三角函数专项突破版寒假作业10 同角三角函数基本关系的题型荟萃-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一数学必修一寒假作业——三角函数专项突破版10 ——有关同角三角函数基本关系的题型荟萃 一、有关同角三角函数基本关系的知识梳理 1．同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. 2．基本关系式的变形公式 二、有关同角三角函数基本关系的基本题型与解题策略 1、基本题型 知弦求弦 利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解 知弦 求切 常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α建立联系，注意tan α＝的灵活应用 知切 求弦 先用商数关系得出sin α＝tan α·cos α或cos α＝，再用平方关系求解 2、解题策略 弦切 互化 利用公式tan α＝实现角α的弦切互化，如，asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α等齐次式类型可进行弦化切 和(差)积 转换 利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化，可以解决sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 知一求二的问题，注意方程思想的应用 巧用“1” 的变换 1＝sin2α＋cos2α＝cos2α(tan2α＋1)＝sin2α 三、典例讲解 1、知“弦”求“切” 例1．已知角为第四象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 例2．设cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　 ) A. B．－ C. D．－ 例3.已知 为第一象限角，，则( ) A. B. C. D. 例4．若，，则（    ） A． B． C． D． 例5、已知，，则（ ） A． B． C． D． 例6．在中，若，则 . 2、知“切”求“弦” 例7、若，，则（   ） A． B． C． D． 例8．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例9．已知，则（   ） A． B．3 C． D． 例10、已知．若是第二象限角，则的值为 。 3、知“弦”求“弦” 例11．若为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 例12．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 例13．已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 例14．若，则（   ） A． B． C． D． 例15．已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 小结：sinα，cosα，tanα的知一求二问题的解决方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用的求解方法 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用的求解方法 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 4、已知tanα，求sinα，cosα齐次式的值 已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法 (1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 例16．已知，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例17、若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 例18．已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 例19．若，则（    ） A．2 B． C． D． 例20．若，则（    ） A． B． C． D． 例21．已知，则 ． 5、利用sinα±cosα与sinαcosα关系求值 已知sinα±cosα，sinαcosα的求值问题的解题方法： 已知sinα±cosα，sinαcosα的求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有： (1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ； (2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ； (3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2； (4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθ·cosθ. 上述三角恒等式告诉我们，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出． 例22．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 例23．（多选）已知，正确的是（   ） A． B． C． D． 例24．已知角满足，则 . 例25．若，则 ， . 【过关练习06】 一、单选题 1．已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知 ，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（   ） A． B．11 C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C．-2 D．2 6．如果角满足，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．2 7．若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 11．（多选）下列计算或化简结果正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为第二象限角，则 12．（多选）已知角A为的内角，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 15、已知角，，则. 16.已知，那么. 17．如果，那么 18．已知，则 . 19.若，则= . 20．已知，则 ． 21．若，且，则的值为 ． 22．已知，则 . 23．若，则 ． 24．已知，则 . 25.（1）已知，且是第三象限角，求，的值. （2）已知，求，的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一数学必修一寒假作业——三角函数专项突破版10 ——有关同角三角函数基本关系的题型荟萃 一、有关同角三角函数基本关系的知识梳理 1．同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. 2．基本关系式的变形公式 二、有关同角三角函数基本关系的基本题型与解题策略 1、基本题型 知弦求弦 利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解 知弦 求切 常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α建立联系，注意tan α＝的灵活应用 知切 求弦 先用商数关系得出sin α＝tan α·cos α或cos α＝，再用平方关系求解 2、解题策略 弦切 互化 利用公式tan α＝实现角α的弦切互化，如，asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α等齐次式类型可进行弦化切 和(差)积 转换 利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化，可以解决sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 知一求二的问题，注意方程思想的应用 巧用“1” 的变换 1＝sin2α＋cos2α＝cos2α(tan2α＋1)＝sin2α 三、典例讲解 1、知“弦”求“切” 例1．已知角为第四象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角的三角函数关系及各象限角三角函数值的符号求解即可. 【详解】因为是第四象限角，所以，所以． 故选：D. 例2．设cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　 ) A. B．－ C. D．－ 【答案】B 【解析】：∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，∴sin 80°＝＝， ∴tan 100°＝－tan 80°＝－. 例3.已知 为第一象限角，，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由 为第一象限角，，得， 故，故. 例4．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，则，由，两边平方可得， 即，则. 故选：D 例5、已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数关系得出，再利用倍角公式计算，最后利用诱导公式计算. 【详解】因为，所以，又，则， ，则， 所以.故选：B 例6．在中，若，则 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数的平方关系可求得，解方程组可求得，进而利用同角三角函数的商数关系可求得. 【详解】因为，所以，所以. 因为，所以. 因为，又为的内角，所以，所以，所以. 由，解得，所以. 2、知“切”求“弦” 例7、若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据同角三角函数的关系，已知，，可求，然后代入计算即可. 【解答过程】由题知，，解得， 则，故选：A. 例8．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据同角三角函数的基本关系求解判断各选项即可. 【详解】由，，得，，又，， 解得，，故A正确，B错误，则，，故C正确，D错误.故选：AC. 例9．已知，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先利用两角和的正切公式求出的值，然后利用诱导公式和同角三角函数关系式化简求解即可. 【详解】由，解得， 所以，故选：C. 例10、已知．若是第二象限角，则的值为 。 【答案】； 【分析】利用诱导公式及同角公式列式计算得解. 【解析】依题意，，由是第二象限角，得， 又，解得，所以. 3、知“弦”求“弦” 例11．若为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据为第二象限角得出，根据平方关系已知求即可. 【详解】若为第二象限角，则，由于，则， 故选：D. 例12．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合的范围以及的符号，判断角所在象限，再运用三角恒等变换以及同角三角函数基本关系，即可得解. 【详解】由，得，即角的终边位于第二、三象限或轴负半轴，而，则为第二象限角，则， 故. 故选：A. 例13．已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数关系式构造等式，再进行变形，代入已知即可解. 【详解】依题意，由，得. 而已知，故.故选：A 例14．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，根据题目信息求出可得答案. 【详解】则， .故选：B 例15．已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算求解. 【详解】因为，所以，又，所以，所以，由同角三角函数的基本关系知，则. 故选：D. 小结：sinα，cosα，tanα的知一求二问题的解决方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用的求解方法 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用的求解方法 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 4、已知tanα，求sinα，cosα齐次式的值 已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法 (1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 例16．已知，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据齐次转化得，再解方程即可． 【详解】，即，解得． 故选：D． 例17、若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】.故选：A 例18．已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系，利用弦化切求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D 例19．若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简，然后弦化切即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 例20．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用弦化切可求出的值，再将所求代数式化为，代入即可得出所求代数式的值. 【详解】因为，所以， 可得. 故选：A. 例21．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用构造齐次式，然后弦化切求得结果. 【详解】已知，则。 5、利用sinα±cosα与sinαcosα关系求值 已知sinα±cosα，sinαcosα的求值问题的解题方法： 已知sinα±cosα，sinαcosα的求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有： (1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ； (2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ； (3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2； (4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθ·cosθ. 上述三角恒等式告诉我们，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出． 例22．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合正余弦值的符号逐项计算判断. 【详解】由，得，解得，B错误；由，得，则，A正确；，D错误；，则，C正确. 故选：AC 例23．（多选）已知，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，求得，结合，可得，即可判断A；对于B，求得，结合，可得，即可判断B；对于C，由A，B可得，由商数关系可得，即可判断C；由C即可判断D. 【详解】对于A，因为，又因为， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为，又因为， 所以，所以，故B正确；对于C，由A，B可得，所以，故C正确；对于D，由C可知，故D错误. 故选：ABC. 例24．已知角满足，则 . 【答案】 【分析】对已知条件进行平方，先求出，再由角的象限判断，计算可得出结论. 【详解】由，得，所以.又由，知，由，得，所以，所以， 所以 例25．若，则 ， . 【答案】 / / 【分析】应用平方关系及的关系求目标函数值. 【详解】由题设，所以，则， 由. 【过关练习06】 一、单选题 1．已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知及同角三角函数的关系求正切值. 【详解】由，且是第二象限角，则，故. 故选：C 2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平方关系求，再利用商数关系求出即可. 【详解】因为是第一象限角，余弦值为正数，所以， 则.故选：B. 3．已知 ，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知求得，然后求得，最后根据两角差的正切公式即可求解. 【详解】由， 得，所以， 则.故选：A. 4．已知，，则（   ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的平方和关系求出，利用商数关系求出，结合化弦为切方法即可求解． 【详解】因为，所以，故，可得，所以．故选：A． 5．已知，则（   ） A． B． C．-2 D．2 【答案】A 【分析】运用诱导公式及弦化切的知识，即可得解. 【详解】，则. 故选：A. 6．如果角满足，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】将给定等式切化弦，再利用同角三角函数的基本关系计算即可. 【详解】，，即， 那么，即D正确. 故选：D． 7．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，从而求出，即可得解. 【详解】因为，则，所以， 则. 故选：C. 8．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用平方关系，得，再结合条件，即可求解. 【详解】因为，又，则，又因为，则，所以， 故选：B. 9．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算得解. 【详解】由，得，所以. 故选：C 10．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件利用完全平方公式以及同角三角函数关系式平方和为1求出的值，再结合，解得即可得出的值. 【详解】，， ，， 从而，，可得， ，则且，，与联解， 可得，因此.故选：B. 11．（多选）下列计算或化简结果正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为第二象限角，则 【答案】ABD 【分析】根据同角三角函数基本关系，逐项求解判断即可. 【详解】若，则，故A正确； 若，则，故B正确；若，则，所以，故C错；若为第二象限角，则，，所以，故D正确； 故选：ABD 12．已知角A为的内角，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意,结合同角三角函数的平方关系,可求得与的值,依次计算选项中的式子的值,即可选出正确选项. 【详解】因为，所以.因为角A为的内角，所以,所以,所以因为,所以,所以 所以,或（舍）,所以选项A:,所以选项A正确. 选项B:,所以选项B错误.选项C:,所以选项C错误. 选项D:,所以选项D正确.故选:AD. 13．已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据条件和同角三角函数的平方关系可得，计算，结合三角函数的正负可得，进而可得逐项判断. 【详解】∵，∴，即，∴，D错误； ∵，∴，∴，∴，∴，C正确； 由，得，则，选项A正确，选项B正确.故选：ABC 14．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据同角三角函数的基本关系判断选项. 【详解】对于A，因为，所以， ，所以，故A正确； 对于B，由已知可得，因为，所以，故B错误； 对于C，D，由，可得，所以，故C，D都正确．故选：ACD 二、填空题 15、已知角，，则. 【答案】 【解析】由可得， ，因为， 所以，故. 16.已知，那么. 【答案】 【解题思路】根据题意，由诱导公式化简，结合同角三角函数的关系代入计算，即可得到结果. 【解答过程】因为，所以， 则，所以. 17．如果，那么 【答案】/ 【分析】利用平方关系和商数关系将化为，代入即可求解. 【详解】因为，所以. 18．已知，则 . 【答案】 【分析】解法一：由题意可得，根据同角三角函数平方关系可得，进而计算即可求解；解法二：根据商数关系化简可得，由计算即可求解. 【详解】解法一：，，， ，，. 解法二： ，，解得，. 19.若，则= . 【答案】 【详解】，故答案为： 20．已知，则 ． 【答案】1 【分析】结合同角三角函数的关系式，根据齐次式法求解即可. 【详解】由，则，解得， 所以. 21．若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】首先利用平方关系求的值，再利用平方关系求的值. 【详解】，得，则， 且，则，所以. 22．已知，则 . 【答案】 【分析】将题设条件“切化弦”，结合化简可得结果. 【详解】由得，即，所以， 所以. 故答案为：. 23．若，则 ． 【答案】 【分析】将已知条件两边平方得，再由商数关系及平方关系求目标式的值. 【详解】由，则， . 故答案为： 24．已知，则 . 【答案】 【分析】运用与的关系，结合角的范围以及立方差公式，即可得解. 【详解】由，得，得， 故，因为，所以， 又因为，所以，所以，， 故. 25.（1）已知，且是第三象限角，求，的值. （2）已知，求，的值. 【答案】（1）（2）答案见解析. 【详解】（1）由，得①，又②， 由①②得，即， 又是第三象限角，，. （2），是第二或第三象限的角， 如果是第二象限角，那么，. 如果是第三象限角，同理可得，. 学科网（北京）股份有限公司 $