精品解析：江苏省镇江市第一中学2025-2026学年高二上学期2月期末考试数学试卷

2024级高二上2月期末考试 数学试卷 2026.02 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程． 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 故选：C. 2. 已知是上的连续可导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 【答案】B 【解析】 【分析】 由极值点的定义可以判定条件不能推结论，结论可以推条件，再由充分必要性的判定，即可判定答案. 【详解】因为是上的连续可导函数 条件中，只能说明是一个驻点，该点处两边的单调性不一定相异，所以不一定是极值点，故不可推出结论 结论中是函数的一个极值点，则该点处的导数必然，故可以推出条件 所以是必要不充分条件 故选：B 【点睛】本题考查函数中极值点的定义，还考查了充分必要条件的判定，属于基础题. 3. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求原圆心关于对称轴的对称点，结合半径不变，得到对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设点关于直线的对称点为. 直线的斜率为，过点且与该直线垂直的直线方程为. 联立，解得交点为. 由中点坐标公式，，，得，. 对称圆的圆心为，半径为，方程为. 故选：C 4. 已知等差数列的前项和为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式及性质，代入数据，即可得答案. 【详解】等差数列的前项和为，且，则 故选：C 5. 两条平行直线与之间的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条平行直线间的距离求解. 【详解】变形为， 与之间的距离. 故选：D. 6. 已知公差不为0的等差数列的第，，，项依次构成一个等比数列，则等于（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列为，公差为，根据求出，再根据即可求出答案. 【详解】设等差数列为，公差为， 由题意得是的等比中项，故，即， 化简得，因为，所以， 由题意得是的等比中项，故， 即， 将代入解得 故选：C. 7. 将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在圆上任取点，依题意得到变换之后的点，满足，反求得到，回代入圆的方程即得所求. 【详解】在圆上任取一点，将该点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到点， 则，则，因是圆上的点，故， 即，故所得曲线的方程是. 故选：A. 8. 设，若函数，有大于零的极值点，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设，则，若函数在x∈R上有大于零的极值点． 即有正根，当有成立时，显然有， 此时．由，得参数a的范围为．故选B． 考点：利用导数研究函数的极值． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案. 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，,故B不正确； 对于C,，故C正确; 对于D，,故D正确； 故选：CD 10. 设数列是等比数列，下列说法正确的有（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过设等比数列的首项与公比，分别推导每个选项对应数列的通项，利用定义判断其是否为等比或等差数列. 【详解】设等比数列首项为，公比为，则. ，，为非零常数， 故是等比数列，A选项正确. ，，为常数， 故是等差数列，B选项正确. ，，指数随变化而变化，不一定是常数， 故不一定是等比数列，C选项错误. ，，为非零常数， 故是等比数列，D选项正确. 故选：ABD 11. 已知椭圆:的左右顶点为A、B，点P为椭圆C上异于左右顶点的一点，过点P向轴作垂线，垂足为Q，下列说法正确的有（ ） A. B. 存在点P使得 C. 当点P运动到短轴端点时最大 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可知，，设，根据斜率公式，结合椭圆方程，可得斜率乘积为定值，判断A；由椭圆的对称性，不妨设，由两角和的正切公式计算，即可判断的范围，判断B；求的最大值，及取最大值时，点的位置，判断C；求的值，判断D. 【详解】由题可知，. 设，则，. 所以，所以，. 对于A，.所以A正确； 对于B，C，D， 由椭圆的对称性，不妨设， 则 . 因为，，所以，所以.所以B错误； 当时，取得最大值，最大值为. 因在上单调递增，所以当时，最大. 由椭圆的对称性，当点P运动到短轴端点时最大.所以C正确； ， 所以为定值，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 函数的单调递增区间是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】求导，令求解即可. 【详解】因为的定义域为，则， 且，令，则，解得， 所以函数单调递增区间是. 故答案为： 13. 直线与圆相交于A，B两点，则弦长AB的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】结合圆的几何性质求得弦长AB的最小值. 【详解】由，可得， 由，解得， 所以直线过定点， 由，可得圆心，半径为， 因为，所以点在圆内. 所以， 根据圆的性质，可得当时，最小， 此时弦长为，所以弦长AB的最小值为. 故答案为：2. 14. 设为实数，若直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围_______. 【答案】 【解析】 【分析】曲线即为，表示焦点在轴上的双曲线在轴上方的部分，当过点时求出的值满足题意；当直线与相切时，通过联立方程组求出，解得的值，由中的得到的值，利用数形结合得到直线与曲线有两个不同的公共点时的取值范围 【详解】曲线即为，表示以焦点在轴上的双曲线在轴上方的部分， 当过点，可得，解得，此时直线方程为， 代入，， 设此方程的两个根为， 将代入得到， 则直线与曲线有两个不同的公共点，满足题意； 当直线与相切时， 将代入，整理得到， ，解得， 中的，则， 故直线与曲线有两个不同的公共点，的取值范围. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值，极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而求得其极值； （2）若函数有三个不同的零点，则方程有三个不等的实数根，即有三个不等的实数根，即直线 与函数的图象有三个不同的交点，分析函数的单调性，结合图象，求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，函数，定义域为. . 令，则或；令，则. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值为. 综上，函数的极小值为，极大值为. 【小问2详解】 若函数有三个不同的零点，则方程有三个不等的实数根，即有三个不等的实数根，即直线 与函数的图象有三个不同的交点. 令，则. 令，则或；令，则. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 且在处取得极小值；在处取得极大值.简图如下： 所以实数的取值范围是. 16. 已知椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点斜率为1的直线与椭圆交于A，B两点，求的周长与面积. 【答案】（1） （2）8， 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，依题意，由椭圆的定义求出，即得椭圆方程； （2）将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用椭圆的定义求得三角形周长；借助于弦长公式和三角形面积公式求其面积即可. 【小问1详解】 设椭圆的方程为. 依题意得，，解得，则， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意得的周长为. 而由题意得，联立，消去整理得， 设，则由韦达定理得， 则， 于是 . 17. 设数列满足：，且对任意的，都有. （1）求证：为等比数列； （2）求数列的前项和； （3）求数列的前9项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）8149 【解析】 【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义证得为等比数列. （2）根据等比数列前项和公式求得正确答案. （3）利用错位相减求和法求得. 【小问1详解】 设，则. . 故是首项为，公比为的等比数列，即为等比数列. 【小问2详解】 ，. 所以. 【小问3详解】 ，， 令……① 则……② ①-②得： ， 所以，所以 18. 抛物线（）的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上的一点，到焦点的距离是4. （1）求的值及抛物线的准线方程； （2）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴；点为中点，过点向轴作垂线交抛物线于点. 求证：①三点共线. ② 抛物线上点处的切线与平行. 【答案】（1）；准线方程 （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式结合题意可求出抛物线方程，根据抛物线方程可得到准线方程，将代入抛物线方程即可求出； （2）①设直线斜率为，设，，由题意得，将直线方程与抛物线方程联立得到，证明即可证明三点共线；②求出，设切线斜率为得到切线方程，将切线方程 与抛物线方程联立，根据，得到，即可证明. 【小问1详解】 由题意得， 由抛物线的定义得，解得，即抛物线方程为， 则抛物线的准线方程为， 将代入抛物线方程得，解得. 【小问2详解】 ①由题意可知，直线斜率一定存在， 设直线斜率为，设，， 因为点C在抛物线的准线上，且BC轴，则， 因为直线过点，则直线方程为， 联立，整理得， ，由韦达定理得，， 即， 易知直线的斜率均存在， 直线斜率，直线斜率， 即，所以三点共线. ②由①知， 因为点为中点，则点横坐标为，由题意知点的横坐标也为， 代入抛物线方程可得， 易知在处的切线斜率存在，设切线斜率为，则切线方程为， 联立，整理得， 所以，解得， 即抛物线上点处的切线斜率与直线斜率相等， 所以抛物线上点处的切线与平行. 19. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若，求实数的取值范围； （3）若有两个不同的零点，求证：. 【答案】（1）0 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导并判断导数的单调性，找到导数的零点以确定函数的极值点，进而求出函数的最小值. （2）求导分析导数的单调性以找到唯一极值点 ，将 用 表示后代入函数最小值表达式，结合基本不等式求解实数 的取值范围. （3）将原函数零点问题转化为方程 的根的问题，通过分析函数 的单调性确定根的分布；构造对称函数 ，利用导数判断其单调性，结合函数单调性完成极值点偏移的证明. 【小问1详解】 当时，，定义域为， ， 又恒成立， 所以在上为增函数， 又， 所以当时，，当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以为极小值点，也是最小值点，的最小值为. 【小问2详解】 因为，, 且恒成立，所以在为增函数， 当时，，当时，, 所以存在唯一零点使得.且, 即为：, 所以在上为减函数，在上为增函数, 所以为极小值点，也是最小值点. , ，当且仅当时等号成立， 所以，当时等号成立， 由于，所以，所以. 【小问3详解】 由 ，得 . 设 ，则 ，故 单调递增. 于是 ，即 ，等价于 . 设 ，求导得 ，令 ，解得 . 在 单调递增，在 单调递减，极大值为 . 因 有两个零点，故 ，不妨设 ，且 . 要证 ，只需证 . 因 ，，且 在 单调递减，故只需证 . 代入 ，只需证 . 设 ，， 则 求导得 因 ，故 ，则 ，于是 . 在 单调递增，故 ，即 . 因此 ，结合 在 单调递减，得 ，即 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二上2月期末考试 数学试卷 2026.02 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 双曲线渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是上的连续可导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 3. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，且，则等于（ ） A. B. C. D. 9 5. 两条平行直线与之间的距离（ ） A. B. C. D. 6. 已知公差不为0的等差数列的第，，，项依次构成一个等比数列，则等于（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 18 7. 将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 设，若函数，有大于零的极值点，则 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设数列是等比数列，下列说法正确的有（ ） A. 等比数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 11. 已知椭圆:的左右顶点为A、B，点P为椭圆C上异于左右顶点的一点，过点P向轴作垂线，垂足为Q，下列说法正确的有（ ） A. B. 存在点P使得 C. 当点P运动到短轴端点时最大 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 函数的单调递增区间是_____________． 13. 直线与圆相交于A，B两点，则弦长AB的最小值为______. 14. 设为实数，若直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围_______. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求函数极值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 16. 已知椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点斜率为1的直线与椭圆交于A，B两点，求的周长与面积. 17. 设数列满足：，且对任意的，都有. （1）求证：为等比数列； （2）求数列前项和； （3）求数列的前9项和. 18. 抛物线（）的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上的一点，到焦点的距离是4. （1）求的值及抛物线的准线方程； （2）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴；点为中点，过点向轴作垂线交抛物线于点. 求证：①三点共线. ② 抛物线上点处的切线与平行. 19. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若，求实数取值范围； （3）若有两个不同的零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $