2025年9月四川省巴中市南江中学月考高二数学试题卷

2025年9月四川省巴中市南江中学月考 高二数学试题卷 注意事项：请在答题卷上作答，在试卷上作答无效，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（每小题只有一个符合题目要求的选项，本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（   ） A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知直线与抛物线相交于两点，若直线OA与OB的斜率之和为4，O为坐标原点，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知椭圆方程，过其右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 7．已知椭圆方程为，为过椭圆的左焦点的弦，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题有至少2个正确选项，全部选对得6分，对而不全得部分分，有错选、不选不得分；本大题共3小题，每小题6分，共计18分） 9．已知直线与双曲线的图象相切，双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，若是双曲线上一点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线和直线的斜率的乘积为 D． 10．已知抛物线的焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线交C于A，B两点(在第一象限)，与准线垂直，垂足为.则（    ） A．为等边三角形 B． C． D． 11．已知直线经过抛物线E：的焦点F，与E交于A，B两点，与E的准线l交于点C，则（    ） A． B．若，则 C．若，则的取值范围是 D．若，，成等差数列，则 三、填空题（直接写出最后结果，本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12．设，，，若与的夹角为钝角，则m的取值范围是 ． 13．如图在棱长均为1的平行六面体中，，则 .    14．已知是抛物线上一点，过点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于两点（异于点）．若直线恒过点，则 ． 四、解答题（每小题必须写清楚必要的演示步骤与解答过程，只给出最后答案的不给分，本大题共5小题，其中第15题13分，第16-17题各15分，第18-19题各17分，共计77分） 15．某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图. （1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）； （2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数. 16．在长方体中，，，，E为的中点. （1）求直线与所成角的余弦值； （2）若F为BC的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 17．函数（其中 ，，）的部分图象如图所示，先把函数 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数的图象. （1）求函数图象的对称中心. （2）当时，求 的值域. （3）当时，方程 有解，求实数m的取值范围. 18．已知点和，圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)点是圆上任意一点，在轴上求出一点（异于点使得点到点与的距离之比为定值，并求的最小值． 19．已知椭圆的离心率为、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的面积； (3)设为圆上任意一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，判断是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由. 参考答案 1．B 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】表示平面内到点，的距离之和为的动点的轨迹，由于，所以点的轨迹是椭圆. 故选：B. 2．A 【分析】由得，或，可知“”是“”充分不必要条件. 【详解】充分性：若，则； 必要性：若则， 则，得，或，故不满足必要性 综上“”是“”充分不必要条件， 故选：A 3．A 【分析】 根据直线与圆相切的位置关系可构造的齐次方程，结合椭圆关系可求得离心率. 【详解】由题意知：，则直线，即， 与圆相切，，即， ，，椭圆的离心率. 故选：A. 4．D 【分析】根据双曲线定义及焦点三角形周长、焦点弦的性质有，即可求离心率范围. 【详解】 根据双曲线定义知：的周长为，而， 所以，而的周长为， 所以，即，所以，解得， 双曲线离心率的取值范围是. 故选：D. 5．A 【分析】法一：联立抛物线与直线并整理得，根据已知及韦达定理列方程求参数即可；法二：设A，B，且，根据已知有，再联立抛物线与直线并整理得，应用韦达定理得到方程求参数. 【详解】法一：由，其中，得， 整理得，设， 因为直线OA与OB的斜率之和为4，由韦达定理，，解得. 法二：设A，B，且， 因为直线OA与OB的斜率之和为4， 所以， 可得，即（*）， 联立且，消去，得， 由韦达定理，， 代入（*），可得，解得. 故选：A 6．C 【分析】讨论直线的斜率，设联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式及四边形面积公式得，求出对应面积，比较大小即可得. 【详解】当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 由，消去得，， ，，， 用代替可得，则， 令，故，则，当且仅当时取等号； 当直线的斜率不存在时，将代入椭圆得，则，，故， 同理，当直线的斜率为零时，，，故， 所以四边形面积的最小值为. 故选：C 7．C 【分析】方法1：对直线有无斜率进行讨论，当直线有斜率时，设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式，进行化简整理，可得结论；方法2：从选择项发现所给问题为定值，则由于数学问题的特殊与一般的统一性，取点在特殊位置求值即可. 【详解】方法1：如图： 易知：. 若直线斜率不存在，则弦为椭圆通径，此时，所以； 若直线斜率存在，可设直线方程：，代入椭圆方程得： ， 整理得：. 设，（不妨令）， 则：，. 所以. 所以. 又，. 所以 . 综上可知：. 方法2：如图： 可取为椭圆的长轴，则，， 所以. 故选：C 8．D 【分析】设点，可得出，利用斜率公式以及已知条件可得出的取值范围，再由可求得该椭圆离心率的取值范围. 【详解】设点，则，且，可得， 易知、， 所以，， 所以，，可得， 故. 故选：D. 9．ABD 【分析】联立直线与双曲线方程，由，求得，即可判断A；将代入双曲线方程，求得，即可判断B；由，即可判断C；由三角形的面积，可求得，即可判断D. 【详解】解：将代入， 整理得， ， 解得，故A正确； 将代入双曲线方程得：， 可得，即，故B正确； ，易得.，C故错误； 由题意可知双曲线的焦距为， 则， 又， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10．ACD 【分析】根据抛物线的定义，可判断A的真假；写出直线的方程，与抛物线方程联立，求出点的横坐标，结合抛物线的定义，可判断BCD的真假. 【详解】对A：根据抛物线的定义可得，又轴，，所以，所以为等边三角形，故A正确； 对B：因为，直线方程为：，代入抛物线方程得：， 整理得：， 所以，. 根据抛物线的定义：，. 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：由AB可知，，所以，故D正确. 故选：ACD 11．AD 【分析】利用抛物线的焦点可求得方程来判断A，利用抛物线的几何定义来求焦半径，再结合斜率的定义即可判断B，利用坐标来表示线段长，再利用点在抛物线上消元，转化为函数求值域即可判断C，利用抛物线的焦半径性质，结合几何性质即可判断D． 【详解】因为直线过点，即，所以，故A正确； 如图①，过A作于，过B作于，设， 则，，易知，即，，所以， 根据抛物线的对称性可知符合题意的直线有两条，则，故B错误； 若，设，若，轴，不符合题意，故且， 则，令且， 则且，所以，故C错误； 因为，，成等差数列，如图②，所以， 可得，又，，所以， 即，且，所以，， 所以F为BC中点，则，故D正确. 故选：AD. 12． 【分析】根据数量积以及共线向量即可求解. 【详解】若，则，解得， 当与共线时，，则， 当时，，此时两向量方向相反， 故当与的夹角为钝角时，且， 故答案为： 13． 【分析】结合图象根据向量加减法得出的表达式，根据向量模长公式得出的表达式，再根据平行六面体的性质结合已知条件计算得出相应的向量数量积与模长值，最后代入的表达式求解． 【详解】如下图所示：   ， 平行六面体棱长均为1， ， 又 ，，， ． 故答案为：． 14． 【分析】设出点，，的坐标，利用向量关系来表示垂直、共线条件，则可求出点B坐标，最终求得. 【详解】设,(互不相等）， ，， 由，得， 即， 化简得， 由三点共线，得，因为，， 所以， 化简得， 所以，所以为定点，． 故答案为：. 15．（1）众数为75，中位数为；（2）7人. 【分析】（1）根据中位数和众数的定义结合频率分布直方图即可得出答案； （2）根据频率分布直方图分别求出，，的人数，任何根据分层抽样即可求出从抽取的人数. 【详解】解：（1）由题意得众数为75， 的频率为， 的频率为， 设中位数为a，，. （2）的人数：，的人数：，的人数：，抽样比例为， 从抽取的人数：. 16．（1） （2） 【分析】（1）先以为原点以分别为轴，建立空间直角坐标系，求得，，，得到，，再代入公式.求解. （2）再求，，，设平面的一个法向量为，有可得一个法向量为，再代入公式.求解. 【详解】（1）以为原点以分别为轴，建立空间直角坐标系 可得，，则 ， 所以； （2），， 设平面的一个法向量为 则有 可得法向量为， 所以. 【点睛】本题主要考查了空向量在立体几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 17．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）观察图象，由函数最值求出，由周期求出，再将代入得出 ，即可求出函数的解析式，进而得出函数的解析式以及对称中心； （2）由的范围结合余弦函数的性质可得的值域； （3）将已知方程参变分离，利用对勾函数的性质求出值域，可得实数m的取值范围． 【详解】（1）根据图象可知，， ∴，∴， ， 将代入得， ，即，解得 ，， ∵，∴， ， ∴. 函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得 ，曲线再向左平移个单位长度，再向上平移1个单位得 令，解得 ∴此函数图象的对称中心为. （2）当时， ， ，即 的值域为. （3）， 令，由（2）知， ， 因此m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图象的应用，考查余弦函数的性质，考查有解问题的应用，解决本题的关键点是将已知方程化简，参变分离，利用对勾函数的性质求出对应函数的值域，进而得出参数的取值范围，考查学生计算能力，属于中档题． 18．(1) (2)M为（1,0），最小值为5 【分析】(1)设圆的圆心为，由题意可得关于，的方程组，解得，的值，则圆的方程可求； (2)设点，，，，则，由为定值，可得，解出，得到M坐标，再由，可得的最小值． 【详解】（1）设圆的圆心为， 由题意可得，，解得． 圆的方程为； （2）设点，，，，则． ， 为定值，是的倍数关系，且对任意的，成立， ，解得或(舍去)，， 此时为定值， ∴， 当且仅当、、三点共线时，的最小值为． 19．(1)； (2)； (3)是， 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）利用余弦定理求得，从而求得的面积. （3）根据切线是否与坐标轴平行进行分类讨论，结合判别式求得. 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆的方程为. （2）根据椭圆的定义可知，①， 由余弦定理得， 即②， 由①②得，所以. （3）圆的方程为，椭圆的方程为 注意到是圆上的点， 过上述四个点中的任意一个作椭圆的切线，则两条切线垂直，即. 当是圆上除去上述四个点外的任意一点时， 切线和切线的斜率存在且不为零， 设切线方程为， 由消去并化简得， 令， 整理得， 所以，由于，所以， 即. 综上所述，是定值，且定值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $