三角函数专项突破版寒假作业07 有关三角函数中的值域或最值问题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一数学必修一寒假作业——三角函数专项突破版07 ——三角函数中的值域或最值问题 类型一、y=Asin（ωx+φ）+b）的值域或最值 (1)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性． （2）求解形如y=asin x+bcos x+c，y=asin2x+bsin x·cos x+ccos2x的函数的最值或值域问题时，利用辅助角公式：，其中tan=. 将原函数化简整理为y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再利用正（余）弦函数的有界性求最值；若题目中给定有x的范围，则先确定ωx+φ的范围，最后利用y=sin x的图象确定函数的值或最值． 例1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得，再结合正弦函数的图象求解即可. 【详解】由，得，则.故选：C. 例2、已知函数，则在上的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简的表达式，然后采用换元法令，求解出的最小值即可知的最小值. 【详解】，当时， 令，且在上单调递增，所以， 所以，此时， 故选：D. 例3、函数+2，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合定义域，根据的范围求范围，再利用整体法求得cos，最后求得结果。 【详解】，，，， ，，即， 函数，的值域为. 例4、函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先换元，即令，即可把原函数转化成二次函数，即可求出函数最小值. 【详解】，令，即，所以，由，得， 从而原函数化为，当时，．故选:B． 例5.已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得出，求出二次函数在上的值域即可得解. 【详解】因为，则，则， 令，所以，，则， 则，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，当时，；当时，，则.因此，当时，则函数的值域为. 故选：D. 例6、已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的性质求解． 【解析】在上，，在上，，由题意，函数在两个区间上最值相同，且最小值为，即两区间左端点函数值均为最小值，所以两区间右端点函数值不能小于，但两区间内最大值相同，如图的部分图象，数形结合得且，即. 故选：A 例7、已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦函数的单调区间去解不等式即可； （2）利用给定区间去求得相位的取值范围，再利用正弦曲线在该区间的单调性求出最值即可. 【详解】（1）由题意可得， 令，解得， 故的单调递减区间为. （2）因为，所以. 当，即时，取得最大值，最大值为 当，即时，取得最小值，最小值为. 故在区间上的值域为. 小结：形如，其中 叫辅助角公式，主要两个特殊角 型，找： 型，找：， 类型二、y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)x∈D的值域或最值 求形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)x∈D的的函数的值域或最值时，常常通过换元法，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性． 例8、函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数为，结合正弦函数与二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，因为， 所以当时，可得；当时，可得，所以函数的值域为. 故选：D. 例9、函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【详解】依题意，令，故.故当时，有最大值，当时，有最小值3，故所求值域为.故选：B. 例10．函数的最大值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】先利用二倍角的正弦公式和两角和的余弦公式化简，再令，利用换元法求解即可. 【详解】，令，则，故，则，所以当时，，所以函数的最大值为. 故选：A. 例11、函数（）的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系，结合正弦函数的单调性、二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，，令， ，设，该二次函数的对称轴为，且开口向下，当时，当时，函数有最大值，即时，取得最大值． 例12．若，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】令换元，根据辅助角公式化简后求出的范围，原函数转化为关于的二次函数，求值域即可. 【详解】，∴，∴，令， 则，，，故当t＝1时，函数y取得最小值为1，当t时，函数y取得最大值为，故函数的值域为。 小结： 1、s（或 ; ；，俗称“三兄弟” 三者之间的关系是； 欲求的最值，则令（或），利用表示，从而把函数转化为二次函数的最值问题。 【过关练习06】 一、单选题 1．函数 的最小值是（    ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【分析】由同角三角函数基本关系转化为余弦函数，配方后求最小值. 【详解】因为，所以当时，， 故选：B 2．函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用正切函数的单调性可得在处取得最小值. 【详解】由正切函数的单调性可知，在上为单调递增，所以其最小值为. 故选：D 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的范围，可得的范围，结合余弦函数的性质进而求出函数的值域． 【详解】因为，所以，因为函数在上递增，上递减， 又，，，所以即. 故选：A． 4．已知函数的最小正周期为，则函数在的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的最小正周期可得，进而可得最值. 【详解】由函数，则，得，即， 当时，，所以当，即时函数取最大值为， 故选：D. 5．函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．3 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦值公式、二倍角公式以及辅助角公式化简函数 ，结合正弦函数的最值即可求解. 【详解】因为， 当，即时，，所以的最大值为2. 故选：B 6、函数的最大值是（   ） A．-6 B．-4 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先利用二倍角的余弦公式化简，再利用换元，根据二次函数的图象性质即可求得函数的最大值. 【详解】由，设，因，则，因在上单调递增，故当时，函数取得最大值为6. 故选：D. 7．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数的有界性可求得原函数的最大值. 【详解】因为，故当，即时，函数取最大值. 故选：C. 8.（多选）若函数的最大值是4，最小值是，则（  ） A．-4 B．1 C．2 D．3 【答案】AC 【分析】对分类讨论，结合余弦函数的有界性，用表示出的最值，得到关于的方程，求解即可. 【解析】当时，，解得；当时，，解得，综上，或. 故选:AC 9．函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数关系化简后换元，得二次函数，利用二次函数单调性可知，即，据此结合余弦函数图象与性质可得的范围. 【详解】由，令，得：，二次函数开口向下，对称轴为，因为，所以函数为递增函数，因为当时， ，当时， ，所以，即时，，使函数的值域为，所以由余弦函数图象与性质可知， ，所以的取值范围是：． 故选：A 二、填空题 10、函数的最大值为 ． 【答案】3 【分析】利用诱导公式化简函数，再利用正弦函数的性质求出最大值. 【详解】函数， 当且仅当，即时，， 所以所求最大值为3. 11.函数的值域为 . 【答案】 【解析】由转化为二次函数求解. 【解析】由正弦函数的性质可知，当， ，当时，；当或时，，故值域为. 12．已知函数，则在区间上的最大值为 ，最小值为 . 【答案】最大值为+1，最小值为0. 【分析】利用三角函数恒等变换转化为正弦型三角函数，根据自变量取值范围，利用正弦函数图象与性质求最值即可得解. 【详解】因为， 当时，.由正弦函数在上的图象与性质知， 当，即时，取最大值；当，即时，取最小值0.综上，在上的最大值为，最小值为0. 13．函数（）的最大值是 ． 【答案】1 【详解】化简三角函数的解析式，可得 ，由，可得，当时，函数取得最大值1． 14、函数在上的值域是 ． 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【解析】，令，由，得，变为．该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为. 15．函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)先将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数的图象，求在区间上的值域. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由图可得出的值，求出的最小正周期，可求得的值，由结合的取值范围可求得的值，可得出函数的解析式； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的性质即可得解. 【详解】（1）由图可知，，函数的最小正周期为，，，可得，，则，，则，所以. （2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象， 再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数的图象， 则，当时，，则，所以，因此在区间上的值域为. 16、已知函数. (1)求的单调增区间； (2)当时，求的值域. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）先应用诱导公式及二倍角公式结合辅助角净化简，再应用正弦函数的增区间求解即可； （2）结合正弦函数的值域求解. 【详解】（1） ，令，解得，故的单调增区间为，. （2）当时，，所以，， 故的值域为. 17.已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的最大值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式，根据已知有，且，利用与关系求值； （2）法一：根据，应用基本不等式求函数的最大值；法二：令，利用三角恒等变换及三角函数性质得且，进而求其最大值. 【详解】（1）由题知， 因为，所以，且， 所以. （2）法一：因为，所以且. 由题设， 当且仅当时取等，故的最大值为. 法二：令，首先，所以， 其次，当且仅当时取等，所以， 所以， 当时，，即的最大值为. 18、已知函数． (1)求的单调递增区间和对称中心的坐标； (2)当，求的最值及此时的值． 【答案】(1)单调递增区间为；对称中心为 (2)当时，取最大值；当时，取最小值 【分析】（1）根据正弦函数单调性及对称中心即可求出的单调递增区间和对称中心； （2）根据正弦函数的图象即可求出答案. 【详解】（1）令，解得， 所以的单调递增区间为，令，解得， 所以函数的对称中心为. （2）因为，所以，不妨设， 当时，取最大值，的最大值为，此时，解得， 所以当时，取最大值， 当时，取最小值，的最小值为，此时，解得， 所以当时，取最小值． 所以当时，取最大值；当时，取最小值． 19、设函数. (1)若，求的值； (2)已知当时，.设函数的最小值为，求的表达式. 【详解】（1）令，则，因为，所以，解得，所以； （2） 令，则，所以，令，， 当，即当时，函数在上单调递增， 所以，由，则，所以； 当，即当时，，因为，所以； 当，即当时，函数在上单调递减， 所以，因为，所以，所以； 综上可得. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一数学必修一寒假作业——三角函数专项突破版07 ——三角函数中的值域或最值问题 类型一、y=Asin（ωx+φ）+b）的值域或最值 (1)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性． （2）求解形如y=asin x+bcos x+c，y=asin2x+bsin x·cos x+ccos2x的函数的最值或值域问题时，利用辅助角公式：，其中tan=. 将原函数化简整理为y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再利用正（余）弦函数的有界性求最值；若题目中给定有x的范围，则先确定ωx+φ的范围，最后利用y=sin x的图象确定函数的值或最值． 例1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例2、已知函数，则在上的最小值为（   ） A． B． C． D． 例3、函数+2，的值域为（    ） A． B． C． D． 例4、函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 例5.已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例6、已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 例7、已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)求在区间上的值域. 小结：形如，其中 叫辅助角公式，主要两个特殊角 型，找： 型，找：， 类型二、y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)x∈D的值域或最值 求形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)x∈D的的函数的值域或最值时，常常通过换元法，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性． 例8、函数的值域是（    ） A． B． C． D． 例9、函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 例10．函数的最大值为（    ） A．2 B． C．0 D． 例11、函数（）的最大值为 ． 例12．若，则函数的值域是 . 小结： 1、s（或 ; ；，俗称“三兄弟” 三者之间的关系是； 欲求的最值，则令（或），利用表示，从而把函数转化为二次函数的最值问题。 【过关练习06】 一、单选题 1．函数 的最小值是（    ） A． B． C． D．-2 2．函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的最小正周期为，则函数在的最大值是（ ） A． B． C． D． 5．函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．3 6、函数的最大值是（   ） A．-6 B．-4 C．4 D．6 7．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 8.（多选）若函数的最大值是4，最小值是，则（  ） A．-4 B．1 C．2 D．3 9．函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10、函数的最大值为 ． 11.函数的值域为 . 12．已知函数，则在区间上的最大值为 ，最小值为 . 13．函数（）的最大值是 ． 14、函数在上的值域是 ． 15．函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)先将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数的图象，求在区间上的值域. 16、已知函数. (1)求的单调增区间； (2)当时，求的值域. 17.已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的最大值. 18、已知函数． (1)求的单调递增区间和对称中心的坐标； (2)当，求的最值及此时的值． 19、设函数. (1)若，求的值； (2)已知当时，.设函数的最小值为，求的表达式. 学科网（北京）股份有限公司 $