精品解析：新疆乌鲁木齐市第四十一中学2025-2026学年高二第一学期期末数学试题

乌市第41中学2025-2026学年第一学期高二年级 数学期末测试 问卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张璐 学校：________姓名：________班级：________ 一、单选题（每题5分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得结果. 【详解】由方程得直线斜率， ∵，∴. 故选：C. 2. 以为圆心，且过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心及圆上一点求出半径，再利用圆的标准方程即可求解. 【详解】，所以圆的半径，又以为圆心， 所以圆的标准方程为：. 故选：C 3. 已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的规律写通项公式. 【详解】已知数列可化为：， 根据数列的规律，可知该数列的通项公式可以为. 故选：B. 4. 在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则立夏的日影长为（ ） A. 9.5 尺 B. 10.5 尺 C. 11.5 尺 D. 12.5 尺 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列相关运算得到公差，进而求出立夏的日影长. 【详解】由题意得：为等差数列，公差为d，则，，则，解得：，则，故立夏的日影长为9.5尺. 故选：A 5. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算半通径，再利用椭圆定义即可得到齐次方程求解离心率. 【详解】 令，代入椭圆 则可知：，又因为，所以， 根据椭圆定义可知：， 所以椭圆的离心率为， 故选： B 6. 若过点且斜率为1的直线l被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 4 C. 0或 D. 0或4 【答案】D 【解析】 【分析】写出直线的方程，表示出圆心到直线的距离，结合与弦长间的关系，求得实数a的值. 【详解】因为直线l过点且斜率为1，所以直线l的方程为，即. 直线l被圆所截得的弦长为， 所以圆心到直线l的距离，化简得，解得或． 故选：D． 7. 已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A. 2 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，由题意可知：圆与圆有公共点，结合圆与圆的位置关系列式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 设，因为，即， 整理可得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 由题意可知：圆与圆有公共点，则， 可得，解得或， 所以实数的取值范围为，结合选项可知ABC错误，D正确. 故选：D． 8. 已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，设出直线方程并与抛物线方程联立求出，再利用抛物线定义，结合基本不等式求出最小值. 【详解】抛物线的焦点，设直线l的方程为，,， 由消去得，则，， 由，得，解得， 抛物线的准线方程为，，，， 于是，， ，因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，对应点的横坐标为，由得， 则，该情况符合题意，可以取到最小值，所以取得最小值． 故选：A. 二、多选题（每题6分） 9. 已知双曲线，则（ ） A. 的虚轴长为 B. 的离心率为 C. 与直线仅有1个公共点 D. 关于直线对称 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的虚轴长、离心率、对称性，结合双双曲线的渐近线逐一判断即可. 【详解】由题意知的虚轴长为，A错误； 双曲线的离心率为，B正确； 为的渐近线，所以与平行，故与仅有一个公共点，C正确； 交换位置后的方程与原来的方程不同，故不关于直线对称，D错误. 故选：BC 10. 点M在圆上，点N在圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 两个圆的公切线有3条 B. 的取值范围为 C. 圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】求出两圆圆心坐标和半径确定两圆位置判断AD；求出的范围可判断B；利用直线不过圆的圆心可判断C. 【详解】圆的圆心，半径， 由圆，得， 所以圆的圆心，半径， 对于A，， 所以两圆相外切，故这两个圆有3条公切线，故A正确； 对于B，，即， 所以的取值范围为，故B正确； 对于C，，所以不过点， 所以圆上任意一点关于直线的对称点不一定在该圆上，故C错误； 对于D，由两圆相外切，故两圆不存在公共弦，故D错误. 故选：AB. 11. 已知曲线C：，点P是曲线C上一点，直线与曲线C交于不同的两点M、N，点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C的长轴长为 B. 点P到直线的最大距离是 C. 直线的方程为 D. 若，则最大值是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，通过曲线C的方程判断出曲线C为焦点在轴上的椭圆，由此得出，则长轴长为；对于B，可将问题转换成求与平行且与曲线C相切的直线，再利用平行线间的距离即可判断；对于C，由点差法求出直线的斜率，然后求出直线的方程；对于D，设曲线C上点，写出曲线C上的点到定点的距离的平方，然后通过代入曲线C的方程转化为关于x的二次函数求解. 【详解】对于A，曲线C：为焦点在轴上的椭圆， ，，， 所以曲线C的长轴长为，故A正确； 对于B，设与直线平行的直线为，， 将与联立得， 令，解得， 此时直线与曲线C相切， 当时，直线的方程为， 此时两平行线的距离为， 当时，直线的方程为， 此时两平行线的距离为， 故点P到直线的最大距离是，故B错误； 对于C，直线与曲线C交于M、N两点，且点为线段的中点， 设，，则，. 由点差法得：，所以， 所以，即， 所以直线的方程为：，即，故C正确； 对于D，设曲线C上点， 由得. 定点，则， 将代入得， 这是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为， 当时，，所以最大值是，故D错误； 故选：AC. 三、填空题（每题5分） 12. 已知直线，，若，则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案. 【详解】两直线平行，故且， 由得或， 由得，因此. 故答案为：2. 13. 过点作圆的切线，则切线长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】求出已知圆的圆心、半径，再利用勾股定理求出切线长. 【详解】圆，即的圆心，半径， 点，， 所以所求切线长为. 故答案为：3 14. 已知数列，则___________（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】用换，然后两式作差得到奇数项为等差数列，然后求出奇数项的通项，可得答案. 【详解】当时， ，两式作差得： 即 因此，奇数项和偶数项分别构成公差为  的等差数列， 奇数项：，公差 ，故 ， 当  为奇数时，令 ，解得 ，代入得 故答案为： . 四、解答题（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分） 15. 已知点，，．求： （1）BC边上的中线所在直线的方程； （2）BC边上的高所在直线方程． 【答案】（1）x＝1； （2）4x＋y－7＝0． 【解析】 【分析】（1）求出边中点坐标，然后求得斜率得直线方程； （2）求出边所在直线斜率，由垂直得高所在直线斜率，从而可得直线方程． 【小问1详解】 ∵，，，∴易知线段BC的中点坐标为， 易知BC边上的中线所在的直线的斜率不存在，∴BC边上的中线所在的直线方程为x＝1； 【小问2详解】 ∵，∴BC边上的高所在直线的斜率k＝－4， ∴BC边上的高所在直线的方程为：y－3＝－4（x－1），即4x＋y－7＝0． 16. 已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为 （1）求该圆的方程； （2）求过点A的该圆的切线方程 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用弦长公式求得半径即可； （2）分直线的斜率存在和不存在，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【小问1详解】 解：圆C的圆心到直线的距离为： ， 则弦长为，解得， 所以圆的方程为：； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为：， 则圆心到直线的距离为，复合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：， 综上：该圆的切线方程为：或 17. 已知数列中，. （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】（1）， （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法，可求. （2）利用等差数列的定义，证明数列是等差数列，再求数列的通项公式. 【小问1详解】 因为， 所以， 【小问2详解】 因为，所以， 即， 又因为， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以， 所以. 18. 已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆 . （1）求椭圆 的方程； （2）已知点，过点的直线与椭圆 交于不同两点，证明：. 【答案】（1） （2）证明：当直线斜率不存在时，直线为，从而可得，， 但此时，无意义，故直线斜率存在， 设直线方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，，则，， 所以，， 所以 ， 所以. 故证：. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的焦半径范围可得，再结合点在椭圆 上即可求解； （2）当直线斜率不存在时直线不存在，即直线斜率存在并设直线方程为，然后与椭圆方程进行联立，再结合韦达定理及题意即可求证. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 又因点在椭圆 上，即，解得， 所以椭圆 的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知双曲线的实轴长为，离心率为. （1）求双曲线的标准方程： （2）过点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点，直线与直线交于点. （i）证明：直线的斜率为定值； （ii）记，分别为，的面积，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明：当直线斜率为0时，， 的方程为； 令可得，此时的斜率为. 当直线斜率不为0时，设， 联立，可得， 因为直线与双曲线的左右两支交于两点， 所以，， 设，则， 且，解得. 的方程为，令可得， 所以的斜率为， 化简可得， 由可得， 所以； 综上可得，直线的斜率为定值； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和实轴长可得方程； （2）（i）设出直线的方程与双曲线联立，写出韦达定理，求出的斜率，化简可得答案； （ii）根据斜率相等把面积比转化为线段比，结合韦达定理可求范围. 【小问1详解】 设焦距为，因为实轴长为，离心率为，所以， 所以，故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）当直线斜率为0时，， 两个三角形相似，. 当直线斜率不为0时，此时， 所以， 因为，所以， 因为，所以，即或（舍）， 所以； 综上可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌市第41中学2025-2026学年第一学期高二年级 数学期末测试 问卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张璐 学校：________姓名：________班级：________ 一、单选题（每题5分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 以为圆心，且过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 4. 在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则立夏的日影长为（ ） A. 9.5 尺 B. 10.5 尺 C. 11.5 尺 D. 12.5 尺 5. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若过点且斜率为1的直线l被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 4 C. 0或 D. 0或4 7. 已知圆，．若圆上存在点，使得，则的值可能为（　　） A. 2 B. C. D. 5 8. 已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分） 9. 已知双曲线，则（ ） A. 的虚轴长为 B. 的离心率为 C. 与直线仅有1个公共点 D. 关于直线对称 10. 点M在圆上，点N在圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 两个圆的公切线有3条 B. 的取值范围为 C. 圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 11. 已知曲线C：，点P是曲线C上一点，直线与曲线C交于不同的两点M、N，点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C的长轴长为 B. 点P到直线的最大距离是 C. 直线的方程为 D. 若，则最大值是 三、填空题（每题5分） 12. 已知直线，，若，则的值为____________. 13. 过点作圆的切线，则切线长为___________． 14. 已知数列，则___________（用数字作答） 四、解答题（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分） 15. 已知点，，．求： （1）BC边上的中线所在直线的方程； （2）BC边上的高所在直线方程． 16. 已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为 （1）求该圆的方程； （2）求过点A的该圆的切线方程 17. 已知数列中，. （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 18. 已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆 . （1）求椭圆 的方程； （2）已知点，过点的直线与椭圆 交于不同两点，证明：. 19. 已知双曲线的实轴长为，离心率为. （1）求双曲线的标准方程： （2）过点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点，直线与直线交于点. （i）证明：直线的斜率为定值； （ii）记，分别为，的面积，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $