精品解析：安徽省 六安市第九中学2025-2026学年度秋学期九年级期末考试数学试卷

2025—2026学年度秋学期九年级期末考试数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 明朝不仅驱除胡虏，收复了痛失430年的燕云十六州，而且让北方重新恢复了汉文化，现存的铁佛寺二十四诸天彩塑造像正是建成于明朝嘉靖年间．人物面部表情丰富，被游戏《黑神话・悟空》引用，动漫《西行记》也涉及相关神话人物名称．古人在设计造像时，使造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，可以增加视觉美感，若造像全身高度，则腰部以下约为（ ） A. B. C. D. 4. 近年，二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小蕊、小翀同学设计了一款二维码，打印在面积为16的正方形纸片上，如图，她在纸内随机投点，经过大量试验，发现点落在白色部分的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（ ） A. 9.6 B. 11.2 C. 6.4 D. 0.4 5. 如图，点分别在的边上，，分别是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ） A. 5 B. 10 C. 1 D. 2 7. 如图，中，为中点，延长至点，使，连接，取中点，连接并延长交于点，交于．若，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 某地有一座四弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），共高（弧的中点到弦的距离），则拱桥的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象过点，且对称轴不在轴左侧，设，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. D. 10. 如图，矩形中，为边上动点，以为直径作圆，连接交圆于点．点在边上运动，连接．下列结论错误的是（ ） A. 的最小值是12 B. 最小值是3 C. 连接面积的最小值为 D. 的最小值是 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则的值为___________． 12. 如图，是的直径，，是上两点，若，则的度数为______． 13. 如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k=_____． 14. 如图，在正方形中，为中点，沿直线翻折，使点的对应点恰好落在线段上． （1）___________； （2）分别在上取点，，沿直线继续翻折，使点与点重合，___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：sin45°•cos45°-tan60°÷cos30° 16. 如图，在中，，，E，D分别是，上的点．，若，．求的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，． （1）以原点为位似中心，相似比为2，作的位似图形，得到，请在图中作出（点，，分别为点，，的对应点）； （2）若将绕原点逆时针旋转，得到，请在图中作出（点，，分别为点，，的对应点）；旋转过程中，点经过的路径长为____________． 18. 帆船是一种古老的水上交通工具，已有5000多年的历史．它主要依靠自然风力航行．如图是帆船逆风航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力F为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，求推动帆船前行的动力的值．（精确到．参考数据：，，，，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）观察图象直接写出不等式的解集． 20. 如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 钱学森在弥留之际写下14字遗言：“毛泽东思想活着，中国就永远年轻！”近期老师发现小璇、小森同学在收集有关毛主席的卡片，下面是四张完全相同的不透明卡片，卡片正面印有毛主席语录和图片（分别记作），卡片背面保持完全相同．将四张卡片背面朝上，洗匀，同学们从中随机抽取卡片，品读毛主席语录． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是“不是先学好了再干，而是干起来再学习，干就是学习”（D）的概率是___________； （2）小璇同学从这四张卡片中随机抽取一张卡片，记下卡片内容后，放回，背面朝上，洗匀，然后小森同学随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们抽到的两张卡片中有“读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习，最小代价最快实施”（A）的概率． 七、（本题满分12分） 22. 已知点是矩形边延长上一点，且，是对角线和的交点．连接，交于，交于，连接，如图1． （1）求证：平分． （2）若，，求的值． （3）若，如图2，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线（为常数）的对称轴与抛物线的对称轴是同一条直线． （1）求的值； （2）若点是抛物线上的动点，随着点的移动，点（，，为常数，且）恰好在抛物线上运动． （i）求的值； （ii）过作直线，直线对应的一次函数解析式为，随着点的移动，直线过一个定点，求定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度秋学期九年级期末考试数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据顶点式，知顶点坐标是，求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标是． 故选：B． 2. 如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图的画法是解题的关键．根据几何体的主视图的含义可直接进行判断． 【详解】解：由题意可得：该几何体的主视图为 故选：B． 3. 明朝不仅驱除胡虏，收复了痛失430年的燕云十六州，而且让北方重新恢复了汉文化，现存的铁佛寺二十四诸天彩塑造像正是建成于明朝嘉靖年间．人物面部表情丰富，被游戏《黑神话・悟空》引用，动漫《西行记》也涉及相关神话人物名称．古人在设计造像时，使造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，可以增加视觉美感，若造像全身高度，则腰部以下约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义．根据造像的腰部以下与全身的高度比值接近，造像全身高度，即可求出腰部以下的高度． 【详解】解：根据题意，得造像的腰部以下的高度为． 故选：A． 4. 近年，二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小蕊、小翀同学设计了一款二维码，打印在面积为16的正方形纸片上，如图，她在纸内随机投点，经过大量试验，发现点落在白色部分的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（ ） A. 9.6 B. 11.2 C. 6.4 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值；根据落在白色部分的概率等于白色部分的面积除以正方形纸片的面积，进而求得白色部分的面积． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在白色部分的频率稳定在0.4左右， ∴她在纸内随机投点，点落在白色部分的概率为， ∴二维码中白色部分的面积为． 故选：C． 5. 如图，点分别在的边上，，分别是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵M，N分别是的中点， ∴分别为的中线， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ） A. 5 B. 10 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2， 故选：D 【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键． 7. 如图，中，为中点，延长至点，使，连接，取中点，连接并延长交于点，交于．若，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形全等，三角形相似是解题的关键．延长于点，根据平行四边形的性质易证，再证明，求出，最后证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：延长于点， ∵， ∴， 设， ∵为中点，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ， ∴， ， ， ∴， ， ， ，即， ， ∴， ， ， ，即， ． 故选：B． 8. 某地有一座四弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），共高（弧的中点到弦的距离），则拱桥的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设拱桥的圆心为，连接、，设拱桥的半径为，由垂径定理可得，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱桥的半径． 【详解】解：如图，设拱桥的圆心为，连接、， 设拱桥的半径为， 由题意可得：，，， 则， ， 在中，根据勾股定理，可得： ， 即：， 解得：， 故选：． 9. 二次函数的图象过点，且对称轴不在轴左侧，设，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．由函数过点得b与a的关系，结合对称轴不在y轴左侧得a的范围，代入t表达式后求二次函数在区间上的最小值． 【详解】解：二次函数的图象过点， ， ， ∵， ， 二次函数图象对称轴不在轴左侧， ， ∵， ， ， ， ， 的对称轴为，且， 当时，随的增大而增大， 当时，． 故选：B． 10. 如图，矩形中，为边上动点，以为直径作圆，连接交圆于点．点在边上运动，连接．下列结论错误的是（ ） A. 的最小值是12 B. 最小值是3 C. 连接面积的最小值为 D. 的最小值是 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，利用二次函数最值即可判断A选项；找到点的运动轨迹，即可判断B选项；过点作，当当在处时，点到距离最小，面积最小，利用矩形的性质解直角三角形求出，即可判断C选项；作点关于对称的，连接，利用勾股定理及点到圆上的距离问题即可判断D选项． 【详解】解：设，则， 则 ， 当时，的值最小，最小值为12，故A选项正确，不符合题意； 连接，取中点，以为直径作圆，连接， 为直径， ， 在以为直径的一段圆弧上运动， 当共线且时， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点作，当在处时，点到距离最小，面积最小， ∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ，即， ， 同理，得，即， ，即， ， 面积最小值为，故C选项错误，符合题意； 作点关于对称的，连接， 当在线段上时，，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查点到圆上的最值问题，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，对称的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、找到点的运动轨迹、矩形的性质． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，将拆分为，再结合已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 如图，是的直径，，是上两点，若，则的度数为______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，连接，利用圆周角定理得到，则，然后利用同弧所对的圆周角相等求的度数． 【详解】如图，连接， 为的直径， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k=_____． 【答案】-3 【解析】 【详解】分析：由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可． 详解：过点P做PE⊥y轴于点E， ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB=CD 又∵BD⊥x轴 ∴ABDO为矩形 ∴AB=DO ∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6 ∵P为对角线交点，PE⊥y轴 ∴四边形PDOE为矩形面积为3 即DO•EO=3 ∴设P点坐标为（x，y） k=xy=﹣3 故答案为﹣3 点睛：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质． 14. 如图，在正方形中，为中点，沿直线翻折，使点的对应点恰好落在线段上． （1）___________； （2）分别在上取点，，沿直线继续翻折，使点与点重合，___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，得到，利用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，设与交于点，由折叠变换可得：为的垂直平分线，点N为的中点，通过证明，利用直角三角形的边角关系，得到，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式求得，利用勾股定理求得，利用平行线的性质得出比例式即可求得的值． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 由翻折可得， ∴， ∴， ， ∵为中点，， ， ∴； （2）如图，为折痕，即点为的中点， 过点作于点，设与交于点， 沿直线翻折，使点的对应点恰好落在线段上， 为的垂直平分线． ， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则． ， ． 解得：（负数不合题意舍去）． ． ， ． ． ． ， ∴． ， ∴ ． ∵点N为的中点，， ． ． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等变换中的翻折问题，勾股定理，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，利用翻折变换是全等变换，得到对应点的连线被折痕垂直平分是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：sin45°•cos45°-tan60°÷cos30° 【答案】 【解析】 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：sin45°•cos45°-tan60°÷cos30° =×- = 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键． 16. 如图，在中，，，E，D分别是，上的点．，若，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】由直角三角形的性质求出，，证明，由相似三角形的性质求出的长即可解答． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点列出等量关系是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，． （1）以原点为位似中心，相似比为2，作的位似图形，得到，请在图中作出（点，，分别为点，，的对应点）； （2）若将绕原点逆时针旋转，得到，请在图中作出（点，，分别为点，，的对应点）；旋转过程中，点经过的路径长为____________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析； 【解析】 【分析】（1）利用网格和位似的性质找出各个对应点，连线即可解答； （2）利用网格和旋转的性质即可画出所求作的三角形，利用勾股定理算出的长度，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 如图，即为所求． 【小问2详解】 如图，即为所求． ， ∴旋转过程中，点经过的路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-旋转作图，作图-位似变换，除上述知识点外，熟练掌握勾股定理和弧长公式也是解题的关键． 18. 帆船是一种古老的水上交通工具，已有5000多年的历史．它主要依靠自然风力航行．如图是帆船逆风航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力F为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，求推动帆船前行的动力的值．（精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先运算得出，再结合代入数值计算得，再运算得出，结合，代入数值计算得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵夹角为，帆与航行方向的夹角为， ∴， ∵与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力以分解为两个力与， ∴，， ∴在中， 则， 解得， 则， ∵在中，， ∴， 解得． 答：推动帆船前行的动力的值为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）观察图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）； （2）6； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，求出直线与x轴交点C的坐标，利用，确定底和高后计算即可； （3）找出反比例函数图象位于一次函数的图象的上方的部分，再确定这部分对应的的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把的坐标代入， 得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； 把的代入， 得：， 解得：， ． 把代入， 得， 解得：， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，设直线与轴交于点， 在中令，则，即直线与轴交于点． ； 【小问3详解】 解：由图象得，当或时，反比例函数图象位于一次函数的图象的上方， 不等式的解集为或． 20. 如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）由切线的性质求得，由圆周角定理求得，利用同角的余角相等求得，再利用圆周角定理即可证明结论成立； （2）由（1）得，求得，求得，利用勾股定理求得，证明，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质．熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 六、（本题满分12分） 21. 钱学森在弥留之际写下14字遗言：“毛泽东思想活着，中国就永远年轻！”近期老师发现小璇、小森同学在收集有关毛主席的卡片，下面是四张完全相同的不透明卡片，卡片正面印有毛主席语录和图片（分别记作），卡片背面保持完全相同．将四张卡片背面朝上，洗匀，同学们从中随机抽取卡片，品读毛主席语录． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是“不是先学好了再干，而是干起来再学习，干就是学习”（D）的概率是___________； （2）小璇同学从这四张卡片中随机抽取一张卡片，记下卡片内容后，放回，背面朝上，洗匀，然后小森同学随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们抽到的两张卡片中有“读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习，最小代价最快实施”（A）的概率． 【答案】（1） （2）抽到的两张卡片中有“读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习，最小代价最快实施”（A）的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是“不是先学好了再干，而是干起来再学习，干就是学习”（D）的结果有1种，结合概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果以及抽到的两张卡片中有“读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习，最小代价最快实施”（A）的结果，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：有A，B，C，D四张卡片， 卡片上是“不是先学好了再干，而是干起来再学习，干就是学习”（D）的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中他们抽到的两张卡片中有“读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习，最小代价最快实施”（A）的结果共有7种， 抽到的两张卡片中有“读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习，最小代价最快实施”（A）的概率为． 七、（本题满分12分） 22. 已知点是矩形边延长上一点，且，是对角线和的交点．连接，交于，交于，连接，如图1． （1）求证：平分． （2）若，，求的值． （3）若，如图2，求的值． 【答案】（1）证明：∵矩形， ∴， ， ， 平分． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）平行得到，等边对等角，得到，进而得到，即可得证； （2）过作于，勾股定理求出的长，进而求出的长，角平分线的性质，得到，证明，求出的长，进而得到的长，证明，推出的长，再根据正切的定义，进行求解即可； （3）易证矩形是正方形，设，进而得到，证明，推出的长，勾股定理求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于． 在矩形中，，， ，， ，， 由（1）得平分， ， ， ， 又， ， ， ∵，， ∴， ， ， ； 【小问3详解】 ， 矩形是正方形， 设，则， 由（2）知：， ，， ∴， ，平分， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线（为常数）的对称轴与抛物线的对称轴是同一条直线． （1）求的值； （2）若点是抛物线上的动点，随着点的移动，点（，，为常数，且）恰好在抛物线上运动． （i）求的值； （ii）过作直线，直线对应的一次函数解析式为，随着点的移动，直线过一个定点，求定点坐标． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】本题是二次函数的性质、利用待定系数法求解一次函数的解析式，熟练的运用参数解题的能力是解本题的关键． （1）根据二次函数图象对称轴建立方程求解即可； （2）（i）根据题意可得，②，联立方程，得到对于任意的，都成立，进而得到，求解即可；（ii）由题意得，得到，进而求出直线解析式为，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 解：（i）点是抛物线上的动点， ， 点是抛物线上的动点， ②， ①代入②，得：， 则， 为动点， 为变量， 对于任意的，都成立， ， 又 ； （ii）由题意得在直线上， ， ④③，得， 则， 直线解析式为，即， 直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $