第06讲 诱导公式及恒等变化讲义-2026年艺体生高三数学一轮复习资料（新高考新题型）

第06讲 诱导公式及恒等变化 考向一 诱导公式 诱导公式使用特征 1. 大角变小角 2. 90°的倍数 【例1-1】（25-26高三上·宁夏银川·期中）的值为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2025·贵州贵阳·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【例1-3】（2025·山东烟台·一模）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【一隅三反】 1．（2024·山东·一模）已知，且是第二象限角，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川德阳·一模）若角的终边过点，则的终边与单位圆交点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·海南省）（多选）已知，则（　　） A． B． C． D． 考向二 两角和差 两角和差 1. 条件3个角，其中处理一个角，找角之间的关系 2. 条件4个角，处理两个角，找角之间的关系 3. 正弦异名同号，余弦同名异号 【例2-1】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2026·重庆·模拟预测）若倾斜角为的直线的方向向量为，则（   ） A． B． C．-5 D．5 【一隅三反】 1．（2025·四川资阳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．7 2．（2025·广东·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江大庆·一模）已知，则（    ） A．-3 B．-5 C．5 D．3 4．（25-26安徽）（多选）已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 考向三 二倍角 【例3】（2026·黑龙江大庆·二模）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2026·四川宜宾·一模）在平面直角坐标系中，设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·海南·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东·一模）若，，则 ． 4．（2025·云南昭通·模拟预测）已知，则 ． 5．（2025·云南大理·模拟预测）若，则 . 考向四 角的拼凑 【例4-1】（2025浙江·期末）若，则 【例4-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则 ． 【例4-3】（2026·海南）若，则 【一隅三反】 1．（24-25安徽·月考）已知，则 2．（2025·广东茂名·模拟预测）已知，且，求的值为 3．（2025·青海·模拟预测）已知，则 ． 4．（2025·甘肃白银·一模）已知，则 5．（2026·陕西西安·一模）已知，则 . 考向五 辅助角 辅助角：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ) 【例5】将下列式子化成 （1） （2) （3) （4) 【一隅三反】 将下列式子化成 （1） （2） （3） （4） （5） 考向六 恒等变化 【例6-1】（25-26天津） 【例6-2】（2025高三·全国·专题练习）的值为 【一隅三反】 1．（2026·重庆）的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北）（多选）下列各式化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26安徽）（多选）下列各式中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【题组一 诱导公式】 1．（25-26湖北省） 2．（25-26广东深圳·期末）已知，则= 3．（2025·山东烟台·一模）已知，则 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知，则 5．（25-26陕西）化简： ． 6．（2025·江西宜春·模拟预测）已知，则 ． 7．（25-26高三上·上海·期中）已知，则 ． 8．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若，则 ． 9．（2025·上海徐汇·三模）已知，且，则 . 【题组二 两角和差】 10．（2025·广西） 11．（2026·海南）已知，则 12．（2026·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则 13．（25-26云南）已知，则 14．（2026·重庆·模拟预测）若倾斜角为的直线的方向向量为，则 15．（2025·湖南长沙·二模）设是锐角，，则 16．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知点在角的终边上，若，则 . 17．（2026·陕西榆林·二模）已知，则 ． 18．（25-26高三上·湖北·期中）已知，为锐角，，，则 . 【题组三 二倍角】 19．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知，则 20．（2026·云南大理·二模）已知是第三象限角，，则 21．（25-26甘肃）已知，，则 22．（2025·全国·模拟预测）已知锐角满足方程，则的值为 . 23．（2026·广东湛江·一模）已知，则 ． 24．（2025·陕西·模拟预测）已知为第一象限角，，则= ． 【题组四 角的拼凑】 25．（2026·四川雅安·一模）若，则 26．（2025·四川绵阳·一模）已知，则 27．（2025·河北衡水·模拟预测）已知为锐角，且，则 28．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知为锐角，，则 29．（2026·广东茂名·一模）已知，则 30．（25-26北京）已知，且，则 . 31．（2026·四川攀枝花·一模）若，则 ． 32．（2025·江苏·模拟预测）已知，，则 ． 33．（25-26山西·开学考试）若，为锐角，，，则 【题组五 辅助角】 34（2026年广东潮州）将下列式子化成 （1） . （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 【题组六 恒等变化】 35．（25-26高三上·云南昆明·月考）化简 36．（2026·湖南永州·一模） ． 37．（2025高三·全国·专题练习）化简： . 38.（2026湖南）化简= . 39.（2026海南）化简= 40.（2026江苏）= 1 学科网（北京）股份有限公司 $第06讲诱导公式及恒等变化 自思雅导图 诱导公式、恒等变化 诱导公式 口诀一 奇变偶不变，符号看象限 使用范围一（1)大角变小角，超过360°或2π； (2)或0°的倍数即k,kZ 两角和差 cos(a一)=cos acos B-十sin asin B “同名相乘，符号相反” cos(a+p)=cos acos B-sin asin B sin(a-B)=sin acos B-cos asin B “异名相乘，符号相同” sin(a十p)=sin acos B-十cos asin B tana-A=tana-一tanp 1+tan atanβ “上同号，下1异号相乘” tan(a+)= tana十tanB 1-tan atanβ 二倍角及降幂公式 sin2a=2sinacosa cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 二倍角 2tang tan 2a= 1-tan2a cos'a=1+cos 2asim'a=1-cos 2a 降幂公式一降幂公式 2 2 1 sinacosa=sin 2a 2 1 需考向归纳 考向一诱导公式 考向二两角和差 考向三二倍角 诱导公式及恒等变化 考向四角的拼凑 考向五辅助角 考向六恒等变化 考向一诱导公式 诱导公式使用特征 1. 大角变小角 2.90°的倍数 【例1-1】（25-26高三上·宁夏银川·期中)cos480°的值为（) A.3 2 B. c.月 D.-3 2 【答案】C 【解折】cos480=6os360+120）=6os120=cos180-60）=-60s60=号 故选：C. 【例1-2 】(2025·青州责阳·模极预测)若ma-,则om[经+口（) A.6 B.-6 c.3 D.-3 3 3 3 【答案】D 【解析】cor+ J=-sina=-3 故选：D 【例1-3】(2025·山东烟台·一模)已知tana=-2,则 =() sin(-a)-sin3r (2a A.2 B. C.-2 D.2 【答案】C 【解析】 3×e -sin a cos -sin a cosa -tama=-2-2. 3π sina+cosa sina cosa tana+1 -2+1 sinπ-a-sin -0 2 cosa cosa 故选：C 【一隅三反】 1.（2024·山东·一模)已知tan(3π-a)=3,且a是第二象限角，则sina等于（) A.V10 B._vi0 C.3v0 10 D.-30 10 10 10 【答案】C 【解析】tan3π-a=-tana=3,则tana=sina=-3, cosa 又因为sin'a+cos2a=l,且a是第二象限角，所以sin&=30 10 故选：C 2.(2025·四川德阳·一模)若角的终边过点-2，V⑤，则π+的终边与单位圆交点的横坐标为（) A.-5 B. 3 3 c.3 0.3 2 【答案】D √5 【解析】由题可得sina V-2+5 3,cosa -2+5 3 所以sin(元+a)=-sina=-l 3.cos(+a)=-cosa= 所以元+α的终边与单位圆交点在第四象限，横坐标为 故选：D 3.(2025·海南有)（多选）已知sna-ae行，则（) B.tan(π+a= 4 C.sin(x-a)= 3 【答案】BCD 3 【解析】由sina=a2π，得cosa=-i-sin2a二-4 ~5，tana=sina=_3 cosa 4' 则co经+a卢-sma=},A错误：ml怀寸8=ma= 4,B正确： 3π m元-a=sima0正确：cos,a-sma,D正项 3 故选：BCD 考向二两角和差 两角和差 1.条件3个角，其中处理一个角，找角之间的关系 2.条件4个角，处理两个角，找角之间的关系 3.正弦异名同号，余弦同名异号 【例2-1】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测)sinl5cos45°-cosl65sin45°=（) A B.-3 C. D.2 3 【答案】D 【解析】sinl5cos45°-cosl65sin45°=sinl5°cos45°-cos180°-15)sin45 sini5'cos45+coisin5) 2 故选：D. 【例2-2 】(2026·重庆·模拟预测)若倾崭角为0的直线1的方向向量为2-3》，则a任+0（) A C.-5 D.5 【答案】A 【解析】因为倾斜角为0的直线1的方向向量为(2，-3)，所以tan0=-3 2 3 所以tan交+0 =1+an9_1-2。-1 1 4 1-tane 3=5故选：A 1+ 2 【一隅三反】 1.(2025·四川资阳·-模)已知o0=号，9，斯m0+引（) A.-7 c. D.7 【答案】B 【解折】由em0=子9e0,财sn9=-eos0-手，所以m0-日号 cose 3' 则tan0+ π） tanθ+ta 4311 .π4 4)1-tan0 tan 4 7 3 故选：B 2. (2025·广东·模拟预渊)巴知ae0》ama手，则ma+（) A.② B.2 C.32 D. 10 5 10 10 【答案】D cosa3→sina=4 【解析】由tana=sina-4 cosa,又sin2a+cs2a-l,所以cos'a= 25 5,所以sina-4cosa= 3 4 4 所以cosa= 3 5 所以sina+ 4 =s平+cos-4x巨，3xV27V2 4 4525210, 故选：D. 3. (+=（） (2025·R龙江大庆一横)已知Z则ma+号 4 A.-3 B.-5 C.5 D.3 【答案】A 【解折】om。2.4可得ma=2,片以a-投-3 cosa 1 故答案为：A 4. 25-26安微多达)已知a,为锐角，n,na-B巴，则 4 A.sin2a=5 B.sinB=72 10 1 C.tan(a+B)=-1 D.tan明=7 【答案】ABC 【解析】国为a,B为锐角，所以0<a<行，0<B<号，所以-a-B< 2 所以cosa-B)>0, 因为sina= 5,所以cosa=V1-sina= s,tand=sn文=2， cosa 因为sila-B0所以cosa-=-ma-p3MW 10 选项A:sin2a-2 sinacosa=2× 兰普所以选城人正确 B:smB=m&-a=p川-sinacos(-pB=oi2-B5,305×S2,所以选 -×- B正确； 选项CD:因为m8,所以cosB=nB气只，所以a6P cosB 5 _tana tanB 7+2 9 tan(a+B)-1-tandtanB17×23,所以C正确，D错误. 故选：ABC. 考向三二倍角 【例3】(2026·黑龙江大庆·二模)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点 P叫-34利在商a的终边上，剥sm经-2加（) A石 7 B.25 C. 24 25 【答案】B -3 【解析】由题意可知，cos0= (-3)2+427, 所以sin-2a 2 -wa2a-2sa-12(}-1石 故选：B 【一隅三反】 1.（2026·四川宜宾·一模)在平面直角坐标系x0y中，设角的顶，点与坐标原点0重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过，点P(2,1,则tan2a=（) A B.4 【答案】A 【解析】国为角a终边经过点P2,所以ma,则n2a一 2tana 14 1-tan'a 1 4 故选：A 2. (2025·海南·一模)已知a∈0， ).sina=310 10’ 则tan2a=（) A.-2 B.2 1 0. 【答案】D 【g折】四为a引u-.所以e=-ma tana=sina=3, 10 cosa 2tan a 3 故tan2a= 1-tan2a4’ 故选：D. 3.(2026·山东·一模)若tana+B)=3,tana-B)=2,则tan2B=_ 6 【答案】月 【解折】m28=am[a+B-a-p]-na+Bmla-B中3x27 tan(a+B)-tan(a-B)3-21 故答案为：司月 4. (2025·云南昭道·模拟预测)已知sm子则如2如+引 2/ 【答案】) 【解析】sin2a π 2】 cos2a=1-2sin2a=1-8-1 99· 1 故答案为： 5. (2025·云南大理·模拟预测)若c0sa=-5 3，贝cosπ+2a）= 【答案】 【解析】因为cosa=-5, 】米装号猴，=0s00乙-【=0℃s00-=(0元+业)s0.44‘之-三 考向四角的拼凑 利用二倍 一诱导公式 ()找特殊角：a二倍角关系公式→a同倍角。源架警。→特殊角 2 kπ两角和差 2 (2)角的关系：题目求的角=特殊角与条件的角相加减 (3)给三角名：题目求什么给什么 (4)公式化简：利用恒等变化化简 【例4-1】(2025游江·期末)若m时后a,则sm+引 【答案】 【解析】：cos 【例4-2】(2024·黑龙江佳木斯·三楼)已知sm0+到-4,0行，则00= 【答案】V5-v0 8 【解折】0行，所以0+餐） 又国为+到-片以m。 7 所以cos0=cos 44 4 442428 故答案为： V2-V30 8 【例4-3】(2026·海南)若sn-a)=,则c0肾+2a)= 【塔案】 【解折1由延意有o后+2如m-得-小-m仔小--m(仔1-2-号 【一隅三反】 1.24-25安敬·月考)已知na+骨=号期smg-a)- 【答案】月 【解折】由n-a)=nx-后+a】=m后+a)=} 6 3 2.（2025·广东茂名·模极预测)已知m仔-小，且0号，求sm怎+小管+的值为- 【答案】42 3 m后+管m后小-得小-后小w行小am后小 3. (2025·青海·模拟预测)已知amQ+到-4，剥ama= 【客案】/0.6 【解折】已知m@+到松-4，解得ma号故答案为：号 4 1-tana 4.(2025·计市自银·一楼)已知ca0-引片则m2u+引 【答案】弓 【折1a2a+-w合2如+8引-得如-om2如引-2wa-1-2-1-弓 5. (2026·陕南西安·一误)已知ma+)片osa,影om0引 8 【塔1 【解折】因为如a+君引-+cosa,所以s如o如- -sina +-cosa =-+cosa 6 "63+cosa+ 2 3 5.1 3 ma-引1-2ma-周1-21-2g1-号-答案为： 9 99 考向五辅助角 辅助角：asin a+bcos a=a2+b2sin(a+p)八alvs4 alcol(其中sinp=fba2+b2)a2+b2) 【例5】将下列式子化成y=Asin(o.x+p)+B的形式 (1)f(x)=sin2x+3cos2x （2) f(x)=sinx(sinx-cosx)-1 (3) f(x)=v3 sin 2x-2sin'x+1 (4) f(x)=v3 sin 2x-2sin2x+1 【答案】见解析 【解析】(1)f(x)=sin2x+V3cos2x=2sin(2x+ 2-2sin2x-1=-v2sin (2)(x)=sinx(sinx-cosr)-1=sin'x-sinrcosx-1-1-cos2x_Is m2引 (3)f(x)=v3 sin 2x-2sin2x+1=3sin 2x+cos 2x =2 m2r+os2r2m2x+ 3 2 (4)fx)=3sin2x-c0s2x=3x1-c0s2x_1+c0s2=-2c0s2x+1, 2 【一隅三反】 将下列式子化成y=Asin(ox+p)+B的形式 (1)f(x)=v3sin2x-cos2x (2)f(x)=2cosx(v3sinx+cosx) (3)f(x)=cos2x-sin2x+23sinxcosx (4)f(x)=2sinxcosx+2v3cos2x-3 9 (5)f(x)=2cosx.sin ,π1 【答案】见解析 【解折】(1)：f-5n2x-os2x,(=2sm2x-君， (2)f(x)=2cosx(3sinx+cosx)=23cosxsinx+2cosx-1+1=3sin2x+cos2x+1=2sinx++1, 6 (3)f(x)=cos2x+3sin2x=2sin2x+ 6/: (4)(x)=sin2x+2x+cs2x--sin2x+3cos2x=2sim2x+ /, (5)f(x)=2cosx.sinx+ sinxcos"+cosxsin .π1 6 62 3 11 =3sinxcosx+cosx- 1- 1 2 -sinr+2cosx月 22 sin2x+)cos2x=sim2x+元） 2 6 考向六恒等变化 √3tanl0°+1 【例6-1】（25-26天津) (2cos210°-1sinl0° 【答案】8 √3sinl0°+cos10° 2 2(cos30°sin10°+sin30°cos10）_2sin40° 【解析】原式 sin10°+lcos10° =8 cosl0° 2 2 2c0s20°sin20° 1 in40° cos20°sin10° cos20°sin10°cos10° 4 故答案为：8. 【例6-2】(2025高三·全国·专题练习) sin40°V1+cos80° 的值为 V1-2sin10°cosl0°+sinl0° 【答】号 sin40°×，2x 1+cos80° 【解析】解法一：原式= 2 sin40°×V2cos40°=V2xsin80°= V(sin10°-cos10)2+sin10° cosl0°-sinl0°+sinl0°2cos10°-2 解法二：原式= sin40°×V1+(2cos240°-1 sin40°xV2cos40°√2sin80°√2 sin10°-c0s10)2+sin10°cos10°-sin10+sin10° 2c0s10°-2· 【一隅三反】 1. (2026·重庆) 的值为（) A. 2+V5 B.1+3 C.2+⑤ D.1+3 2 2 4 4 【答案】A 10