考点03 同底数幂的除法7大题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

考点03 同底数幂的除法 考点一：同底数幂的除法 am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n），同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． （1）法则的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相乘，即 （a≠0，m,n都是正整数，并且m＞n）. （2）同底数幂的除法法则也可以逆用，逆用时（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）. 考点二：零指数幂 a0＝1（a≠0），任何不等于0的数的0次幂等于1． 考点三：负整数指数幂 （a≠0，p为正整数），任何不等于0的数的-n(n是正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数. 考点四：科学记数法—较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 题型一：同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，直接利用运算法则进行计算． （1） 忽略底数不为0的前提； （2）混淆运算法则，指数做乘/除而非相减； （3）底数形式不同时不能用法则． 【典例精讲】（2025秋•楚雄州期末）若ax＝3，ay＝9，则ax﹣y的值为（　　） A．﹣6 B．3 C． D．27 【变式训练1】（2025秋•凉山州期末）计算a10÷a5的结果为（　　） A．a5 B．a4 C．a2 D．a 【变式训练2】（2025秋•浦东新区校级期末）计算：　　 ． 【变式训练3】（2025秋•鲤城区校级期中）计算： （1）x2•x5+x3•x4； （2）a2•a4+（﹣2a2）3+a8÷a2． 题型二：同底数幂的除法逆运算 （a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）. （1）忽略底数「相同且非0」前提； （2）指数拆分颠倒/运算顺序出错； （3）公式顺序搞反，被除数/除数颠倒. 【典例精讲】（2025秋•梓潼县期末）若3a＝5，3b＝4，3c＝80，则3a﹣b+c＝　 　 ． 【变式训练1】（2025秋•梅里斯区期末）若xa＝3，xb＝5，则xa+b的值是 　　 ，x2a﹣b的值是 　 ． 【变式训练2】（2025秋•绵阳期末）（1）已知2x+3y﹣4＝0，求9x•27y的值； （2）已知9b＝4，3a＝2，求33a﹣2b的值． 题型三：零指数幂 （1）1的任何次幂都等于1； （2）﹣1的奇数次幂都等于﹣1；﹣1的偶数次幂都等于1； （3）任何不等于零的数的零次幂都等于1． 底数为0无意义，有括号看整体，无括号只看底，先算零幂再运算． （1）忽略底数不为0的硬性前提； （2）误判整体底数，忽略符号/括号； （3）混合运算中，零指数幂与其他法则混淆． 【典例精讲】（2025秋•西城区校级期中）如果（2a﹣1）0＝1不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【变式训练1】（2025春•吴江区期中）如果等式（x﹣3）x+3＝1成立，则满足条件x值为（　　） A．3或﹣3 B．4或3或﹣3 C．4或2或﹣3 D．4或﹣3 【变式训练2】（2025秋•浦东新区期中）阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2016＝1成立的x的值为　　 ． 题型四：负整数指数幂 （a≠0，p为正整数），任何不等于0的数的-n(n是正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数. （1）符号判断失误，混淆底数整体与单独符号； （2）公式逆用颠倒，错把倒数和幂的顺序搞反； （3）系数与底数混淆，含系数的幂运算出错． 【典例精讲】（2025秋•庆阳期末）计算：（﹣3）﹣3＝（　　） A．27 B． C． D．﹣27 【变式训练1】（2025秋•西城区校级月考）计算：（π﹣2）0＝ 　 　；5﹣2＝ 　 　 ． 【变式训练2】（2025秋•丰台区期末）计算：． 【变式训练3】（2025春•靖江市校级月考）计算： （1）； （2）（x2）2•（x2）4÷（﹣x2）5； （3）（2a）3+（﹣a）8÷（﹣a）5； （4）（a﹣b）3•（a﹣b）2•（b﹣a）5． 题型五：科学记数法 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． （1） a是只保留一位整数的小数，含非零中间0； （2） n是正整数，其值为小数点移动的位数，也等于原数左边第一个非0数字前0的总个数（含小数点前的0）． （1）a的取值范围1≤|a|＜10； （2）负整数n的绝对值算错； （3）忽略原数的负号； （4）含非零中间0的数，漏保留有效0； （5）结合单位换算时，未统一单位先转化． 【典例精讲】（2025秋•渝中区校级期末）嘉嘉同学在物理课中学了密度后，想通过实验测量一枚一元硬币的密度，他找到一枚1999年版的一元硬币，测得质量大约是0.00605kg，通过排水法测得体积大约为0.00000091m3，计算出了密度约6.65×103kg/m3．将数据0.00605用科学记数法可表示为（　　） A．6.05×10﹣1 B．6.05×10﹣2 C．6.05×10﹣3 D．6.05×10﹣4 【变式训练1】（2025•前郭县模拟）人工智能风起潮涌，在人工智能的神经网络训练中，经常会遇到非常小的数值，例如当计算神经元的激活概率时．假设一个神经网络模型输出了一个神经元的激活概率为0.000000789．作为一名优秀的中学生，用科学记数法表示这个激活概率为（　　） A．0.789×10﹣6 B．0.789×10﹣7 C．7.89×10﹣6 D．7.89×10﹣7 【变式训练2】（2025•遂平县三模）据新华社2025年3月3日电，中国科学家已成功构建目前最高水准超导量子计算机——105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录．已知105比特≈1.2517×10﹣5兆字节，则1.2517×10﹣5这个数对应的原数是（　　） A．1251700 B．0.000012517 C．0.00012517 D．125170 题型六：幂的混合运算 幂的混合运算涵盖同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数、负整数指数，核心遵循先定符号→再算乘方→最后算乘除，同级运算从左到右，有括号先算括号内，所有法则均要求底数不为0． （1）定符号：先根据“负负得正、奇负偶正”确定最终结果/各部分的符号（积的乘方中，负数的偶次幂为正，奇次幂为负）； （2）算乘方：优先计算幂的乘方、积的乘方、零指数、负指数（负指数先转化为正指数倒数，零指数直接写1）； （3）算乘除：最后算同底数幂的乘除，统一底数后仅算指数加减； （4）化最简：结果化为正指数形式，系数单独计算（乘除运算），不含分母（或分母无幂）． （1）符号漏判：忽略负数的乘方符号； （2）法则混淆：幂的乘方错算成指数相加、同底数幂相乘错算成指数相乘； （3）运算顺序颠倒：先算乘除再算乘方、同级运算未从左到右； （4）负指数未转化：直接参与指数加减； （5）系数与底数混淆：含系数的幂运算，系数单独乘除，仅对底数用幂的法则． 【典例精讲】（2025秋•长春期末）计算：a5•（﹣a）3+a10÷a2+（﹣2a4）2． 【变式训练1】（2025秋•黄石期中）计算． （1）（a2）3•（a2）4÷（﹣a2）5； （2）（p﹣q）4•（q﹣p）3•（q﹣p）5． 【变式训练2】（2025秋•汕头校级期中）计算：a5•a3+（2a2）4﹣（﹣a4）3÷（a2）2． 【变式训练3】（2025春•邗江区校级期中）计算： （1）（b2n）3•（b3）4n÷（b5）n（n是正整数）； （2）5n×25n﹣1÷52n+1（n是正整数）； （3）（x﹣y）10÷（y﹣x）5÷（x﹣y）； （4）（n﹣m）4÷（m﹣n）3+（m+n）3÷（﹣m﹣n）2． 题型七：十进制数与其他进制数的互化 理解题目所给的信息，转化为幂的运算． 一般按照从右往左的顺序进行计算． 【典例精讲】（2025秋•东川区期末）我们平常用的数是十进制数，如2639＝2×103+6×102+3×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．为了区别不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如：二进制数101记作（101）2，转化为十进制数是5，计算过程为：（101）2＝1×22+0×21+1×20＝5；二进制数10111记作（10111）2，转化为十进制数是23，计算过程为：（10111）2＝1×24+0×23+1×22+1×21+1×20＝23，那么二进制数11011转化为十进制数是（　　） A．25 B．26 C．27 D．28 【变式训练1】（2025秋•娄底校级期末）当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题，二进制数的计算问题十分常见．为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2．例如（10110）2． （1）类比十进制的计数原理：12035＝1×104+2×103+0×102+3×101+5，把一个二进制数转化为十进制数的方法为：22+1×21+0＝22． 请你将二进制数（10011）2转化为十进制数：则（10011）2＝ 　　 ； （2）把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就是结果．例如将十进制数37转化为二进制数： 37÷2＝18余1 18÷2＝9余0 9÷2＝4余1 4÷2＝2余0 2÷2＝1余0 1÷2＝0余1 所以37＝（100101）2． 请你将十进制数15转化为二进制数，则15＝ 　　 ； （3）二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算口诀如下： 加法：0+0＝0，0+1＝1，1+0＝1，1+1＝102． 减法：0﹣0＝0，1﹣0＝1，1﹣1＝0，102﹣1＝1（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 请根据以上信息和所学的竖式计算相关知识，填空： ①（10110）2+（1101）2＝（ 　　 ）； ②（1101）2﹣（1010）2＝（ 　　 ）2． 【变式训练2】（2025秋•确山县期中）综合与实践： 生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：212＝2×102+1×101+2×100；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：1×24+0×23+0×22+1×21+0×20＝16+2＝18；（规定：a≠0时，a0＝1）其他进制也有类似的算法… （1）【发现】根据以上信息，将二进制数“101100”转化为十进制数是 　　 ； （2）【迁移】按照上面的格式将十进制数“46”转化为三进制数； （3）【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 1．（2025秋•石泉县校级期末）计算（﹣2025）0的结果是（　　） A．﹣2025 B．2025 C．1 D．﹣1 2．（2025秋•湘西州期末）已知3a＝10，32b＝5，则3a﹣2b的值为（　　） A．5 B． C． D．2 3．（2025秋•仓山区期中）已知32m＝6，32n＝12，则9m﹣n+1的值是（　　） A． B． C．﹣2 D．4 4．（2025秋•朝阳区期末）已知3a＝5，3b＝15，3c＝45．给出下面四个结论：①b﹣a＝1；②a﹣c＝2；③a+b+c＝3b；④a2﹣b2＝3﹣2c．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 5．（2025秋•闵行区期末）已知xm＝3，xn＝6，则xm﹣n的值为　 ． 6．（2025秋•滑县期末）（x﹣3）0成立的条件是 　 ． 7．（2025秋•永川区期末）中国科学技术大学完成的“祖冲之二号”和“九章二号”量子计算优越性实验入选2021年国际物理学十大进展．人们发现全球目前最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”大约用时仅为0.00000023秒，将数字0.00000023用科学记数法表示为 　 ． 8．（2025秋•沙坪坝区校级期末）若2x﹣y+2＝0，则23x•2x÷22y＝　 ． 9．（2025秋•碑林区校级期末）若10m＝2，10n＝3，则103m﹣n＝　 ． 10．（2025秋•三亚期末）若xa＝2，xb＝3，则x3a﹣2b＝　 ． 11．（2024秋•大祥区期末）（2x+3）x+2024＝1成立的x的值为 　 ． 12．（2025秋•通化校级期末）计算：． 13．（2025秋•武都区期末）计算：． 14．（2025春•相城区校级月考）计算： （1）； （2）（a2）3•（a2）4÷（﹣a2）5． 15．（2025秋•湖北期末）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知am＝4，am+n＝20，求an的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以20＝4×an，所以an＝5． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： （1）若am＝12，am﹣n＝6，求an的值； （2）计算：． 16．（2025春•成都校级期中）（1）已知4m÷2n＝8，（2m）2•2n＝32． ①求2m﹣n的值． ②计算（﹣8）2m+n×0.1252m﹣n的结果． （2）若2x＝3，求（23x+1÷22x）2的值． 17．（2025秋•石家庄期中）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 运用逆向思维解题 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：若am＝9，am+n＝54，求an的值．这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以54＝9×an，所以an＝6． 下面是小明用逆向思考的方法完成一道习题的过程： 计算：． 解：． 任务： （1）若，则x的值为　　 ； （2）若am＝4，a3m﹣n＝32，请你也利用逆向思考的方法求出an的值； （3）计算：82024×（﹣0.125）2025． 18．（2025春•泰兴市期中）在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简． 根据要求完成下列计算： （1）若7a＝2，7b＝3，2a＝5，求： ①求7a﹣b的值； ②求14a的值； （2）若7a＝x，2a＝y，14a＝z，探索x，y、z之间的数量关系，并说明理由． 19．（2024秋•普陀区校级月考）请阅读材料，并解决问题，如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系． （1）根据“劳格数”的定义，填空：d（10）＝　　 ，d（10﹣2）＝　　 ； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），； （2）根据运算性质，填空：　　 ．（a为正数） （3）若d（2）＝0.3010，分别计算d（4），d（5）． 20．（2025秋•昭阳区期中）生活中常用的十进制用0﹣9这十个数字来表示数，满十进一，如212＝2×102+1×101+2．计算机常用二进制来表示字符代码，它用0和1两个数来表示数，满二进一．如二进制数10000转化为十进制数：1×24+0×23+0×22+0×21+0×20＝16（当a≠0时，a0＝1）．其他进制也有类似的算法． （1）【发现】根据以上信息，将二进制数10101转化为十进制数是　　 ； （2）【应用】在我国远古时期，人们通过绳子上打结来记录数量，即结绳计数．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，转换为十进制，求孩子出生的天数； （3）【迁移】将八进制数27转化为十进制数是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 同底数幂的除法 考点一：同底数幂的除法 am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n），同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． （1）法则的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相乘，即 （a≠0，m,n都是正整数，并且m＞n）. （2）同底数幂的除法法则也可以逆用，逆用时（a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）. 考点二：零指数幂 a0＝1（a≠0），任何不等于0的数的0次幂等于1． 考点三：负整数指数幂 （a≠0，p为正整数），任何不等于0的数的-n(n是正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数. 考点四：科学记数法—较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 题型一：同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，直接利用运算法则进行计算． （1） 忽略底数不为0的前提； （2）混淆运算法则，指数做乘/除而非相减； （3）底数形式不同时不能用法则． 【典例精讲】（2025秋•楚雄州期末）若ax＝3，ay＝9，则ax﹣y的值为（　　） A．﹣6 B．3 C． D．27 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 【解答】解：∵ax＝3．ay＝9， ∴ax﹣y＝ax÷ay＝3÷9， 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•凉山州期末）计算a10÷a5的结果为（　　） A．a5 B．a4 C．a2 D．a 【分析】根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减进行计算即可． 【解答】解：根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减进行计算可得： a10÷a5＝a10﹣5＝a5， 故选：A． 【变式训练2】（2025秋•浦东新区校级期末）计算：　　 ． 【分析】先计算同底数幂的除法，再计算乘方即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【变式训练3】（2025秋•鲤城区校级期中）计算： （1）x2•x5+x3•x4； （2）a2•a4+（﹣2a2）3+a8÷a2． 【分析】（1）先进行同底数幂的乘法计算，再合并同类项即可； （2）先进行同底数幂的乘法与除法，积的乘方等计算，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）x2•x5+x3•x4 ＝x7+x7 ＝2x7； （2）a2•a4+（﹣2a2）3+a8÷a2 ＝a6﹣8a6+a6． ＝﹣6a6． 题型二：同底数幂的除法逆运算 （a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）. （1）忽略底数「相同且非0」前提； （2）指数拆分颠倒/运算顺序出错； （3）公式顺序搞反，被除数/除数颠倒. 【典例精讲】（2025秋•梓潼县期末）若3a＝5，3b＝4，3c＝80，则3a﹣b+c＝　 　 ． 【分析】逆用同底数幂的乘除法则进行计算即可． 【解答】解：逆用同底数幂的乘除法则进行计算可得： ． 故答案为：100． 【变式训练1】（2025秋•梅里斯区期末）若xa＝3，xb＝5，则xa+b的值是 　　 ，x2a﹣b的值是 　 ． 【分析】根据同底数幂的乘法法则将xa+b变形为xa•xb，然后计算即可；根据同底数幂的除法法则、幂的乘方法则将x2a﹣b变形为（xa）2÷xb，然后计算即可． 【解答】解：∵xa＝3，xb＝5， ∴xa+b＝xa•xb＝3×5＝15； x2a﹣b＝x2a÷xb＝（xa）2÷xb＝32÷5； 故答案为：15，． 【变式训练2】（2025秋•绵阳期末）（1）已知2x+3y﹣4＝0，求9x•27y的值； （2）已知9b＝4，3a＝2，求33a﹣2b的值． 【分析】（1）由2x+3y﹣4＝0，得2x+3y＝4，然后由9x•27y＝32x+3y，最后代入求解即可； （2）由33a﹣2b＝33a÷32b＝（3a）2÷9b，把9b＝4，3a＝2代入求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，2x+3y＝4， ∴原式＝（32）x×（33）y ＝32x×33y ＝32x+3y ＝34 ＝81； （2）原式＝33a÷32b ＝（3a）3÷9b ＝（2）3÷4 ＝8÷4 ＝2． 题型三：零指数幂 （1）1的任何次幂都等于1； （2）﹣1的奇数次幂都等于﹣1；﹣1的偶数次幂都等于1； （3）任何不等于零的数的零次幂都等于1． 底数为0无意义，有括号看整体，无括号只看底，先算零幂再运算． （1）忽略底数不为0的硬性前提； （2）误判整体底数，忽略符号/括号； （3）混合运算中，零指数幂与其他法则混淆． 【典例精讲】（2025秋•西城区校级期中）如果（2a﹣1）0＝1不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【分析】根据零次幂：a0＝1（a≠0）求解即可． 【解答】解：∵（2a﹣1）0＝1不成立， ∴2a﹣1＝0， ∴a， 故选：D． 【变式训练1】（2025春•吴江区期中）如果等式（x﹣3）x+3＝1成立，则满足条件x值为（　　） A．3或﹣3 B．4或3或﹣3 C．4或2或﹣3 D．4或﹣3 【分析】根据1的任何次幂均为1，﹣1的偶数次幂均为1，任何非零数的零次幂均为1，即可进行解答． 【解答】解：当x﹣3＝1时， 解得：x＝4， 符合题意； 当x﹣3＝﹣1时， 解得：x＝2， 此时x+3＝5，（﹣1）5＝﹣1， 不符合题意； 当x+3＝0时， 解得：x＝﹣3， 此时x﹣3＝﹣6≠0， 符合题意； 综上所述，满足条件x值为4或﹣3， 故A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•浦东新区期中）阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2016＝1成立的x的值为　　 ． 【分析】根据1的乘方，﹣1的乘方，非零的零次幂，可得答案． 【解答】解：①当2x+3＝1时，解得：x＝﹣1，此时x+2016＝2015，则（2x+3）x+2016＝12015＝1，所以x＝﹣1． ②当2x+3＝﹣1时，解得：x＝﹣2，此时x+2016＝2014，则（2x+3）x+2016＝（﹣1）2014＝1，所以x＝﹣2． ③当x+2016＝0时，x＝﹣2016，此时2x+3＝﹣4029，则（2x+3）x+2016＝（﹣4029）0＝1，所以x＝﹣2016． 综上所述，当x＝﹣1，或x＝﹣2，或x＝﹣2016时，代数式（2x+3）x+2016的值为1． 故答案为：﹣1或﹣2或﹣2016． 题型四：负整数指数幂 （a≠0，p为正整数），任何不等于0的数的-n(n是正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数. （1）符号判断失误，混淆底数整体与单独符号； （2）公式逆用颠倒，错把倒数和幂的顺序搞反； （3）系数与底数混淆，含系数的幂运算出错． 【典例精讲】（2025秋•庆阳期末）计算：（﹣3）﹣3＝（　　） A．27 B． C． D．﹣27 【分析】根据负整数指数幂的运算法则解答即可． 【解答】解：（﹣3）﹣3， 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•西城区校级月考）计算：（π﹣2）0＝ 　 　；5﹣2＝ 　 　 ． 【分析】根据负整数指数幂、零指数幂法则进行计算即可． 【解答】解：（π﹣2）0＝1，5﹣2． 故答案为：1；． 【变式训练2】（2025秋•丰台区期末）计算：． 【分析】先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可． 【解答】解： ＝﹣8+9+1+2 ＝4． 【变式训练3】（2025春•靖江市校级月考）计算： （1）； （2）（x2）2•（x2）4÷（﹣x2）5； （3）（2a）3+（﹣a）8÷（﹣a）5； （4）（a﹣b）3•（a﹣b）2•（b﹣a）5． 【分析】（1）根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，先算乘方，再算乘法，最后算加减即可； （2）根据幂的乘方法则先算乘方，再根据同底数幂乘除法则计算乘除即可； （3）根据积的乘方法则先算乘方，再根据同底数幂相除法则计算除法，最后合并同类项即可； （4）把底数b﹣a变成a﹣b，再根据同底数幂相乘法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝x4•x8÷（﹣x10） ＝x12÷（﹣x10） ＝﹣x2； （3）原式＝8a3+（﹣a）3 ＝8a3﹣a3 ＝7a3； （4）原式＝（a﹣b）3•（a﹣b）2•[﹣（a﹣b）5] ＝﹣（a﹣b）10． 题型五：科学记数法 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． （1） a是只保留一位整数的小数，含非零中间0； （2） n是正整数，其值为小数点移动的位数，也等于原数左边第一个非0数字前0的总个数（含小数点前的0）． （1）a的取值范围1≤|a|＜10； （2）负整数n的绝对值算错； （3）忽略原数的负号； （4）含非零中间0的数，漏保留有效0； （5）结合单位换算时，未统一单位先转化． 【典例精讲】（2025秋•渝中区校级期末）嘉嘉同学在物理课中学了密度后，想通过实验测量一枚一元硬币的密度，他找到一枚1999年版的一元硬币，测得质量大约是0.00605kg，通过排水法测得体积大约为0.00000091m3，计算出了密度约6.65×103kg/m3．将数据0.00605用科学记数法可表示为（　　） A．6.05×10﹣1 B．6.05×10﹣2 C．6.05×10﹣3 D．6.05×10﹣4 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.00605＝6.05×10﹣3． 故选：C． 【变式训练1】（2025•前郭县模拟）人工智能风起潮涌，在人工智能的神经网络训练中，经常会遇到非常小的数值，例如当计算神经元的激活概率时．假设一个神经网络模型输出了一个神经元的激活概率为0.000000789．作为一名优秀的中学生，用科学记数法表示这个激活概率为（　　） A．0.789×10﹣6 B．0.789×10﹣7 C．7.89×10﹣6 D．7.89×10﹣7 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.000000789＝7.89×10﹣7． 故选：D． 【变式训练2】（2025•遂平县三模）据新华社2025年3月3日电，中国科学家已成功构建目前最高水准超导量子计算机——105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录．已知105比特≈1.2517×10﹣5兆字节，则1.2517×10﹣5这个数对应的原数是（　　） A．1251700 B．0.000012517 C．0.00012517 D．125170 【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：根据科学记数法书写规则可知：1.2517×10﹣5＝0.000012517， 故选：B． 题型六：幂的混合运算 幂的混合运算涵盖同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数、负整数指数，核心遵循先定符号→再算乘方→最后算乘除，同级运算从左到右，有括号先算括号内，所有法则均要求底数不为0． （1）定符号：先根据“负负得正、奇负偶正”确定最终结果/各部分的符号（积的乘方中，负数的偶次幂为正，奇次幂为负）； （2）算乘方：优先计算幂的乘方、积的乘方、零指数、负指数（负指数先转化为正指数倒数，零指数直接写1）； （3）算乘除：最后算同底数幂的乘除，统一底数后仅算指数加减； （4）化最简：结果化为正指数形式，系数单独计算（乘除运算），不含分母（或分母无幂）． （1）符号漏判：忽略负数的乘方符号； （2）法则混淆：幂的乘方错算成指数相加、同底数幂相乘错算成指数相乘； （3）运算顺序颠倒：先算乘除再算乘方、同级运算未从左到右； （4）负指数未转化：直接参与指数加减； （5）系数与底数混淆：含系数的幂运算，系数单独乘除，仅对底数用幂的法则． 【典例精讲】（2025秋•长春期末）计算：a5•（﹣a）3+a10÷a2+（﹣2a4）2． 【分析】计算幂的乘方、同底数幂的乘除法，最后合并同类项即可， 【解答】解：原式＝a5•（﹣a3）+a8+4a8， ＝﹣a8+a8+4a8， ＝4a8． （2025秋•黄石期中）计算． （1）（a2）3•（a2）4÷（﹣a2）5； （2）（p﹣q）4•（q﹣p）3•（q﹣p）5． 【分析】（1）先算幂的乘方与积的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算同底数幂的除法即可； （2）利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【解答】解：（1）（a2）3•（a2）4÷（﹣a2）5 ＝a6•a8÷（﹣a10） ＝a14÷（﹣a10） ＝﹣a4； （2）（p﹣q）4•（q﹣p）3•（q﹣p）5 ＝（q﹣p）4•（q﹣p）3•（q﹣p）5 ＝（q﹣p）12． 【变式训练2】（2025秋•汕头校级期中）计算：a5•a3+（2a2）4﹣（﹣a4）3÷（a2）2． 【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可． 【解答】解：原式＝a8+16a8+a12÷a4 ＝a8+16a8+a8 ＝18a8． 【变式训练3】（2025春•邗江区校级期中）计算： （1）（b2n）3•（b3）4n÷（b5）n（n是正整数）； （2）5n×25n﹣1÷52n+1（n是正整数）； （3）（x﹣y）10÷（y﹣x）5÷（x﹣y）； （4）（n﹣m）4÷（m﹣n）3+（m+n）3÷（﹣m﹣n）2． 【分析】（1）先由幂的乘方运算变形，再由同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算求解即可得到答案； （2）先由幂的乘方运算变形，再由同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算求解即可得到答案； （3）先由乘方运算的性质变形，再由同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算求解即可得到答案； （4）先由乘方运算的性质变形，再由同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算求解即可得到答案． 【解答】解：（1）（b2n）3•（b3）4n÷（b5）n ＝b6n•b12n÷b5n ＝b6n+12n﹣5n ＝b13n； （2）5n×25n﹣1÷52n+1 ＝5n×52n﹣2÷52n+1 ＝5n+（2n﹣2）﹣（2n+1） ＝5n﹣3； （3）（x﹣y）10÷（y﹣x）5÷（x﹣y） ＝（x﹣y）10÷[﹣（x﹣y）5]÷（x﹣y） ＝﹣（x﹣y）10﹣5﹣1 ＝﹣（x﹣y）4； （4）（n﹣m）4÷（m﹣n）3+（m+n）3÷（﹣m﹣n）2 ＝（m﹣n）4÷（m﹣n）3+（m+n）3÷（m+n）2 ＝（m﹣n）4﹣3+（m+n）3﹣2 ＝（m﹣n）+（m+n） ＝m﹣n+m+n ＝2m． 题型七：十进制数与其他进制数的互化 理解题目所给的信息，转化为幂的运算． 一般按照从右往左的顺序进行计算． 【典例精讲】（2025秋•东川区期末）我们平常用的数是十进制数，如2639＝2×103+6×102+3×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．为了区别不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如：二进制数101记作（101）2，转化为十进制数是5，计算过程为：（101）2＝1×22+0×21+1×20＝5；二进制数10111记作（10111）2，转化为十进制数是23，计算过程为：（10111）2＝1×24+0×23+1×22+1×21+1×20＝23，那么二进制数11011转化为十进制数是（　　） A．25 B．26 C．27 D．28 【分析】根据题意得出二进制与十进制的转换方法，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：1×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝27． 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•娄底校级期末）当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题，二进制数的计算问题十分常见．为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2．例如（10110）2． （1）类比十进制的计数原理：12035＝1×104+2×103+0×102+3×101+5，把一个二进制数转化为十进制数的方法为：22+1×21+0＝22． 请你将二进制数（10011）2转化为十进制数：则（10011）2＝ 　　 ； （2）把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就是结果．例如将十进制数37转化为二进制数： 37÷2＝18余1 18÷2＝9余0 9÷2＝4余1 4÷2＝2余0 2÷2＝1余0 1÷2＝0余1 所以37＝（100101）2． 请你将十进制数15转化为二进制数，则15＝ 　　 ； （3）二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算口诀如下： 加法：0+0＝0，0+1＝1，1+0＝1，1+1＝102． 减法：0﹣0＝0，1﹣0＝1，1﹣1＝0，102﹣1＝1（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 请根据以上信息和所学的竖式计算相关知识，填空： ①（10110）2+（1101）2＝（ 　　 ）； ②（1101）2﹣（1010）2＝（ 　　 ）2． 【分析】（1）按照例子进行计算即可； （2）按照例子进行计算即可； （3）①根据二进制的加法运算口诀进行求解即可； ②根据二进制的减法运算口诀进行求解即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：19； （2）15÷2＝7…1， 7÷2＝3…1， 3÷2＝1…1， 1÷2＝0…1， 所以将十进制数15转化为二进制数，则15＝（1111）2， 故答案为：1111； （3）①（10110）2+（1101）2＝（100011）2； ②（1101）2﹣（1010）2＝（11）2； 故答案为：100011，11． 【变式训练2】（2025秋•确山县期中）综合与实践： 生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：212＝2×102+1×101+2×100；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：1×24+0×23+0×22+1×21+0×20＝16+2＝18；（规定：a≠0时，a0＝1）其他进制也有类似的算法… （1）【发现】根据以上信息，将二进制数“101100”转化为十进制数是 　　 ； （2）【迁移】按照上面的格式将十进制数“46”转化为三进制数； （3）【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【分析】（1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据将十进制数转化为三进制数的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【解答】解：（1）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一， 将二进制数“101100”转化为十进制数是101100＝1×25+0×24+1×23+1×22+0+0＝32+8+4＝44， 故答案为：44； （2）将十进制数“46”转化为三进制数是： 46＝1×33+2×32+0×31+1×30， 所以十进制数“46”转化为三进制数为（1201）3； （3）因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为1×52+3×51+2×50＝25+15+2＝42（天）． 1．（2025秋•石泉县校级期末）计算（﹣2025）0的结果是（　　） A．﹣2025 B．2025 C．1 D．﹣1 【分析】题目中底数为负数，但依然满足该性质的前提条件（非零），因此可直接应用该性质得出结果． 【解答】解：（﹣2025）0＝1． 故选：C． 2．（2025秋•湘西州期末）已知3a＝10，32b＝5，则3a﹣2b的值为（　　） A．5 B． C． D．2 【分析】利用同底数幂的除法法则，将3a﹣2b变形为，再代入已知条件计算． 【解答】解：利用同底数幂的除法法则，将3a﹣2b变形为，再代入已知条件计算可得： ∵3a＝10，32b＝5， ∴． 故选：D． 3．（2025秋•仓山区期中）已知32m＝6，32n＝12，则9m﹣n+1的值是（　　） A． B． C．﹣2 D．4 【分析】利用指数运算性质，将所求代数式转化为以9为底的幂，然后转化成已知条件所给的数据求解即可． 【解答】解：由题意可得：32m＝6，32n＝12， ． 故选：A． 4．（2025秋•朝阳区期末）已知3a＝5，3b＝15，3c＝45．给出下面四个结论：①b﹣a＝1；②a﹣c＝2；③a+b+c＝3b；④a2﹣b2＝3﹣2c．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 【分析】用同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方将公式变形，再计算即可． 【解答】解：∵3a＝5，3b＝15， ∴3b﹣a＝3b÷3a＝15÷5＝3＝31， ∴b﹣a＝1， 故①符合题意； ∵3a＝5，3c＝45， ∴3c＝45＝5×32＝3a×32＝3a+2， ∴c＝a+2， ∴a﹣c＝﹣2， 故②不符合题意； ∵3a＝5，3b＝15，3c＝45， ∴3a×3b×3c＝5×15×45， ∴3a+b+c＝3375， ∵33b＝（3b）3＝153＝3375， ∴3a+b+c＝33b， ∴a+b+c＝3b， 故③说法符合题意； ∵3a+b＝3a×3b＝5×15＝75， 由①b﹣a＝1可知，a﹣b＝﹣1， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）， ∴[（3a+b）]a﹣b＝（3a+b）﹣1＝75﹣1， ∵33﹣2c＝33÷32c＝27÷（3c）2＝27÷452， ∴33﹣2c， ∴a2﹣b2＝3﹣2c． 故说法④符合题意． 故选：A． 5．（2025秋•闵行区期末）已知xm＝3，xn＝6，则xm﹣n的值为　　 ． 【分析】先逆用同底数幂的除法运算法则，即xm﹣n＝xm÷xn，再代入计算即可． 【解答】解：∵xm＝3，xn＝6， ∴原式＝xm÷xn＝3÷6， ∴xm﹣n的值为， 故答案为：． 6．（2025秋•滑县期末）（x﹣3）0成立的条件是 x≠3　 ． 【分析】根据零指数幂成立的条件是底数不为0进行求解即可． 【解答】解：由题意得，x﹣3≠0， ∴x≠3， 故答案为：x≠3． 7．（2025秋•永川区期末）中国科学技术大学完成的“祖冲之二号”和“九章二号”量子计算优越性实验入选2021年国际物理学十大进展．人们发现全球目前最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”大约用时仅为0.00000023秒，将数字0.00000023用科学记数法表示为 　2.3×10﹣7 ． 【分析】绝对值小于1的利用科学记数 法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.00000023＝2.3×10﹣7， 故答案为：2.3×10﹣7． 8．（2025秋•沙坪坝区校级期末）若2x﹣y+2＝0，则23x•2x÷22y＝　　 ． 【分析】由已知条件得2x﹣y＝﹣2，利用同底数幂乘法及除法法则将原式整理后代入数值计算即可． 【解答】解：∵2x﹣y+2＝0， ∴2x﹣y＝﹣2， ∴23x•2x÷22y ＝24x﹣2y ＝22（2x﹣y） ＝2﹣4 ， 故答案为：． 9．（2025秋•碑林区校级期末）若10m＝2，10n＝3，则103m﹣n＝　　 ． 【分析】逆用同底数幂的除法法则、幂的乘方法则计算即可． 【解答】解：∵10m＝2，10n＝3， ∴103m﹣n＝103m÷10n＝（10m）3÷10n＝23÷3， 故答案为：． 10．（2025秋•三亚期末）若xa＝2，xb＝3，则x3a﹣2b＝　　 ． 【分析】先把x3a﹣2b化成（xa）3÷（xb）2，再代值计算即可得出答案． 【解答】解：∵xa＝2，xb＝3， ∴x3a﹣2b ＝x3a÷x2b ＝（xa）3÷（xb）2 ＝23÷32 ． 故答案为：． 11．（2024秋•大祥区期末）（2x+3）x+2024＝1成立的x的值为 　﹣1或﹣2或﹣2024　 ． 【分析】根据零指数幂的运算法则、有理数的乘方法则计算即可． 【解答】解：∵当x为实数，1x＝1， ∴当2x+3＝1时， 解得：x＝﹣1， ∴x+2024＝2023， ∴（2x+3）x+2024＝12023＝1； ∵当n为整数，且n≥1时，（﹣1）2n＝1， ∴当2x+3＝﹣1时， 解得：x＝﹣2时， ∴x+2024＝2022， ∴（2x+3）x+2024＝（﹣1）2022＝1； ∵当a≠0时，a0＝1， ∴当x+2024＝0时， 解得：x＝﹣2024， ∴2x+3＝2×（﹣2024）+3＝﹣4045 ∴（2x+3）x+2024＝（﹣4045）0＝1； 综上所述，（2x+3）x+2024＝1成立的x的值为﹣1或﹣2或﹣2024． 故答案为：﹣1或﹣2或﹣2024． 12．（2025秋•通化校级期末）计算：． 【分析】根据乘方的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义化简计算即可． 【解答】解：原式＝﹣1+1+4﹣8＝﹣4． 13．（2025秋•武都区期末）计算：． 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和乘方运算进行实数的混合运算即可求解． 【解答】解：原式＝﹣1+1﹣9﹣8 ＝﹣17． 14．（2025春•相城区校级月考）计算： （1）； （2）（a2）3•（a2）4÷（﹣a2）5． 【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的定义计算，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算即可． 【解答】解：（1） ＝1+4+2 ＝7； （2）（a2）3•（a2）4÷（﹣a2）5 ＝a6•a8÷（﹣a10） ＝a14÷（﹣a10） ＝﹣a4． 15．（2025秋•湖北期末）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知am＝4，am+n＝20，求an的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以20＝4×an，所以an＝5． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： （1）若am＝12，am﹣n＝6，求an的值； （2）计算：． 【分析】（1）逆用同底数幂的除法法则计算即可； （2）逆用积的乘方法则计算即可． 【解答】解：（1）∵am﹣n＝6， ∴am÷an＝6， ∵am＝12， ∴12÷an＝6， ∴an＝2； （2） ＝﹣1 ． 16．（2025春•成都校级期中）（1）已知4m÷2n＝8，（2m）2•2n＝32． ①求2m﹣n的值． ②计算（﹣8）2m+n×0.1252m﹣n的结果． （2）若2x＝3，求（23x+1÷22x）2的值． 【分析】（1）①根据同底数幂的除法法则解答即可； ②根据同底数幂的乘法可得2m+n＝5，由①可得2m﹣n＝3，最后根据积的乘方的逆用，即可求解； （2）逆用积的乘方法则、同底数幂的乘除法法则解答即可． 【解答】解：（1）①根据题意可知，4m÷2n＝22m÷2n＝8， ∴22m﹣n＝23， 即2m﹣n＝3； ②∵（2m）2•2n＝32， ∴22m•2n＝32， ∴22m+n＝25，即2m+n＝5， ∴原式 ＝64×（﹣1） ＝﹣64； （2）原式＝（23x+1﹣2x）2 ＝（2x+1）2 ＝（2x×2）2 ＝（3×2）2 ＝36． 17．（2025秋•石家庄期中）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 运用逆向思维解题 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：若am＝9，am+n＝54，求an的值．这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以54＝9×an，所以an＝6． 下面是小明用逆向思考的方法完成一道习题的过程： 计算：． 解：． 任务： （1）若，则x的值为　±3　 ； （2）若am＝4，a3m﹣n＝32，请你也利用逆向思考的方法求出an的值； （3）计算：82024×（﹣0.125）2025． 【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）先根据幂的乘方计算法则求出a3m＝64，再由同底数幂除法的逆运算法则得到a3m÷an＝32，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则把原式变形为（﹣0.125×8）2024×（﹣0.125），据此求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得：， ∴x＝±3， 故答案为：±3； （2）由题意可得： ∴（am）3＝43，即a3m＝64， ∵am＝4，a3m﹣n＝32， ∴a3m÷an＝32， ∴64÷an＝32， ∴an＝2； （3）原式＝82024×（﹣0.125）2024×（﹣0.125） ＝（﹣0.125×8）2024×（﹣0.125） ＝（﹣1）2024×（﹣0.125） ＝1×（﹣0.125） ＝﹣0.125． 18．（2025春•泰兴市期中）在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简． 根据要求完成下列计算： （1）若7a＝2，7b＝3，2a＝5，求： ①求7a﹣b的值； ②求14a的值； （2）若7a＝x，2a＝y，14a＝z，探索x，y、z之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）①逆用同底数幂的除法法则计算即可； ②逆用积的乘方法则计算即可； （2）逆用积的乘方法则计算即可得出x，y、z之间的数量关系． 【解答】解：（1）①∵7a＝2，7b＝3， ∴7a﹣b＝7a÷7b； ②∵7a＝2，2a＝5， ∴14a＝（2×7）a＝2a×7a＝5×2＝10； （2）关系：xy＝z， 理由：∵7a＝x，2a＝y，14a＝z， ∴14a＝（2×7）a＝2a×7a＝xy， ∴xy＝z． 19．（2024秋•普陀区校级月考）请阅读材料，并解决问题，如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系． （1）根据“劳格数”的定义，填空：d（10）＝　1　 ，d（10﹣2）＝　﹣2　 ； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），； （2）根据运算性质，填空：　3　 ．（a为正数） （3）若d（2）＝0.3010，分别计算d（4），d（5）． 【分析】（1）根据新定义将d（10），d（10﹣2）转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将d（a3）用d（a）表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据d（4）＝d（2×2），代入求解即可得到答案． 【解答】解：（1）根据题意可知10b＝10， ∴b＝1 ∴d（10）＝1， ∵10b＝10﹣2， ∴b＝﹣2， d（10﹣2）＝﹣2， 故答案为：1，﹣2； （2）∵d（mn）＝d（m）+d（n）， ∴d（a3）＝d（a）+d（a）+d（a）＝3d（a）， ∴， 故答案为：3； （3）∵d（mn）＝d（m）+d（n），d（2）＝0.3010， ∴d（4）＝d（2×2）＝0.3010+0.3010＝0.6020， ∵，d（2）＝0.3010， ∴． 20．（2025秋•昭阳区期中）生活中常用的十进制用0﹣9这十个数字来表示数，满十进一，如212＝2×102+1×101+2．计算机常用二进制来表示字符代码，它用0和1两个数来表示数，满二进一．如二进制数10000转化为十进制数：1×24+0×23+0×22+0×21+0×20＝16（当a≠0时，a0＝1）．其他进制也有类似的算法． （1）【发现】根据以上信息，将二进制数10101转化为十进制数是　21　 ； （2）【应用】在我国远古时期，人们通过绳子上打结来记录数量，即结绳计数．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，转换为十进制，求孩子出生的天数； （3）【迁移】将八进制数27转化为十进制数是多少？ 【分析】（1）根据二进制和十进制之间的换算方法，列式计算即可； （2）根据满五进一，列式计算即可； （3）仿照二进制和十进制之间的换算方法，列式计算即可． 【解答】解：（1）1×24+0×23+1×22+0×21+1＝21， 故答案为：21； （2）1×52+3×51+2×50 ＝25+15+2 ＝42（天）， 即孩子出生的天数为42天； （3）2×81+7×80 ＝16+7 ＝23， 将八进制数27转化为十进制数是23． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $