第03讲 复数讲义-2026年艺体生高三数学一轮复习资料（新高考新题型）

第03讲 复数 考向一 复数的计算 复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法， 1.复数的加减，实质的合并同类项 2.复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可． 3.复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．除法实际上是分母实数化的过程 【例1-1】（2025·陕西西安·三模）已知，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 【例1-2】（2026·四川宜宾·一模）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（2025·江苏·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例1-4】（2025·吉林松原·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·广东·模拟预测）设（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 4．（2025甘肃天水）复数满足，则 . 5．（2025·上海黄浦·一模）已知是虚数单位，则 ． 6．（2025·上海静安·一模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数 ． 考向二 复数的实部、虚部 通过运算法则化成z=a+bi的形式，虚部为i前面的数字，不带i 【例2-1】（2026·山东·一模）复数的共轭复数的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 【例2-2】（2026·河南洛阳·模拟预测）已知，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 【例2-3】（25-26高三上·河北邢台·月考）复数的实部为 ． 【一隅三反】 1．（2025·全国·模拟预测）复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东汕尾·一模）在复平面内，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知复数，则z的虚部为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·云南·模拟预测）复数的实部为 . 考向三 复数的模长 模长 【例3-1】（2026·四川巴中·一模）已知（其中i为虚数单位），则（    ）． A．5 B．7 C．9 D．25 【例3-2】（25-26高三上·河南·月考）已知，则 （    ） A．1 B． C． D． 【一隅三反】 1．（2026·黑龙江大庆·二模）已知复数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（2026·云南昭通·模拟预测）设i为虚数单位，若复数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2026·辽宁大连·一模）已知，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 4．（2026·河南鹤壁·一模）若复数满足，则（　　） A． B． C． D． 考向四 复数的几何意义 【例4-1】（2026·河北·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例4-2】（25-26高三上·吉林四平·月考）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例4-3】（2026·四川广安·一模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·湖北荆门·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·四川成都·模拟预测）复数在复平面内对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考向五 复数的分类 【例5-1】（2026湖北）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ） A．1 B．–1 C．2 D．–2 【例5-2】（2026河南）若复数是虚数单位为纯虚数，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2025·江苏）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____. 2．（2026山东）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________． 3．（2026·黑龙江）若(为虚数单位)是纯虚数，则实数（ ） A． B． C． D． 4．（2026福建）设a为实数，且为纯虚数(其中i是虚数单位)，则a＝（ ） A．1 B．－1 C． D．－2 考向六 复数范围内解方程 方程的两根互为共轭复数，根与系数的关系可以韦达定理。 【例6-1】（2026·江苏）已知是关于x的方程的根，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【例6-2】（2025河南）已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝ ． 【一隅三反】 1（2025·江苏）已知是关于x的方程的一个根，则该方程的另一个根为（ ） A．2i＋3 B．－2i－3 C．2i－3 D．－2i＋3 2．（2026·河南）已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．（2025·湖南）已知复数是关于的方程的一个根，则 （    ） A．25 B．5 C． D．41 考向七 复数在平面几何中的应用 复数的方程在复平面上表示的图形 (1)表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)表示以为圆心，r为半径的圆． 【例7-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【例7-2】（2026·上海闵行）若，则的最大值与最小值的和为___________. 【例7-3】（2025·陕西西安）在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为____________. 【一隅三反】 1．（2026·湖北）已知为复数，且，则的最大值为____________. 2．（2026·重庆）（多选）已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（ ） A．复数的虚部为 B． C．的最大值 D．的最小值为 3．（2026·山东文登）（多选）已知复数（i为虚数单位），，则下列结论中正确的是（ ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．若，则的最大值为 1． 单选题 1．（2025·陕西西安·模拟预测）复数，z的共轭复数为，则（    ） A． B．2 C． D． 2．（2025·江苏南通·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西·模拟预测）设复数满足，则（   ） A． B．1 C． D．2 4．（2026·重庆·模拟预测）设为虚数单位，则的虚部为（   ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 5．（2026·陕西西安·一模）复数的虚部为（   ） A．2 B． C．0 D． 6．（2026·新疆·二模）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数的虚部为（    ） A． B．7 C． D． 7．（2026·湖北·模拟预测）复数的虚部为（    ） A． B． C． D．i 8．（2026·河北邯郸·模拟预测）复数的共轭复数记为，则（    ） A． B． C． D．2 9．（2026·重庆九龙坡·一模）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（2025·四川成都·一模）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2026·河北邢台·一模）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·河北沧州·一模）已知，则（   ） A．1 B． C．0 D．5 13．（2026·河南郑州·模拟预测）设复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．2 14．（2026·吉林长春·一模）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 15．（25-26高三上·山东·月考）已知复数（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 16．（2026·河南开封·一模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D．2 17．（25-26高三上·重庆·月考）已知复数满足，则为（    ） A． B． C． D． 18．（2026·四川绵阳·二模）i为复数单位，复数；则（   ） A．1 B． C． D．2 19．（2026·山东青岛·模拟预测）已知，则（   ） A． B．2 C． D．4 20．（2026·云南·模拟预测）若复数满足，，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 21．（2025·湖南长沙·二模）已知，则（ ） A． B． C． D．40 22．（2025·江苏·模拟预测）在复平面内对应的点位于第几象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 23．（2025·河北沧州·模拟预测）若复数是虚数单位为纯虚数，则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 24．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（2026·河北沧州·一模）已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 26．（2025·河北沧州·一模）“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．（2025·河北·模拟预测）已知复数是虚部为正数的纯虚数，且满足，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 2． 多选题 28．（2026·四川攀枝花·一模）设复数z满足（i为虚数单位），记为z的共轭复数，则（   ） A． B．复数z的虚部为 C． D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 29．（2026·吉林白山·一模）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 30．（2026·河北沧州·一模）已知为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 31．（2026·陕西西安·三模）设，，则（   ） A． B． C． D． 32．（2025·重庆·模拟预测）已知复数 ，则下列结论正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，则的取值范围是 33．（2025·湖北武汉·二模）若复数，则（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数满足，则的最大值为 34．（2025·甘肃·模拟预测）若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（    ） A．的实部是 B． C．在复平面内对应的点在第一象限 D．与在复平面内它们所对应的点关于轴对称 35．（2025·广东江门·模拟预测）若复数，则（　　） A．的实部等于的虚部 B．的虚部等于的实部 C． D．与在复平面内对应的点均不在第二象限 36．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知复数满足，则（   ） A．的虚部为 B．在复平面内所对应的点在第二象限 C． D． 37．（2025·吉林长春·模拟预测）已知复数，则（　　） A．的虚部为 B． C． D．复数在复平面内对应的点位于第四象限 3． 填空题 38．（2025·天津河北·模拟预测）i是虚数单位，则复数 ． 39．（2025·天津·模拟预测）已知i是虚数单位，化简的结果为 ． 40．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知是虚数单位，则 ． 41．（2025高三上·江西南昌·专题练习）若，则 ． 42．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 . 43．（25-26高三上·上海·期中）已知复数，为纯虚数，则实数 . 44．（25-26高三上·上海·月考）若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 . 45．（25-26 湖南长沙 ）复数满足，则的最大值为 ． 46（2024·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为 47.（2024·重庆·统考二模）复平面内复数满足，则的最小值为 48．（2024·全国·校联考三模）已知复数满足，则的最大值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 复数 考向一 复数的计算 复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法， 1.复数的加减，实质的合并同类项 2.复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可． 3.复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．除法实际上是分母实数化的过程 【例1-1】（2025·陕西西安·三模）已知，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由题意则.故选：B 【例1-2】（2026·四川宜宾·一模）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知为虚数单位，则,故选：D 【例1-3】（2025·江苏·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得：.故选：A. 【例1-4】（2025·吉林松原·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得.故选：D. 【一隅三反】 1．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C 2．（2026·吉林·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，所以，所以.故选：C 3．（2025·广东·模拟预测）设（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则.故选：C 4．（2025甘肃天水）复数满足，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， 故答案为：. 5．（2025·上海黄浦·一模）已知是虚数单位，则 ． 【答案】 【解析】由题意有：，故答案为：. 6．（2025·上海静安·一模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数 ． 【答案】 【解析】因为，所以. 故答案为：. 考向二 复数的实部、虚部 通过运算法则化成z=a+bi的形式，虚部为i前面的数字，不带i 【例2-1】（2026·山东·一模）复数的共轭复数的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】因为复数的共轭复数是，所以复数的虚部为.故选：C 【例2-2】（2026·河南洛阳·模拟预测）已知，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由题可得：，所以的虚部为, 故选：D 【例2-3】（25-26高三上·河北邢台·月考）复数的实部为 ． 【答案】 【解析】由题意得，所以复数的实部为．故答案为：. 【一隅三反】 1．（2025·全国·模拟预测）复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，故的虚部为.故选：C. 2．（2025·广东汕尾·一模）在复平面内，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，所以虚部为. 故选：D 3．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知复数，则z的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，则， 所以z的虚部是．故选：B． 4．（2025·云南·模拟预测）复数的实部为 . 【答案】8 【解析】，所以复数实部为8. 故答案为：8. 考向三 复数的模长 模长 【例3-1】（2026·四川巴中·一模）已知（其中i为虚数单位），则（    ）． A．5 B．7 C．9 D．25 【答案】A 【解析】因为，所以，则.故选：A 【例3-2】（25-26高三上·河南·月考）已知，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，故．故选：D 【一隅三反】 1．（2026·黑龙江大庆·二模）已知复数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】复数满足，则.故选：B. 2．（2026·云南昭通·模拟预测）设i为虚数单位，若复数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由题意可化简得，则，故选：D. 3．（2026·辽宁大连·一模）已知，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】，，，故选：B 4．（2026·河南鹤壁·一模）若复数满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，故. 故选：C. 考向四 复数的几何意义 【例4-1】（2026·河北·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】根据复数的几何意义，复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【例4-2】（25-26高三上·吉林四平·月考）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】，故在复平面内，复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 【例4-3】（2026·四川广安·一模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，则，，所以.故选：C. 【一隅三反】 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由，其对应点为在第三象限.故选：C 2．（2026·湖北荆门·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】， ∴复数在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限. 故选：C. 3．（2025·四川成都·模拟预测）复数在复平面内对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，它在第二象限，故选：B 考向五 复数的分类 【例5-1】（2026湖北）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ） A．1 B．–1 C．2 D．–2 【答案】C 【解析】因为为实数，所以，故选：C 【例5-2】（2026河南）若复数是虚数单位为纯虚数，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，它为纯虚数，则，解得． 故选：D． 【一隅三反】 1．（2025·江苏）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____. 【答案】2. 【解析】，令得. 2．（2026山东）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________． 【答案】-2 【解析】为实数， 则. 3．（2026·黑龙江）若(为虚数单位)是纯虚数，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由为纯虚数，∴，可得.故选：A. 4．（2026福建）设a为实数，且为纯虚数(其中i是虚数单位)，则a＝（ ） A．1 B．－1 C． D．－2 【答案】A 【解析】由为纯虚数，可得,所以.故选: A. 考向六 复数范围内解方程 方程的两根互为共轭复数，根与系数的关系可以韦达定理。 【例6-1】（2026·江苏）已知是关于x的方程的根，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为是关于x的方程的根，则另一根为 由韦达定理得，所以 故选：B 【例6-2】（2025河南）已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝ ． 【答案】19 【解析】因为是关于x的方程的一个根，所以是方程的另一个根， 所以，解得，所以，故答案为：19 【一隅三反】 1（2025·江苏）已知是关于x的方程的一个根，则该方程的另一个根为（ ） A．2i＋3 B．－2i－3 C．2i－3 D．－2i＋3 【答案】B 【解析】根据题意，方程的另一个根为.故选：B. 2．（2026·河南）已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解析】由是关于的方程的一个根，则是关于的方程的一个根， 则，，即，，则，故选：D. 3．（2025·湖南）已知复数是关于的方程的一个根，则 （    ） A．25 B．5 C． D．41 【答案】C 【解析】因为复数是关于的方程的一个根， 所以，所以，所以，所以， 则，故选：C. 考向七 复数在平面几何中的应用 复数的方程在复平面上表示的图形 (1)表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)表示以为圆心，r为半径的圆． 【例7-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【解析】设复数，则， 代入，两边平方得：， ， 两边除以：， 以配方：， 这是圆的标准方程，圆心为，半径为． ∴复数z对应的点的轨迹是圆． 故选：B． 【例7-2】（2026·上海闵行）若，则的最大值与最小值的和为___________. 【答案】 【解析】由几何意义可得：复数表示以（）为圆心的半径为1的圆， 则. 故答案为： 【例7-3】（2025·陕西西安）在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为____________. 【答案】6 【解析】令且，则，即复数对应点在原点为圆心，半径为1的圆上， 而，即点到定点距离的最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 【一隅三反】 1．（2026·湖北）已知为复数，且，则的最大值为____________. 【答案】 【解析】由题意设，则 ，，即，即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆. 则，可理解为求点到点之间的距离， 数形结合可知，的最大值为4．故答案为： 2．（2026·重庆）（多选）已知复数（为虚数单位）在复平面内的对应的点为，复数满足在复平面内对应的点为，则下列结论正确的有（ ） A．复数的虚部为 B． C．的最大值 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】对于A，由得，虚部为1，故A错误， 对于B，因为，，在复平面内对应的点为，则， 所以，故B正确， 对于C，由题意知，点B在以为圆心，半径为2的圆周上， 根据复数的几何意义，， 所以，，故C正确， 对于D，表示点B与定点的距离，易知点在圆内，所以，故D错误.故选：BC. 3．（2026·山东文登）（多选）已知复数（i为虚数单位），，则下列结论中正确的是（ ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】因为，所以，所以，的虚部为，A选项错误；的实部为，虚部为，在复平面内对应的点位于第四象限，B正确；，C正确；，设，则，则，两边平方得：，即复数可以看做复平面内的点，则该点在圆心为 ，半径的圆上，连接原点与圆心并延长，与圆的交点即为的最大值，此时，D正确. 故选：BCD 1． 单选题 1．（2025·陕西西安·模拟预测）复数，z的共轭复数为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】因，则，.故选：B 2．（2025·江苏南通·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，故选：C. 3．（2025·陕西·模拟预测）设复数满足，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】由已知得，从而，即，所以．故选：C． 4．（2026·重庆·模拟预测）设为虚数单位，则的虚部为（   ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】C 【解析】根据虚数单位的定义，，则， 将代入得： ， 根据复数的定义，得出的虚部为. 故选：C. 5．（2026·陕西西安·一模）复数的虚部为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【解析】，的虚部为， 故选：B. 6．（2026·新疆·二模）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数的虚部为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【解析】根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量， 根据向量减法坐标运算可得向量， 从而向量对应的复数为，虚部为7. 故选：B. 7．（2026·湖北·模拟预测）复数的虚部为（    ） A． B． C． D．i 【答案】B 【解析】， 所以复数的虚部为. 故选：B. 8．（2026·河北邯郸·模拟预测）复数的共轭复数记为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】因为，则， 所以. 故选：D 9．（2026·重庆九龙坡·一模）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】，则复数在复平面内对应的点为，位于第四象限， 故选：D 10．（2025·四川成都·一模）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由，对应点为在第四象限. 故选：D 11．（2026·河北邢台·一模）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 即，得. 故选：A 12．（2026·河北沧州·一模）已知，则（   ） A．1 B． C．0 D．5 【答案】A 【解析】 所以. 故选：A 13．（2026·河南郑州·模拟预测）设复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由题意可知，所以， 所以其虚部为. 故选：B 14．（2026·吉林长春·一模）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】， 所以复数的虚部是1. 故选：B 15．（25-26高三上·山东·月考）已知复数（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意有：， 所以. 故选：B. 16．（2026·河南开封·一模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为，所以，故， 故选：B 17．（25-26高三上·重庆·月考）已知复数满足，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，所以可得，所以，故A正确. 故选:A. 18．（2026·四川绵阳·二模）i为复数单位，复数；则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】由复数，所以. 故选：B. 19．（2026·山东青岛·模拟预测）已知，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】因为，故， 故， 故选：A 20．（2026·云南·模拟预测）若复数满足，，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】设，则， 因为，故，所以， 又，得，则，所以. 故选：C. 21．（2025·湖南长沙·二模）已知，则（ ） A． B． C． D．40 【答案】B 【解析】，则， 所以； 所以， 故选：B 22．（2025·江苏·模拟预测）在复平面内对应的点位于第几象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【解析】，，复数在复平面内对应的点为，在第二象限，故B正确．故选：B． 23．（2025·河北沧州·模拟预测）若复数是虚数单位为纯虚数，则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为纯虚数，所以，则， 所以，其共轭复数为. 故选：C 24．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，复数为纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得； 综上，p为q的充要条件. 故选：C 25．（2026·河北沧州·一模）已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【解析】设对应点的坐标为，则， 消去得，则点的轨迹为圆． 故选：B． 26．（2025·河北沧州·一模）“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意知， 当时，，复数，是纯虚数，充分性成立； 当复数为纯虚数时，有，必要性成立. 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：C 27．（2025·河北·模拟预测）已知复数是虚部为正数的纯虚数，且满足，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 【答案】A 【解析】设，代入， 得到，解得， 即，故，即， 解得或－2，因为，所以，故. 故选：A． 2． 多选题 28．（2026·四川攀枝花·一模）设复数z满足（i为虚数单位），记为z的共轭复数，则（   ） A． B．复数z的虚部为 C． D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 【答案】AC 【解析】因为，所以， 对于A：，A正确； 对于B：因为复数，所以复数的虚部为，B错误； 对于C：因为，所以，所以， 又，所以，C正确； 对于D：因为复数，所以复数在复平面内对应的点坐标为，在 第四象限，D错误； 故选：AC. 29．（2026·吉林白山·一模）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 【答案】AB 【解析】由复数z满足，可得， A，复数的虚部为，正确； B，由，得，则复数在复平面内对应的点为位于第三象限，正确； C，由复数模的计算公式，可得，错误； D，因为复数和都是虚数，不能比较大小，错误. 故选：AB 30．（2026·河北沧州·一模）已知为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 【答案】ABD 【解析】A，设，， ， ， 所以，正确； B，设，则， 由，得，所以，正确； C，若，不妨取，， 此时，但不成立，错误； D，若是方程的两根， 根据韦达定理可知， 则，正确． 故选：ABD 31．（2026·陕西西安·三模）设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，，所以， ，所以，故A正确； 因为，故B错误； 因为， 所以，故C正确； 因为，， 所以， ， 所以，故D错误. 故选：AC 32．（2025·重庆·模拟预测）已知复数 ，则下列结论正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】对于A，复数 ， 则， 若为纯虚数，则，得，故A错误； 对于B，若，则，所以， 所以，故B正确； 对于C，， 由可得：， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 表示圆上一点到原点的距离， 圆心到原点的距离为， 则的最大值为，故C正确； 对于D，由可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 设， 所以， 故D错误. 故选：BC. 33．（2025·湖北武汉·二模）若复数，则（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】， ， ，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故C正确； 复数满足， 复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上， ，故的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 34．（2025·甘肃·模拟预测）若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（    ） A．的实部是 B． C．在复平面内对应的点在第一象限 D．与在复平面内它们所对应的点关于轴对称 【答案】BCD 【解析】由， 得， 则， 所以的实部为1，A错误； 而，B正确； 因为，其在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，C正确； 在复平面内对应的点的坐标为，则与在复平面内它们所对应的点关于轴对称，D正确. 故选：BCD. 35．（2025·广东江门·模拟预测）若复数，则（　　） A．的实部等于的虚部 B．的虚部等于的实部 C． D．与在复平面内对应的点均不在第二象限 【答案】AC 【解析】，， ，实部为2，虚部为1；，实部为，虚部为2； 选项A：的实部等于2，的虚部等于2，的实部等于的虚部，故A正确； 选项B：的虚部等于1，的实部等于，， 的虚部不等于的实部，故B错误； 选项C：，，故C正确； 选项D：对应的点在第一象限，对应的点在第二象限，故D错误． 故选：AC． 36．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知复数满足，则（   ） A．的虚部为 B．在复平面内所对应的点在第二象限 C． D． 【答案】CD 【解析】因为，得到， 对于A，因为的虚部为，所以A错误， 对于B，因为在复平面内所对应的点为，在第三象限，所以B错误， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为，所以D正确， 故选：CD. 37．（2025·吉林长春·模拟预测）已知复数，则（　　） A．的虚部为 B． C． D．复数在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】复数， 对于A，的虚部为，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，复数在复平面内对应的点位于第四象限，D正确. 故选：ABD 3． 填空题 38．（2025·天津河北·模拟预测）i是虚数单位，则复数 ． 【答案】 【解析】. 故答案为： 39．（2025·天津·模拟预测）已知i是虚数单位，化简的结果为 ． 【答案】 【解析】. 故答案为： 40．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知是虚数单位，则 ． 【答案】 【解析】因为 所以 故答案为： 41．（2025高三上·江西南昌·专题练习）若，则 ． 【答案】 【解析】依题意，，故． 故答案为：. 42．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 . 【答案】 【解析】由题意，令， 则， 展开并整理得， 所以，解得或， 则或， 当时，；当时，, 所以. 故答案为： 43．（25-26高三上·上海·期中）已知复数，为纯虚数，则实数 . 【答案】 【解析】因为复数，为纯虚数， 所以且， 解得， 故答案为： 44．（25-26高三上·上海·月考）若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 . 【答案】 【解析】因为为纯虚数，所以，解得， 故答案为：. 45．（25-26 湖南长沙 ）复数满足，则的最大值为 ． 【答案】6 【解析】设复数. 由复数的模的几何意义可知， 表示复数对应的点到点的距离. 因为，所以，即， 这表示点在以原点为圆心，半径的圆上. 因为，所以由圆的性质可知， 点到点的距离的最大值为， 即的最大值为6. 故答案为：6 46（2024·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为 【答案】 【解析】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 47.（2024·重庆·统考二模）复平面内复数满足，则的最小值为 【答案】 【解析】因为， 所以点是以，为焦点，半实轴长为1的双曲线，则， 所以点的轨迹方程为， 设， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 48．（2024·全国·校联考三模）已知复数满足，则的最大值为 【答案】 【解析】因为，所以，所以，所以的最大值为． 故选：B 1 学科网（北京）股份有限公司 $