专题06 万有引力与宇宙航行 讲义-2026届高考物理二轮专题培优及课时精练

专题06 万有引力与宇宙航行 模型一　开普勒定律 1.开普勒定律具有普遍适用性，既适用于行星绕太阳的运动，也适用于月球、卫星绕地球的运动等。 2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1Δtr1＝v2Δtr2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 3.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，因此该定律只能用在同一中心天体的星体之间。 【例题精讲】 1．在人类对行星运动规律的认识过程，开普勒作出了划时代的贡献。对开普勒行星运动定律的理解，下列说法中正确的是（　　） A．此定律只适用于行星绕太阳运动，不适用于卫星绕行星的运动 B．由开普勒第三定律可知，k是一个与中心天体有关的常量 C．牛顿发现万有引力定律后，开普勒整理牛顿的观测数据，发现了行星运动规律 D．行星绕太阳做椭圆轨道运动时，线速度方向时刻在变，但大小始终不变 2．开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 C．所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 D．离太阳越近的行星的运动周期越长 3．中国空间站核心舱组合体的运行轨道简化为如图所示的绕地球O运动的椭圆轨道，地球位于椭圆的一个焦点上，其中A为近地点，B为远地点。假设每隔Δt时间记录一次核心舱的位置，记录点如图所示，已知E为椭圆轨道的中心，C、D、E在同一条直线上且CD⊥AB，AB的距离为2a，CD的距离为2b，椭圆的面积公式为S＝πab，则核心舱从C运动到B所需的最短时间为（　　） A． B． C． D．12Δt 4．2030年之前，中国航天员将登上月球。如图所示，月球的半径为R，假设甲、乙两艘宇宙飞船分别绕月球做椭圆轨道和圆轨道运动，甲的近地点正好在月面，远地点与月面的最近距离为2R，甲的远地点与乙轨道的最近距离为R，则甲、乙的周期之比为（　　） A．1：1 B．2：1 C． D． 5．如图所示为哈雷彗星绕太阳运行的轨迹，a、b、c、d轨迹上的四个点，它们与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S2＝2S1。则彗星从a到b和从c到d的时间t1、t2的关系（　　） A．t2＝t1 B．t2＝2t1 C．t2t1 D．无法确定 （多选）6．中国农历二十四节气划分方法是地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气，图为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。则（　　） A．夏至时地球公转速度比冬至时小 B．立春时地球公转的加速度与立夏时大小相等 C．芒种到夏至的时间间隔比大雪到冬至的时间间隔长 D．春分、夏至、秋分、冬至四个节气刚好将一年的时间分为四等份 （多选）7．天文学家利用万有引力定律计算天王星位置的过程中，出现了一定的误差。他们猜测在天王星的轨道外，肯定有一颗没有发现的行星，该行星的引力不断地影响着天王星的运动。最终，科学家们通过计算“找”到了这颗遥远的行星——海王星。若海王星绕太阳逆时针运行的运动轨迹如图所示，图中AC为长轴，BD为短轴，若只考虑万有引力的作用，下列说法正确的是（　　） A．海王星在A点的速率大于在B点的速率 B．海王星在B点的加速度与在D点的加速度相同 C．海王星从A到B的过程中与太阳的连线在相同单位时间内扫过的面积比从B到C的大 D．海王星从C到D所用的时间大于从D到A的时间 模型二　万有引力的理解与计算 1.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是产生重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 2.重力加速度的大小 （1）地球赤道上：G＝mg1＋mω2R. （2）地球两极上：G＝mg0. （3）地面一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 (4）距离地面高度h处：. （5）结论：①纬度越高，g值越大；高度越大，g值越小。 ②由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G＝mg. 3.“自力更生”法（g­R） （1）利用天体表面的重力加速度g和天体半径R，由G＝mg得天体质量M＝. （2）天体密度ρ＝＝＝. (3)GM＝gR2称为黄金代换公式。 4.“借助外援”法（T­r） 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r. （1）由G＝mr得天体的质量M＝. （2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝. （3）若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 【例题精讲】 1．在一个质量为M、半径为R的均匀实心球体内部，距球心处有一个质点P，其受到的万有引力为F1。另一个质量为M、半径为R的均匀实心球体，现将其内部同心挖去一个半径为的球体，剩余部分对于球体外表面的质点Q产生的万有引力为F2，已知质点P、Q的质量相等，均匀球壳内部的物体受到球壳的万有引力为零，空心球对外部的万有引力等于质量集中于球心产生的万有引力。则F1与F2的比值为（　　） A． B． C． D． 2．2025年10月6日，国家航天局和国家原子能机构联合发布了嫦娥六号月球背面样品研究最新成果。如图所示，嫦娥六号绕月运行时，近月点M与远月点N距月球中心的距离之比约为1：5。假设嫦娥六号只受到来自月球的万有引力，则嫦娥六号（　　） A．轨道半长轴的三次方与公转周期平方的比值与自身质量有关 B．通过M点与N点时加速度大小之比约为1：25 C．通过路径PNQ所用时间小于通过路径QMP所用时间 D．通过M点与N点时线速度大小之比约为5：1 3．两个质量相等的匀质球，球心相距r，它们之间的万有引力为F。若将两球心的距离增大到原来的2倍，它们之间的万有引力变为（　　） A．F B． C．2F D．4F 4．人造地球卫星在离地面高为h的轨道上做匀速圆周运动，已知地球的质量为M、半径为R，引力常量为G。则卫星做匀速圆周运动的角速度ω为（　　） A． B． C． D． 5．二十四节气是古人智慧的结晶，它对于我们现在的生产和生活影响意义深远，我们把春分夏至秋分冬至按照如图位置安排，则下列说法中正确的是（　　） A．地球每年运行到冬至位置时线速度最小 B．由秋分到冬至的时间为周期的四分之一 C．地球经过冬至和夏至位置时速度比为 D．地球在夏至与冬至位置时受到太阳的万有引力之比为 （多选）6．要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4倍，下列方法可行的是（　　） A．使两物体的质量各变成原来2倍，距离不变 B．使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变 C．使两物体间的距离减少为原来的，质量不变 D．使两物体间的距离和两个物体质量都减少原来的 （多选）7．位于贵州的500米口径球面射电望远镜，其反射面相当于30个足球场的大小，灵敏度达到世界第二大望远镜的2.5倍以上，大幅拓展了人类的视野。射电望远镜观测到某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，B星的运行周期约为A星的倍，A星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的2倍，B星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的3倍。假设A、B只受到行星的引力，则下列叙述正确的是（　　） A．A星受到行星的引力最大值与最小值之比为4：1 B．B星受到行星的引力始终小于A星 C．A星受到行星的引力最大值与B星受到行星的引力最小值之比为9：2 D．B星轨迹近点到行星的距离小于A星轨迹远点到行星的距离 模型三　卫星发射及变轨 卫星的追及、相遇问题 一、卫星发射及变轨 1.人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道（如图所示） （1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。 （2）在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. （3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2.变轨过程分析 （1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB．在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB． （2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同，有aⅠA＝aⅡA＞aⅡB＞aⅢB． （3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律＝k，可知T1＜T2＜T3. （4）机械能：在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1<E2<E3. 二、卫星的追及、相遇问题 1.问题简述：天体运动中的“相遇”是指两天体运行过程中相距最近，如图甲所示，而图乙时刻，地球和行星相距最远。 2.解题关键：从图甲开始分析两天体转过的角度或圈数。 角度关系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1,2,3，…），即两天体转过的角度之差等于2π的整数倍时再次相遇 相距最远 ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…），即两天体转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远 圈数关系 相距最近 -=n(n＝1,2,3，…) 相距最远 -=n-（n＝1,2,3，…） 【例题精讲】 1．如图所示，A、B是围绕地球运转的两颗卫星，A与B的轨道平面共面，其中A卫星的轨道半径为RA，B卫星的轨道半径为RB，此时A、B以及地心刚好在一条直线上，关于这两颗卫星，下列说法正确的是（　　） A．当A、B以及地心再次到达一条直线上时，A转过的角度大于B转过的角度 B．A卫星所受万有引力小于B卫星所受万有引力 C．通过轨道的调整A、B中的某一颗卫星可以始终位于宁波的上空 D．若卫星想要进入更高轨道，则需要加速 2．2025年2月，我国实践25号卫星与位于地球同步轨道上的北斗G7卫星完成对接，实现了世界首次同步卫星在轨燃料补加。图中圆形轨道Ⅰ为实践25的运行轨道，圆形轨道Ⅱ为G7卫星的运行轨道，椭圆形转移轨道Ⅲ与Ⅰ、Ⅱ分别相切于A、C两点，A、C连线与轨道Ⅱ交于B点。则下列相关说法中正确的是（　　） A．实践25从轨道Ⅰ由A点减速才能进入转移轨道Ⅲ B．实践25沿轨道Ⅲ无动力到达C点时的速度与G7卫星的速度相等 C．实践25在轨道Ⅲ上运动的周期大于在轨道Ⅰ运动的周期 D．若实践25在轨道Ⅲ上经过A点的同时G7卫星经过B点，则二者可在C点完成对接 3．中国预计在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。图是“嫦娥一号奔月”的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于“嫦娥一号”，以下说法正确的是（　　） A．发射速度必须达到第二宇宙速度 B．16h轨道与24h轨道半长轴的平方与公转周期的立方之比相等 C．轨道Ⅲ上Q点的速度大于轨道Ⅱ上Q点的速度 D．轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅱ时，需点火加速 4．如图甲所示，太阳系外行星M、N均绕恒星Q做同向匀速圆周运动。由于N的遮挡，行星M被Q照亮的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，其中T0为M绕Q运动的公转周期。则两行星M、N的轨道半径之比为（　　） A．9：1 B．3：1 C．13：1 D．4：1 5．2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射。天舟九号与空间站对接过程耗时约3小时，若对接完成时空间站在轨道上的位置如图所示。空间站与地球同步卫星的轨道半径的比值约为0.16，对接过程空间站中看到日出的次数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 （多选）6．2025年4月25日1时17分，神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第6次“太空会师”。如图A为中国空间站，B为地球同步卫星，两者运动方向相同。已知中国空间站绕地球的公转周期为90分钟，万有引力常量为G。某时刻两者相距最近，下列说法正确的是（　　） A．地球同步卫星的机械能大于中国空间站的机械能 B．地球同步卫星和中国空间站的轨道半径之比为 C．若已知两者相距最近时的距离，可求出地球质量 D．地球同步卫星和中国空间站下一次相距最近需经过96分钟 （多选）7．如图所示为我国某卫星发射的示意图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ分别为半径为r和3r的圆轨道，卫星在这两个轨道上均做匀速圆周运动，轨道Ⅱ为椭圆轨道，P、Q分别为轨道Ⅰ、Ⅱ和轨道Ⅱ、Ⅲ的切点，下列说法正确的是（　　） A．卫星的发射速度大于16.7km/s B．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的周期比为 C．卫星在轨道Ⅱ过P点的速度大于在轨道Ⅲ过Q点的速度 D．卫星在轨道Ⅱ过Q点的加速度大于在轨道Ⅲ过Q点的加速度 模型四　双星与多星系统 1.双星系统及规律 被相互引力联系在一起、互相绕转的两颗星就叫双星系统。双星是绕公共圆心转动的一对恒星。对于如图所示的双星系统，具有以下几个关系： （1）各自所需向心力由彼此间的万有引力提供，即G＝m1ωr1；G＝m2ωr2. （2）两颗星的周期及角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2. （3）两颗星的运行轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. （4）两颗星到公共圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. 2.三星及多星模型 情境导图 运动特点 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 受力特点 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力 解题规律 甲：＋＝man； 乙：×cos 30°×2＝man 解题关键 乙中r＝ 【例题精讲】 1．如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期T1绕O点逆时针旋转，轨道半径分别是rP和rQ（rP＜rQ），P有一颗卫星M，以轨道半径rM绕P顺时针以周期T2做匀速圆周运动，已知T1＞T2，卫星M对恒星P、Q的运动没有影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为G，下列说法不正确的是（　　） A．由已知条件可以求出Q的质量 B．恒星P、Q之间的万有引力为 C．若Q也有一颗质量很小的周期也为T2的卫星，则其轨道半径一定小于M的轨道半径 D．P、Q、M由图示位置到再次共线所需时间为 2．天文观测已经确定了月地距离r，以及月地环绕运动的周期T，如图所示。在不考虑宇宙中其它天体影响的情况下，若已知万有引力常量G，可以有两种方案利用r、T、G对这一系统的其它量进行估算：方案一是认为地球不动，月球绕地球做匀速圆周运动；方案二是将地球和月球视作双星系统，它们都绕其连线上某点做匀速圆周运动。则下列说法中错误的是（　　） A．按照方案一，只能估算地球的质量，不能估算地球和月球的总质量 B．按照方案二，只能估算地球和月球的总质量，不能估算地球的质量 C．按照方案一估算的月球速度大于按照方案二估算的月球速度 D．按照方案一估算的月球加速度小于按照方案二估算的月球加速度 3．如图所示，相距为L的A、B星球构成的双星系统正绕O点做匀速圆周运动，运动周期为T，环绕半径分别为RA、RB，且RA＜RB。C为B的卫星，D为A的卫星，C、D做匀速圆周运动的轨道半径均为R，忽略A与C、B与D之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B、A与D之间的引力。已知引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．D绕A运行的周期等于C绕B运行的周期 B．C绕B运行的周期等于 C．A、B的质量之比为 D．A、B的质量之和为 4．在天文学研究中，科学家通过引力波探测器观测到一个双星系统，该系统由两颗恒星组成，质量分别为m1和m2，它们围绕共同的中心做匀速圆周运动。已知两颗恒星之间的距离为L，引力常量为G。根据最新的观测数据，科学家发现该双星系统的运动周期T与两颗恒星的质量和距离之间存在某种关系。此外，该双星系统的轨道偏心率很小，可以近似为圆轨道。关于该双星系统，下列说法正确的是（　　） A．两颗恒星所受的向心力大小不相等 B．该双星系统的质量比越大，两颗恒星的轨道半径比也越大 C．两颗恒星的运动周期T与成反比，与成正比 D．研究发现该双星系统会通过引力波辐射损失能量，则该双星系统的距离L会逐渐减小，运动周期T也会逐渐减小 5．宇宙中，两颗靠得比较近的星体，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，且mA＝3M，mB＝M，万有引力常量为G。则（　　） A．星球A、B做圆周运动的线速度之比为1：2 B．星球A、B做圆周运动的角速度之比为3：1 C．星球B做圆周运动的周期为 D．若质量较大的A星球会“吸食”质量较小的B星球的表面物质，从而实现质量转移。则在“吸食”的最初阶段，A、B运动的周期变大 （多选）6．中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　） A．A、B的轨道半径之比为 B．C的质量为 C．A、B的质量和为 D．A的质量为 （多选）7．宇宙空间有一种由三颗星体A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA＞rB＞rC，忽略其他星体对它们的作用，可知这三颗星体（　　） A．加速度大小关系是aA＞aB＞aC B．线速度大小关系是vA＞vB＞vC C．质量大小关系是mA＞mB＞mC D．所受万有引力合力的大小关系是FA＞FB＞FC 课时精练 一．选择题（共28小题） 1．2024年6月25日嫦娥六号月球背面“挖宝”归来，实现世界首次月球背面采样返回。当它靠近月球后，先悬停在月面上方一定高度，然后关闭发动机自由下落，经过2.25s到达月面（已知月球表面重力加速度约为地球的六分之一），此时探测器的速度大小最接近（　　） A．3.5m/s B．5m/s C．10m/s D．20m/s 2．若金星与地球的质量之比为a、半径之比为b，则金星与地球的第一宇宙速度之比为（　　） A． B． C． D． 3．航天员用同一装置使同一单摆分别在地球和月球表面做受迫振动实验，得到如图所示的共振曲线。将月球视为密度均匀、半径为R的球体，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，不考虑星球自转的影响。下列说法正确的是（　　） A．该单摆在月球上的共振频率为f2 B．所用单摆的摆长为 C．月球表面的重力加速度为 D．月球的密度为 4．2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船从酒泉卫星发射中心发射升空，三名航天员随飞船一起前往中国空间站开展太空科研工作。下列说法正确的是（　　） A．加速起飞时航天员的重力变大 B．加速起飞时航天员处于失重状态 C．在空间站内，航天员不受重力 D．在空间站内，航天员处于完全失重状态 5．2025年12月8日，水星发生西大距时，太阳、水星、地球三者构成直角三角形（水星位于直角顶点，如图），已知水星平均轨道半径约为0.387AU（1AU＝1.49×1011m，称为一个天文单位），地球平均轨道半径约为1AU，水星的体积比地球小，则下列说法正确的是（　　） A．水星公转的线速度小于地球的公转线速度 B．水星和地球的公转周期之比约为：1 C．若水星的轨道半径变为原来的2倍，周期将变为原来的4倍 D．水星的第一宇宙速度和地球的第一宇宙速度之比等于两者质量之比的平方根 6．2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2，B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A点向B点运动过程中速度逐渐增大 B．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．在轨道1运行时A点的加速度与在轨道2运行时A点的加速度相同 7．如图所示，某一行星围绕太阳运动，从1→2、从3→4行星与太阳的连线扫过面积相等，运动时间分别是t12和t34；运动到1和3处绕太阳的角速度分别是ω1和ω3。下面物理量的比较正确的是（　　） A．t12＝t34，ω1＝ω3 B．t12＜t34，ω1＜ω3 C．t12＞t34，ω1＞ω3 D．t12＝t34，ω1＞ω3 8．已知同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球转的向心加速度为a2；第一宇宙速度为v2，地球半径为R。下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．如图所示，“鹊桥二号”在环月大椭圆轨道上运行的周期为T，近月点P到月心的距离为a，远月点Q到月心的距离为b，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．月球的质量为 B．月球的质量为 C．“鹊桥二号”在P、Q两点的速度之比为 D．“鹊桥二号”在P、Q两点的速度之比为 （多选）10．如图甲，两小行星a、b在同一平面内绕中心天体的运动可视为匀速圆周运动，测得两小行星之间的距离Δr随时间变化的关系如图乙所示。下列说法正确的是（不考虑两小行星之间的作用力）（　　） A．两星的加速度之比aa：ab＝16：1 B．两星的线速度之比va：vb＝4：1 C．两星的周期之比Ta：Tb＝1：4 D．b星的运转周期为7T （多选）11．2025年9月5日，中国深空探测实验室宣布，我国正规划在1000万公里以外实施“小行星动能撞击验证”任务，本次任务撞击目标预计为阿登型近地小行星2015XF261。有观测认为，该小行星直径约为170米，轨道半长轴约为1.1天文单位，即为地球到太阳平均距离的1.1倍，轨道平面与地球轨道平面近似共面，两者转动方向相同。若将该小行星轨道与地球轨道都近似看成圆轨道，则由以上信息判断，下列说法正确的是（　　） A．小行星2015XF261公转周期约为1.15年 B．小行星2015XF261大约每7.5年接近地球一次 C．到达小行星的航天器发射速度应大于7.9km/s而小于11.2km/s D．根据该小行星的轨道周期与半径，万有引力常量，可计算出小行星的质量 三．解答题（共5小题） 12．观测到某一卫星环绕地球做匀速圆周运动，卫星距地面的高度为h。已知地球半径为R，地球表面处重力加速度g，引力常量为G，求： （1）地球的密度； （2）卫星环绕地球运行的周期T。 13．在太阳系中，哈雷彗星是人一生中唯一裸眼可能看见两次的彗星，哈雷彗星上一次回归在1986年。 （1）哈雷彗星和行星A围绕太阳公转的轨道如图1所示，其中阴影部分分别为它们与太阳连线在相等时间内扫过的面积S1、S2、S3、S4，则 　AC　 。 A.S1＝S2 B.S2＝S3 C.S3＝S4 D.S4＝S2 （2）①（简答）在如图2位置飞临地球阶段，哈雷彗星运动速度的大小如何变化？简述理由。 ②已知日地平均距离为1.5亿千米，哈雷彗星运行到其轨道与地球公转轨道相交时，估算哈雷彗星的加速度大小为 　 m/s2（仅考虑太阳的引力，结果保留3位有效数字）。 （3）哈雷彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，则哈雷彗星下次飞近地球约在公元 　 　 年。 14．如图所示，A、B两颗卫星和赤道平面共面，沿相同方向环绕地球做匀速圆周运动，A卫星的轨道半径是B卫星的4倍。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，A运动的周期为T。 （1）求卫星B环绕地球运动的周期； （2）求在时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数。 15．将地球视为半径为R的球体，质量分布均匀，密度为ρ，引力常量为G，已知某物体受到的地球的万有引力相当于球内质量集中于O点对物体的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零。 （1）求距离地球球心距离为r（r＞R）的质量为m的物体所受到地球的引力大小F1； b.求距离地球球心距离为r（r＜R）的质量为m的物体所受到地球的引力大小F2； （2）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图11所示，以某一点O为观测点，以质量为m0的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。设星系P到O点的距离为r0时，宇宙的密度为ρ0。请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小F引随距离r变化的关系式。 （3）科学家在利用超新星检测宇宙的膨胀速度时，观察数据说明其膨胀的速度越来越大，根据（2）中的简化模型，请你从力与运动的角度判断理论和实际是否相符；如果相符，进行论证说明其合理性；如果不相符，请对模型（2）提出修正方案，并论证说明修正方案的合理性。 16．2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r。已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求： （1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v； （2）火星的质量M； （3）火星表面的重力加速度的大小g； （4）火星上的第一宇宙速度是多少？ 第19页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 万有引力与宇宙航行 模型一　开普勒定律 1.开普勒定律具有普遍适用性，既适用于行星绕太阳的运动，也适用于月球、卫星绕地球的运动等。 2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1Δtr1＝v2Δtr2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 3.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，因此该定律只能用在同一中心天体的星体之间。 【例题精讲】 1．在人类对行星运动规律的认识过程，开普勒作出了划时代的贡献。对开普勒行星运动定律的理解，下列说法中正确的是（　　） A．此定律只适用于行星绕太阳运动，不适用于卫星绕行星的运动 B．由开普勒第三定律可知，k是一个与中心天体有关的常量 C．牛顿发现万有引力定律后，开普勒整理牛顿的观测数据，发现了行星运动规律 D．行星绕太阳做椭圆轨道运动时，线速度方向时刻在变，但大小始终不变 【答案】B 【解答】解：A.开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星等天体的椭圆轨道运动，故A错误； B.开普勒第三定律中的常量k仅与中心天体的质量有关，不同的中心天体对应不同的k值，故B正确； C.开普勒是通过整理第谷的观测数据发现了行星运动定律，这一过程早于牛顿发现万有引力定律，故C错误； D.根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，线速度大小会随位置变化近日点速度大，远日点速度小，故D错误。 故选：B。 2．开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 C．所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 D．离太阳越近的行星的运动周期越长 【答案】C 【解答】解：A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A错误； B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的一个焦点处，故B错误； C．根据开普勒第三定律，所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，故C正确； D．根据开普勒第三定律，离太阳越近的行星的运动周期越短，故D错误。 故选：C。 3．中国空间站核心舱组合体的运行轨道简化为如图所示的绕地球O运动的椭圆轨道，地球位于椭圆的一个焦点上，其中A为近地点，B为远地点。假设每隔Δt时间记录一次核心舱的位置，记录点如图所示，已知E为椭圆轨道的中心，C、D、E在同一条直线上且CD⊥AB，AB的距离为2a，CD的距离为2b，椭圆的面积公式为S＝πab，则核心舱从C运动到B所需的最短时间为（　　） A． B． C． D．12Δt 【答案】B 【解答】解：设C点左侧第一个记录点位置为F，C点右侧一个记录点为G，如图所示： 根据开普勒第二定律可知，封闭图形AOF和FOG的面积相等，都等于 根据几何关系可知，封闭图形AOC的面积为 则封闭图形COG的面积为 所以核心舱从C运动到G的时间为 则核心舱从C运动到B所需的最短时间为，故B正确，ACD错误。 故选：B。 4．2030年之前，中国航天员将登上月球。如图所示，月球的半径为R，假设甲、乙两艘宇宙飞船分别绕月球做椭圆轨道和圆轨道运动，甲的近地点正好在月面，远地点与月面的最近距离为2R，甲的远地点与乙轨道的最近距离为R，则甲、乙的周期之比为（　　） A．1：1 B．2：1 C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可得甲椭圆轨道的长轴为4R，则半长轴为2R，设乙圆轨道的半径为r，当甲的远地点与乙的最近距离为R，由几何关系可得 r＝R+R＝2R，解得 r＝2R，设甲、乙的周期分别为T甲T乙，由开普勒第三定律可得，则有T甲：T乙＝1：1，故A正确，BCD错误。 故选：A。 5．如图所示为哈雷彗星绕太阳运行的轨迹，a、b、c、d轨迹上的四个点，它们与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S2＝2S1。则彗星从a到b和从c到d的时间t1、t2的关系（　　） A．t2＝t1 B．t2＝2t1 C．t2t1 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：根据开普勒第二定律，哈雷彗星绕太阳运行在同一轨道上，相同的时间内彗星和太阳的连线扫过的面积相等，可以得出S2是面积S1的2倍时，对应的时间也是2倍关系，即t2＝2t1，故B正确，ACD错误。 故选：B。 （多选）6．中国农历二十四节气划分方法是地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气，图为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。则（　　） A．夏至时地球公转速度比冬至时小 B．立春时地球公转的加速度与立夏时大小相等 C．芒种到夏至的时间间隔比大雪到冬至的时间间隔长 D．春分、夏至、秋分、冬至四个节气刚好将一年的时间分为四等份 【答案】AC 【解答】解：A.从图中我们可以看到，冬至时地球位于近日点附近，根据开普勒第二定律可知，夏至时的公转速度应该比冬至时慢，故A正确； B.地球公转的加速度与地球到太阳的距离有关。立春和立夏时，地球到太阳的距离并不相等，因此公转加速度大小也不相等，故B错误； C.地球公转轨道是椭圆形的，但轨道上的速度并不是均匀分布的。芒种到夏至的时间间隔要大于大雪到冬至的时间间隔，故C正确； D.春分、夏至、秋分、冬至四个节气虽然分别代表了春、夏、秋、冬四季的开始，但它们并不刚好将一年的时间分为四等份。实际上，由于地球公转轨道是椭圆形的，各季节的长度并不相等，故D错误。 故选：AC。 （多选）7．天文学家利用万有引力定律计算天王星位置的过程中，出现了一定的误差。他们猜测在天王星的轨道外，肯定有一颗没有发现的行星，该行星的引力不断地影响着天王星的运动。最终，科学家们通过计算“找”到了这颗遥远的行星——海王星。若海王星绕太阳逆时针运行的运动轨迹如图所示，图中AC为长轴，BD为短轴，若只考虑万有引力的作用，下列说法正确的是（　　） A．海王星在A点的速率大于在B点的速率 B．海王星在B点的加速度与在D点的加速度相同 C．海王星从A到B的过程中与太阳的连线在相同单位时间内扫过的面积比从B到C的大 D．海王星从C到D所用的时间大于从D到A的时间 【答案】AD 【解答】解：A．根据开普勒第二定律可知，海王星离太阳越近，转动线速度越大，A点到太阳的距离小于B点到太阳的距离，所以在A点的速率大于在B点的速率，故A正确； B．由题图可知，海王星在B、D两点与太阳的连线不在同一方向，故加速度的方向不同，故B错误； C．由开普勒第二定律可知，海王星在绕太阳运行的过程中，其轨道与太阳连线在相同单位时间内扫过的面积均相等，故C错误； D．海王星离太阳越近，转动线速度越大，则海王星在AB段的平均速率大于在BC段的平均速率，故tAB＜tBC，根据对称性，海王星在CD段的速率小于在DA段的速率，故即tDA＜tCD，故D正确。 故选：AD。 模型二　万有引力的理解与计算 1.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是产生重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 2.重力加速度的大小 （1）地球赤道上：G＝mg1＋mω2R. （2）地球两极上：G＝mg0. （3）地面一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 (4）距离地面高度h处：. （5）结论：①纬度越高，g值越大；高度越大，g值越小。 ②由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G＝mg. 3.“自力更生”法（g­R） （1）利用天体表面的重力加速度g和天体半径R，由G＝mg得天体质量M＝. （2）天体密度ρ＝＝＝. (3)GM＝gR2称为黄金代换公式。 4.“借助外援”法（T­r） 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r. （1）由G＝mr得天体的质量M＝. （2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝. （3）若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 【例题精讲】 1．在一个质量为M、半径为R的均匀实心球体内部，距球心处有一个质点P，其受到的万有引力为F1。另一个质量为M、半径为R的均匀实心球体，现将其内部同心挖去一个半径为的球体，剩余部分对于球体外表面的质点Q产生的万有引力为F2，已知质点P、Q的质量相等，均匀球壳内部的物体受到球壳的万有引力为零，空心球对外部的万有引力等于质量集中于球心产生的万有引力。则F1与F2的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：质点P受到的万有引力只有球面过P点的内部球体作用，P点距离球心的半径为，F1，M'为内部球体的质量，根据密度的定义式可知，，。若将内部挖空，空心球对外部的万有引力等于质量集中于球心产生的万有引力，挖空后的球体质量为原质量的，故，由此可得，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．2025年10月6日，国家航天局和国家原子能机构联合发布了嫦娥六号月球背面样品研究最新成果。如图所示，嫦娥六号绕月运行时，近月点M与远月点N距月球中心的距离之比约为1：5。假设嫦娥六号只受到来自月球的万有引力，则嫦娥六号（　　） A．轨道半长轴的三次方与公转周期平方的比值与自身质量有关 B．通过M点与N点时加速度大小之比约为1：25 C．通过路径PNQ所用时间小于通过路径QMP所用时间 D．通过M点与N点时线速度大小之比约为5：1 【答案】D 【解答】解：A．轨道半长轴的三次方与公转周期平方的比值与月球质量有关，故A错误； B．根据ma，可知通过M点与N点时加速度大小之比约为25：1，故B错误； C．根据开普勒第二定律，分析可知通过路径PNQ所用时间大于通过路径QMP所用时间，故C错误； D．根据开普勒第二定律，可知通过M点与N点时线速度大小之比约为5：1，故D正确。 故选：D。 3．两个质量相等的匀质球，球心相距r，它们之间的万有引力为F。若将两球心的距离增大到原来的2倍，它们之间的万有引力变为（　　） A．F B． C．2F D．4F 【答案】A 【解答】解：设两个质量相等的匀质球质量为m，球心相距r，根据万有引力定律得它们之间的万有引力为， 若将两球心的距离增大到原来的2倍，它们之间的万有引力变为，故A正确，BCD错误。 故选：A。 4．人造地球卫星在离地面高为h的轨道上做匀速圆周运动，已知地球的质量为M、半径为R，引力常量为G。则卫星做匀速圆周运动的角速度ω为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：卫星绕地球做匀速圆周运动，设卫星质量为m，轨道半径r＝R+h， 根据万有引力提供向心力得， 解得，故ABC错误，D正确。 故选：D。 5．二十四节气是古人智慧的结晶，它对于我们现在的生产和生活影响意义深远，我们把春分夏至秋分冬至按照如图位置安排，则下列说法中正确的是（　　） A．地球每年运行到冬至位置时线速度最小 B．由秋分到冬至的时间为周期的四分之一 C．地球经过冬至和夏至位置时速度比为 D．地球在夏至与冬至位置时受到太阳的万有引力之比为 【答案】D 【解答】解：A．由开普勒第二定律可知，地球绕太阳做椭圆运动时，相同时间内，扫过相同的面积，所以冬至时运行速度最大，故A错误； B．地球绕太阳做椭圆运动，不是匀速圆周运动，可知秋分到冬至的时间为不等于（小于）周期的四分之一，故B错误； C．行星从轨道的冬至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积，同理，行星从轨道的夏至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积 根据开普勒第二定律，相同时间内，扫过的面积相同，则 可得 故C错误； D．由万有引力表达式有，可知地球在夏至和冬至时，所受太阳的万有引力之比为，故D正确。 故选：D。 （多选）6．要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4倍，下列方法可行的是（　　） A．使两物体的质量各变成原来2倍，距离不变 B．使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变 C．使两物体间的距离减少为原来的，质量不变 D．使两物体间的距离和两个物体质量都减少原来的 【答案】ABC 【解答】解：A.根据万有引力定律公式可知，使两物体的质量各变成原来2倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，故A正确； B.根据万有引力定律公式可知，使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，故B正确； C.根据万有引力定律公式可知，使两物体间的距离减少为原来的，质量不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，故C正确； D.根据万有引力定律公式可知，使两物体间的距离和两个物体质量都减少原来的，两物体间的万有引力不变，故不可行，故D错误。 故选：ABC。 （多选）7．位于贵州的500米口径球面射电望远镜，其反射面相当于30个足球场的大小，灵敏度达到世界第二大望远镜的2.5倍以上，大幅拓展了人类的视野。射电望远镜观测到某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，B星的运行周期约为A星的倍，A星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的2倍，B星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的3倍。假设A、B只受到行星的引力，则下列叙述正确的是（　　） A．A星受到行星的引力最大值与最小值之比为4：1 B．B星受到行星的引力始终小于A星 C．A星受到行星的引力最大值与B星受到行星的引力最小值之比为9：2 D．B星轨迹近点到行星的距离小于A星轨迹远点到行星的距离 【答案】AD 【解答】解：A、由题知，A星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的2倍，根据万有引力公式可知，A星受到行星的引力最大值与最小值之比为：，故A正确； BC、由于题中并未给出A、B两卫星的质量关系，也无法通过已知条件求解两卫星的质量关系，也就无法计算A星受到行星的引力最大值与B星受到行星的引力最小值之比，故BC错误； D、根据题意知，A星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的2倍，B星轨迹远点到行星的距离是轨迹近点的3倍，又B星的运行周期约为A星的倍，根据开普勒第三定律可得：，解得两卫星的轨道半长轴关系为aB＝2aA，故B星轨迹近点到行星的距离小于A星轨迹远点到行星的距离，故D正确。 故选：AD。 模型三　卫星发射及变轨 卫星的追及、相遇问题 一、卫星发射及变轨 1.人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道（如图所示） （1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。 （2）在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. （3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2.变轨过程分析 （1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB．在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB． （2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同，有aⅠA＝aⅡA＞aⅡB＞aⅢB． （3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律＝k，可知T1＜T2＜T3. （4）机械能：在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1<E2<E3. 二、卫星的追及、相遇问题 1.问题简述：天体运动中的“相遇”是指两天体运行过程中相距最近，如图甲所示，而图乙时刻，地球和行星相距最远。 2.解题关键：从图甲开始分析两天体转过的角度或圈数。 角度关系 相距最近 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1,2,3，…），即两天体转过的角度之差等于2π的整数倍时再次相遇 相距最远 ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…），即两天体转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远 圈数关系 相距最近 -=n(n＝1,2,3，…) 相距最远 -=n-（n＝1,2,3，…） 【例题精讲】 1．如图所示，A、B是围绕地球运转的两颗卫星，A与B的轨道平面共面，其中A卫星的轨道半径为RA，B卫星的轨道半径为RB，此时A、B以及地心刚好在一条直线上，关于这两颗卫星，下列说法正确的是（　　） A．当A、B以及地心再次到达一条直线上时，A转过的角度大于B转过的角度 B．A卫星所受万有引力小于B卫星所受万有引力 C．通过轨道的调整A、B中的某一颗卫星可以始终位于宁波的上空 D．若卫星想要进入更高轨道，则需要加速 【答案】D 【解答】解：A、根据万有引力提供卫星圆周运动的向心力，有，由此可知轨道半径越大，其角速度越小。由解得，因为RA＞RB，所以ωA＜ωB，根据角位移关系θ＝ωt，当两颗卫星再次共线时，卫星B转过的角度必定大于卫星A转过的角度，故A错误； B、根据万有引力定律，由于两颗卫星的质量mA和mB大小关系未给出，所以无法判断它们所受地球引力的大小关系，故B错误； C、地球同步卫星的运行轨道必须位于赤道平面内，宁波并不在赤道上，因此卫星A和B都不可能始终位于宁波的正上方，故C错误； D、依据卫星变轨的原理，当卫星加速时，其所受万有引力不足以提供所需的向心力，卫星将做离心运动，从而进入更高的运行轨道，故D正确。 故选：D。 2．2025年2月，我国实践25号卫星与位于地球同步轨道上的北斗G7卫星完成对接，实现了世界首次同步卫星在轨燃料补加。图中圆形轨道Ⅰ为实践25的运行轨道，圆形轨道Ⅱ为G7卫星的运行轨道，椭圆形转移轨道Ⅲ与Ⅰ、Ⅱ分别相切于A、C两点，A、C连线与轨道Ⅱ交于B点。则下列相关说法中正确的是（　　） A．实践25从轨道Ⅰ由A点减速才能进入转移轨道Ⅲ B．实践25沿轨道Ⅲ无动力到达C点时的速度与G7卫星的速度相等 C．实践25在轨道Ⅲ上运动的周期大于在轨道Ⅰ运动的周期 D．若实践25在轨道Ⅲ上经过A点的同时G7卫星经过B点，则二者可在C点完成对接 【答案】C 【解答】解：A．实践25从轨道Ⅰ由A点加速做离心运动才能进入转移轨道Ⅲ，故A错误； B．实践25沿轨道Ⅲ无动力到达C点时加速做离心运动才能进入轨道Ⅱ，故无动力到达C点时的速度小于G7卫星的速度，故B错误； C．根据开普勒第三定律，轨道Ⅲ的半长轴大于轨道Ⅰ的半径，则实践25在轨道Ⅲ上运动的周期大于在轨道Ⅰ运动的周期，故C正确； D．若实践25在轨道Ⅲ上经过A点的同时G7卫星经过B点，同样根据开普勒第三定律可知两卫星的周期不等，则二者不可在C点完成对接，故D错误。 故选：C。 3．中国预计在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。图是“嫦娥一号奔月”的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于“嫦娥一号”，以下说法正确的是（　　） A．发射速度必须达到第二宇宙速度 B．16h轨道与24h轨道半长轴的平方与公转周期的立方之比相等 C．轨道Ⅲ上Q点的速度大于轨道Ⅱ上Q点的速度 D．轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅱ时，需点火加速 【答案】C 【解答】解：A.“嫦娥一号”绕月球运行时，仍未脱离地球引力的约束，所以其发射速度应大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故A错误； B.根据开普勒第三定律可知，16h轨道与24h轨道半长轴的立方与公转周期的平方之比相等，故B错误； CD.卫星从高轨道变轨到低轨道，需要在变轨处点火减速，所以“嫦娥一号”从轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅱ时，需在Q点火减速，所以“嫦娥一号”在轨道Ⅲ上Q点的速度大于轨道上Q点的速度，故C正确，D错误。 故选：C。 4．如图甲所示，太阳系外行星M、N均绕恒星Q做同向匀速圆周运动。由于N的遮挡，行星M被Q照亮的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化，其中T0为M绕Q运动的公转周期。则两行星M、N的轨道半径之比为（　　） A．9：1 B．3：1 C．13：1 D．4：1 【答案】A 【解答】解：由万有引力提供向心力，可得：，可得：，； 根据乙图M的亮度变暗时间间隔为：，可知从MN最近，到下次N追上M需要的时间为Δt，从MN最近到下次相遇需满足：（ωN﹣ωM）Δt＝2π； 由题意可知，M的周期为T0，联立可得：，，故BCD错误，A正确。 故选：A。 5．2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射。天舟九号与空间站对接过程耗时约3小时，若对接完成时空间站在轨道上的位置如图所示。空间站与地球同步卫星的轨道半径的比值约为0.16，对接过程空间站中看到日出的次数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：设空间站的轨道半径为r1，运行周期为T1。地球同步卫星的半径为r2，已知地球同步卫星的周期T2＝24h，r1：r2＝0.16，根据开普勒第三定律可得 联立解得：T1＝1.536h 依题意知，天舟九号与空间站对接过程耗时约3小时，故对接过程空间站中看到日出的次数为n次≈2次，故ABD错误，C正确。 故选：C。 （多选）6．2025年4月25日1时17分，神舟二十号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第6次“太空会师”。如图A为中国空间站，B为地球同步卫星，两者运动方向相同。已知中国空间站绕地球的公转周期为90分钟，万有引力常量为G。某时刻两者相距最近，下列说法正确的是（　　） A．地球同步卫星的机械能大于中国空间站的机械能 B．地球同步卫星和中国空间站的轨道半径之比为 C．若已知两者相距最近时的距离，可求出地球质量 D．地球同步卫星和中国空间站下一次相距最近需经过96分钟 【答案】BCD 【解答】解：A．由于空间站和地球同步卫星的质量关系未知，则无法判断机同步卫星与中国空间站的机械能大小，故A错误； B．根据，代入数据解得地球同步卫星和中国空间站的轨道半径之比为，故B正确； C．若已知两者相距最近时的距离，即rB﹣rA为已知条件，根据mArA，mBrB，即可求出地球质量，故C正确； D．根据（）•t＝2π，代入数据解得地球同步卫星和中国空间站下一次相距最近需经过t＝96分钟，故D正确。 故选：BCD。 （多选）7．如图所示为我国某卫星发射的示意图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ分别为半径为r和3r的圆轨道，卫星在这两个轨道上均做匀速圆周运动，轨道Ⅱ为椭圆轨道，P、Q分别为轨道Ⅰ、Ⅱ和轨道Ⅱ、Ⅲ的切点，下列说法正确的是（　　） A．卫星的发射速度大于16.7km/s B．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的周期比为 C．卫星在轨道Ⅱ过P点的速度大于在轨道Ⅲ过Q点的速度 D．卫星在轨道Ⅱ过Q点的加速度大于在轨道Ⅲ过Q点的加速度 【答案】BC 【解答】解：A、因该卫星仍围绕地球运行，没有脱离地球的束缚，故该卫星的发射速度大于第一宇宙速度7.9km/s，而小于第二宇宙速度11.2km/s，故A错误； B、由题意可知轨道Ⅱ的半长轴为，卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上运行时，由开普勒第三定律得 解得卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的周期比为，故B正确； C、卫星由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ做离心运动，应在P点点火加速，则卫星在轨道Ⅰ过P点的速度小于在轨道Ⅱ过P点的速度。 卫星绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有 解得 则卫星在轨道Ⅰ过P点的速度大于在轨道Ⅲ过Q点的速度，所以卫星在轨道Ⅱ过P点的速度大于在轨道Ⅲ过Q点的速度，故C正确； D、卫星在轨道Ⅱ过Q点和在轨道Ⅲ过Q点所受地球的万有引力均为 根据牛顿第二定律有 解得 所以卫星在轨道Ⅱ过Q点的加速度等于在轨道Ⅲ过Q点的加速度，故D错误。 故选：BC。 模型四　双星与多星系统 1.双星系统及规律 被相互引力联系在一起、互相绕转的两颗星就叫双星系统。双星是绕公共圆心转动的一对恒星。对于如图所示的双星系统，具有以下几个关系： （1）各自所需向心力由彼此间的万有引力提供，即G＝m1ωr1；G＝m2ωr2. （2）两颗星的周期及角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2. （3）两颗星的运行轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. （4）两颗星到公共圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. 2.三星及多星模型 情境导图 运动特点 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 受力特点 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力 解题规律 甲：＋＝man； 乙：×cos 30°×2＝man 解题关键 乙中r＝ 【例题精讲】 1．如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期T1绕O点逆时针旋转，轨道半径分别是rP和rQ（rP＜rQ），P有一颗卫星M，以轨道半径rM绕P顺时针以周期T2做匀速圆周运动，已知T1＞T2，卫星M对恒星P、Q的运动没有影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为G，下列说法不正确的是（　　） A．由已知条件可以求出Q的质量 B．恒星P、Q之间的万有引力为 C．若Q也有一颗质量很小的周期也为T2的卫星，则其轨道半径一定小于M的轨道半径 D．P、Q、M由图示位置到再次共线所需时间为 【答案】D 【解答】解：A、对于双星系统中的星体P，根据牛顿第二定律可得，解得Q的质量为，故A正确； B、对于环绕P运行的卫星M，由万有引力提供向心力得，解得P的质量为，则恒星P与Q之间的万有引力大小为，故B正确； C、假设Q也有一颗周期为T2的卫星，设其质量为m，轨道半径为r，根据牛顿第二定律有，解得，同理可得卫星M的轨道半径，对于双星系统有，由于rP＜rQ，则有MP＞MQ，进而可得r＜rM，故C正确； D、如图所示： 当P、Q、M三星由图示位置运动至再次共线时，P、Q转过的圆心角θ1与M转过的圆心角θ2互补，满足，解得，故D错误。 本题选不正确的，故选：D。 2．天文观测已经确定了月地距离r，以及月地环绕运动的周期T，如图所示。在不考虑宇宙中其它天体影响的情况下，若已知万有引力常量G，可以有两种方案利用r、T、G对这一系统的其它量进行估算：方案一是认为地球不动，月球绕地球做匀速圆周运动；方案二是将地球和月球视作双星系统，它们都绕其连线上某点做匀速圆周运动。则下列说法中错误的是（　　） A．按照方案一，只能估算地球的质量，不能估算地球和月球的总质量 B．按照方案二，只能估算地球和月球的总质量，不能估算地球的质量 C．按照方案一估算的月球速度大于按照方案二估算的月球速度 D．按照方案一估算的月球加速度小于按照方案二估算的月球加速度 【答案】D 【解答】解：A.按照方案一，根据 可得 则只能估算地球的质量M，不能估算月球的质量m。即不能估算地球和月球的总质量，故A正确； B.按照方案二，根据 其中r＝r1+r2 解得 即只能估算地球和月球的总质量，不能估算地球的质量，B正确； CD.按照方案一根据可得月球的速度 月球加速度 按照方案二可得月球的速度 月球加速度 因r＞r'可知V＞V'，a＞a' 即按照方案一估算的月球速度大于按照方案二估算的月球速度，按照方案一估算的月球加速度大于按照方案二估算的月球加速度，C正确，D错误。 本题让选错误的选项，故选：D。 3．如图所示，相距为L的A、B星球构成的双星系统正绕O点做匀速圆周运动，运动周期为T，环绕半径分别为RA、RB，且RA＜RB。C为B的卫星，D为A的卫星，C、D做匀速圆周运动的轨道半径均为R，忽略A与C、B与D之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B、A与D之间的引力。已知引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．D绕A运行的周期等于C绕B运行的周期 B．C绕B运行的周期等于 C．A、B的质量之比为 D．A、B的质量之和为 【答案】D 【解答】解：AC、对双星系统AB分析，根据万有引力提供向心力有 则得 因RA＜RB，故MA＞MB 对C、D，根据万有引力提供向心力有 可得 因MA＞MB，R相同，故D绕A运行的周期不等于C绕B运行的周期，故AC错误； B、C和B环绕的中心天体不同，开普勒第三定律不适用，且T为双星的运行周期，故B错误； D、双星系统在万有引力作用下绕O点做匀速圆周运动，对A，有 对B，有 解得A、B的质量之和，故D正确。 故选：D。 4．在天文学研究中，科学家通过引力波探测器观测到一个双星系统，该系统由两颗恒星组成，质量分别为m1和m2，它们围绕共同的中心做匀速圆周运动。已知两颗恒星之间的距离为L，引力常量为G。根据最新的观测数据，科学家发现该双星系统的运动周期T与两颗恒星的质量和距离之间存在某种关系。此外，该双星系统的轨道偏心率很小，可以近似为圆轨道。关于该双星系统，下列说法正确的是（　　） A．两颗恒星所受的向心力大小不相等 B．该双星系统的质量比越大，两颗恒星的轨道半径比也越大 C．两颗恒星的运动周期T与成反比，与成正比 D．研究发现该双星系统会通过引力波辐射损失能量，则该双星系统的距离L会逐渐减小，运动周期T也会逐渐减小 【答案】D 【解答】解：A、双星系统的向心力均由万有引力提供，根据牛顿第三定律，两星所受向心力大小相等，即，故A错误； B、两恒星绕共同中心转动的角速度ω相同，由可得，即轨道半径与质量成反比，故B错误； C、由与，结合r1+r2＝L，解得：，可知周期T与成正比，与成反比，故C错误； D、双星系统因引力波辐射损失能量，系统机械能减小，导致两星间距L减小，根据周期公式可知运动周期T随之减小，故D正确。 故选：D。 5．宇宙中，两颗靠得比较近的星体，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，且mA＝3M，mB＝M，万有引力常量为G。则（　　） A．星球A、B做圆周运动的线速度之比为1：2 B．星球A、B做圆周运动的角速度之比为3：1 C．星球B做圆周运动的周期为 D．若质量较大的A星球会“吸食”质量较小的B星球的表面物质，从而实现质量转移。则在“吸食”的最初阶段，A、B运动的周期变大 【答案】C 【解答】解：AB、在双星系统中，两星绕其连线上的某点做匀速圆周运动，角速度与周期均相同。两星间的万有引力提供向心力， 由牛顿第二定律得，可得mArA＝mBrB；已知mA＝3M，mB＝M，则轨道半径之比rA：rB＝mB：mA＝1：3； 由线速度公式v＝ωr可得线速度之比vA：vB＝rA：rB＝1：3，故AB错误； C、对星球A，根据牛顿第二定律有；解得结合rA+rB＝L解得，代入解得周期，故C正确； D、由可知，在质量转移过程中，当质量由较小的B向较大的A转移时，由于mA＞mB，质量乘积mAmB减小，而总质量mA+mB不变，故两星间距L不变；周期T不变，故D错误。 故选：C。 （多选）6．中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　） A．A、B的轨道半径之比为 B．C的质量为 C．A、B的质量和为 D．A的质量为 【答案】CD 【解答】解：B、C绕B做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有，解得B的质量，不能求出C的质量mC，故B错误； ACD、A、B星球构成的双星系统在相互间的万有引力作用下绕O点做匀速圆周运动，对A，则有 对B，则有 解得双星的总质量 A、B的轨道半径之比为 A的质量，故A错误，CD正确。 故选：CD。 （多选）7．宇宙空间有一种由三颗星体A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA＞rB＞rC，忽略其他星体对它们的作用，可知这三颗星体（　　） A．加速度大小关系是aA＞aB＞aC B．线速度大小关系是vA＞vB＞vC C．质量大小关系是mA＞mB＞mC D．所受万有引力合力的大小关系是FA＞FB＞FC 【答案】AB 【解答】解：AB、根据题意分析可知，三星系统是一种相对稳定的结构，它们做圆周运动的角速度是相等的，根据线速度与角速度之间的关系可知，v＝ωr，结合rA＞rB＞rC，可知线速度大小关系是vA＞vB＞vC；由a＝ω2r可知加速度大小关系是aA＞aB＞aC，故AB正确； C、根据题意分析可知，以C为研究对象，则受力如图： 由于向心力指向圆心，由矢量关系可知，B对C的引力大于A对C的引力，结合万有引力定律的表达式可知B的质量大于A的质量。同理若以A为研究对象，可得C的质量大于B的质量，即质量大小关系是mC＞mB＞mA、故C错误。 D、根据题意分析可知，由于mC＞mB＞mA，结合万有引力定律可知，B与C之间的引力大于A与C之间的引力，又大于A与B之间的引力。由题可知，A、B、C受到的两个万有引力之间的夹角都是相等的，根据两个分力的角度一定时，两个力的大小越大，合力越大可知FC＞FB＞FA、故D错误。 故选：AB。 课时精练 一．选择题（共28小题） 1．2024年6月25日嫦娥六号月球背面“挖宝”归来，实现世界首次月球背面采样返回。当它靠近月球后，先悬停在月面上方一定高度，然后关闭发动机自由下落，经过2.25s到达月面（已知月球表面重力加速度约为地球的六分之一），此时探测器的速度大小最接近（　　） A．3.5m/s B．5m/s C．10m/s D．20m/s 【答案】A 【解答】解：计算得月球表面重力加速度约为，探测器落地速度，最接近3.5m/s，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．若金星与地球的质量之比为a、半径之比为b，则金星与地球的第一宇宙速度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据，得v，金星与地球的第一宇宙速度之比为，故C正确，ABD错误。 故选：C。 3．航天员用同一装置使同一单摆分别在地球和月球表面做受迫振动实验，得到如图所示的共振曲线。将月球视为密度均匀、半径为R的球体，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，不考虑星球自转的影响。下列说法正确的是（　　） A．该单摆在月球上的共振频率为f2 B．所用单摆的摆长为 C．月球表面的重力加速度为 D．月球的密度为 【答案】D 【解答】解：单摆做受迫振动，当驱动力频率等于单摆的固有频率时，发生共振现象。月球表面的重力加速度g月小于地球表面的g，由公式可知，单摆在月球上的固有频率低于在地球上的固有频率。 A、由图像可知f1＜f2，结合频率与重力加速度的关系分析，该单摆在月球上的共振频率为f1，在地球上的共振频率为f2，故A错误； B、在地球表面，共振频率为f2，根据，解得：，故B错误； C、根据固有频率公式可得，解得：，故C错误； D、在月球表面，根据万有引力等于重力有，月球质量，联立解得：；将代入上式得，故D正确。 故选：D。 4．2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船从酒泉卫星发射中心发射升空，三名航天员随飞船一起前往中国空间站开展太空科研工作。下列说法正确的是（　　） A．加速起飞时航天员的重力变大 B．加速起飞时航天员处于失重状态 C．在空间站内，航天员不受重力 D．在空间站内，航天员处于完全失重状态 【答案】D 【解答】解：A、根据题意分析可知，加速起飞时，航天员质量不变，位置变化微小，重力加速度变化可忽略，因此重力大小不变，故A错误； B、根据题意分析可知，加速起飞时，飞船加速度方向向上，航天员所受支持力大于重力，处于超重状态，而非失重状态，故B错误； C、根据题意分析可知，重力是地球对物体的吸引力，在空间站内，航天员仍受重力作用，重力提供向心力使其绕地球运动，故C错误； D、根据题意分析可知，在轨道上，航天员与空间站一起做圆周运动，重力完全提供向心力，因此处于完全失重状态，故D正确。 故选：D。 5．2025年12月8日，水星发生西大距时，太阳、水星、地球三者构成直角三角形（水星位于直角顶点，如图），已知水星平均轨道半径约为0.387AU（1AU＝1.49×1011m，称为一个天文单位），地球平均轨道半径约为1AU，水星的体积比地球小，则下列说法正确的是（　　） A．水星公转的线速度小于地球的公转线速度 B．水星和地球的公转周期之比约为：1 C．若水星的轨道半径变为原来的2倍，周期将变为原来的4倍 D．水星的第一宇宙速度和地球的第一宇宙速度之比等于两者质量之比的平方根 【答案】B 【解答】解：B、设水星的轨道半径为r1，周期为T1，地球的轨道半径为r2，周期为T2；根据开普勒第三定律，可得：，由题意可知水星与地球的半径满足：，解得水星和地球公转周期之比为：，故B正确； A、匀速圆周运动的周期与线速度满足：，设水星的公转线速度为v1，地球的公转线速度为v2，水星与地球的公转线速度大小满足：，解得：，即v1＞v2，故A错误； C、根据开普勒第三定律，可得：，可知半径变为原来的2倍时，周期变为：，故C错误； D、第一宇宙速度满足：，即：，由题意可知水星、地球的体积满足：V1＞V2，即：R1＞R2，可得：，即：，故D错误。 故选：B。 6．2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2，B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A点向B点运动过程中速度逐渐增大 B．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．在轨道1运行时A点的加速度与在轨道2运行时A点的加速度相同 【答案】D 【解答】解：A.根据开普勒第二定律可知，探测器在轨道2上从A向B运动速度逐渐减小，故A错误； B.探测器在轨道1上，由牛顿第二定律得，即，利用引力常量和轨道1的周期不能求出月球的质量，还需要知道轨道1的半径，故B错误； C.探测器从轨道1上A点变轨到轨道2，需要加速，则机械能增加，故C错误； D.探测器受万有引力，由牛顿第二定律有，可知在轨道1运行时A点的加速度与在轨道2运行时A点的加速度相同，故D正确。 7．如图所示，某一行星围绕太阳运动，从1→2、从3→4行星与太阳的连线扫过面积相等，运动时间分别是t12和t34；运动到1和3处绕太阳的角速度分别是ω1和ω3。下面物理量的比较正确的是（　　） A．t12＝t34，ω1＝ω3 B．t12＜t34，ω1＜ω3 C．t12＞t34，ω1＞ω3 D．t12＝t34，ω1＞ω3 【答案】D 【解答】解：根据开普勒第二定律，从1→2、从3→4行星与太阳的连线扫过面积相等，则t12＝t34，又由v＝rω，v1＞v3，而r1＜r3，故ω1＞ω3，故D正确，ABC错误。 故选：D。 8．已知同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球转的向心加速度为a2；第一宇宙速度为v2，地球半径为R。下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：AB.同步卫星与赤道上物体有相同的角速度，则a1＝rω2，a2＝Rω2，故，故AB错误； CD.根据万有引力提供向心力得和，可得，故C错误，D正确。 故选：D。 二．多选题（共3小题） （多选）9．如图所示，“鹊桥二号”在环月大椭圆轨道上运行的周期为T，近月点P到月心的距离为a，远月点Q到月心的距离为b，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．月球的质量为 B．月球的质量为 C．“鹊桥二号”在P、Q两点的速度之比为 D．“鹊桥二号”在P、Q两点的速度之比为 【答案】BD 【解答】解：AB.由题意可知，“鹊桥二号”在环月大椭圆轨道上的轨道半长轴为，由开普勒第三定律可知k，设一环绕月球圆轨道运动的卫星的周期为T0，轨道半径为r0，根据万有引力定律可得，又k，联立解得月球的质量为，故B正确，A错误； CD.由开普勒第二定律可知 ，解得，故D正确，C错误。 故选：BD。 （多选）10．如图甲，两小行星a、b在同一平面内绕中心天体的运动可视为匀速圆周运动，测得两小行星之间的距离Δr随时间变化的关系如图乙所示。下列说法正确的是（不考虑两小行星之间的作用力）（　　） A．两星的加速度之比aa：ab＝16：1 B．两星的线速度之比va：vb＝4：1 C．两星的周期之比Ta：Tb＝1：4 D．b星的运转周期为7T 【答案】AD 【解答】A.由间距图像，两行星最近距离rb﹣ra＝3r，最远距离rb+ra＝5r，解得ra＝r，rb＝4r，根据万有引力提供加速度，，得，故A正确。 B.线速度得，故B错误。 C.由开普勒第三定律，得，故C错误。 D.由间距图像，时间T内两行星转过的角度差为2π，即。代入Ta：Tb＝1：8，得，结合Tb＝8Ta，解得Tb＝7T，故D正确。 故选：AD。 （多选）11．2025年9月5日，中国深空探测实验室宣布，我国正规划在1000万公里以外实施“小行星动能撞击验证”任务，本次任务撞击目标预计为阿登型近地小行星2015XF261。有观测认为，该小行星直径约为170米，轨道半长轴约为1.1天文单位，即为地球到太阳平均距离的1.1倍，轨道平面与地球轨道平面近似共面，两者转动方向相同。若将该小行星轨道与地球轨道都近似看成圆轨道，则由以上信息判断，下列说法正确的是（　　） A．小行星2015XF261公转周期约为1.15年 B．小行星2015XF261大约每7.5年接近地球一次 C．到达小行星的航天器发射速度应大于7.9km/s而小于11.2km/s D．根据该小行星的轨道周期与半径，万有引力常量，可计算出小行星的质量 【答案】AB 【解答】解：A.根据开普勒第三定律，地球轨道半径a1＝1天文单位，T1＝1年，小行星轨道半径a2＝1.1天文单位，则年，故A正确； B.地球周期T1＝1年，小行星周期T2≈1.15年，同向转动时，每次接近地球需地球比小行星多转一圈。设时间t内地球转n圈，小行星转n﹣1圈，则t＝nT1＝（n﹣1）T2，解得，解得n≈7.5年，即t≈7.5年，故B正确； C.到达绕太阳运行的小行星，航天器需脱离地球引力，发射速度应大于11.2km/s（第二宇宙速度），小于16.7km/s，故 C错误； D.根据万有引力公式，小行星质量m小被约去，无法计算其质量，故D错误。 故选：AB。 三．解答题（共5小题） 12．观测到某一卫星环绕地球做匀速圆周运动，卫星距地面的高度为h。已知地球半径为R，地球表面处重力加速度g，引力常量为G，求： （1）地球的密度； （2）卫星环绕地球运行的周期T。 【答案】（1）地球的密度是； （2）卫星环绕地球运行的周期是。 【解答】解：（1）根据万有引力与重力的关系得， 地球的体积为， 根据密度的定义得ρ， 解得； （2）某一卫星环绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得， 根据万有引力等于重力得， 解得卫星环绕地球运行的周期。 答：（1）地球的密度是； （2）卫星环绕地球运行的周期是。 13．在太阳系中，哈雷彗星是人一生中唯一裸眼可能看见两次的彗星，哈雷彗星上一次回归在1986年。 （1）哈雷彗星和行星A围绕太阳公转的轨道如图1所示，其中阴影部分分别为它们与太阳连线在相等时间内扫过的面积S1、S2、S3、S4，则 　AC　 。 A.S1＝S2 B.S2＝S3 C.S3＝S4 D.S4＝S2 （2）①（简答）在如图2位置飞临地球阶段，哈雷彗星运动速度的大小如何变化？简述理由。 ②已知日地平均距离为1.5亿千米，哈雷彗星运行到其轨道与地球公转轨道相交时，估算哈雷彗星的加速度大小为 　5.95×10﹣3 m/s2（仅考虑太阳的引力，结果保留3位有效数字）。 （3）哈雷彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，则哈雷彗星下次飞近地球约在公元 　2062　 年。 【答案】（1）AC； （2）①哈雷彗星飞临地球阶段，是向太阳靠近的过程（轨道半径减小），根据开普勒第二定律，彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以彗星的速度会变大。 ②5.95×10﹣3； （3）2062； 【解答】解：（1）根据开普勒第二定律：行星（或彗星）与太阳的连线，在相等时间内扫过的面积相等。图中S1和S2同是同一颗天体（哈雷彗星）在相等时间内扫过的面积，因此S1＝S2，S3和S4是另一颗天体（行星A）扫过的面积，因此S3＝S4，故AC正确，BD错误； 故选：AC。 （2）①哈雷彗星飞临地球阶段，是向太阳靠近的过程（轨道半径减小），根据开普勒第二定律，彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以彗星的速度会变大。 ②地球绕太阳公转的周期T＝1年＝365×24×3600s≈3.15×107s，地球绕太阳公转的加速度；哈雷彗星运行到其轨道与地球公转轨道相交时，根据知，哈雷彗星的加速度大小和地球在该处的加速度一样，所以哈雷彗星的加速度大小为5.95×10﹣3m/s2； （3）根据开普勒第三定律，其中T地＝1年，，解得T慧≈76.4年，已知上一次回归在1986年， 所以下次回归年份为：1986年+76.4年≈2062年。 故答案为：（1）AC； （2）①哈雷彗星飞临地球阶段，是向太阳靠近的过程（轨道半径减小），根据开普勒第二定律，彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以彗星的速度会变大。 ②5.95×10﹣3； （3）2062； 14．如图所示，A、B两颗卫星和赤道平面共面，沿相同方向环绕地球做匀速圆周运动，A卫星的轨道半径是B卫星的4倍。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，A运动的周期为T。 （1）求卫星B环绕地球运动的周期； （2）求在时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数。 【答案】（1）卫星B环绕地球运动的周期为。 （2）在时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数为4次。 【解答】解：（1）由开普勒第三定律可得，结合rA＝4rB，解得：，即。 （2）当两卫星相距最近时，其转过的角度差满足关系式Δθ＝（ωB﹣ωA）t＝2nπ，其中n取值为0，1，2…。 已知，。在的时间间隔内，角度差为。由于需满足2nπ≤7π，故自然数n可取0，1，2，3共4个值，因此两卫星相距最近的次数为4次。 答：（1）卫星B环绕地球运动的周期为。 （2）在时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数为4次。 15．将地球视为半径为R的球体，质量分布均匀，密度为ρ，引力常量为G，已知某物体受到的地球的万有引力相当于球内质量集中于O点对物体的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零。 （1）求距离地球球心距离为r（r＞R）的质量为m的物体所受到地球的引力大小F1； b.求距离地球球心距离为r（r＜R）的质量为m的物体所受到地球的引力大小F2； （2）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图11所示，以某一点O为观测点，以质量为m0的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。设星系P到O点的距离为r0时，宇宙的密度为ρ0。请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小F引随距离r变化的关系式。 （3）科学家在利用超新星检测宇宙的膨胀速度时，观察数据说明其膨胀的速度越来越大，根据（2）中的简化模型，请你从力与运动的角度判断理论和实际是否相符；如果相符，进行论证说明其合理性；如果不相符，请对模型（2）提出修正方案，并论证说明修正方案的合理性。 【答案】（1）a.质量为m的物体受到的引力F1为； b.质量为m的物体受到的引力F2为。 （2）星系受力随距离r变化的关系式为。 （3）不相符，修正见解析。 【解答】解：（1）a.当r＞R时，地球可视为质量集中于球心的质点，总质量为 根据万有引力定律，距离球心r处、质量为m的物体受到的引力为； b.当r＜R时，均匀球壳对内部质点的引力合力为零，只有半径r以内的球体对物体产生引力，其质量，此时物体受到的引力为。 （2）以O为球心、星系P到O的距离r为半径建立球面，在宇宙膨胀过程中球内总质量保持不变，初始时（距离为r0）该质量为 根据万有引力定律，质量为m0的星系P受到的引力为，这就是星系受力随距离r变化的关系式。 （3）在（2）的模型中，星系P受到的引力做负功，会使星系远离O点的速度越来越小，与观察到膨胀的速度越来越大不符。 修正方案：星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。 将模型做如下修正：“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度（单位体积内所含的能量），且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为ρ1的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量为”G'。 当P到O的距离为r时，球体内包含的“未知物质”的质量为 星系P受到的斥力为 根据上述分析可知，，F压∝r 故其大致图像如下： 当r增大到某个值时，斥力大于引力，星系将做加速运动。 答：（1）a.质量为m的物体受到的引力F1为； b.质量为m的物体受到的引力F2为。 （2）星系受力随距离r变化的关系式为。 （3）不相符，修正见解析。 16．2021年2月10日19时52分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星。在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r。已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转。求： （1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v； （2）火星的质量M； （3）火星表面的重力加速度的大小g； （4）火星上的第一宇宙速度是多少？ 【答案】（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度为。 （2）火星的质量为。 （3）火星表面的重力加速度为。 （4）火星上的第一宇宙速度为。 【解答】解：（1）“天问一号”做匀速圆周运动，其运动一周的轨迹长度为圆的周长2πr，运动周期为T，可得线速度的大小。 （2）“天问一号”绕火星做匀速圆周运动时，火星对它的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得 解得到火星的质量为。 （3）在火星表面，物体所受的万有引力近似等于物体的重力，即 将火星质量，可得火星表面的重力加速度为。 （4）火星的第一宇宙速度是指物体在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速度，此时万有引力提供向心力，即，可得 将代入解得火星上的第一宇宙速度。 答：（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度为。 （2）火星的质量为。 （3）火星表面的重力加速度为。 （4）火星上的第一宇宙速度为。 第19页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $