精品解析：山西省大同市平城区大同市第二中学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年第一学期期末学情监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷采用开卷考试形式，共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷题和答题卡一并交回． 第Ｉ卷 选择题（共30分） 一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列函数是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数，判断各选项是否符合此形式． 【详解】解：反比例函数的形式为（）， 选项A：，符合定义； 选项B：，为二次函数，不符合； 选项C：，为正比例函数，不符合； 选项D：，为正比例函数，不符合． ∴A是反比例函数． 故选：A． 2. 如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（　　） A. 黄金分割 B. 平移 C. 旋转 D. 轴对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键； 把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行判断即可． 【详解】解：若，则点C为线段AB的黄金分割点． 故选：A． 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 4. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的函数表达式为， 故选：A． 5. 如图，中，点在边上，点在边上，且,则与相似的三角形的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】由∠1=∠2=∠3，即可得DE∥BC，可得∠EDC=∠BCD，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似，即可判定△ADE∽△ABC，△ACD∽△ABC，又由相似三角形的传递性，可得△ADE∽△ABC∽△ACD，继而求得答案． 【详解】∵∠1=∠2， ∴DE∥BC， ∴∠EDC=∠DCB，△ADE∽△ABC， ∵∠2=∠3，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴△ADE∽△ABC∽△ACD， ∴图中与△ADE相似三角形共有2对． 故选C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，解题的关键是掌握有两组角对应相等的两个三角形相似定理的应用，注意数形结合思想的应用． 6. 北岳恒山位于大同市浑源县，与东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、中岳嵩山并称为中华五岳．如图是恒山景区内一段索道的示意图，若索道上两点间的距离为，这段索道与铅垂方向的夹角，则当缆车沿索道从点处运行到点处时，缆车上升的垂直高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点A作于点D，则缆车上升的垂直高度为的长，利用交的余弦值即可得出结果． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 则缆车上升的垂直高度为的长，， 在中，， ， 故选：C． 7. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（、是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于、两点，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．一次函数落在与反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求． 【详解】解：∵一次函数（、是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于、两点，两点的横坐标分别为、2， ∴不等式的解集是或． 故选：C． 8. 如图是一张直角三角形纸片，其中，，．现将该直角三角形纸片沿折叠，使点与点重合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，折叠的性质．求出，再由折叠的性质得：，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故选∶A 9. 已知二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： ... ... ... ... 下列结论正确的是（ ） A. 函数图象开口向上 B. C. 当时，随的增大而减小 D. 关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 根据抛物线的增减性，对称轴，抛物线与x轴的交点等解答即可． 【详解】解：根据题意，得和是对称点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 故B选项错误； ∵对称轴直线的右边即时，y随x的增大而减小， ∴函数图象开口向下， 故A选项错误； ∵， ∴随的增大而减小， 故C选项正确； 根据题意，抛物线的顶点坐标为，函数图象开口向下， ∴抛物线的最大值为， ∴抛物线与x轴无交点， ∴关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）无实数根 故D选项错误． 故选：C． 10. 如图，为的直径，是上的一点，过点的的切线交的延长线于点，连接，，，若，的半径为1，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，熟练运用数形结合思想是解题的关键．由为的直径，是的切线，可得，进而有，由，得，从而有，则有，，根据阴影部分的面积=半圆面积计算出即可． 【详解】解： ∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故选：D． 第II卷 非选技题（共90分） 二、填空题（共3小题，共15分） 11. 若，则_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质直接解答即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 12. 在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长l为时，测得振动频率f为，则当振动弦长为时，振动频率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据待定系数法求出k的值，再代入计算即可． 【详解】解：设，当f为240赫兹，长度为米， ∴，即， 当时，． 故答案为：． 13. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ， ， 又点是中点， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，由以原点O为位似中心，相似比为2，根据位似图形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，两点坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是， ∴相似比为， ∴的对应点的坐标是， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，是边上的一点，连接，过点作交于点，交于点，若，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键，作于点H，先证明，求出，再证明，求出，最后根据勾股定理求出结论． 【详解】解：作于点H， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——因式分解法、实数的运算及特殊角的三角函数值，熟知实数的运算法则及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用公因式分解对所给一元二次方程进行求解即可； （2）根据实数的运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ， 或， ，． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 题中图形均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）网格中的形状是_________． （2）在下图中确定一点D，连结，使与全等． （3）在下图的边上确定一点E，连结，使． （4）在图下的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连结，使，且相似比为． 【答案】（1）直角三角形 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）利用勾股定理及勾股定理的逆定理可得出结论． （2）取格点，使，即可． （3）过点作于点，可得，进而可得． （4）取格点，在上取格点，连接，交于点，可得，则，可得，即，且相似比为． 【小问1详解】 ，，， ， 为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【小问2详解】 如图①，点即为所求（答案不唯一）． 【小问3详解】 如图②，点即为所求． 【小问4详解】 如图③，点，即为所求． 18. “三十里的莜麦，四十里的糕，二十里的荞面饿断腰”，是山西一则民间谚语，反映不同主食耐饥程度的差异．近年来不吃碳水之风盛行，山西文旅随即发起“护面行动”，邀请全国各地的朋友来山西见—“面”，品尝山西的各种好吃耐饥的面食，有：A．黄米糕；B．莜面栲栳栳；C．猫耳朵；D．剔尖面等． （1）小彤从这四种面食中随机选择一种，恰好选中“C．猫耳朵”的概率是______； （2）小彤和小丽一起去山西面馆吃面，小彤先从上面四种面食中任选一种，小丽再从剩下的三种面食中任选一种，请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．黄米糕”和“D．剔尖面”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中“C．猫耳朵”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选中“A．黄米糕”和“D．剔尖面”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中“C．猫耳朵”的结果有1种， 恰好选中“C．猫耳朵”的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画出树状图如下： 一共有12种等可能的情况，两人恰好选中“A．黄米糕”和“D．剔尖面”的结果有2种， 所以两人恰好选中“A．黄米糕”和“D．剔尖面”的概率是：． 19. 月日，中央广播电视总台发布年春晚的主题为——“骐骥驰骋 势不可挡”．《楚辞•离骚》中写道：“乘骐骥以驰骋兮，来吾道夫先路．”“骐骥”是古人对骏马、千里马的雅称，凝聚着中华民族开拓进取、驰而不息的精神品格；又音同“奇迹”，传递出创造奇迹的决心和一往无前的信心，饱含对新时代新征程满怀期冀的美好愿景．春节来临之际，商场以元/件的进价购进一款印有“骐骥驰骋纹”的卫衣．试销发现：当售价为元/件时，平均每天能卖出件；若这种卫衣的售价每下降元，则平均每天能多售出件．商场要使销售此款卫衣平均每天的利润为元，且尽可能让利于消费者，每件卫衣应降价多少元？ 【答案】每件卫衣应降价元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每件卫衣应降价元，则每天的销量为件，根据销售利润销售量单件利润，列方程求解． 【详解】解：设每件卫衣应降价元，则每天的销量为件， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 要求尽可能让利于消费者，， ， 答：每件卫衣应降价15元． 20. 巍峨的博雅塔和它周围的松柏以及波光荡漾的未名湖构成北京大学的一大景观．“博雅”二字，凝聚了北大精魂中最不朽的图腾，徜徉在未名湖畔的微风中，聆听大师巨匠的教诲已成为众多中学生的奋斗目标之一．某中学数学小组在北大研学活动期间进行了“测量北大“博雅塔”高度”的课题活动，他们制订方案后进行了实地测量．测量结果如下表： 项目 内容 课题 测量北大“博雅塔”高度 测量示意图 说明：为“博雅塔”， 为地面，两处观测点，分别位于“博雅塔”两侧，由于地形原因，点高于地面，点，，在同一条直线上，且图中所有点均在同一竖直平面内 测量数据 的度数 的度数 的长度 的高度 请你根据上表中的测量数据，求出“博雅塔” 的高度．（精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】“博雅塔” 的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用的仰角问题，解题的关键是构造直角三角形，利用正切三角函数建立等式求解． 延长交于点，在中，得 ，则 ，在中，得 ，然后方程，即可求解. 【详解】解：延长交于点， 由题意得：，，， 设， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ， “博雅塔” 的高度约为. 21. 阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关联弦 【概念理解】． 如图1，A，B，C为上的三点，连接，若平分，我们把此时的两条弦和称为圆上顶点关联弦． 【特例研究】 通过观察和测量，发现． 证明：如图1，过点O分别作，则． ∵平分，∴． ∵，∴ ① ∵，∴， ∴ ② ，∴． 【概念、特性拓展】 如图2，B，C为上两点，点A在外，与交于点F，与交于点G，连接．若平分，我们把此时的两条弦和称为圆外顶点关联弦，观察发现． 证明：…… 任务： （1）填空：“①”处空缺的内容为______，“②”处空缺的内容为______． （2）将“……”处证明过程补充完整． （3）如图3，点M在上，点A在外，与交于点P．若点N为上的点，与交于点Q，且与为圆外顶点关联弦，请利用无刻度直尺和圆规确定弦NQ的位置．（不写作法，保留画图痕迹） 【答案】（1）；． （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据角平分线的性质，全等三角形的性质，作答即可； （2）过点O作，，连接，得到，，证明，得到，即可； （3）延长交于一点，以该点为圆心，的半径长为半径，画弧，交于点， 连接，与的交点即为点． 小问1详解】 证明：过点O分别作，则． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图1，过点O作，，连接， 则，． ∵平分，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图2，即为所求（作法不唯一）． 由作图可知：， ∴均为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∴与为圆外顶点关联弦． 22. 为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，学校组织开展了小型烟花发射实验活动．同学们发现，从垂直地面的发射装置的顶端处，以一定倾斜角度发射出的烟花，烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 已知发射装置的高度是0.95米，当顶端处射出的火星与发射装置的水平距离为9米时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点为原点，表示地面的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 （1）求火星运行路线所在抛物线的解析式； （2）如图1，火星刚好落在操场围栏和地面的交界处，求火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离； （3）为安全接住火星，在操场围栏旁沿图1中处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形（如图2），其中为米，为米．为确保火星落到回收箱内（包含、两点），需将烟花发射装置顶端向上升高米，且火星运行的抛物线形状保持不变，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）令，求出对应的x即可得出答案． （3）分别求出对应D点和E点抛物线解析式，进而可求出答案． 【小问1详解】 解：由题可知：抛物线的顶点为 ∴设抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为，或． 【小问2详解】 解：令，得＝0， 解得：，， ∴， ∴， ∴火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离为； 【小问3详解】 解：如图所示： ∵，， ∴， 设， 把代入得， 解得： 由平移可知，发射装置顶端上升高度最小值为， 设， 把代入得：， 解得：， 由平移可知，发射装置顶端上升高度最大值为， ∴当火星落在回收箱内时，的取值范围为． 23. 综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）由证明，可得结论； （2）通过证明，可得； （3）求出，设则，分三种情况解答，由相似三角形的判定和性质和勾股定理即可求出答案． 【详解】解：（1）与的数量关系是，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 根据直径所对的圆周角是，可得点，点，点，点在以为直径的圆上， ∴点，点，点，点四点共圆，且， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①当在线段上时，由（2）知， ∵， ∴在含的中，， ∵为斜边的中点， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得或， 当时，，不符合题设，舍去， ∴此时； ②如图，当在延长线上时， 由（2）可证：， ∴ ∵， ∴， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，，不符合题设，舍去； ∴此时； ③如图，当点在延长线上时， 同（2）可证，， ∴， ∵， ∴， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时 ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得或，均不符合题设，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末学情监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷采用开卷考试形式，共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷题和答题卡一并交回． 第Ｉ卷 选择题（共30分） 一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列函数是反比例函数的是（ ） A B. C. D. 2. 如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（　　） A. 黄金分割 B. 平移 C. 旋转 D. 轴对称 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 4. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，点在边上，点在边上，且,则与相似的三角形的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 北岳恒山位于大同市浑源县，与东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、中岳嵩山并称为中华五岳．如图是恒山景区内一段索道的示意图，若索道上两点间的距离为，这段索道与铅垂方向的夹角，则当缆车沿索道从点处运行到点处时，缆车上升的垂直高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（、是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于、两点，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 8. 如图一张直角三角形纸片，其中，，．现将该直角三角形纸片沿折叠，使点与点重合，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： ... ... ... ... 下列结论正确的是（ ） A. 函数图象开口向上 B. C. 当时，随的增大而减小 D. 关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）有两个不相等的实数根 10. 如图，为的直径，是上的一点，过点的的切线交的延长线于点，连接，，，若，的半径为1，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选技题（共90分） 二、填空题（共3小题，共15分） 11. 若，则_____． 12. 在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长l为时，测得振动频率f为，则当振动弦长为时，振动频率为__________． 13. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的坐标是________． 15. 如图，在矩形中，是边上的一点，连接，过点作交于点，交于点，若，则的长为___________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 题中图形均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）网格中的形状是_________． （2）在下图中确定一点D，连结，使与全等． （3）在下图的边上确定一点E，连结，使． （4）在图下的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连结，使，且相似比为． 18. “三十里的莜麦，四十里的糕，二十里的荞面饿断腰”，是山西一则民间谚语，反映不同主食耐饥程度的差异．近年来不吃碳水之风盛行，山西文旅随即发起“护面行动”，邀请全国各地的朋友来山西见—“面”，品尝山西的各种好吃耐饥的面食，有：A．黄米糕；B．莜面栲栳栳；C．猫耳朵；D．剔尖面等． （1）小彤从这四种面食中随机选择一种，恰好选中“C．猫耳朵”概率是______； （2）小彤和小丽一起去山西面馆吃面，小彤先从上面四种面食中任选一种，小丽再从剩下的三种面食中任选一种，请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．黄米糕”和“D．剔尖面”的概率． 19. 月日，中央广播电视总台发布年春晚的主题为——“骐骥驰骋 势不可挡”．《楚辞•离骚》中写道：“乘骐骥以驰骋兮，来吾道夫先路．”“骐骥”是古人对骏马、千里马的雅称，凝聚着中华民族开拓进取、驰而不息的精神品格；又音同“奇迹”，传递出创造奇迹的决心和一往无前的信心，饱含对新时代新征程满怀期冀的美好愿景．春节来临之际，商场以元/件的进价购进一款印有“骐骥驰骋纹”的卫衣．试销发现：当售价为元/件时，平均每天能卖出件；若这种卫衣的售价每下降元，则平均每天能多售出件．商场要使销售此款卫衣平均每天的利润为元，且尽可能让利于消费者，每件卫衣应降价多少元？ 20. 巍峨的博雅塔和它周围的松柏以及波光荡漾的未名湖构成北京大学的一大景观．“博雅”二字，凝聚了北大精魂中最不朽的图腾，徜徉在未名湖畔的微风中，聆听大师巨匠的教诲已成为众多中学生的奋斗目标之一．某中学数学小组在北大研学活动期间进行了“测量北大“博雅塔”高度”的课题活动，他们制订方案后进行了实地测量．测量结果如下表： 项目 内容 课题 测量北大“博雅塔”高度 测量示意图 说明：为“博雅塔”， 为地面，两处观测点，分别位于“博雅塔”两侧，由于地形原因，点高于地面，点，，在同一条直线上，且图中所有点均在同一竖直平面内 测量数据 的度数 度数 的长度 高度 请你根据上表中的测量数据，求出“博雅塔” 的高度．（精确到，参考数据：，，，，，） 21. 阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关联弦 【概念理解】． 如图1，A，B，C为上的三点，连接，若平分，我们把此时的两条弦和称为圆上顶点关联弦． 【特例研究】 通过观察和测量，发现． 证明：如图1，过点O分别作，则． ∵平分，∴． ∵，∴ ① ∵，∴， ∴ ② ，∴． 【概念、特性拓展】 如图2，B，C为上的两点，点A在外，与交于点F，与交于点G，连接．若平分，我们把此时的两条弦和称为圆外顶点关联弦，观察发现． 证明：…… 任务： （1）填空：“①”处空缺的内容为______，“②”处空缺的内容为______． （2）将“……”处证明过程补充完整． （3）如图3，点M在上，点A在外，与交于点P．若点N为上的点，与交于点Q，且与为圆外顶点关联弦，请利用无刻度直尺和圆规确定弦NQ的位置．（不写作法，保留画图痕迹） 22. 为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，学校组织开展了小型烟花发射实验活动．同学们发现，从垂直地面的发射装置的顶端处，以一定倾斜角度发射出的烟花，烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 已知发射装置的高度是0.95米，当顶端处射出的火星与发射装置的水平距离为9米时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点为原点，表示地面的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 （1）求火星运行路线所在抛物线的解析式； （2）如图1，火星刚好落在操场围栏和地面的交界处，求火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离； （3）为安全接住火星，在操场围栏旁沿图1中处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形（如图2），其中为米，为米．为确保火星落到回收箱内（包含、两点），需将烟花发射装置顶端向上升高米，且火星运行的抛物线形状保持不变，求的取值范围． 23. 综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $