点为 考向八 综合运用 【例8】（2026·辽宁沈阳·一模）且 (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)说明函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程. 【一隅三反】 1．（2026·江苏镇江）（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 2．（2026·河北沧州·一模）（多选）已知函数，满足，且对任意，都有，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上的值域为 C．的单调递增区间为 D．若方程在区间上恰有五个不等的实根，则的取值范围为 3．（2025·北京）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【题组一 周期】 1．（25-26 湖北）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·一模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南·模拟预测）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26甘肃）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 5．（25-26高三上·河南商丘·月考）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26湖北）（多选）已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 7．（24-25贵州）（多选）下列函数中，以为最小正周期的是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【题组二 对称性】 9．（2026·湖北孝感·一模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·四川南充·月考）函数图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·河南南阳·期末）若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26黑龙江）“”是“函数的图象关于点对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（25-26高三上·辽宁鞍山）（多选）下列函数关于对称的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·云南）（多选）已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 15．（2026·辽宁大连·一模）函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 16．（2026·湖北孝感·一模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·广西崇左·期末）若函数的图象关于点（）对称，则 . 【答案】 【题组三 单调性】 18．（25-26宁夏银川）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．最小正周期 B．函数在上单调递增 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于点对称 19．（25-26四川成都·期末）（多选）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 20．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数在上单调递增，且其图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是 ． 22．（25-26重庆·月考）函数的单调递增区间为 ． 【题组四 奇偶性】 23．（25-26黑龙江牡丹江·月考）（多选）下列函数中，最小正周期为，且在上为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26广东惠州·月考）已知函数，则是为偶函数的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 25．（2025·湖南永州·模拟预测）若为偶函数，则（    ） A． B． C．0或 D． 26．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，若为偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26天津北辰·月考）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且周期为 B．是奇函数，且周期为 C．是偶函数，且周期为 D．是奇函数，且周期为 29．（2026·安徽黄山·一模）函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 30．（25-26广东广州·期中）已知为奇函数，其中，则 . 【题组五 值域】 31．（25-26黑龙江）已知函数，则的值域为 ． 32．（25-26天津津南·月考）已知. (1)求的单调递减区间； (2)求在上的值域． 33．（25-26贵州）已知函数 (1)求函数的最小正周期及单调递增区间. (2)若，求函数的值域. 34．（25-26江苏无锡·月考）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调区间； (3)当时，求的最小值以及取得最小值时的集合； (4)解不等式. 【题组六 伸缩平移】 35．（25-26广东深圳）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 36．（2026·湖北·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．（2026·湖北荆州·一模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高三上·辽宁·期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 39．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 40．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 【题组七 解析式】 41．（2026·湖南湘潭·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C．图象的对称轴方程为 D．的单调递增区间为 42．（24-25高三下·广东肇庆·月考）（多选）函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 43．（25-26浙江杭州·期末）（多选）函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上单调递减 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度而得 44．（25-26贵州）（多选）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 45．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上有且仅有两个零点和两个最值点，则 46．（2026·四川雅安·一模）（多选）如图，函数 的图象过 ， 两点，则（    ）    A． B． C． 在区间 上的值域为 D．将 的图象向右平移 个单位后得到的函数的图象关于直线 对称 47．（2026福建）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 D．的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点中心对称 48．（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是 【题组八 综合运用】 49．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 50．（2026·湖北孝感·一模）已知函数（），且． (1)求在点处的切线方程； (2)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求函数在上的值域． 51．（2026·江苏南通·一模）已知函数，且． (1)若，，求的值； (2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 三角函数的性质 考向一 周期 【例1-1】（2026云南）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数，可得函数的最小正周期为. 故选：D. 【例1-2】（2025湖北）下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合. 故选：C. 【例1-3】（25-26四川）若函数的最小正周期为，则等于（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，得.故选：B 【一隅三反】 1．（25-26高三上·广东）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】最小正周期为.故选：C. 2．（25-26天津）下列函数中，周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数的最小正周期为，A不是； 对于B，函数的最小正周期为，B不是； 对于C，函数的最小正周期为，C是； 对于D，函数的最小正周期为，D不是. 故选：C 3．（25-26河北）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（   ） A．①②④ B．①②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【解析】对于①，设，因， ，显然，故不合题意； 对于②，因的最小正周期为，函数的图象可由的图象在轴下方的图象向上翻折（原先在轴上方的图象不变）得到，故其周期变为原来的一半，即，故符合题意； 对于③，因为，故函数的最小正周期为，故不合题意； 对于④，因函数的最小正周期为，故函数的最小正周期为，符合题意. 故最小正周期为的所有函数的序号为②④. 故选：C. 考向二 对称性 【例2-1】（25-26浙江杭州）已知函数，则（   ） A．直线是函数图象的对称轴 B．直线是函数图象的对称轴 C．点是函数图象的对称中心 D．点是函数图象的对称中心 【答案】A 【解析】对于A：将代入，得， 因此直线是函数图象的对称轴，故A正确； 对于B：将代入，得， 故直线不是函数图象的对称轴，故B错误； 对于C：将代入，得， 故点不是函数图象的对称中心，故C错误； 对于D：将代入，得，故D错误. 故选：A. 【例2-2】（2026·新疆·模拟预测）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以， 因为，所以由， 所以当时，有最小值. 故选：D 【例2-3】（25-26高三上·湖南·月考）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】函数的图象关于直线对称， 所以，，得，， 因为，所以当时，取最小值，为， 故选：A. 【一隅三反】 1．（25-26海南）函数的对称轴方程为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】令，解得，， 所以函数的对称轴方程为，. 故选：A. 2．（25-26高三上·河北邯郸·月考）函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得. 当时，，即一条对称轴为. 故选：B. 3．（2026·辽宁大连·一模）函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，余弦函数的对称中心为， 令，解得， 则函数的对称中心为，排除选项， 时，，对应选项， 对于选项，当时，， 故点不在函数图象上，不是对称中心，错误 故选：D 4．（25-26山东）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，令，解得， 所以该函数的对称中心为， 因为点是函数的对称中心，且，所以， 当时，取得最小值，其最小值为， 所以实数的最小值为.故选：A. 考向三 单调性 【例3-1】（25-26广东茂名）函数在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递增 【答案】B 【解析】因为，所以在区间上单调递增，在上单调递减. 故选：B 【例3-2】（25-26江苏常州）在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，函数； 由，，得，， 所以函数的单调递增区间是； 当时，，又，所以函数在单调递增，故B正确； 函数在，上单调递减，在上不单调，故ACD均错误. 故选：B. 【例3-3】（25-26广州）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 当时，，由余弦函数的单调性知，单调递减，故A错误； 当时，，由余弦函数的单调性知，不单调，故B错误; 当时，，由余弦函数的单调性知，单调递增，故C正确; 当时，，由余弦函数的单调性知，不单调，故D错误. 故选：C 【例3-4】（25-26天津·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】正弦函数的单调递增区间为， 因为函数，， 所以， 要使函数在上单调递增， 所以，解得，结合，故的取值范围是 故答案为：. 【一隅三反】 1．（25-26浙江嘉兴）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】因为函数的单调递减区间为，， 令， ， 解得：， ， 所以函数的单调递减区间为， 故答案为：. 2．（24-25山东）函数在上的单调递减区间是 ． 【答案】， 【解析】当时，.注意到在上递减， 又，， 则在上的单调递减区间是：，. 故答案为：， 3．（2025江苏·专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，， 所以， 因为，所以 又因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 4．（25-26吉林）已知函数在上单调递减，则的取值范围为 【答案】 【解析】当时，因为，所以， 由于函数在上单调递减， 所以，解得，故的取值范围为. 5．（25-26天津·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的对称轴方程和对称中心； (3)求的单调递增区间. 【答案】(1) (2)对称轴方程，；对称中心为 (3) 【解析】（1）的最小正周期为； （2）由可得对称轴方程满足，， 解得，； 对称中心横坐标满足，， 解得，， 故函数的对称中心为； （3）令，， 解得，，， 即函数的单调递增区间为. 考向四 奇偶性 【例4-1】（25-26新疆）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数不是周期函数，且为偶函数，故A错误； 对于B，函数的最小正周期，且为偶函数，故B错误； 对于C，函数的最小正周期，且为奇函数，故C正确； 对于D，函数的最小正周期，且为偶函数，故D错误. 故选：C 【例4-2】（25-26高三上·河南·月考）已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，则， 又，则当时，， 故的最小值为. 故选：B． 【一隅三反】 1．（25-26湖南）下列函数中最小正周期为且是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：因为，所以函数是奇函数，不符合题意； B：，因为的最小正周期为，不符合题意； C：令，因为， 所以该函数不是偶函数，不符合题意； D：，显然该函数的最小正周期为， 令，因为，所以该函数是偶函数，符合题意. 故选：D 2．（2025·上海嘉定·一模）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【解析】， 所以函数为奇函数，最小正周期. 故选：C 3．（25-26广西）若函数为偶函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 因为为偶函数，所以，即， 当时，A正确，经检验BCD都不满足. 故选：A 4．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为的奇函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，根据图象可知，函数的定义域为R，， 所以以为周期的偶函数，故A错误； 对于B，，，函数的定义域为R，，所以以为周期的偶函数，故B错误； 对于C，，，函数的定义域为R，， 所以以为周期的奇函数，故C错误； 对于D，，函数的定义域为关于原点对称，且，所以以为周期的奇函数，故D正确. 故选：D 考向五 值域 【例5-1】（25-26福建）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为 （     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【解析】由函数的最小正周期为，可得， 解得，所以， 因为，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为. 故选：B 【例5-2】（25-26广东梅州）已知函数，，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由， 令，，则， 则， 当，即或时，取得最大值. 故选：C. 【例5-3】（25-26江苏）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时的值. 【答案】(1)，； (2)时，最大值2，时，最小值. 【解析】（1）因为， 由正弦函数的单调性得，，解得，， 因此，函数的单调递减区间为，； （2）由（1）知，， 所以， 当时，， 当时，即时，函数取最大值， 当时，即时，函数取最小值. 【一隅三反】 1．（25-26上海）函数，的值域是 . 【答案】 【解析】，且，， ，， 因此函数，的值域是. 故答案为：. 2．（25-26河北）函数的值域是 . 【答案】 【解析】由， 令，则，所以， 当时，有最大值，当时，有最小值， 故的值域为. 故答案为： 3．（25-26黑龙江牡丹江）已知函数. (1)求出函数图象的对称中心和对称轴; (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)对称中心为，；对称轴为， (2) 【解析】（1）由，得， 所以图象的对称中心为，； 由，得， 所以图象的对称轴为，. （2）由，得，故， 所以在的取值范围是. 4．（25-26陕西西安·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间的值域． 【答案】(1)最小正周期为；单调递减区间为 (2) 【解析】（1）因为函数 所以函数的最小正周期为， 令， 解得：， 所以函数的单调递减区间为 （2）令， 解得：， 函数的单调递增区间为 所以当时，在上单调递减，在上单调递增， 由于，， ， 所以函数在区间的值域为 考向六 伸缩平移 【例6-1】（25-26江苏）要得到函数的图象，只需将函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】由，故其函数图象向右平移个单位得到的图象. 故选：D 【例6-2】（25-26湖南长沙）（多选）已知曲线，，则下列说法正确的是（ ） A．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到曲线 B．把曲线向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到曲线 C．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到曲线 D．把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到曲线 【答案】BCD 【解析】A.由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，不符合题意； B.由函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 再将所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，符合题意； C.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象， 再向右平移个单位长度，得到的图象，符合题意； D.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象， 再向左平移个单位长度，得到的图象，符合题意. 故选：BCD. 【一隅三反】 1．（25-26高三上·河北邢台·月考）为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】，只需要将函数的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象，故选：D 2．（2026·陕西咸阳·一模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【解析】因为，所以将的图象向左平移个单位，可得函数的图象. 故选：A 3．（2026·陕西宝鸡·一模）将函数的图象向左平移后得到的图象，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，函数的图象向左平移后得到的图象，即，即的解析式为. 故选：C. 4．（2025·安徽·二模）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】依题意，得，得， 所以， ， 了得到的图象，需要将函数的图象, 需要将函数的图象向左平移个单位长度． 故选：A． 5．（25-26青海西宁·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意， 对于A，，所以是图象的一条对称轴； 对于B，，所以不是图象的一条对称轴； 对于C，，所以不是图象的一条对称轴； 对于D，，所以不是图象的一条对称轴. 故选：A. 考向七 解析式 【例7-1】（23-24山东淄博）（多选）函数的部分图象如图，则下列说法中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的表达式 C． D．函数图象是由图象向左平移个单位而得到 【答案】BCD 【解析】对于A，由图可知函数的最小正周期满足，解得， 即函数的最小正周期为，故A错误； 对于B，由得，由图可知，且， 解得，又因为，所以只能， 所以函数的表达式，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由图象向左平移个单位得到图象所对应的函数解析式为，故D正确. 故选：BD. 【一隅三反】 1．（23-24云南昆明）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B． C． D．的单调递增区间为 【答案】BD 【解析】由图象知，最小正周期，则，B正确，A错误； 由上，函数的图象过点， 则，C错误； 对于函数， 令，解得， 所以单调递增区间为，D正确． 故选：BD. 2．（24-25河南信阳）（多选）函数（，，是常数，且，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B．在区间上单调递增 C．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 D． 【答案】BD 【解析】根据函数图象，易知：，. 由，. 所以，. 因为，故A错误； 由. 因为，所以函数在上单调递增，故B正确； 将的图象向左平移个单位得：，不是偶函数，故C错误； 因为，故D正确. 故学：BD 3．（25-26贵州遵义）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（   ）    A．的图象关于点对称 B．将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象 C．在上单调递增 D．的一个零点为 【答案】AB 【解析】由图可知的最小正周期为，所以, 所以.又，即. 令，解得， 又，所以，所以.， 对于A，可得，所以A正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，令， 解得， 当时，得到的一个单调递增区间为， 下一个单调递增区间为， 所以在上不是单调递增的，所以C错误； 对于D，令， 则，所以D错误. 故选：AB. 考向八 综合运用 【例8】（2026·辽宁沈阳·一模）且 (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)说明函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象，写出一个变换过程. 【答案】(1) (2) (3)详细见解析 【解析】（1）根据题意知， 根据正弦函数的周期公式，所以最小正周期为. （2）根据“左加右减”的原则，可得， 已知，则， 当时，取最大值，最大值为， 当时，取最小值，最小值为， 所以当时，函数的值域为 （3）把的图象上所有点向右平移个单位得到的图象； 再把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象， 再把的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变得到. 【一隅三反】 1．（2026·江苏镇江）（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 ， 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，令，，解得， 所以区间包含单调递增区间和单调递减区间，故B错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度后得到：， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 对于D，令，即，得，，即，， 当时，，当时，， 若在区间上恰有一个零点，则， 则实数的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 2．（2026·河北沧州·一模）（多选）已知函数，满足，且对任意，都有，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上的值域为 C．的单调递增区间为 D．若方程在区间上恰有五个不等的实根，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】对于A，因为函数满足， 所以的图象关于点对称，则有， 即． 对任意，都有，则为最大值， 所以， 则有，因为，所以， 所以函数的解析式为． 对于A，当时，，此时取得最小值， 故的图象关于直线对称，A正确； 对于B，因为，所以， 所以，所以函数的值域为，B错误； 对于C，令， 解得， 所以的单调递增区间为，C正确； 对于D，，则， 令则在上的图象如下， 当时，， 由图可知，要使得函数图象在上与直线的交点只有5个， 那么应在点（包括）的横坐标之间时符合题意． 所以令，则或， 同理令，解得或， 所以点的横坐标依次为， 所以，解得，D错误． 故选：AC． 3．（2025·北京）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1). (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【解析】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 【题组一 周期】 1．（25-26 湖北）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数是将位于轴下方的图像关于轴翻上去， 函数图象如图所示， 函数的最小正周期为. 故选：C. 2．（2025·河南·一模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的最小正周期为.故选：A 3．（2025·河南·模拟预测）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的图象是由的图象将轴下方的图象翻折到轴上方和轴上方的图象组成的， 所以的最小正周期是的最小正周期的一半， 因为的最小正周期为， 所以的最小正周期为． 故选：C 4．（25-26甘肃）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【解析】①，正弦函数的最小正周期为，但取绝对值后，负半轴图像沿轴翻折到正半轴， 由于，因此的最小正周期为； ②，，因此的最小正周期为； ③，当时，；当时，，其图像关于轴对称，不是周期函数，故最小正周期不存在； ④，最小正周期，所以最小正周期为； 综上，最小正周期为的函数是①②. 故选：A. 5．（25-26高三上·河南商丘·月考）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法1：周期性的定义 故周期为 ，故不为周期， 又，，， 故，，故不为周期， 排除A、C、D. 法2：因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以函数的最小正周期是与的最小公倍数. 故选：B 6．（25-26湖北）（多选）已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由于， 所以函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到， 结合选项A可得函数周期为，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：AB 7．（24-25贵州）（多选）下列函数中，以为最小正周期的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A选项，，所以A正确； 对于B选项，，所以B正确； 对于C选项，，所以C正确； 对于D选项，，所以D错误. 故选：ABC. 8．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 【题组二 对称性】 9．（2026·湖北孝感·一模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以，，即，， 所以，所以. 故选：D 10．（25-26高三上·四川南充·月考）函数图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数图象的对称轴为直线， 令，得， 令，得，令，得，令，得， 结合选项可知函数图象的一条对称轴是. 故选：B. 11．（25-26高三上·河南南阳·期末）若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，得，， 因此函数图象的对称中心为， 而，则，，，， 所以，，，所以的最小值为. 故选：D 12．（25-26黑龙江）“”是“函数的图象关于点对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】正切函数的对称中心为，， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 所以“”是“函数的图象关于点对称”的充要条件. 故选：C． 13．（25-26高三上·辽宁鞍山）（多选）下列函数关于对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于：， ， 所以不是的对称轴，故错误； 对于：， 所以是的对称轴，故正确； 对于：，， 所以是的对称轴，故正确； 对于：， ， 所以是的对称轴，故正确. 故选：BCD. 14．（2025·云南）（多选）已知函数的图象关于点对称，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为函数的图象关于点对称， 所以，则. A：令，符合题意； B：令，不符合题意； C：令，符合题意； D：令，不符合题意， 故选：AC 15．（2026·辽宁大连·一模）函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，余弦函数的对称中心为， 令，解得， 则函数的对称中心为，排除选项， 时，，对应选项， 对于选项，当时，， 故点不在函数图象上，不是对称中心，错误 故选：D 16．（2026·湖北孝感·一模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以，，即，， 所以，所以. 故选：D 17．（25-26高三上·广西崇左·期末）若函数的图象关于点（）对称，则 . 【答案】 【解析】令，则，故的对称中心为， 所以，可得时有. 故答案为： 【题组三 单调性】 18．（25-26宁夏银川）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．最小正周期 B．函数在上单调递增 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于点对称 【答案】BC 【解析】对于选项A:最小正周期,A错误； 对于选项B:令. 解得. 当时，递增区间为，所以在上单调递增，故选项B正确； 对于选项C:正弦函数对称轴满足, 代入可得，当时，满足正弦函数对称轴条件，即选项C正确； 对于选项D:正弦函数对称中心满足, 代入可得, 所以函数的图象关于点不对称，即选项D错误. 故选：BC 19．（25-26四川成都·期末）（多选）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由的最小正周期为，A不符， 由的最小正周期为，而在上单调递增， 所以在上单调递减，则在上单调递增，B符合， 由的最小正周期为，在上单调递增，C符合， 由的最小正周期为，D不符. 故选：BC 20．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数在上单调递增，且其图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的图象关于直线对称，所以，即， 因为在上，即上单调递增， 显然，则，可得，故 综上，，则，故. 故选：D 21．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 22．（25-26重庆·月考）函数的单调递增区间为 ． 【答案】和 【解析】. 求的单调递增区间等价于求的单调递减区间. 令，，解得，. 当时，，与交集为； 当时，，与交集为； 综上，函数的单调递增区间为和. 故答案为：和. 【题组四 奇偶性】 23．（25-26黑龙江牡丹江·月考）（多选）下列函数中，最小正周期为，且在上为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于选项A，易知的最小正周期为， 因为，又，关于原点对称， 令，又， 所以在上为奇函数，故A正确， 对于选项B，易知的最小正周期为， 因为，又，关于原点对称， 令，又， 所以在上为奇函数，故B正确， 对于C，易知的最小正周期为，所以C错误， 对于D，易知的最小正周期为，所以D错误， 故选：AB. 24．（25-26广东惠州·月考）已知函数，则是为偶函数的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】先判断充分性： 当时，，函数为偶函数，满足充分性； 再判断必要性： 当为偶函数时，，即， 展开得， 即， ∴，∴，即，不满足必要性， ∴是为偶函数的充分不必要条件， 故选：B. 25．（2025·湖南永州·模拟预测）若为偶函数，则（    ） A． B． C．0或 D． 【答案】A 【解析】若为偶函数，又，则或，解得或， 若，则， 若，则，所以. 故选：A 26．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，若为偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 为偶函数，故，即， 又，故当时，满足要求，C正确；其他选项均不正确. 故选：C 27．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，则， 显然时，而、、均不可能. 故选：C 28．（25-26天津北辰·月考）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且周期为 B．是奇函数，且周期为 C．是偶函数，且周期为 D．是奇函数，且周期为 【答案】A 【解析】函数，定义域为， 因为，所以为偶函数， 又因为，所以的最小正周期为， 故选：A. 29．（2026·安徽黄山·一模）函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】向左平移后解析式为， 若其图象关于轴对称，则， 则，又因为，则当时，取得最小值，为. 故选：C. 30．（25-26广东广州·期中）已知为奇函数，其中，则 . 【答案】 【解析】易知函数为奇函数，所以，， 当时，， 故答案为：. 【题组五 值域】 31．（25-26黑龙江）已知函数，则的值域为 ． 【答案】 【解析】因为， 令，所以函数变为， 当时，函数的最小值为， 又函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且， 所以函数的值域为，即的值域为. 故答案为：. 32．（25-26天津津南·月考）已知. (1)求的单调递减区间； (2)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）， 令，解得， 所以函数单调递减区间为. （2）设，因为，所以， 所以，所以的值域为· 33．（25-26贵州）已知函数 (1)求函数的最小正周期及单调递增区间. (2)若，求函数的值域. 【答案】(1)；单调递增区间为 (2)值域为 【解析】（1）函数的最小正周期为： 由，得，， ∴函数的单调递增区间为， （2），， 其中当，即时，函数有最大值1， 当，即时，函数有最小值. ∴值域为. 34．（25-26江苏无锡·月考）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调区间； (3)当时，求的最小值以及取得最小值时的集合； (4)解不等式. 【答案】(1)； (2)的单调递增区间是， 的单调递减区间是； (3)，取最小值时的集合为； (4). 【解析】（1），， ， ， ， ， ， ； （2）， 当，即， 的单调递增区间是； 当，即， 的单调递减区间是； （3）， ，， 当时，即时， 取最小值为， 取最小值时的集合为； （4）， ，， ， ， ， 的解集为. 【题组六 伸缩平移】 35．（25-26广东深圳）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，， 令，得， 取，得，故A正确； 不存在使得等于，故B、C、D错误. 故选：A. 36．（2026·湖北·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的图象向左平移个单位长度， 可得，若图象关于原点对称， 则满足，得， 因为，故当时，取得最小值， 故选：C. 37．（2026·湖北荆州·一模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 故， 令，即， 即函数的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为，A正确； 对于B，当时，， 由于在上不单调，故不是的单调增区间，B错误； 对于C，时，， 由于在上不单调，故不是的单调增区间，C错误； 对于D，时，， 由于在上单调递减，故是的一个单调减区间，D错误； 故选：A 38．（25-26高三上·辽宁·期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 结合选项可知A正确. 故选：A. 39．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 【答案】 【解析】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 40．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【解析】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 【题组七 解析式】 41．（2026·湖南湘潭·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C．图象的对称轴方程为 D．的单调递增区间为 【答案】ABD 【解析】由图可得，由，得． 由，得， 因为，所以，A正确． 由A的分析可得， 令，得， 所以图象的对称轴方程为，C错误． ，B正确． 令，得， 所以的单调递增区间为，D正确． 故选：ABD 42．（24-25高三下·广东肇庆·月考）（多选）函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 【答案】ABC 【解析】对于选项A：由题意可得，故，则，故A正确； 根据图像，可得， 即，解得，又，即， 所以， 对于选项B：当时，有， 故的图象关于点对称，故B正确； 对于选项C：令，则， 当时，， 而在单调递增，故C正确； 对于选项D：将函数的图象向由右平移个单位得到 ，故D错误. 故选：ABC. 43．（25-26浙江杭州·期末）（多选）函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上单调递减 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度而得 【答案】ABD 【解析】由题可知，，得，则. 由图象可知，， 得，又因为，故取，得， 则， 又由图象可知，，得， 则. 对于A：由以上分析可知，，故A正确； 对于B：由以上分析可知，，故B正确； 对于C：若，则， 因此在上先递减再递增，故C错误； 对于D：的图象向左平移个单位长度，得到，故D正确. 故选：ABD. 44．（25-26贵州）（多选）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 【答案】AB 【解析】对于A，由函数图象可得，由，解得，故A正确； 所以，又函数过点，即， 所以，即，又，所以， ， 对于B，当时，， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，将函数的图象向右平移个单位得到： ，故C错误； 对于D，当时，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 又， 故方程在上有且只有一个实数根时，则的取值范围是，故D错误. 故选：AB. 45．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上有且仅有两个零点和两个最值点，则 【答案】AD 【解析】由函数图象可知，， 所以，又，，所以，故A正确； 所以， 由， 得，解得， 由于，所以，所以， 得，所以函数的图象不关于点 对称，故B错误； 当时，， 而，且在为减函数， 在上为增函数，故在上不单调，故C错误； 因为， 由，得， 若函数在上有且仅有两个零点和两个最值点， 则，解得，故D正确. 故选：AD. 46．（2026·四川雅安·一模）（多选）如图，函数 的图象过 ， 两点，则（    ）    A． B． C． 在区间 上的值域为 D．将 的图象向右平移 个单位后得到的函数的图象关于直线 对称 【答案】BD 【解析】由图可知，在处函数取得最小值，因此可得：. 根据图象可得：，又因为：， 故函数表达式为：，将点代入函数， 即，因为，所以得：， 函数表达式为：. 故选项A错误，选项B正确. 由，得，所以， 所以函数在上的值域为，故选项C错误. 平移后的函数， 对称轴满足：， 令，解得，故D正确. 故选：BD 47．（2026福建）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 D．的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点中心对称 【答案】D 【解析】观察图象，得，则，而，解得，， 由，得，解得， 令函数的最小正周期为，由，得， 因此，， 对于A，当时，，而当， 即时，函数取到最小值，A错误； 对于B，，而当时，函数取到最小值，B错误； 对于C，是奇函数，图象关于原点对称，C错误； 对于D，是奇函数，图象关于原点对称，D正确. 故选：D 48．（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【解析】由图可知，所以， 且，所以， 又因为，所以只能，所以， 对于A， ，故A错误； 对于B．，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，若把图象上所有点右平移个单位，则所得函数是，故D错误． 故选：B. 【题组八 综合运用】 49．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 50．（2026·湖北孝感·一模）已知函数（），且． (1)求在点处的切线方程； (2)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为且，所以，所以， 所以，所以， 所以切线方程为，即为； （2）由条件可知，， 因为，令， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且，所以， 所以函数在上的值域为. 51．（2026·江苏南通·一模）已知函数，且． (1)若，，求的值； (2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并求的取值范围． ①函数在区间上只有最大值，没有最小值； ②函数在区间上恰有4个零点： ③函数在区间上单调递增． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以． 当时，， 因为，所以． 令，则， 所以， 所以． （2）对于①：因为，所以，则，解得； 对于②：因为，所以，则，解得； 对于③：因为，所以，则，解得； 因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③． 由，得， 即的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $