精品解析：河南郑州四中2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

郑州四中高二年级期末考试 数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知过两点的直线的倾斜角为，则实数的值为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 2. 在等差数列中，，则它的前7项和（ ） A. 18 B. 21 C. 24 D. 28 3. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 4. 在空间四边形中，点在线段上，且为线段的中点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知公比为3的等比数列的前项和为，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 7. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点，分别为线段与线段上的点，则线段长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在等差数列和等比数列中，，，数列的前项和为，则（ ） A. 的公差为3 B. 的公比为2 C. D. 10. 在棱长为1的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（ ） A. B. 点到平面的距离的取值范围为 C. 若为棱的中点，直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为棱中点，则直线与平面所成角的正弦值为 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（    ） A. 以线段为直径的圆与轴相切 B. C. D. 当时，的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列前n项和为，则__________. 13. 已知为坐标原点，过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，垂足为，若为的中点，则双曲线的离心率为______． 14. 已知在三棱锥中，，,，,分别是直线和上的动点，存在实数，使得成立，则到直线距离的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆圆心在上，点，在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 16. 已知抛物线，过的焦点作直线交于两点，直线（为的顶点）交的准线于点. （1）求证：； （2）求的最小值. 17. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求通项公式； （2）令，求数列的前项和. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面 所成锐二面角的余弦值. （3）在棱上(不含端点)是否存在点，使得平面?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点的坐标为，且为的中点. （1）求椭圆的方程； （2）斜率不为0动直线过点交椭圆于，两点，直线，交于点，直线AD，BC交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值； （ii）以为直径的圆被轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州四中高二年级期末考试 数学学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知过两点的直线的倾斜角为，则实数的值为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角求出斜率，再利用两点的坐标求出斜率，列出方程求出a的值． 【详解】因为过两点的直线的倾斜角为，所以直线的斜率为1，所以，解得． 故选：B． 2. 在等差数列中，，则它的前7项和（ ） A. 18 B. 21 C. 24 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】应用等差数列项的性质结合等差数列求和公式计算求解. 【详解】在等差数列中，，则， 则该数列的前7项和. 故选：D. 3. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆的方程，化为标准方程，分析可得其焦点坐标，进而可以设所求椭圆方程为，分析可得b、c的值，即可得答案. 【详解】椭圆可化为， 可知焦点在轴上，焦点坐标为， 设所求椭圆方程为，则， 又，即， 所以， 所求椭圆标准方程为. 故选：B. 4. 在空间四边形中，点在线段上，且为线段的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则，整理计算，即可得答案. 【详解】由题意 . 所以. 故选：C 5. 已知公比为3的等比数列的前项和为，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题写出，参变分离后，运用基本不等式即可得解. 【详解】由题可知，.由可得， 由基本不等式可知， 当且仅当，即时，等号成立，所以. 故选：C. 6. 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【详解】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以， ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A 7. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点，分别为线段与线段上的点，则线段长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后设出的坐标，根据两点距离公式列出的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值即可. 【详解】因为直三棱柱中，，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 因为点在线段上，设，， 所以，所以. 因为点在线段上，所以设，所以. 为了求其最小值，则时，， 此时， 根据二次函数的性质，由于，所以当时，取最小值为. 故选：C. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用内心的性质得出相应线段比例关系，进而求出，利用斜率推出相应角的余弦值，再利用余弦定理构造方程求出的关系，最后利用离心率公式计算求解． 【详解】 为的内心， 为角平分线交点， 又，故， ， ， 又， ， 直线的斜率为，， 在中，由余弦定理得， 整理得，故D正确． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在等差数列和等比数列中，，，数列的前项和为，则（ ） A. 的公差为3 B. 的公比为2 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等比数列，等差数列基本量计算可判断ABC；利用裂项求和可判断D. 【详解】设的公差为．由，得，A正确； 设的公比为．由，得，B错误； 因为， 或， 所以，C正确； 因为， 所以，D正确． 故选：ACD 10. 在棱长为1的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（ ） A. B. 点到平面的距离的取值范围为 C. 若为棱的中点，直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由可判断A；由点到平面距离向量法计算可判断B；由异面直角所成角向量法计算可判断C；由线面角向量法计算可判断D. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，设点，其中， 对于A，， 因为，所以，故A正确； 对于B，设平面的法向量为， 则，令， 得平面的法向量为，因为. 所以点到平面的距离，故B错误； 对于C，当为的中点时，,故， ，故C错误； 对于D，，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：AD. 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（    ） A. 以线段为直径的圆与轴相切 B. C. D. 当时，的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，，根据抛物线的定义验证线段中点到轴的距离与线段的长度关系即可判断A；设直线的方程为，，由直线与抛物线联立可得交点坐标关系，根据坐标计算可得，从而可判断B；由坐标运算计算弦长，焦半径与，从而判断C；根据平面向量坐标关系由可得，结合韦达定理结果可得的值，根据面积公式计算的面积即可判断D. 【详解】设，，如图：    对于A：由抛物线定义知：，则线段中点的横坐标， 即线段的中点到轴的距离是，所以以线段为直径的圆与轴相切，故A正确； 对于B：由题意知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 所以，， 由，得， 所以，， 因为，，所以，所以，故B正确； 对于C： 所以，故C错误； 对于D：当，可得即，又，所以， 则，所以，可得三点共线， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据和的关系求出，然后结合下标和性质和对数运算计算可得. 【详解】因为，所以， 由等比数列下标和性质可知，， 所以. 故答案为： 13. 已知为坐标原点，过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，垂足为，若为的中点，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线焦点到渐近线距离为，再利用等腰三角形性质可知，可得离心率为. 【详解】依题意可知，不妨取渐近线为，如下图所示： 可知，又垂直于轴，且在渐近线上，所以； 因此，即，可得； 即离心率为. 故答案为： 14. 已知在三棱锥中，，,，,分别是直线和上动点，存在实数，使得成立，则到直线距离的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，根据题意，求得，得到，再设，得到，求得直线过定点，得到到直线的距离，结合时，求得的最大值和最小值，即可求解. 【详解】以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，． 因为，设，则， 所以，，解得， 又因为，所以，所以． 因为是直线和上的动点，设，， 则由得，， 因为表示以为起点，终点在直线上的向量，坐标为， 所以直线过定点，设为点， 再设是在平面内的投影，则， 设到直线的距离为，则到直线的距离， 当直线经过点时，取得最小值0， 当时，取得最大值． 所以，，即到直线距离的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在上，点，在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标，求的中点坐标，由垂径定理得到，即可求得圆心坐标，然后求得半径，即可写出圆的方程； （2）当斜率不存在时，写出直线方程，联立方程组求得，验证此时直线是否满足题意；当斜率存在时，设直线方程，得到圆心到直线的距离，由垂径定理求得斜率，即可得直线方程. 【小问1详解】 圆心在直线上，设圆的圆心为，的中点为. 因为，，所以的中点的坐标为. 因为，所以，即，解得， 所以圆心的坐标为，所以半径， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，因为直线过，所以直线的方程为. 将代入，得， 解得或，所以，成立. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 因为，所以，解得， 所以方程为，即. 综上，直线的方程为或. 16. 已知抛物线，过的焦点作直线交于两点，直线（为的顶点）交的准线于点. （1）求证：； （2）求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）9 【解析】 【分析】（1）设由直线过点得到，再求出，因此 BP方程为，所以. （2）令,求出，再利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 抛物线的焦点为 ，准线 ，顶点 设 因为直线过点； 所以，即 即， 因为，所以； 直线 AO 的方程为，代入准线，得； 因为，所以，所以， 所以点与的纵坐标相同， 因此 BP方程为，与准线垂直， 所以. 【小问2详解】 令，则，则； 所以 所以； 当且仅当时取等，有最小值9. 17. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和的关系结合题设可得，，，进而得到是首项为3，公差为3的等差数列，进而求解即可； （2）结合（1）及题设可得，进而根据错位相减法求解即可. 【小问1详解】 因为， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，所以， 则，即， 因为为正项数列，则，即， 所以是首项为3，公差为3的等差数列， 则. 【小问2详解】 因为， 所以，则，即， 所以，① 所以，② 由①②得， ， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面 所成锐二面角的余弦值. （3）在棱上(不含端点)是否存在点，使得平面?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，由，可得，求出平面法向量，由面面角向量法计算即可求解； （3）设，由线面平行向量法建立等式计算即可求解. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，平面，所以平面平面； 【小问2详解】 因为平面，，所以两两互相垂直， 以为坐标原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，设， ，， 因为，所以，解得，所以， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由题意可得可以为平面的一个法向量， 设平面与平面 所成锐二面角为， 则， 所以平面与平面 所成锐二面角； 【小问3详解】 设，因为点在棱上(不含端点)，所以， 设，则，， 因为，所以， 则，所以， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 若平面，则， 即，解得， 所以存在点，且. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点的坐标为，且为的中点. （1）求椭圆的方程； （2）斜率不为0的动直线过点交椭圆于，两点，直线，交于点，直线AD，BC交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值； （ii）以为直径的圆被轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）是定值， 【解析】 【分析】（1）根据为的中点可求得顶点的坐标，从而可知，根据离心率可求得，进而可得椭圆方程. （2）（i）设出直线的方程及，利用根与系数的关系可得为定值；（ii）求出的横坐标，从而可根据纵坐标得到圆的方程，进而可得所求弦长的表达式，利用根与系数的关系化简即可求解. 【小问1详解】 因为点的坐标为，且为的中点， 所以，即. 又离心率，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）因为直线过点，可设直线的方程为，， 由消去得. 所以，. 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以， 所以.， 将，代入得 ， 即为定值. （ii）是定值. 因为，由两点式可得直线的方程为； 因为，，由两点式可得直线的方程为. 因为直线，交于点，所以， 将代入得， 整理得 由得， 所以. 同理，直线的方程为，直线的方程为， 联立可解得， 因此，所以直线垂直于轴， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 令，可得. 将代入直线的方程得， 同理得. 则. 将代入得， 所以，解得， 故弦长为，是定值， 即以为直径的圆被轴所截得的弦长是定值，为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $